ลิมิตและความต่อเนื่อง (Limits & Continuity)

1. L1Limit (informal)ลิมิต
   $$\lim_{x\to a}f(x) = L$$
2. L2ε–δ definitionนิยามเชิงรูปนัย
   $$\lim_{x\to a}f(x) = L \iff \forall\varepsilon > 0\ \exists\delta > 0:\ 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$$
3. L3One-sided limitsลิมิตซ้าย ขวา
   $$\lim_{x\to a^-}f(x),\qquad \lim_{x\to a^+}f(x)$$
4. L4Existenceลิมิตสองด้านมีค่า
   $$\lim_{x\to a}f(x) = L \iff \lim_{x\to a^-}f = \lim_{x\to a^+}f = L$$
5. $\lim f = a,\ \lim g = b$ ลิมิต · ความต่อเนื่อง lim (f pm g) = a pm b, quad lim (fg) = ab, quad lim frac fg = frac ab\ (b ne 0), quad lim f^n = a^n, quad lim sqrt [n]{f} = sqrt [n]{a} ">L5Limit lawsถ้า $\lim f = A,\ \lim g = B$
   $$\lim(f \pm g) = A \pm B,\quad \lim(fg) = AB,\quad \lim\frac fg = \frac AB\ (B \ne 0),\quad \lim f^n = A^n,\quad \lim\sqrt[n]{f} = \sqrt[n]{A}$$
6. L6Direct substitutionแทนค่าได้ทันที
   $$\lim_{x\to a}f(x) = f(a) \quad\text{ถ้า } f \text{ ต่อเนื่องที่ } a$$
7. L7Squeeze theoremทฤษฎีบทแซนด์วิช
   $$g \le f \le h,\ \lim g = \lim h = L \Rightarrow \lim f = L$$
8. L8Fundamental trig limitลิมิตพื้นฐาน
   $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1,\qquad \lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x} = 0,\qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac12$$
9. L9The number eค่า e
   $$e = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac1n\right)^n = \lim_{x\to 0}(1 + x)^{1/x} \approx 2.71828$$
10. L10Rational functions at ∞ฟังก์ชันตรรกยะเมื่อ x → ∞
    $$\lim_{x\to\infty}\frac{a_nx^n + \cdots}{b_mx^m + \cdots} = \begin{cases} 0, & n < m \\ a_n/b_m, & n = m \\ \pm\infty, & n > m \end{cases}$$
11. L11Vertical asymptoteเส้นกำกับแนวตั้ง
    $$\lim_{x\to a^\pm}f(x) = \pm\infty \Rightarrow x = a \text{ เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง}$$
12. L12Oblique asymptoteเส้นกำกับเฉียง
    $$f(x) = mx + b + r(x),\ r(x)\to 0 \Rightarrow y = mx + b$$
13. L13Continuity at a pointต่อเนื่องที่ x = a
    $$\text{(1) } f(a) \text{ มีค่า}\quad \text{(2) } \lim_{x\to a}f(x) \text{ มีค่า}\quad \text{(3) } \lim_{x\to a}f(x) = f(a)$$
14. L14Intermediate value theoremทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง
    $$f \text{ ต่อเนื่องบน } [a, b],\ f(a) < N < f(b) \Rightarrow \exists c \in (a, b):\ f(c) = N$$
15. L15L'Hôpital's ruleกฎของโลปิตาล
    $$\frac{f(x)}{g(x)} \to \frac00 \text{ หรือ } \frac{\infty}{\infty} \ \Rightarrow\ \lim\frac{f(x)}{g(x)} = \lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$$
16. L16Other indeterminate formsแปลงรูปก่อนใช้
    $$0\cdot\infty \to \frac{f}{1/g} \qquad \infty - \infty \to \text{รวมเศษส่วน} \qquad 1^\infty,\ 0^0,\ \infty^0 \to e^{\lim g\ln f}$$
17. S1Sequenceลำดับ
    $$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}:\ a_1, a_2, a_3, \dots \qquad a_{n+1} = g(a_n)$$
18. S2Series & partial sumsอนุกรมและผลบวกย่อย
    $$S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n,\qquad \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N\to\infty} S_N$$
19. S3Arithmetic sequenceลำดับเลขคณิต
    $$a_n = a_1 + (n - 1)d,\qquad d = a_{n+1} - a_n$$
20. S4Arithmetic seriesอนุกรมเลขคณิต
    $$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}\left[2a_1 + (n - 1)d\right]$$
21. S5Geometric sequenceลำดับเรขาคณิต
    $$a_n = a_1 r^{\,n-1},\qquad r = \frac{a_{n+1}}{a_n}$$
22. S6Finite geometric seriesอนุกรมเรขาคณิต n พจน์
    $$S_n = a_1\,\frac{1 - r^n}{1 - r}\quad (r \ne 1)$$
23. S7Infinite geometric seriesอนุกรมเรขาคณิตอนันต์
    $$\sum_{n=1}^{\infty} a_1 r^{\,n-1} = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \cdots = \frac{a_1}{1 - r}\quad \text{เมื่อ } |r| < 1$$
24. S8Sigma propertiesสมบัติของซิกมา
    $$\sum_{k=1}^{n}(c\,a_k \pm b_k) = c\sum_{k=1}^{n}a_k \pm \sum_{k=1}^{n}b_k,\qquad \sum_{k=1}^{n} c = nc$$
25. S9Power sumsสูตรผลบวกกำลังของจำนวนนับ
    $$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\qquad \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$$
26. S10Telescoping sumผลบวกแบบหักล้าง
    $$\sum_{k=1}^{n}\left(b_k - b_{k+1}\right) = b_1 - b_{n+1}$$
27. S11ε–N definitionนิยามลิมิตของลำดับ
    $$\lim_{n\to\infty} a_n = L \iff \forall\varepsilon > 0\ \exists N:\ n \ge N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon$$
28. S12Standard sequence limitsลิมิตมาตรฐานที่ต้องจำ
    $$r^n \to 0\ (|r| < 1),\quad \sqrt[n]{n} \to 1,\quad \left(1 + \tfrac{x}{n}\right)^n \to e^x,\quad \frac{\ln n}{n} \to 0,\quad \frac{n^p}{b^n} \to 0\ (b > 1),\quad \frac{b^n}{n!} \to 0$$
29. S13Monotone convergenceทฤษฎีบทลำดับทางเดียว
    $$a_n \nearrow\ \text{และ}\ a_n \le M\ \ \Rightarrow\ \ \{a_n\}\ \text{ลู่เข้า}$$
30. S14Squeeze for sequencesแซนด์วิช
    $$b_n \le a_n \le c_n,\ b_n, c_n \to L \Rightarrow a_n \to L$$
31. S15nth-term (divergence) testทดสอบพจน์ที่ n
    $$\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0\ \text{(หรือไม่มีค่า)} \ \Rightarrow\ \sum a_n\ \text{ลู่ออก}$$
32. S16p-seriesอนุกรม p
    $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\ \text{ลู่เข้า} \iff p > 1$$
33. S17Integral testทดสอบด้วยปริพันธ์
    $$a_n = f(n),\ f \searrow,\ f > 0:\ \sum a_n \sim \int_1^{\infty} f(x)\,dx$$
34. S18Comparison testsการเปรียบเทียบ
    $$0 \le a_n \le b_n:\ \textstyle\sum b_n\ \text{ลู่เข้า} \Rightarrow \sum a_n\ \text{ลู่เข้า};\qquad \lim\frac{a_n}{b_n} = c > 0 \Rightarrow \text{เหมือนกัน}$$
35. S19Ratio testทดสอบอัตราส่วน
    $$\rho = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|:\ \rho < 1\ \text{ลู่เข้า},\ \rho > 1\ \text{ลู่ออก},\ \rho = 1\ \text{สรุปไม่ได้}$$
36. S20Root testทดสอบราก
    $$\rho = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}:\ \text{เกณฑ์เดียวกับ ratio test}$$
37. S21Alternating series testอนุกรมสลับ (ไลบ์นิซ)
    $$\sum (-1)^{n+1} b_n,\ b_n \searrow 0 \Rightarrow \text{ลู่เข้า},\quad |S - S_N| \le b_{N+1}$$
38. S22Absolute vs conditionalสัมบูรณ์กับมีเงื่อนไข
    $$\textstyle\sum |a_n|\ \text{ลู่เข้า} \Rightarrow \sum a_n\ \text{ลู่เข้า (absolutely)}$$
39. S23Power seriesอนุกรมกำลัง
    $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n = c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + \cdots$$
40. S24Radius of convergenceรัศมีการลู่เข้า
    $$R = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|,\qquad |x - a| < R\ \text{ลู่เข้า},\ |x - a| > R\ \text{ลู่ออก}$$
41. S25Term-by-term calculusหาอนุพันธ์และอินทิเกรตทีละพจน์
    $$\frac{d}{dx}\sum c_n x^n = \sum n c_n x^{n-1},\qquad \int \sum c_n x^n\,dx = C + \sum \frac{c_n}{n+1}x^{n+1}\quad (R\ \text{เท่าเดิม})$$
42. S26Taylor seriesอนุกรมเทย์เลอร์
    $$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots$$
43. S27Maclaurin series tableตารางอนุกรมแมคลอรินที่ใช้บ่อย
    $$\begin{aligned} e^x &= 1 + x + \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^3}{3!} + \cdots & (R = \infty) \\ \sin x &= x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \cdots & (R = \infty) \\ \cos x &= 1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \cdots & (R = \infty) \\ \ln(1 + x) &= x - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{3} - \cdots & (-1 < x \le 1) \\ (1 + x)^{\alpha} &= 1 + \alpha x + \tfrac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots & (|x| < 1) \\ \tfrac{1}{1 - x} &= 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots & (|x| < 1) \end{aligned}$$
44. S28Lagrange remainderเศษเหลือแบบลากรองจ์
    $$R_n(x) = f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1},\quad |R_n(x)| \le \frac{M\,|x - a|^{n+1}}{(n+1)!}$$
45. I1Principle of mathematical inductionหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
    $$\Big[\,P(n_0)\ \wedge\ \forall k \ge n_0:\ \big(P(k) \Rightarrow P(k+1)\big)\Big] \ \Longrightarrow\ \forall n \ge n_0:\ P(n)$$
46. I2Well-ordering principleหลักการจัดอันดับดี
    $$\varnothing \ne S \subseteq \mathbb{N} \ \Rightarrow\ S\ \text{มีสมาชิกน้อยที่สุด}$$
47. I3Strong inductionอุปนัยแบบเข้ม
    $$\big[P(n_0) \wedge \cdots \wedge P(k)\big] \Rightarrow P(k+1)$$
48. I4Inductive step for sumsขั้นอุปนัยของสูตรผลบวก
    $$\sum_{i=n_0}^{k+1} f(i) = \sum_{i=n_0}^{k} f(i) + f(k+1) \quad\Rightarrow\quad P(k) \Rightarrow P(k+1) \iff g(k+1) = g(k) + f(k+1)$$
49. I5Divisibility stepแม่แบบขั้นอุปนัยของการหารลงตัว
    $$m \mid f(k)\ \ (f(k) = mq) \quad\text{และ}\quad f(k+1) = c\,f(k) + m\,t \ \Rightarrow\ m \mid f(k+1)$$
50. I6Inequality chainโซ่อสมการ
    $$L(k+1) = \cdots\, L(k) \cdots\ \overset{\text{IH}}{>}\ \cdots\, R(k) \cdots\ \ge\ R(k+1)$$
51. I7Bernoulli's inequalityอสมการเบอร์นูลลี
    $$(1 + x)^n \ge 1 + nx\qquad (x \ge -1,\ n \in \mathbb{N})$$
52. I8Power rule (n ∈ ℕ)อนุพันธ์ของ xⁿ
    $$\frac{d}{dx}x^n = n\,x^{n-1}$$
53. I9nth derivative of 1/xอนุพันธ์อันดับ n ของ 1/x
    $$\frac{d^n}{dx^n}\,\frac1x = \frac{(-1)^n\, n!}{x^{n+1}}$$
54. I10Laplace of tⁿการแปลงลาปลาซของ tⁿ
    $$\mathcal{L}\{t^n\} = \int_0^{\infty} t^n e^{-st}\,dt = \frac{n!}{s^{n+1}}$$
55. I11Leibniz ruleอนุพันธ์อันดับ n ของผลคูณ
    $$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$$
56. I12De Moivre's theoremทฤษฎีบทเดอมัวฟร์
    $$(\cos\theta + j\sin\theta)^n = \cos n\theta + j\sin n\theta$$
57. I13Discrete-time stateสถานะของระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง
    $$\mathbf{x}[n+1] = A\,\mathbf{x}[n] \ \Rightarrow\ \mathbf{x}[n] = A^n\,\mathbf{x}[0]$$
58. I14Loop invariantข้อความคงที่ของลูป
    $$\text{Inv}(0)\ \wedge\ \big(\text{Inv}(k) \Rightarrow \text{Inv}(k+1)\big) \Rightarrow \text{Inv}(n)\ \text{เมื่อจบลูป}$$

ไม่พบสูตรที่ตรงกัน ลองพิมพ์คำอื่น หรือใช้ภาษาอังกฤษ เช่น inverse, determinant, eigenvalue