หน้าแรก คลังความรู้ ลำดับและอนุกรม Sequences & Series ดูครบทุกส่วน · 12 หน้า 2 · อนุกรมและการทดสอบการลู่เข้า 3 · อนุกรมกำลัง เทย์เลอร์ และโลรองต์ 4 · การประยุกต์ แล็บ และแนวข้อสอบ 5 · เครื่องคิดเลขและอุปนัยแบบเข้ม // บทที่ 26 · Sequences & Series · 10 หน้า
ลำดับและอนุกรม (Sequences & Series): จากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์ ครบทุกระดับพร้อมแล็บและแนวข้อสอบ
บทนี้ตอบคำถามเดียวที่ลึกขึ้นเรื่อย ๆ: “บวกจำนวนไม่สิ้นสุดแล้วได้อะไร” เริ่มจากลำดับเลขคณิต-เรขาคณิตระดับเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย ผ่านการทดสอบการลู่เข้าของแคลคูลัส 2 ไปจนถึงอนุกรมกำลัง เทย์เลอร์ และโลรองต์ที่วิศวกรใช้ประมาณฟังก์ชัน แก้สมการเชิงอนุพันธ์ และออกแบบระบบดิจิทัล ทุกหน้ามีสูตรพร้อมรหัสอ้างอิง ตัวอย่างวิธีทำที่ตรวจตัวเลขแล้ว และแล็บโต้ตอบที่ใช้บนมือถือได้
ในบทนี้มีอะไร
12 หน้า 5 ส่วน : ลำดับ · อนุกรมและการทดสอบ · อนุกรมกำลัง เทย์เลอร์ โลรองต์ · การประยุกต์ แล็บ และแนวข้อสอบ · เครื่องคิดเลขและอุปนัยแบบเข้ม148 สูตรมีรหัสอ้างอิง และ 82 ตัวอย่างวิธีทำที่ตรวจตัวเลขด้วย sympy แล้ว
แล็บ 12 ชุด: ผลบวกย่อย ขอบเขตปริพันธ์ จัดเรียงอนุกรมสลับ รัศมีการลู่เข้าในระนาบเชิงซ้อน พหุนามเทย์เลอร์ จำนวนพจน์ที่ต้องใช้ วงแหวนโลรองต์ และการประมาณในงานวิศวกรรม
แนวข้อสอบ 60 ข้อ 3 ระดับ เกมเลือกการทดสอบ 40 ข้อ และเครื่องสุ่มโจทย์ไม่จำกัด
ใหม่ : เครื่องคิดเลข 6 ชุดที่แสดงวิธีทำด้วยเลขแม่นตรง (ซิกมา เวียนเกิด หาสูตรจากพจน์ ออยเลอร์–แมคลอริน) และ อุปนัยแบบเข้ม 17 ตัวอย่าง + แล็บ 11 ชุด
แผนที่ทั้งบท: แต่ละเรื่องต่อกันอย่างไร
ทุกหัวข้อในบทนี้สร้างบนหัวข้อก่อนหน้า: อนุกรมคือลิมิตของลำดับผลบวกย่อย การทดสอบบอกว่าลิมิตนั้นมีหรือไม่ อนุกรมกำลังคืออนุกรมที่มีตัวแปร อนุกรมเทย์เลอร์บอกว่าสัมประสิทธิ์ต้องเป็นอะไร และอนุกรมโลรองต์ขยายไปยังบริเวณรอบจุดเอกฐาน
26.1 ลำดับ aₙ → L 26.2 อนุกรม Sₙ = Σaₖ 26.3 การทดสอบ ratio · root 26.4 อนุกรมสลับ |S − Sₙ| ≤ bₙ₊₁ 26.5 อนุกรมกำลัง |x − a| < R 26.6 เทย์เลอร์ f⁽ⁿ⁾(a)/n! 26.7 โลรองต์ Σ aₙzⁿ, n ∈ ℤ 26.8 วิศวกรรม · Z ROC · gₘ เส้นทางของบทลำดับและอนุกรม: จากลำดับ → อนุกรม → การทดสอบ → อนุกรมกำลัง → เทย์เลอร์ → โลรองต์ → การแปลง Z และงานวิศวกรรม เลือกเส้นทางเรียนตามเป้าหมาย
เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย ลำดับและอนุกรม ม.ปลาย แคลคูลัส 2 · ปี 1 อนุกรมอนันต์ถึงเทย์เลอร์ คณิตศาสตร์วิศวกรรม ตัวแปรเชิงซ้อนและระบบ
aₙ (Q) → Sₙ = Σaₖ (S) → ลู่เข้า? (T) → ± สลับ (A) → Σcₙxⁿ (P) → f⁽ⁿ⁾(a)/n! (Y) → Σaₙzⁿ, n ∈ ℤ (L) → งานวิศวกรรม (E) → เครื่องคิดเลข (C) → อุปนัยแบบเข้ม (N)
ทุกหน้าในบทลำดับและอนุกรม
ส่วนที่ 1 ลำดับ Sequences ลำดับเลขคณิต เรขาคณิต เวียนเกิด ลิมิตของลำดับ ε–N ทฤษฎีบทแซนด์วิช ลำดับทางเดียวมีขอบเขต และลำดับโคชี
ส่วนที่ 2 อนุกรมและการทดสอบการลู่เข้า Series & Convergence Tests ผลบวกย่อย อนุกรมเรขาคณิต กล้องส่องทางไกล อนุกรม p การทดสอบทุกแบบ อนุกรมสลับ และการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์-มีเงื่อนไข
ส่วนที่ 3 อนุกรมกำลัง เทย์เลอร์ และโลรองต์ Power, Taylor & Laurent Series รัศมีการลู่เข้า อนุพันธ์-อินทิกรัลทีละพจน์ อนุกรมเทย์เลอร์-แมคลอรินพร้อมเศษเหลือ และอนุกรมโลรองต์บนวงแหวนในระนาบเชิงซ้อน
ส่วนที่ 4 การประยุกต์ แล็บ และแนวข้อสอบ Applications, Labs & Exam Practice อนุกรมในวงจร สัญญาณดิจิทัล การแปลง Z วิธีเชิงตัวเลข แล็บรวม และแนวข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยถึงไฟนอลพร้อมเครื่องสุ่มโจทย์
เลือกเครื่องมือให้ตรงกับคำถาม
คำถาม เครื่องมือ หน้า
หาพจน์ที่ n หรือผลบวก n พจน์ สูตรเลขคณิต · เรขาคณิต · ซิกมา 26.1 · 26.2 ลำดับนี้เข้าใกล้ค่าใด? ลิมิต · แซนด์วิช · ทางเดียวมีขอบเขต 26.1 บวกไม่สิ้นสุดได้เท่าไร? เรขาคณิต · กล้องส่องทางไกล · S − rS · อนุกรมเทย์เลอร์ 26.2 · 26.6 ลู่เข้าหรือลู่ออก? (หาผลบวกไม่ได้) พจน์ที่ n · ปริพันธ์ · เปรียบเทียบ · อัตราส่วน · ราก 26.3 ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์หรือมีเงื่อนไข? ทดสอบ Σ|aₙ| · ไลบ์นิซ · ดีริชเลต์ 26.4 ใช้ได้กับ x ช่วงไหน? รัศมีการลู่เข้า + ตรวจปลายช่วง 26.5 ประมาณฟังก์ชันด้วยพหุนาม คลาดเท่าไร? พหุนามเทย์เลอร์ · เศษเหลือลากรองจ์ 26.6 รอบจุดที่ฟังก์ชันระเบิด · อินทิกรัลเส้นปิด · อินเวอร์ส Z อนุกรมโลรองต์ · เรซิดิว 26.7 หาสูตร Σ แบบรูปปิด · หาสูตรจากพจน์ · แก้ aₙ = c₁aₙ₋₁ + c₂aₙ₋₂ สูตรผลบวกกำลัง · ตารางผลต่าง · สมการลักษณะเฉพาะ 26.11 พิสูจน์ว่าสูตรจริงทุก n เมื่อขั้นอุปนัยย้อนหลายขั้น อุปนัยแบบเข้ม · กรณีฐานหลายตัว 26.12
ห้องแล็บและเครื่องมือ
แนวข้อสอบและการเตรียมตัว
ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยเน้นการคำนวณผลบวกและลิมิตของลำดับ ข้อสอบแคลคูลัส 2 เน้นการเลือกการทดสอบและช่วงการลู่เข้า ส่วนคณิตศาสตร์วิศวกรรมเน้นอนุกรมโลรองต์และเรซิดิว หน้าแนวข้อสอบ มีผังหัวข้อที่ออกสอบ โจทย์ 60 ข้อ และรายการความผิดพลาดที่เสียคะแนนบ่อยที่สุด
รหัส Q ลำดับ · S อนุกรมอนันต์ · T การทดสอบการลู่เข้า · A อนุกรมสลับ · P อนุกรมกำลัง · Y เทย์เลอร์ · L โลรองต์ · E งานวิศวกรรม — แตะรหัสเพื่อไปยังสูตรพร้อมตัวอย่าง
ค้นหาสูตร
ทั้งหมด 148 สูตร
ทุกหน้า Q · ลำดับ · ลิมิตของลำดับ S · อนุกรมอนันต์ T · การทดสอบการลู่เข้า A · อนุกรมสลับ · ลู่เข้าสัมบูรณ์ P · อนุกรมกำลัง Y · อนุกรมเทย์เลอร์ · แมคลอริน L · อนุกรมโลรองต์ E · อนุกรมในงานวิศวกรรม C · เครื่องคิดเลข · วิธีทำ N · อุปนัยแบบเข้ม
Q1 Sequence ลำดับ a : N → R , n ↦ a n ( a n ) n = 1 ∞ = a 1 , a 2 , a 3 , … a : \mathbb N \to \mathbb R,\quad n \mapsto a_n \qquad (a_n)_{n=1}^{\infty} = a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots a : N → R , n ↦ a n ( a n ) n = 1 ∞ = a 1 , a 2 , a 3 , … Q2 Explicit vs recursive สูตรตรงกับเวียนเกิด a n = f ( n ) หรือ a 1 กำหนด , a n + 1 = g ( a n ) a_n = f(n) \qquad\text{หรือ}\qquad a_1 \text{ กำหนด},\ a_{n+1} = g(a_n) a n = f ( n ) หรือ a 1 กำหนด , a n + 1 = g ( a n ) Q3 Bounded & monotone มีขอบเขต · ทางเดียว ∣ a n ∣ ≤ M ∀ n a n + 1 ≥ a n ( เพิ่ม ) a n + 1 ≤ a n ( ลด ) |a_n| \le M\ \forall n \qquad a_{n+1} \ge a_n\ (\text{เพิ่ม}) \quad a_{n+1} \le a_n\ (\text{ลด}) ∣ a n ∣ ≤ M ∀ n a n + 1 ≥ a n ( เพิ่ม ) a n + 1 ≤ a n ( ลด ) Q4 Arithmetic sequence ลำดับเลขคณิต a n = a 1 + ( n − 1 ) d , d = a n + 1 − a n , a n = a m + ( n − m ) d a_n = a_1 + (n-1)d,\qquad d = a_{n+1} - a_n,\qquad a_n = a_m + (n-m)d a n = a 1 + ( n − 1 ) d , d = a n + 1 − a n , a n = a m + ( n − m ) d Q5 Geometric sequence ลำดับเรขาคณิต a n = a 1 r n − 1 , r = a n + 1 a n , a n = a m r n − m a_n = a_1 r^{n-1},\qquad r = \frac{a_{n+1}}{a_n},\qquad a_n = a_m r^{n-m} a n = a 1 r n − 1 , r = a n a n + 1 , a n = a m r n − m Q6 Harmonic sequence ลำดับฮาร์มอนิก 1 a 1 , 1 a 2 , 1 a 3 , … เป็นเลขคณิต ⇒ a n = 1 1 a 1 + ( n − 1 ) d \frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \dots \text{ เป็นเลขคณิต} \quad\Rightarrow\quad a_n = \frac{1}{\frac{1}{a_1} + (n-1)d} a 1 1 , a 2 1 , a 3 1 , … เป็นเลขคณิต ⇒ a n = a 1 1 + ( n − 1 ) d 1 Q7 AM ≥ GM ≥ HM อสมการค่าเฉลี่ย a + b 2 ≥ a b ≥ 2 a b a + b ( a , b > 0 ) \frac{a+b}{2} \ \ge\ \sqrt{ab} \ \ge\ \frac{2ab}{a+b}\qquad (a, b > 0) 2 a + b ≥ ab ≥ a + b 2 ab ( a , b > 0 ) Q8 First-order linear recurrence เวียนเกิดเชิงเส้นอันดับหนึ่ง a n + 1 = r a n + c ( r ≠ 1 ) ⇒ a n = L + ( a 1 − L ) r n − 1 , L = c 1 − r a_{n+1} = r a_n + c\ (r \ne 1)\ \Rightarrow\ a_n = L + (a_1 - L)\,r^{n-1},\quad L = \frac{c}{1-r} a n + 1 = r a n + c ( r = 1 ) ⇒ a n = L + ( a 1 − L ) r n − 1 , L = 1 − r c Q9 Second-order: characteristic equation สมการลักษณะเฉพาะ a n + 2 = p a n + 1 + q a n : t 2 = p t + q ⇒ a n = { A t 1 n + B t 2 n t 1 ≠ t 2 ( A + B n ) t n รากซ้ำ a_{n+2} = p\,a_{n+1} + q\,a_n:\quad t^2 = pt + q\ \Rightarrow\ a_n = \begin{cases} A t_1^{\,n} + B t_2^{\,n} & t_1 \ne t_2 \\ (A + Bn)\,t^{\,n} & \text{รากซ้ำ} \end{cases} a n + 2 = p a n + 1 + q a n : t 2 = pt + q ⇒ a n = { A t 1 n + B t 2 n ( A + B n ) t n t 1 = t 2 รากซ้ำ Q10 Fibonacci & Binet's formula ฟีโบนัชชีและสูตรบิเนต์ F n + 2 = F n + 1 + F n , F 0 = 0 , F 1 = 1 ⇒ F n = φ n − ψ n 5 , φ , ψ = 1 ± 5 2 F_{n+2} = F_{n+1} + F_n,\ F_0 = 0,\ F_1 = 1 \ \Rightarrow\ F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5},\quad \varphi, \psi = \frac{1 \pm \sqrt5}{2} F n + 2 = F n + 1 + F n , F 0 = 0 , F 1 = 1 ⇒ F n = 5 φ n − ψ n , φ , ψ = 2 1 ± 5 Q11 Limit of a sequence (ε–N) ลิมิตของลำดับ lim n → ∞ a n = L ⟺ ∀ ε > 0 ∃ N : n > N ⇒ ∣ a n − L ∣ < ε \lim_{n\to\infty} a_n = L \iff \forall \varepsilon > 0\ \exists N:\ n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon n → ∞ lim a n = L ⟺ ∀ ε > 0 ∃ N : n > N ⇒ ∣ a n − L ∣ < ε Q12 Limit laws สมบัติของลิมิต lim ( a n ± b n ) = A ± B , lim a n b n = A B , lim a n b n = A B ( B ≠ 0 ) \lim(a_n \pm b_n) = A \pm B,\quad \lim a_n b_n = AB,\quad \lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}\ (B \ne 0) lim ( a n ± b n ) = A ± B , lim a n b n = A B , lim b n a n = B A ( B = 0 ) Q13 Through a function ผ่านฟังก์ชัน f(x) lim x → ∞ f ( x ) = L , a n = f ( n ) ⇒ lim n → ∞ a n = L ; g ต่อเนื่อง ⇒ g ( a n ) → g ( L ) \lim_{x\to\infty} f(x) = L,\ a_n = f(n)\ \Rightarrow\ \lim_{n\to\infty} a_n = L;\quad g \text{ ต่อเนื่อง} \Rightarrow g(a_n) \to g(L) x → ∞ lim f ( x ) = L , a n = f ( n ) ⇒ n → ∞ lim a n = L ; g ต่อเนื่อง ⇒ g ( a n ) → g ( L ) Q14 Standard limits ลิมิตมาตรฐานที่ต้องจำ r n → 0 ( ∣ r ∣ < 1 ) , n n → 1 , a n → 1 ( a > 0 ) , ( 1 + x n ) n → e x , n k a n → 0 ( a > 1 ) , a n n ! → 0 , n ! n n → 0 r^n \to 0\ (|r|<1),\quad \sqrt[n]{n} \to 1,\quad \sqrt[n]{a} \to 1\ (a>0),\quad \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \to e^x,\quad \frac{n^k}{a^n} \to 0\ (a>1),\quad \frac{a^n}{n!} \to 0,\quad \frac{n!}{n^n} \to 0 r n → 0 ( ∣ r ∣ < 1 ) , n n → 1 , n a → 1 ( a > 0 ) , ( 1 + n x ) n → e x , a n n k → 0 ( a > 1 ) , n ! a n → 0 , n n n ! → 0 Q15 Squeeze theorem ทฤษฎีบทแซนด์วิช b n ≤ a n ≤ c n ( n ≥ n 0 ) , b n , c n → L ⇒ a n → L b_n \le a_n \le c_n\ (n \ge n_0),\ \ b_n, c_n \to L\ \Rightarrow\ a_n \to L b n ≤ a n ≤ c n ( n ≥ n 0 ) , b n , c n → L ⇒ a n → L Q16 |aₙ| → 0 ⇒ aₙ → 0 ค่าสัมบูรณ์เข้าใกล้ศูนย์ ∣ a n ∣ → 0 ⟺ a n → 0 ( เฉพาะลิมิต 0 ) |a_n| \to 0 \iff a_n \to 0 \qquad (\text{เฉพาะลิมิต } 0) ∣ a n ∣ → 0 ⟺ a n → 0 ( เฉพาะลิมิต 0 ) Q17 Monotone convergence theorem ทางเดียว + มีขอบเขต ⇒ ลู่เข้า a n ↑ , a n ≤ M ⇒ a n → sup a n ≤ M ; a n ↓ , a n ≥ m ⇒ a n → inf a n a_n \uparrow,\ a_n \le M \Rightarrow a_n \to \sup a_n \le M;\qquad a_n \downarrow,\ a_n \ge m \Rightarrow a_n \to \inf a_n a n ↑ , a n ≤ M ⇒ a n → sup a n ≤ M ; a n ↓ , a n ≥ m ⇒ a n → inf a n Q18 Fixed-point iteration การวนหาจุดตรึง a n + 1 = g ( a n ) , g ( L ) = L , ∣ g ′ ( L ) ∣ < 1 ⇒ a n → L (เมื่อเริ่มใกล้ L ) a_{n+1} = g(a_n),\ g(L) = L,\ |g'(L)| < 1 \Rightarrow a_n \to L \text{ (เมื่อเริ่มใกล้ } L) a n + 1 = g ( a n ) , g ( L ) = L , ∣ g ′ ( L ) ∣ < 1 ⇒ a n → L ( เมื่อเริ่มใกล้ L ) Q19 Subsequences ลำดับย่อย a n → L ⇒ a n k → L ทุกลำดับย่อย ; a 2 n → L 1 ≠ L 2 ← a 2 n + 1 ⇒ ลู่ออก a_n \to L \Rightarrow a_{n_k} \to L \text{ ทุกลำดับย่อย};\quad a_{2n} \to L_1 \ne L_2 \leftarrow a_{2n+1} \Rightarrow \text{ลู่ออก} a n → L ⇒ a n k → L ทุกลำดับย่อย ; a 2 n → L 1 = L 2 ← a 2 n + 1 ⇒ ลู่ออก Q20 Bolzano–Weierstrass ทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวแยร์สตราส ( a n ) มีขอบเขต ⇒ มีลำดับย่อยที่ลู่เข้า (a_n) \text{ มีขอบเขต} \Rightarrow \text{มีลำดับย่อยที่ลู่เข้า} ( a n ) มีขอบเขต ⇒ มีลำดับย่อยที่ลู่เข้า Q21 Cauchy sequence ลำดับโคชี ∀ ε > 0 ∃ N : m , n > N ⇒ ∣ a m − a n ∣ < ε ⟺ ( a n ) ลู่เข้าใน R \forall\varepsilon>0\ \exists N:\ m, n > N \Rightarrow |a_m - a_n| < \varepsilon \iff (a_n) \text{ ลู่เข้าใน } \mathbb R ∀ ε > 0 ∃ N : m , n > N ⇒ ∣ a m − a n ∣ < ε ⟺ ( a n ) ลู่เข้าใน R Q22 Stolz–Cesàro โลปิตาลฉบับลำดับ b n ↑ ∞ , lim a n + 1 − a n b n + 1 − b n = L ⇒ lim a n b n = L b_n \uparrow \infty,\ \lim \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L \ \Rightarrow\ \lim \frac{a_n}{b_n} = L b n ↑ ∞ , lim b n + 1 − b n a n + 1 − a n = L ⇒ lim b n a n = L S1 Sum of a series ผลบวกของอนุกรม ∑ n = 1 ∞ a n = lim N → ∞ S N , S N = ∑ n = 1 N a n \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N\to\infty} S_N,\qquad S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n n = 1 ∑ ∞ a n = N → ∞ lim S N , S N = n = 1 ∑ N a n S2 Terms from partial sums หาพจน์จากผลบวกย่อย a 1 = S 1 , a n = S n − S n − 1 ( n ≥ 2 ) a_1 = S_1,\qquad a_n = S_n - S_{n-1}\ (n \ge 2) a 1 = S 1 , a n = S n − S n − 1 ( n ≥ 2 ) S3 Power sums สูตรผลบวกกำลัง ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2 , ∑ k = 1 n k 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 , ∑ k = 1 n k 3 = [ n ( n + 1 ) 2 ] 2 \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\qquad \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 k = 1 ∑ n k = 2 n ( n + 1 ) , k = 1 ∑ n k 2 = 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) , k = 1 ∑ n k 3 = [ 2 n ( n + 1 ) ] 2 S4 Arithmetic series อนุกรมเลขคณิต S n = n 2 ( a 1 + a n ) = n 2 [ 2 a 1 + ( n − 1 ) d ] S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right) = \frac{n}{2}\left[2a_1 + (n-1)d\right] S n = 2 n ( a 1 + a n ) = 2 n [ 2 a 1 + ( n − 1 ) d ] S5 Finite geometric series อนุกรมเรขาคณิตจำกัด S n = a 1 + a 1 r + ⋯ + a 1 r n − 1 = a 1 1 − r n 1 − r ( r ≠ 1 ) S_n = a_1 + a_1 r + \cdots + a_1 r^{n-1} = a_1\frac{1 - r^n}{1 - r}\quad (r \ne 1) S n = a 1 + a 1 r + ⋯ + a 1 r n − 1 = a 1 1 − r 1 − r n ( r = 1 ) S6 Infinite geometric series อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ∑ n = 0 ∞ a r n = a + a r + a r 2 + ⋯ = a 1 − r ⟺ ∣ r ∣ < 1 ; ∣ r ∣ ≥ 1 ⇒ ลู่ออก \sum_{n=0}^{\infty} ar^n = a + ar + ar^2 + \cdots = \frac{a}{1-r} \iff |r| < 1;\qquad |r| \ge 1 \Rightarrow \text{ลู่ออก} n = 0 ∑ ∞ a r n = a + a r + a r 2 + ⋯ = 1 − r a ⟺ ∣ r ∣ < 1 ; ∣ r ∣ ≥ 1 ⇒ ลู่ออก S7 Repeating decimals ทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน 0. d 1 d 2 ⋯ d k ‾ = d 1 d 2 ⋯ d k 99 ⋯ 9 ⏟ k 0.\overline{d_1 d_2\cdots d_k} = \frac{d_1 d_2 \cdots d_k}{\underbrace{99\cdots9}_{k}} 0. d 1 d 2 ⋯ d k = k 99 ⋯ 9 d 1 d 2 ⋯ d k S8 Telescoping series อนุกรมกล้องส่องทางไกล ∑ n = 1 N ( b n − b n + 1 ) = b 1 − b N + 1 ⇒ ∑ n = 1 ∞ ( b n − b n + 1 ) = b 1 − lim n → ∞ b n \sum_{n=1}^{N}(b_n - b_{n+1}) = b_1 - b_{N+1}\ \Rightarrow\ \sum_{n=1}^{\infty}(b_n - b_{n+1}) = b_1 - \lim_{n\to\infty} b_n n = 1 ∑ N ( b n − b n + 1 ) = b 1 − b N + 1 ⇒ n = 1 ∑ ∞ ( b n − b n + 1 ) = b 1 − n → ∞ lim b n S9 Partial fractions for telescoping แยกเศษส่วนย่อย 1 n ( n + k ) = 1 k ( 1 n − 1 n + k ) , ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + k ) = 1 k ( 1 + 1 2 + ⋯ + 1 k ) \frac{1}{n(n+k)} = \frac1k\left(\frac1n - \frac{1}{n+k}\right),\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+k)} = \frac1k\left(1 + \frac12 + \cdots + \frac1k\right) n ( n + k ) 1 = k 1 ( n 1 − n + k 1 ) , n = 1 ∑ ∞ n ( n + k ) 1 = k 1 ( 1 + 2 1 + ⋯ + k 1 ) S10 Harmonic series diverges อนุกรมฮาร์มอนิกลู่ออก 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 ⏟ > 1 2 + 1 5 + ⋯ + 1 8 ⏟ > 1 2 + ⋯ ⇒ S 2 k > 1 + k 2 → ∞ 1 + \tfrac12 + \underbrace{\tfrac13 + \tfrac14}_{>\frac12} + \underbrace{\tfrac15 + \cdots + \tfrac18}_{>\frac12} + \cdots \ \Rightarrow\ S_{2^k} > 1 + \frac{k}{2} \to \infty 1 + 2 1 + > 2 1 3 1 + 4 1 + > 2 1 5 1 + ⋯ + 8 1 + ⋯ ⇒ S 2 k > 1 + 2 k → ∞ S11 p-series อนุกรม p ∑ n = 1 ∞ 1 n p ลู่เข้า ⟺ p > 1 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\ \text{ลู่เข้า} \iff p > 1 n = 1 ∑ ∞ n p 1 ลู่เข้า ⟺ p > 1 S12 Growth of harmonic numbers การโตของผลบวกฮาร์มอนิก H n = ∑ k = 1 n 1 k = ln n + γ + 1 2 n − ⋯ , γ ≈ 0.5772 H_n = \sum_{k=1}^{n}\frac1k = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \cdots,\quad \gamma \approx 0.5772 H n = k = 1 ∑ n k 1 = ln n + γ + 2 n 1 − ⋯ , γ ≈ 0.5772 S13 Linearity สมบัติเชิงเส้น ∑ ( c a n + b n ) = c ∑ a n + ∑ b n ( เมื่อทั้งสองลู่เข้า ) \sum(c\,a_n + b_n) = c\sum a_n + \sum b_n\quad(\text{เมื่อทั้งสองลู่เข้า}) ∑ ( c a n + b n ) = c ∑ a n + ∑ b n ( เมื่อทั้งสองลู่เข้า ) S14 n-th term test การทดสอบพจน์ที่ n lim n → ∞ a n ≠ 0 ( หรือไม่มี ) ⇒ ∑ a n ลู่ออก \lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \ \ (\text{หรือไม่มี}) \ \Rightarrow\ \sum a_n \text{ ลู่ออก} n → ∞ lim a n = 0 ( หรือไม่มี ) ⇒ ∑ a n ลู่ออก S15 Tails decide convergence พจน์ช่วงแรกไม่มีผล ∑ n = 1 ∞ a n ลู่เข้า ⟺ ∑ n = m ∞ a n ลู่เข้า \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ ลู่เข้า} \iff \sum_{n=m}^{\infty} a_n \text{ ลู่เข้า} n = 1 ∑ ∞ a n ลู่เข้า ⟺ n = m ∑ ∞ a n ลู่เข้า S16 Arithmetico-geometric series อนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิต ∑ n = 1 ∞ n r n = r ( 1 − r ) 2 , ∑ n = 1 ∞ n 2 r n = r ( 1 + r ) ( 1 − r ) 3 ( ∣ r ∣ < 1 ) \sum_{n=1}^{\infty} n r^n = \frac{r}{(1-r)^2},\qquad \sum_{n=1}^{\infty} n^2 r^n = \frac{r(1+r)}{(1-r)^3}\qquad (|r| < 1) n = 1 ∑ ∞ n r n = ( 1 − r ) 2 r , n = 1 ∑ ∞ n 2 r n = ( 1 − r ) 3 r ( 1 + r ) ( ∣ r ∣ < 1 ) T1 n-th term test for divergence การทดสอบพจน์ที่ n lim n → ∞ a n ≠ 0 (หรือไม่มีลิมิต) ⟹ ∑ a n ลู่ออก \lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \ \text{(หรือไม่มีลิมิต)} \ \Longrightarrow\ \sum a_n \ \text{ลู่ออก} n → ∞ lim a n = 0 ( หรือไม่มีลิมิต ) ⟹ ∑ a n ลู่ออก T2 Integral test การทดสอบด้วยปริพันธ์ a n = f ( n ) , f บวก ต่อเนื่อง ลดลงเมื่อ x ≥ N : ∑ n = N ∞ a n ลู่เข้า ⟺ ∫ N ∞ f ( x ) d x ลู่เข้า a_n = f(n),\ f \text{ บวก ต่อเนื่อง ลดลงเมื่อ } x \ge N:\qquad \sum_{n=N}^{\infty} a_n \text{ ลู่เข้า} \iff \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx \text{ ลู่เข้า} a n = f ( n ) , f บวก ต่อเนื่อง ลดลงเมื่อ x ≥ N : n = N ∑ ∞ a n ลู่เข้า ⟺ ∫ N ∞ f ( x ) d x ลู่เข้า T3 Remainder estimate ขอบเขตเศษเหลือจากปริพันธ์ ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x ≤ R N = ∑ n = N + 1 ∞ a n ≤ ∫ N ∞ f ( x ) d x ⇒ S N + ∫ N + 1 ∞ f ≤ S ≤ S N + ∫ N ∞ f \int_{N+1}^{\infty} f(x)\,dx \ \le\ R_N = \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n \ \le\ \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx \quad\Rightarrow\quad S_N + \int_{N+1}^{\infty} f \le S \le S_N + \int_N^{\infty} f ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x ≤ R N = n = N + 1 ∑ ∞ a n ≤ ∫ N ∞ f ( x ) d x ⇒ S N + ∫ N + 1 ∞ f ≤ S ≤ S N + ∫ N ∞ f T4 Direct comparison test การเปรียบเทียบโดยตรง 0 ≤ a n ≤ b n ( n ≥ N ) : ∑ b n ลู่เข้า ⇒ ∑ a n ลู่เข้า ; ∑ a n ลู่ออก ⇒ ∑ b n ลู่ออก 0 \le a_n \le b_n \ (n \ge N):\qquad \sum b_n \text{ ลู่เข้า} \Rightarrow \sum a_n \text{ ลู่เข้า};\qquad \sum a_n \text{ ลู่ออก} \Rightarrow \sum b_n \text{ ลู่ออก} 0 ≤ a n ≤ b n ( n ≥ N ) : ∑ b n ลู่เข้า ⇒ ∑ a n ลู่เข้า ; ∑ a n ลู่ออก ⇒ ∑ b n ลู่ออก T5 Limit comparison test การเปรียบเทียบแบบลิมิต a n , b n > 0 , lim n → ∞ a n b n = c , 0 < c < ∞ ⇒ ∑ a n , ∑ b n ลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมกัน a_n, b_n > 0,\quad \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = c,\ \ 0 < c < \infty\ \Rightarrow\ \sum a_n,\ \sum b_n \text{ ลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมกัน} a n , b n > 0 , n → ∞ lim b n a n = c , 0 < c < ∞ ⇒ ∑ a n , ∑ b n ลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมกัน T6 Asymptotic equivalents พจน์ที่สมมูลกันเมื่อ n ใหญ่ sin 1 n ∼ 1 n , 1 − cos 1 n ∼ 1 2 n 2 , ln ( 1 + 1 n ) ∼ 1 n , e 1 / n − 1 ∼ 1 n \sin\tfrac1n \sim \tfrac1n,\quad 1 - \cos\tfrac1n \sim \tfrac{1}{2n^2},\quad \ln\left(1 + \tfrac1n\right) \sim \tfrac1n,\quad e^{1/n} - 1 \sim \tfrac1n sin n 1 ∼ n 1 , 1 − cos n 1 ∼ 2 n 2 1 , ln ( 1 + n 1 ) ∼ n 1 , e 1/ n − 1 ∼ n 1 T7 Ratio test (d'Alembert) การทดสอบอัตราส่วน ρ = lim n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ : ρ < 1 ⇒ ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ , ρ > 1 (หรือ ∞ ) ⇒ ลู่ออก , ρ = 1 ⇒ สรุปไม่ได้ \rho = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|:\qquad \rho < 1 \Rightarrow \text{ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์},\quad \rho > 1 \text{ (หรือ } \infty) \Rightarrow \text{ลู่ออก},\quad \rho = 1 \Rightarrow \text{สรุปไม่ได้} ρ = n → ∞ lim a n a n + 1 : ρ < 1 ⇒ ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ , ρ > 1 ( หรือ ∞ ) ⇒ ลู่ออก , ρ = 1 ⇒ สรุปไม่ได้ T8 Root test (Cauchy) การทดสอบราก ρ = lim n → ∞ ∣ a n ∣ n ( ทั่วไปใช้ lim sup ) : ρ < 1 ⇒ ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ , ρ > 1 ⇒ ลู่ออก , ρ = 1 ⇒ สรุปไม่ได้ \rho = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\ \left(\text{ทั่วไปใช้ } \limsup\right):\quad \rho < 1 \Rightarrow \text{ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์},\quad \rho > 1 \Rightarrow \text{ลู่ออก},\quad \rho = 1 \Rightarrow \text{สรุปไม่ได้} ρ = n → ∞ lim n ∣ a n ∣ ( ทั่วไปใช้ lim sup ) : ρ < 1 ⇒ ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ , ρ > 1 ⇒ ลู่ออก , ρ = 1 ⇒ สรุปไม่ได้ T9 Ratio vs root อัตราส่วนกับราก lim ∣ a n + 1 a n ∣ = L ⇒ lim ∣ a n ∣ n = L \lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L \ \Rightarrow\ \lim\sqrt[n]{|a_n|} = L lim a n a n + 1 = L ⇒ lim n ∣ a n ∣ = L T10 Cauchy condensation test การทดสอบควบแน่นของโคชี a n ↓ 0 : ∑ n = 1 ∞ a n ลู่เข้า ⟺ ∑ k = 0 ∞ 2 k a 2 k ลู่เข้า a_n \downarrow 0:\quad \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ ลู่เข้า} \iff \sum_{k=0}^{\infty} 2^k a_{2^k} \text{ ลู่เข้า} a n ↓ 0 : n = 1 ∑ ∞ a n ลู่เข้า ⟺ k = 0 ∑ ∞ 2 k a 2 k ลู่เข้า T11 Raabe's test การทดสอบราบี R = lim n → ∞ n ( a n a n + 1 − 1 ) : R > 1 ⇒ ลู่เข้า , R < 1 ⇒ ลู่ออก R = \lim_{n\to\infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right):\quad R > 1 \Rightarrow \text{ลู่เข้า},\quad R < 1 \Rightarrow \text{ลู่ออก} R = n → ∞ lim n ( a n + 1 a n − 1 ) : R > 1 ⇒ ลู่เข้า , R < 1 ⇒ ลู่ออก T12 Stirling's approximation สูตรประมาณของสเตอร์ลิง n ! ∼ 2 π n ( n e ) n , ( 2 n n ) ∼ 4 n π n n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n,\qquad \binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} n ! ∼ 2 πn ( e n ) n , ( n 2 n ) ∼ πn 4 n A1 Alternating series อนุกรมสลับ ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 b n = b 1 − b 2 + b 3 − b 4 + ⋯ , b n > 0 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n = b_1 - b_2 + b_3 - b_4 + \cdots,\qquad b_n > 0 n = 1 ∑ ∞ ( − 1 ) n + 1 b n = b 1 − b 2 + b 3 − b 4 + ⋯ , b n > 0 A2 Alternating series test (Leibniz) การทดสอบไลบ์นิซ (i) b n + 1 ≤ b n (เมื่อ n ≥ N ) และ (ii) lim n → ∞ b n = 0 ⟹ ∑ ( − 1 ) n + 1 b n ลู่เข้า \text{(i) } b_{n+1} \le b_n \ \text{(เมื่อ } n \ge N)\quad \text{และ}\quad \text{(ii) } \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \ \ \Longrightarrow\ \ \sum(-1)^{n+1}b_n \text{ ลู่เข้า} (i) b n + 1 ≤ b n ( เมื่อ n ≥ N ) และ (ii) n → ∞ lim b n = 0 ⟹ ∑ ( − 1 ) n + 1 b n ลู่เข้า A3 Alternating series estimation theorem ขอบเขตความคลาดเคลื่อน ∣ S − S N ∣ ≤ b N + 1 , sgn ( S − S N ) = sgn ( พจน์ที่ N + 1 ) |S - S_N| \le b_{N+1},\qquad \operatorname{sgn}(S - S_N) = \operatorname{sgn}(\text{พจน์ที่ } N+1) ∣ S − S N ∣ ≤ b N + 1 , sgn ( S − S N ) = sgn ( พจน์ที่ N + 1 ) A4 Absolute convergence ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ∑ ∣ a n ∣ ลู่เข้า ⟹ ∑ a n ลู่เข้า และ ∣ ∑ a n ∣ ≤ ∑ ∣ a n ∣ \sum|a_n| \text{ ลู่เข้า} \ \Longrightarrow\ \sum a_n \text{ ลู่เข้า และ } \left|\sum a_n\right| \le \sum|a_n| ∑ ∣ a n ∣ ลู่เข้า ⟹ ∑ a n ลู่เข้า และ ∑ a n ≤ ∑ ∣ a n ∣ A5 Conditional convergence ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ∑ a n ลู่เข้า แต่ ∑ ∣ a n ∣ ลู่ออก \sum a_n \text{ ลู่เข้า แต่ } \sum|a_n| \text{ ลู่ออก} ∑ a n ลู่เข้า แต่ ∑ ∣ a n ∣ ลู่ออก A6 Classification procedure ขั้นตอนจำแนกอนุกรม a n ↛ 0 ⇒ ลู่ออก ; ∑ ∣ a n ∣ ลู่เข้า ⇒ สัมบูรณ์ ; ไม่เช่นนั้น ใช้ไลบ์นิซ/ดีริชเลต์ ⇒ มีเงื่อนไข หรือ ลู่ออก a_n \not\to 0 \Rightarrow \text{ลู่ออก};\quad \sum|a_n| \text{ ลู่เข้า} \Rightarrow \text{สัมบูรณ์};\quad \text{ไม่เช่นนั้น ใช้ไลบ์นิซ/ดีริชเลต์} \Rightarrow \text{มีเงื่อนไข หรือ ลู่ออก} a n → 0 ⇒ ลู่ออก ; ∑ ∣ a n ∣ ลู่เข้า ⇒ สัมบูรณ์ ; ไม่เช่นนั้น ใช้ไลบ์นิซ / ดีริชเลต์ ⇒ มีเงื่อนไข หรือ ลู่ออก A7 Riemann rearrangement theorem การจัดเรียงใหม่ของรีมันน์ ∑ a n ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ⇒ ∀ T ∈ [ − ∞ , ∞ ] ∃ การจัดเรียง σ : ∑ a σ ( n ) = T \sum a_n \text{ ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข} \Rightarrow \forall\, T \in [-\infty, \infty]\ \exists \text{ การจัดเรียง } \sigma:\ \sum a_{\sigma(n)} = T ∑ a n ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ⇒ ∀ T ∈ [ − ∞ , ∞ ] ∃ การจัดเรียง σ : ∑ a σ ( n ) = T A8 p positive : q negative บวก p ตัว ลบ q ตัว 1 + 1 3 + ⋯ ⏟ p ตัว − 1 2 − ⋯ ⏟ q ตัว + ⋯ = ln 2 + 1 2 ln p q \underbrace{1 + \tfrac13 + \cdots}_{p\ \text{ตัว}} \underbrace{- \tfrac12 - \cdots}_{q\ \text{ตัว}} + \cdots = \ln 2 + \frac12\ln\frac{p}{q} p ตัว 1 + 3 1 + ⋯ q ตัว − 2 1 − ⋯ + ⋯ = ln 2 + 2 1 ln q p A9 Dirichlet's test การทดสอบของดีริชเลต์ ∣ ∑ k = 1 N a k ∣ ≤ M ∀ N , b n ↓ 0 ⇒ ∑ a n b n ลู่เข้า \left|\sum_{k=1}^{N} a_k\right| \le M\ \forall N,\quad b_n \downarrow 0\ \Rightarrow\ \sum a_n b_n \text{ ลู่เข้า} k = 1 ∑ N a k ≤ M ∀ N , b n ↓ 0 ⇒ ∑ a n b n ลู่เข้า A10 Abel's test การทดสอบของอาเบล ∑ a n ลู่เข้า , ( b n ) ทางเดียวและมีขอบเขต ⇒ ∑ a n b n ลู่เข้า \sum a_n \text{ ลู่เข้า},\ (b_n) \text{ ทางเดียวและมีขอบเขต} \Rightarrow \sum a_n b_n \text{ ลู่เข้า} ∑ a n ลู่เข้า , ( b n ) ทางเดียวและมีขอบเขต ⇒ ∑ a n b n ลู่เข้า A11 Cauchy product & Mertens' theorem ผลคูณโคชีและทฤษฎีบทของเมอร์เทนส์ ( ∑ n = 0 ∞ a n ) ( ∑ n = 0 ∞ b n ) = ∑ n = 0 ∞ c n , c n = ∑ k = 0 n a k b n − k \left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} b_n\right) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n,\quad c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k} ( n = 0 ∑ ∞ a n ) ( n = 0 ∑ ∞ b n ) = n = 0 ∑ ∞ c n , c n = k = 0 ∑ n a k b n − k P1 Power series centered at a อนุกรมกำลังรอบจุด a ∑ n = 0 ∞ c n ( x − a ) n = c 0 + c 1 ( x − a ) + c 2 ( x − a ) 2 + ⋯ \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n = c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + \cdots n = 0 ∑ ∞ c n ( x − a ) n = c 0 + c 1 ( x − a ) + c 2 ( x − a ) 2 + ⋯ P2 Radius of convergence theorem ทฤษฎีบทรัศมีการลู่เข้า ∃ R ∈ [ 0 , ∞ ] : ∣ x − a ∣ < R ⇒ ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ , ∣ x − a ∣ > R ⇒ ลู่ออก \exists R \in [0, \infty]:\quad |x - a| < R \Rightarrow \text{ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์},\qquad |x - a| > R \Rightarrow \text{ลู่ออก} ∃ R ∈ [ 0 , ∞ ] : ∣ x − a ∣ < R ⇒ ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ , ∣ x − a ∣ > R ⇒ ลู่ออก P3 Ratio formula สูตรจากอัตราส่วน R = lim n → ∞ ∣ c n c n + 1 ∣ ( ถ้าลิมิตมี ) R = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right| \quad(\text{ถ้าลิมิตมี}) R = n → ∞ lim c n + 1 c n ( ถ้าลิมิตมี ) P4 Cauchy–Hadamard formula สูตรโคชี-อาดามาร์ 1 R = lim sup n → ∞ ∣ c n ∣ n \frac1R = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|} R 1 = n → ∞ lim sup n ∣ c n ∣ P5 Interval of convergence ช่วงการลู่เข้า ( a − R , a + R ) ∪ { ปลายที่ลู่เข้า } : ( ) , [ ) , ( ] , [ ] (a - R,\ a + R) \ \cup\ \{\text{ปลายที่ลู่เข้า}\}:\quad (\,),\ [\,),\ (\,],\ [\,] ( a − R , a + R ) ∪ { ปลายที่ลู่เข้า } : ( ) , [ ) , ( ] , [ ] P6 Term-by-term calculus อนุพันธ์และอินทิกรัลทีละพจน์ f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( x − a ) n ⇒ f ′ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ n c n ( x − a ) n − 1 , ∫ f d x = C + ∑ n = 0 ∞ c n ( x − a ) n + 1 n + 1 f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n \ \Rightarrow\ f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n c_n (x-a)^{n-1},\quad \int f\,dx = C + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n(x-a)^{n+1}}{n+1} f ( x ) = n = 0 ∑ ∞ c n ( x − a ) n ⇒ f ′ ( x ) = n = 1 ∑ ∞ n c n ( x − a ) n − 1 , ∫ f d x = C + n = 0 ∑ ∞ n + 1 c n ( x − a ) n + 1 P7 Series built from the geometric series อนุกรมที่สร้างจากอนุกรมเรขาคณิต 1 1 − x = ∑ x n , 1 ( 1 − x ) 2 = ∑ ( n + 1 ) x n , ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n n , arctan x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 \frac{1}{1-x} = \sum x^n,\quad \frac{1}{(1-x)^2} = \sum (n+1)x^n,\quad \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n},\quad \arctan x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} 1 − x 1 = ∑ x n , ( 1 − x ) 2 1 = ∑ ( n + 1 ) x n , ln ( 1 + x ) = n = 1 ∑ ∞ n ( − 1 ) n + 1 x n , arctan x = n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n x 2 n + 1 P8 The geometric trick เทคนิคอนุกรมเรขาคณิต 1 c − x = 1 c ⋅ 1 1 − x / c = ∑ n = 0 ∞ x n c n + 1 , ∣ x ∣ < ∣ c ∣ ; 1 c − x = 1 ( c − a ) − ( x − a ) สำหรับรอบ a \frac{1}{c - x} = \frac1c\cdot\frac{1}{1 - x/c} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{c^{n+1}},\quad |x| < |c|;\qquad \frac{1}{c - x} = \frac{1}{(c - a) - (x - a)} \text{ สำหรับรอบ } a c − x 1 = c 1 ⋅ 1 − x / c 1 = n = 0 ∑ ∞ c n + 1 x n , ∣ x ∣ < ∣ c ∣ ; c − x 1 = ( c − a ) − ( x − a ) 1 สำหรับรอบ a P9 Radius = distance to the nearest singularity รัศมีคือระยะถึงจุดเอกฐานที่ใกล้ที่สุด f วิเคราะห์ใน ∣ z − a ∣ < ρ และมีจุดเอกฐานบน ∣ z − a ∣ = ρ ⇒ R = ρ f \text{ วิเคราะห์ใน } |z - a| < \rho \text{ และมีจุดเอกฐานบน } |z - a| = \rho \ \Rightarrow\ R = \rho f วิเคราะห์ใน ∣ z − a ∣ < ρ และมีจุดเอกฐานบน ∣ z − a ∣ = ρ ⇒ R = ρ P10 Uniqueness ความเป็นหนึ่งเดียว ∑ c n ( x − a ) n = ∑ d n ( x − a ) n ใกล้ a ⇒ c n = d n = f ( n ) ( a ) n ! \sum c_n (x-a)^n = \sum d_n (x-a)^n \text{ ใกล้ } a \Rightarrow c_n = d_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!} ∑ c n ( x − a ) n = ∑ d n ( x − a ) n ใกล้ a ⇒ c n = d n = n ! f ( n ) ( a ) P11 Abel's theorem ทฤษฎีบทของอาเบล ∑ c n R n ลู่เข้า ⇒ lim x → R − ∑ c n x n = ∑ c n R n \sum c_n R^n \text{ ลู่เข้า} \Rightarrow \lim_{x\to R^-}\sum c_n x^n = \sum c_n R^n ∑ c n R n ลู่เข้า ⇒ x → R − lim ∑ c n x n = ∑ c n R n P12 Uniform convergence ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ ∣ x − a ∣ ≤ r < R : ∣ c n ( x − a ) n ∣ ≤ ∣ c n ∣ r n = : M n , ∑ M n < ∞ |x - a| \le r < R:\quad |c_n(x-a)^n| \le |c_n| r^n =: M_n,\ \sum M_n < \infty ∣ x − a ∣ ≤ r < R : ∣ c n ( x − a ) n ∣ ≤ ∣ c n ∣ r n =: M n , ∑ M n < ∞ P13 Power series method วิธีอนุกรมกำลัง y = ∑ c n x n , y ′ = ∑ ( n + 1 ) c n + 1 x n , y ′ ′ = ∑ ( n + 2 ) ( n + 1 ) c n + 2 x n ⇒ เทียบสัมประสิทธิ์ของ x n y = \sum c_n x^n,\ y' = \sum (n+1)c_{n+1}x^n,\ y'' = \sum (n+2)(n+1)c_{n+2}x^n \ \Rightarrow \text{ เทียบสัมประสิทธิ์ของ } x^n y = ∑ c n x n , y ′ = ∑ ( n + 1 ) c n + 1 x n , y ′′ = ∑ ( n + 2 ) ( n + 1 ) c n + 2 x n ⇒ เทียบสัมประสิทธิ์ของ x n P14 Bessel function J₀ ฟังก์ชันเบสเซล x 2 y ′ ′ + x y ′ + x 2 y = 0 : J 0 ( x ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( k ! ) 2 ( x 2 ) 2 k , R = ∞ x^2y'' + xy' + x^2y = 0:\quad J_0(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k},\ R = \infty x 2 y ′′ + x y ′ + x 2 y = 0 : J 0 ( x ) = k = 0 ∑ ∞ ( k ! ) 2 ( − 1 ) k ( 2 x ) 2 k , R = ∞ Y1 Taylor series อนุกรมเทย์เลอร์ f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots f ( x ) = n = 0 ∑ ∞ n ! f ( n ) ( a ) ( x − a ) n = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + 2 ! f ′′ ( a ) ( x − a ) 2 + ⋯ Y2 Maclaurin series อนุกรมแมคลอริน f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n f ( x ) = n = 0 ∑ ∞ n ! f ( n ) ( 0 ) x n Y3 Taylor polynomial พหุนามเทย์เลอร์ดีกรี n P n ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k , P 1 = การประมาณเชิงเส้น P_n(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k,\qquad P_1 = \text{การประมาณเชิงเส้น} P n ( x ) = k = 0 ∑ n k ! f ( k ) ( a ) ( x − a ) k , P 1 = การประมาณเชิงเส้น Y4 Exponential เอกซ์โพเนนเชียล e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ , R = ∞ e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,\quad R = \infty e x = n = 0 ∑ ∞ n ! x n = 1 + x + 2 ! x 2 + 3 ! x 3 + ⋯ , R = ∞ Y5 Sine ไซน์ sin x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ , R = ∞ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots,\quad R = \infty sin x = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 )! ( − 1 ) n x 2 n + 1 = x − 3 ! x 3 + 5 ! x 5 − ⋯ , R = ∞ Y6 Cosine โคไซน์ cos x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ , R = ∞ \cos x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots,\quad R = \infty cos x = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! ( − 1 ) n x 2 n = 1 − 2 ! x 2 + 4 ! x 4 − ⋯ , R = ∞ Y7 Geometric เรขาคณิต 1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + ⋯ , ∣ x ∣ < 1 \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n = 1 + x + x^2 + \cdots,\quad |x| < 1 1 − x 1 = n = 0 ∑ ∞ x n = 1 + x + x 2 + ⋯ , ∣ x ∣ < 1 Y8 Logarithm ลอการิทึม ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n n = x − x 2 2 + x 3 3 − ⋯ , − 1 < x ≤ 1 \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots,\quad -1 < x \le 1 ln ( 1 + x ) = n = 1 ∑ ∞ n ( − 1 ) n + 1 x n = x − 2 x 2 + 3 x 3 − ⋯ , − 1 < x ≤ 1 Y9 Arctangent อาร์กแทนเจนต์ arctan x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 = x − x 3 3 + x 5 5 − ⋯ , ∣ x ∣ ≤ 1 \arctan x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots,\quad |x| \le 1 arctan x = n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n x 2 n + 1 = x − 3 x 3 + 5 x 5 − ⋯ , ∣ x ∣ ≤ 1 Y10 Binomial series อนุกรมทวินาม (นิวตัน) ( 1 + x ) α = ∑ n = 0 ∞ ( α n ) x n = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + α ( α − 1 ) ( α − 2 ) 3 ! x 3 + ⋯ , ∣ x ∣ < 1 (1+x)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots,\quad |x| < 1 ( 1 + x ) α = n = 0 ∑ ∞ ( n α ) x n = 1 + αx + 2 ! α ( α − 1 ) x 2 + 3 ! α ( α − 1 ) ( α − 2 ) x 3 + ⋯ , ∣ x ∣ < 1 Y11 Hyperbolic ไฮเพอร์โบลิก sinh x = ∑ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! , cosh x = ∑ x 2 n ( 2 n ) ! \sinh x = \sum\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\qquad \cosh x = \sum\frac{x^{2n}}{(2n)!} sinh x = ∑ ( 2 n + 1 )! x 2 n + 1 , cosh x = ∑ ( 2 n )! x 2 n Y12 tan, arcsin, sec พจน์ต้นที่ควรรู้ tan x = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ , arcsin x = x + x 3 6 + 3 x 5 40 + ⋯ , sec x = 1 + x 2 2 + 5 x 4 24 + ⋯ \tan x = x + \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{2x^5}{15} + \cdots,\ \ \arcsin x = x + \tfrac{x^3}{6} + \tfrac{3x^5}{40} + \cdots,\ \ \sec x = 1 + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{5x^4}{24} + \cdots tan x = x + 3 x 3 + 15 2 x 5 + ⋯ , arcsin x = x + 6 x 3 + 40 3 x 5 + ⋯ , sec x = 1 + 2 x 2 + 24 5 x 4 + ⋯ Y13 Taylor's theorem (Lagrange remainder) ทฤษฎีบทเทย์เลอร์ เศษเหลือแบบลากรองจ์ f ( x ) = P n ( x ) + R n ( x ) , R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 , ξ ระหว่าง a , x ⇒ ∣ R n ( x ) ∣ ≤ M ( n + 1 ) ! ∣ x − a ∣ n + 1 f(x) = P_n(x) + R_n(x),\quad R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},\ \xi \text{ ระหว่าง } a,\ x \ \Rightarrow\ |R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1} f ( x ) = P n ( x ) + R n ( x ) , R n ( x ) = ( n + 1 )! f ( n + 1 ) ( ξ ) ( x − a ) n + 1 , ξ ระหว่าง a , x ⇒ ∣ R n ( x ) ∣ ≤ ( n + 1 )! M ∣ x − a ∣ n + 1 Y14 Integral remainder เศษเหลือรูปอินทิกรัล R n ( x ) = 1 n ! ∫ a x f ( n + 1 ) ( t ) ( x − t ) n d t R_n(x) = \frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t)\,(x-t)^n\,dt R n ( x ) = n ! 1 ∫ a x f ( n + 1 ) ( t ) ( x − t ) n d t Y15 Alternating shortcut ทางลัดอนุกรมสลับ อนุกรมสลับที่ผ่านไลบ์นิซ: ∣ R ∣ ≤ ∣ พจน์แรกที่ตัดทิ้ง ∣ \text{อนุกรมสลับที่ผ่านไลบ์นิซ:}\ |R| \le |\text{พจน์แรกที่ตัดทิ้ง}| อนุกรมสลับที่ผ่านไลบ์นิซ : ∣ R ∣ ≤ ∣ พจน์แรกที่ตัดทิ้ง ∣ Y16 Substitution แทนค่า e − x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n n ! = 1 − x 2 + x 4 2 − ⋯ e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \cdots e − x 2 = n = 0 ∑ ∞ n ! ( − 1 ) n x 2 n = 1 − x 2 + 2 x 4 − ⋯ Y17 Multiply & divide คูณและหาร e x sin x = x + x 2 + x 3 3 − x 5 30 + ⋯ , tan x = sin x cos x = x + x 3 3 + ⋯ e^x\sin x = x + x^2 + \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{30} + \cdots,\qquad \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = x + \frac{x^3}{3} + \cdots e x sin x = x + x 2 + 3 x 3 − 30 x 5 + ⋯ , tan x = cos x sin x = x + 3 x 3 + ⋯ Y18 Integrate term by term อินทิกรัลทีละพจน์ ∫ 0 1 e − x 2 d x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! ( 2 n + 1 ) = 1 − 1 3 + 1 10 − 1 42 + ⋯ \int_0^1 e^{-x^2}dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!\,(2n+1)} = 1 - \frac13 + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \cdots ∫ 0 1 e − x 2 d x = n = 0 ∑ ∞ n ! ( 2 n + 1 ) ( − 1 ) n = 1 − 3 1 + 10 1 − 42 1 + ⋯ Y19 Composition ฟังก์ชันประกอบ e sin x = 1 + x + x 2 2 − x 4 8 − x 5 15 + ⋯ e^{\sin x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{8} - \frac{x^5}{15} + \cdots e s i n x = 1 + x + 2 x 2 − 8 x 4 − 15 x 5 + ⋯ Y20 Euler's formula สูตรออยเลอร์ e j θ = ∑ ( j θ ) n n ! = ( 1 − θ 2 2 ! + θ 4 4 ! − ⋯ ) ⏟ cos θ + j ( θ − θ 3 3 ! + ⋯ ) ⏟ sin θ e^{j\theta} = \sum\frac{(j\theta)^n}{n!} = \underbrace{\left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\right)}_{\cos\theta} + j\underbrace{\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \cdots\right)}_{\sin\theta} e j θ = ∑ n ! ( j θ ) n = c o s θ ( 1 − 2 ! θ 2 + 4 ! θ 4 − ⋯ ) + j s i n θ ( θ − 3 ! θ 3 + ⋯ ) Y21 Analytic function ฟังก์ชันวิเคราะห์ f วิเคราะห์ที่ a ⟺ f ( x ) = ∑ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n ในบางช่วงรอบ a f \text{ วิเคราะห์ที่ } a \iff f(x) = \sum\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \text{ ในบางช่วงรอบ } a f วิเคราะห์ที่ a ⟺ f ( x ) = ∑ n ! f ( n ) ( a ) ( x − a ) n ในบางช่วงรอบ a Y22 Smooth but not analytic เรียบแต่ไม่วิเคราะห์ f ( x ) = { e − 1 / x 2 x ≠ 0 0 x = 0 , f ( n ) ( 0 ) = 0 ∀ n f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2} & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases},\quad f^{(n)}(0) = 0\ \forall n f ( x ) = { e − 1/ x 2 0 x = 0 x = 0 , f ( n ) ( 0 ) = 0 ∀ n Y23 Two-variable Taylor expansion เทย์เลอร์สองตัวแปร f ( a + h , b + k ) ≈ f + f x h + f y k + 1 2 ( f x x h 2 + 2 f x y h k + f y y k 2 ) f(a+h, b+k) \approx f + f_x h + f_y k + \tfrac12\left(f_{xx}h^2 + 2f_{xy}hk + f_{yy}k^2\right) f ( a + h , b + k ) ≈ f + f x h + f y k + 2 1 ( f xx h 2 + 2 f x y hk + f yy k 2 ) L1 Laurent series อนุกรมโลรองต์ f ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ a n ( z − c ) n = ∑ n = 1 ∞ a − n ( z − c ) n ⏟ ส่วนหลัก (principal part) + ∑ n = 0 ∞ a n ( z − c ) n ⏟ ส่วนวิเคราะห์ (analytic part) f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - c)^n = \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-c)^n}}_{\text{ส่วนหลัก (principal part)}} + \underbrace{\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-c)^n}_{\text{ส่วนวิเคราะห์ (analytic part)}} f ( z ) = n = − ∞ ∑ ∞ a n ( z − c ) n = ส่วนหลัก (principal part) n = 1 ∑ ∞ ( z − c ) n a − n + ส่วนวิเคราะห์ (analytic part) n = 0 ∑ ∞ a n ( z − c ) n L2 Laurent's theorem ทฤษฎีบทโลรองต์ f วิเคราะห์ใน r 1 < ∣ z − c ∣ < r 2 ⇒ f ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ a n ( z − c ) n แบบเดียว , a n = 1 2 π i ∮ ∣ z − c ∣ = ρ f ( z ) ( z − c ) n + 1 d z f \text{ วิเคราะห์ใน } r_1 < |z - c| < r_2 \ \Rightarrow\ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-c)^n \text{ แบบเดียว},\quad a_n = \frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-c|=\rho}\frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}}\,dz f วิเคราะห์ใน r 1 < ∣ z − c ∣ < r 2 ⇒ f ( z ) = n = − ∞ ∑ ∞ a n ( z − c ) n แบบเดียว , a n = 2 πi 1 ∮ ∣ z − c ∣ = ρ ( z − c ) n + 1 f ( z ) d z L3 1/(z − p) inside and outside กระจาย 1/(z − p) สองแบบ ∣ z ∣ < ∣ p ∣ : 1 z − p = − 1 p ⋅ 1 1 − z / p = − ∑ n = 0 ∞ z n p n + 1 ; ∣ z ∣ > ∣ p ∣ : 1 z − p = 1 z ⋅ 1 1 − p / z = ∑ n = 0 ∞ p n z n + 1 |z| < |p|:\ \frac{1}{z-p} = -\frac1p\cdot\frac{1}{1 - z/p} = -\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{p^{n+1}};\qquad |z| > |p|:\ \frac{1}{z-p} = \frac1z\cdot\frac{1}{1 - p/z} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{p^n}{z^{n+1}} ∣ z ∣ < ∣ p ∣ : z − p 1 = − p 1 ⋅ 1 − z / p 1 = − n = 0 ∑ ∞ p n + 1 z n ; ∣ z ∣ > ∣ p ∣ : z − p 1 = z 1 ⋅ 1 − p / z 1 = n = 0 ∑ ∞ z n + 1 p n L4 Removable singularity จุดเอกฐานที่ถอดได้ a − n = 0 ∀ n ≥ 1 ⟺ lim z → c f ( z ) มีค่าจำกัด a_{-n} = 0\ \forall n \ge 1 \iff \lim_{z\to c} f(z) \text{ มีค่าจำกัด} a − n = 0 ∀ n ≥ 1 ⟺ z → c lim f ( z ) มีค่าจำกัด L5 Pole of order m โพลอันดับ m a − m ≠ 0 , a − n = 0 ( n > m ) ⟺ ( z − c ) m f ( z ) วิเคราะห์และไม่เป็นศูนย์ที่ c a_{-m} \ne 0,\ a_{-n} = 0\ (n > m) \iff (z-c)^m f(z) \text{ วิเคราะห์และไม่เป็นศูนย์ที่ } c a − m = 0 , a − n = 0 ( n > m ) ⟺ ( z − c ) m f ( z ) วิเคราะห์และไม่เป็นศูนย์ที่ c L6 Essential singularity จุดเอกฐานแท้ a − n ≠ 0 สำหรับ n จำนวนอนันต์ a_{-n} \ne 0 \text{ สำหรับ } n \text{ จำนวนอนันต์} a − n = 0 สำหรับ n จำนวนอนันต์ L7 Residue เรซิดิว Res z = c f = a − 1 = 1 2 π i ∮ ∣ z − c ∣ = ρ f ( z ) d z \operatorname{Res}_{z=c} f = a_{-1} = \frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-c|=\rho} f(z)\,dz Res z = c f = a − 1 = 2 πi 1 ∮ ∣ z − c ∣ = ρ f ( z ) d z L8 Residue formulas สูตรหาเรซิดิว โพลอย่างง่าย: lim z → c ( z − c ) f ( z ) = g ( c ) h ′ ( c ) ( f = g h ) ; อันดับ m : 1 ( m − 1 ) ! lim z → c d m − 1 d z m − 1 [ ( z − c ) m f ( z ) ] \text{โพลอย่างง่าย: } \lim_{z\to c}(z-c)f(z) = \frac{g(c)}{h'(c)}\ \left(f = \tfrac{g}{h}\right);\qquad \text{อันดับ } m:\ \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to c}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\Big[(z-c)^m f(z)\Big] โพลอย่างง่าย : z → c lim ( z − c ) f ( z ) = h ′ ( c ) g ( c ) ( f = h g ) ; อันดับ m : ( m − 1 )! 1 z → c lim d z m − 1 d m − 1 [ ( z − c ) m f ( z ) ] L9 Residue theorem ทฤษฎีบทเรซิดิว ∮ C f ( z ) d z = 2 π i ∑ k Res z = z k f ( z k อยู่ภายใน C , C วนทวนเข็มนาฬิกา ) \oint_C f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{k}\operatorname{Res}_{z=z_k} f \qquad (z_k \text{ อยู่ภายใน } C,\ C \text{ วนทวนเข็มนาฬิกา}) ∮ C f ( z ) d z = 2 πi k ∑ Res z = z k f ( z k อยู่ภายใน C , C วนทวนเข็มนาฬิกา ) L10 Z-transform = Laurent series การแปลง Z คืออนุกรมโลรองต์ X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n , ROC = { r 1 < ∣ z ∣ < r 2 } , x [ n ] = 1 2 π i ∮ X ( z ) z n − 1 d z X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n},\qquad \text{ROC} = \{ r_1 < |z| < r_2 \},\qquad x[n] = \frac{1}{2\pi i}\oint X(z)\,z^{n-1}\,dz X ( z ) = n = − ∞ ∑ ∞ x [ n ] z − n , ROC = { r 1 < ∣ z ∣ < r 2 } , x [ n ] = 2 πi 1 ∮ X ( z ) z n − 1 d z L11 The basic pair คู่พื้นฐาน a n u [ n ] ⟷ z z − a , ∣ z ∣ > ∣ a ∣ ; − a n u [ − n − 1 ] ⟷ z z − a , ∣ z ∣ < ∣ a ∣ a^n u[n] \longleftrightarrow \frac{z}{z-a},\ |z| > |a|;\qquad -a^n u[-n-1] \longleftrightarrow \frac{z}{z-a},\ |z| < |a| a n u [ n ] ⟷ z − a z , ∣ z ∣ > ∣ a ∣ ; − a n u [ − n − 1 ] ⟷ z − a z , ∣ z ∣ < ∣ a ∣ L12 Stability = absolute convergence เสถียรภาพคือการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ BIBO เสถียร ⟺ ∑ n ∣ h [ n ] ∣ < ∞ ⟺ ∣ z ∣ = 1 ⊂ ROC \text{BIBO เสถียร} \iff \sum_{n}|h[n]| < \infty \iff |z| = 1 \subset \text{ROC} BIBO เสถียร ⟺ n ∑ ∣ h [ n ] ∣ < ∞ ⟺ ∣ z ∣ = 1 ⊂ ROC L13 Inverse Laplace by residues อินเวอร์สลาปลาซด้วยเรซิดิว f ( t ) = 1 2 π i ∫ γ − i ∞ γ + i ∞ F ( s ) e s t d s = ∑ โพล s k Res s = s k [ F ( s ) e s t ] , t > 0 f(t) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty}F(s)e^{st}\,ds = \sum_{\text{โพล } s_k}\operatorname{Res}_{s=s_k}\left[F(s)\,e^{st}\right],\quad t > 0 f ( t ) = 2 πi 1 ∫ γ − i ∞ γ + i ∞ F ( s ) e s t d s = โพล s k ∑ Res s = s k [ F ( s ) e s t ] , t > 0 E1 Small-angle approximations การประมาณมุมเล็ก sin θ ≈ θ − θ 3 6 , tan θ ≈ θ + θ 3 3 , cos θ ≈ 1 − θ 2 2 ; θ − sin θ sin θ ≈ θ 2 6 \sin\theta \approx \theta - \frac{\theta^3}{6},\quad \tan\theta \approx \theta + \frac{\theta^3}{3},\quad \cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2};\qquad \frac{\theta - \sin\theta}{\sin\theta} \approx \frac{\theta^2}{6} sin θ ≈ θ − 6 θ 3 , tan θ ≈ θ + 3 θ 3 , cos θ ≈ 1 − 2 θ 2 ; sin θ θ − sin θ ≈ 6 θ 2 E2 Pendulum period, any amplitude คาบลูกตุ้มทุกมุม T T 0 = 2 π K ( sin θ 0 2 ) = 1 + θ 0 2 16 + 11 θ 0 4 3072 + 173 θ 0 6 737280 + ⋯ \frac{T}{T_0} = \frac{2}{\pi}K\!\left(\sin\frac{\theta_0}{2}\right) = 1 + \frac{\theta_0^2}{16} + \frac{11\,\theta_0^4}{3072} + \frac{173\,\theta_0^6}{737280} + \cdots T 0 T = π 2 K ( sin 2 θ 0 ) = 1 + 16 θ 0 2 + 3072 11 θ 0 4 + 737280 173 θ 0 6 + ⋯ E3 Diode small-signal model แบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอด i D = I S e v D / V T ⇒ Δ i = I D ( e Δ v / V T − 1 ) = I D ( Δ v V T + Δ v 2 2 V T 2 + ⋯ ) , g m = I D V T , r d = V T I D i_D = I_S e^{v_D/V_T} \Rightarrow \Delta i = I_D\left(e^{\Delta v/V_T} - 1\right) = I_D\left(\frac{\Delta v}{V_T} + \frac{\Delta v^2}{2V_T^2} + \cdots\right),\quad g_m = \frac{I_D}{V_T},\ r_d = \frac{V_T}{I_D} i D = I S e v D / V T ⇒ Δ i = I D ( e Δ v / V T − 1 ) = I D ( V T Δ v + 2 V T 2 Δ v 2 + ⋯ ) , g m = V T I D , r d = I D V T E4 Second-harmonic distortion ความเพี้ยนฮาร์มอนิกที่สอง Δ v = V p cos ω t ⇒ I D V p 2 2 V T 2 cos 2 ω t = I D V p 2 4 V T 2 ( 1 + cos 2 ω t ) \Delta v = V_p\cos\omega t \Rightarrow \frac{I_D V_p^2}{2V_T^2}\cos^2\omega t = \frac{I_D V_p^2}{4V_T^2}(1 + \cos 2\omega t) Δ v = V p cos ω t ⇒ 2 V T 2 I D V p 2 cos 2 ω t = 4 V T 2 I D V p 2 ( 1 + cos 2 ω t ) E5 Horner's method วิธีของฮอร์เนอร์ sin x ≈ x ( 1 + x 2 ( − 1 3 ! + x 2 ( 1 5 ! + x 2 ( − 1 7 ! + ⋯ ) ) ) ) \sin x \approx x\left(1 + x^2\left(-\tfrac{1}{3!} + x^2\left(\tfrac{1}{5!} + x^2\left(-\tfrac{1}{7!} + \cdots\right)\right)\right)\right) sin x ≈ x ( 1 + x 2 ( − 3 ! 1 + x 2 ( 5 ! 1 + x 2 ( − 7 ! 1 + ⋯ ) ) ) ) E6 Range reduction การลดช่วง sin x = sin ( π − x ) , sin ( x + 2 π k ) = sin x ; e x = 2 k e r , ∣ r ∣ ≤ ln 2 2 \sin x = \sin(\pi - x),\ \ \sin(x + 2\pi k) = \sin x;\qquad e^x = 2^k e^r,\ \ |r| \le \tfrac{\ln 2}{2} sin x = sin ( π − x ) , sin ( x + 2 πk ) = sin x ; e x = 2 k e r , ∣ r ∣ ≤ 2 l n 2 E7 First-order IIR filter ตัวกรองดิจิทัลอันดับหนึ่ง y [ n ] = a y [ n − 1 ] + ( 1 − a ) x [ n ] : h [ n ] = ( 1 − a ) a n u [ n ] , s [ n ] = ∑ k = 0 n h [ k ] = 1 − a n + 1 , H ( z ) = 1 − a 1 − a z − 1 , ∣ z ∣ > ∣ a ∣ y[n] = a\,y[n-1] + (1-a)\,x[n]:\quad h[n] = (1-a)a^n u[n],\quad s[n] = \sum_{k=0}^{n} h[k] = 1 - a^{n+1},\quad H(z) = \frac{1-a}{1 - az^{-1}},\ |z| > |a| y [ n ] = a y [ n − 1 ] + ( 1 − a ) x [ n ] : h [ n ] = ( 1 − a ) a n u [ n ] , s [ n ] = k = 0 ∑ n h [ k ] = 1 − a n + 1 , H ( z ) = 1 − a z − 1 1 − a , ∣ z ∣ > ∣ a ∣ E8 Infinite resistor ladder บันไดตัวต้านทานอนันต์ R n + 1 = R + R R n R + R n , R ∞ = R + R R ∞ R + R ∞ ⇒ R ∞ = 1 + 5 2 R ≈ 1.618 R R_{n+1} = R + \frac{R\,R_n}{R + R_n},\quad R_\infty = R + \frac{R\,R_\infty}{R + R_\infty} \Rightarrow R_\infty = \frac{1 + \sqrt5}{2}R \approx 1.618R R n + 1 = R + R + R n R R n , R ∞ = R + R + R ∞ R R ∞ ⇒ R ∞ = 2 1 + 5 R ≈ 1.618 R E9 Present value of an annuity มูลค่าปัจจุบันของรายรับคงที่ P V = ∑ k = 1 n A ( 1 + i ) k = A 1 − ( 1 + i ) − n i , n → ∞ : P V = A i PV = \sum_{k=1}^{n}\frac{A}{(1+i)^k} = A\,\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i},\qquad n \to \infty:\ PV = \frac{A}{i} P V = k = 1 ∑ n ( 1 + i ) k A = A i 1 − ( 1 + i ) − n , n → ∞ : P V = i A E10 Linear error propagation การแพร่ความคลาดเคลื่อนเชิงเส้น Δ f ≈ f ′ ( x ) Δ x , f = C x k ⇒ Δ f f ≈ k Δ x x \Delta f \approx f'(x)\,\Delta x,\qquad f = Cx^k \Rightarrow \frac{\Delta f}{f} \approx k\frac{\Delta x}{x} Δ f ≈ f ′ ( x ) Δ x , f = C x k ⇒ f Δ f ≈ k x Δ x E11 Early-time RC response ช่วงแรกของวงจร RC v C = V ( 1 − e − t / τ ) = V ( t τ − t 2 2 τ 2 + ⋯ ) ≈ V τ t v_C = V\left(1 - e^{-t/\tau}\right) = V\left(\frac{t}{\tau} - \frac{t^2}{2\tau^2} + \cdots\right) \approx \frac{V}{\tau}t v C = V ( 1 − e − t / τ ) = V ( τ t − 2 τ 2 t 2 + ⋯ ) ≈ τ V t C1 Arithmetic progression ลำดับและอนุกรมเลขคณิต a n = a 1 + ( n − 1 ) d S n = n 2 ( a 1 + a n ) = n 2 [ 2 a 1 + ( n − 1 ) d ] \begin{gathered} a_n = a_1 + (n-1)d \\ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}\big[2a_1 + (n-1)d\big] \end{gathered} a n = a 1 + ( n − 1 ) d S n = 2 n ( a 1 + a n ) = 2 n [ 2 a 1 + ( n − 1 ) d ] C2 Geometric progression ลำดับและอนุกรมเรขาคณิต a n = a 1 r n − 1 S n = a 1 ( 1 − r n ) 1 − r = a 1 − a n r 1 − r ( r ≠ 1 ) S ∞ = a 1 1 − r ( ∣ r ∣ < 1 ) \begin{gathered} a_n = a_1 r^{n-1} \\ S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{a_1 - a_n r}{1 - r}\ (r \ne 1) \\ S_\infty = \frac{a_1}{1-r}\ (|r| < 1) \end{gathered} a n = a 1 r n − 1 S n = 1 − r a 1 ( 1 − r n ) = 1 − r a 1 − a n r ( r = 1 ) S ∞ = 1 − r a 1 ( ∣ r ∣ < 1 ) C3 Inserting means แทรกค่าเฉลี่ย k จำนวนระหว่าง a กับ b d = b − a k + 1 r = ( b a ) 1 k + 1 ฮาร์มอนิก: 1 a , … , 1 b เป็นเลขคณิต \begin{gathered} d = \frac{b - a}{k + 1} \\ r = \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{k+1}} \\ \text{ฮาร์มอนิก: } \frac1a, \dots, \frac1b \text{ เป็นเลขคณิต} \end{gathered} d = k + 1 b − a r = ( a b ) k + 1 1 ฮาร์มอนิก : a 1 , … , b 1 เป็นเลขคณิต C4 Power sums (Faulhaber) สูตรผลบวกกำลัง ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2 ∑ k = 1 n k 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 ∑ k = 1 n k 3 = [ n ( n + 1 ) 2 ] 2 \begin{gathered} \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \\ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 \end{gathered} k = 1 ∑ n k = 2 n ( n + 1 ) k = 1 ∑ n k 2 = 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) k = 1 ∑ n k 3 = [ 2 n ( n + 1 ) ] 2 C5 Linearity & index shift สมบัติเชิงเส้นและการเลื่อนดัชนี ∑ ( α f + β g ) = α ∑ f + β ∑ g ∑ k = m n f ( k ) = ∑ k = 1 n f ( k ) − ∑ k = 1 m − 1 f ( k ) \begin{gathered} \sum (\alpha f + \beta g) = \alpha\sum f + \beta \sum g \\ \sum_{k=m}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} f(k) - \sum_{k=1}^{m-1} f(k) \end{gathered} ∑ ( α f + β g ) = α ∑ f + β ∑ g k = m ∑ n f ( k ) = k = 1 ∑ n f ( k ) − k = 1 ∑ m − 1 f ( k ) C6 Telescoping กล้องส่องทางไกล ∑ k = 1 n [ g ( k ) − g ( k + 1 ) ] = g ( 1 ) − g ( n + 1 ) 1 k ( k + m ) = 1 m ( 1 k − 1 k + m ) \begin{gathered} \sum_{k=1}^{n} \big[g(k) - g(k+1)\big] = g(1) - g(n+1) \\ \frac{1}{k(k+m)} = \frac1m\left(\frac1k - \frac{1}{k+m}\right) \end{gathered} k = 1 ∑ n [ g ( k ) − g ( k + 1 ) ] = g ( 1 ) − g ( n + 1 ) k ( k + m ) 1 = m 1 ( k 1 − k + m 1 ) C7 Arithmetico-geometric อนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิต ∑ k = 1 ∞ k r k = r ( 1 − r ) 2 ( ∣ r ∣ < 1 ) ∑ k = 1 n P ( k ) r k = Q ( n ) r n − Q ( 0 ) \begin{gathered} \sum_{k=1}^{\infty} k r^{k} = \frac{r}{(1-r)^2}\ (|r| < 1) \\ \sum_{k=1}^{n} P(k)r^k = Q(n)r^n - Q(0) \end{gathered} k = 1 ∑ ∞ k r k = ( 1 − r ) 2 r ( ∣ r ∣ < 1 ) k = 1 ∑ n P ( k ) r k = Q ( n ) r n − Q ( 0 ) C8 Newton forward differences สูตรผลต่างเดินหน้าของนิวตัน a n = ∑ j = 0 d Δ j a 1 ( n − 1 j ) Δ a n = a n + 1 − a n \begin{gathered} a_n = \sum_{j=0}^{d} \Delta^j a_1 \binom{n-1}{j} \\ \Delta a_n = a_{n+1} - a_n \end{gathered} a n = j = 0 ∑ d Δ j a 1 ( j n − 1 ) Δ a n = a n + 1 − a n C9 Sum from differences ผลบวก n พจน์จากตารางผลต่าง S n = ∑ k = 1 n a k = ∑ j = 0 d Δ j a 1 ( n j + 1 ) S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{j=0}^{d} \Delta^j a_1 \binom{n}{j+1} S n = k = 1 ∑ n a k = j = 0 ∑ d Δ j a 1 ( j + 1 n ) C10 Characteristic equation สมการลักษณะเฉพาะ a n = c 1 a n − 1 + ⋯ + c k a n − k ⇒ t k − c 1 t k − 1 − ⋯ − c k = 0 a n = ∑ i A i t i n \begin{gathered} a_n = c_1 a_{n-1} + \dots + c_k a_{n-k} \\ \Rightarrow\ t^k - c_1 t^{k-1} - \dots - c_k = 0 \\ a_n = \sum_i A_i\, t_i^{\,n} \end{gathered} a n = c 1 a n − 1 + ⋯ + c k a n − k ⇒ t k − c 1 t k − 1 − ⋯ − c k = 0 a n = i ∑ A i t i n C11 Repeated & complex roots รากซ้ำและรากเชิงซ้อน t ซ้ำ m ครั้ง ⇒ ( A 0 + A 1 n + ⋯ + A m − 1 n m − 1 ) t n t = ρ e ± i θ ⇒ ρ n ( A cos n θ + B sin n θ ) \begin{gathered} t \text{ ซ้ำ } m \text{ ครั้ง} \Rightarrow (A_0 + A_1 n + \dots + A_{m-1}n^{m-1})t^n \\ t = \rho e^{\pm i\theta} \Rightarrow \rho^n(A\cos n\theta + B\sin n\theta) \end{gathered} t ซ้ำ m ครั้ง ⇒ ( A 0 + A 1 n + ⋯ + A m − 1 n m − 1 ) t n t = ρ e ± i θ ⇒ ρ n ( A cos n θ + B sin n θ ) C12 Particular solution คำตอบเฉพาะ (เดาสัมประสิทธิ์) f ( n ) = P d ( n ) s n ⇒ a n ( p ) = n m Q d ( n ) s n \begin{gathered} f(n) = P_d(n)\,s^n \\ \Rightarrow\ a_n^{(p)} = n^m\,Q_d(n)\,s^n \end{gathered} f ( n ) = P d ( n ) s n ⇒ a n ( p ) = n m Q d ( n ) s n C13 Generating function ฟังก์ชันก่อกำเนิด G ( x ) = ∑ n ≥ 0 a n x n = N ( x ) 1 − c 1 x − ⋯ − c k x k ฟีโบนัชชี: x 1 − x − x 2 \begin{gathered} G(x) = \sum_{n\ge0} a_n x^n = \frac{N(x)}{1 - c_1x - \dots - c_kx^k} \\ \text{ฟีโบนัชชี: } \frac{x}{1 - x - x^2} \end{gathered} G ( x ) = n ≥ 0 ∑ a n x n = 1 − c 1 x − ⋯ − c k x k N ( x ) ฟีโบนัชชี : 1 − x − x 2 x C14 Euler–Maclaurin สูตรออยเลอร์–แมคลอริน ∑ k = M N f ( k ) = ∫ M N f d x + f ( M ) + f ( N ) 2 + ∑ j = 1 p B 2 j ( 2 j ) ! ( f ( 2 j − 1 ) ( N ) − f ( 2 j − 1 ) ( M ) ) + R p \begin{aligned} \sum_{k=M}^{N} f(k) &= \int_M^N f\,dx + \tfrac{f(M) + f(N)}{2} \\ &\quad + \sum_{j=1}^{p} \tfrac{B_{2j}}{(2j)!}\Big(f^{(2j-1)}(N) - f^{(2j-1)}(M)\Big) \\ &\quad + R_p \end{aligned} k = M ∑ N f ( k ) = ∫ M N f d x + 2 f ( M ) + f ( N ) + j = 1 ∑ p ( 2 j )! B 2 j ( f ( 2 j − 1 ) ( N ) − f ( 2 j − 1 ) ( M ) ) + R p C15 Harmonic numbers จำนวนฮาร์มอนิก H n = ∑ k = 1 n 1 k = ln n + γ + 1 2 n − 1 12 n 2 + ⋯ γ ≈ 0.5772156649 \begin{gathered} H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac1k = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12n^2} + \cdots \\ \gamma \approx 0.5772156649 \end{gathered} H n = k = 1 ∑ n k 1 = ln n + γ + 2 n 1 − 12 n 2 1 + ⋯ γ ≈ 0.5772156649 C16 Repeating decimal ทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน 0. b 1 … b L c 1 … c p ‾ = b 1 … b L c 1 … c p ‾ − b 1 … b L ‾ 9 ⋯ 9 ⏟ p 0 ⋯ 0 ⏟ L 0.b_1\dots b_L\overline{c_1\dots c_p} = \frac{\overline{b_1\dots b_Lc_1\dots c_p} - \overline{b_1\dots b_L}}{\underbrace{9\cdots9}_{p}\underbrace{0\cdots0}_{L}} 0. b 1 … b L c 1 … c p = p 9 ⋯ 9 L 0 ⋯ 0 b 1 … b L c 1 … c p − b 1 … b L C17 Annuities เงินฝากรายงวดและค่างวดเงินกู้ F V = P ( 1 + i ) n − 1 i R = P V ⋅ i 1 − ( 1 + i ) − n \begin{gathered} FV = P\,\frac{(1+i)^n - 1}{i} \\ R = \frac{PV\cdot i}{1 - (1+i)^{-n}} \end{gathered} F V = P i ( 1 + i ) n − 1 R = 1 − ( 1 + i ) − n P V ⋅ i N1 Principle of strong induction หลักอุปนัยแบบเข้ม P ( n 0 ) ∧ [ ∀ n > n 0 : ( P ( n 0 ) ∧ ⋯ ∧ P ( n − 1 ) ) ⇒ P ( n ) ] ⟹ ∀ n ≥ n 0 : P ( n ) \begin{gathered} P(n_0) \\ \wedge\ \Big[\forall n > n_0:\ \big(P(n_0) \wedge \dots \wedge P(n-1)\big) \Rightarrow P(n)\Big] \\ \Longrightarrow\ \forall n \ge n_0:\ P(n) \end{gathered} P ( n 0 ) ∧ [ ∀ n > n 0 : ( P ( n 0 ) ∧ ⋯ ∧ P ( n − 1 ) ) ⇒ P ( n ) ] ⟹ ∀ n ≥ n 0 : P ( n ) N2 Equivalence อุปนัยธรรมดา ⇔ แบบเข้ม ⇔ หลักการจัดอันดับดี Q ( n ) : = P ( n 0 ) ∧ P ( n 0 + 1 ) ∧ ⋯ ∧ P ( n ) แบบเข้มบน P ≡ แบบธรรมดาบน Q \begin{gathered} Q(n) := P(n_0) \wedge P(n_0 + 1) \wedge \dots \wedge P(n) \\ \text{แบบเข้มบน } P \ \equiv\ \text{แบบธรรมดาบน } Q \end{gathered} Q ( n ) := P ( n 0 ) ∧ P ( n 0 + 1 ) ∧ ⋯ ∧ P ( n ) แบบเข้มบน P ≡ แบบธรรมดาบน Q N3 How many base cases กฎจำนวนกรณีฐาน P ( n ) ⇐ P ( n − s 1 ) , … , P ( n − s m ) ⇒ กรณีฐาน max i s i ตัวติดกัน \begin{gathered} P(n) \Leftarrow P(n - s_1), \dots, P(n - s_m) \\ \Rightarrow\ \text{กรณีฐาน } \max_i s_i \text{ ตัวติดกัน} \end{gathered} P ( n ) ⇐ P ( n − s 1 ) , … , P ( n − s m ) ⇒ กรณีฐาน i max s i ตัวติดกัน N4 Frobenius number ราคาใหญ่สุดที่รวมไม่ได้ (สองชนิด) gcd ( a , b ) = 1 ⇒ g ( a , b ) = a b − a − b # { ราคาที่รวมไม่ได้ } = ( a − 1 ) ( b − 1 ) 2 \begin{gathered} \gcd(a, b) = 1 \ \Rightarrow\ g(a, b) = ab - a - b \\ \#\{\text{ราคาที่รวมไม่ได้}\} = \frac{(a-1)(b-1)}{2} \end{gathered} g cd( a , b ) = 1 ⇒ g ( a , b ) = ab − a − b # { ราคาที่รวมไม่ได้ } = 2 ( a − 1 ) ( b − 1 ) N5 Fundamental theorem of arithmetic ทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิต n ≥ 2 ⇒ n = p 1 e 1 p 2 e 2 ⋯ p r e r n \ge 2\ \Rightarrow\ n = p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r} n ≥ 2 ⇒ n = p 1 e 1 p 2 e 2 ⋯ p r e r N6 Fibonacci bounds & Binet ขอบเขตและสูตรของบิเนต์ φ n − 2 ≤ F n ≤ φ n − 1 ( n ≥ 1 ) F n = φ n − ψ n 5 , φ , ψ = 1 ± 5 2 \begin{gathered} \varphi^{n-2} \le F_n \le \varphi^{n-1}\ (n \ge 1) \\ F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5},\quad \varphi, \psi = \frac{1 \pm \sqrt5}{2} \end{gathered} φ n − 2 ≤ F n ≤ φ n − 1 ( n ≥ 1 ) F n = 5 φ n − ψ n , φ , ψ = 2 1 ± 5 a n ≤ c r n a_n \le cr^n a n ≤ c r n N7 Geometric bound ขอบเขต a n ≤ C r n a_n \le Cr^n a n ≤ C r n a n = ∑ i = 1 k c i a n − i , c i ≥ 0 ∑ i = 1 k c i r − i ≤ 1 , a n 0 + j ≤ C r n 0 + j ( j < k ) ⟹ a n ≤ C r n \begin{gathered} a_n = \sum_{i=1}^{k} c_i a_{n-i},\ c_i \ge 0 \\ \sum_{i=1}^{k} c_i r^{-i} \le 1,\quad a_{n_0+j} \le C r^{n_0+j}\ (j < k) \\ \Longrightarrow\ a_n \le C r^n \end{gathered} a n = i = 1 ∑ k c i a n − i , c i ≥ 0 i = 1 ∑ k c i r − i ≤ 1 , a n 0 + j ≤ C r n 0 + j ( j < k ) ⟹ a n ≤ C r n N8 Divide-and-conquer bounds ขอบเขตอัลกอริทึมแบ่งครึ่ง T ( n ) = T ( ⌊ n 2 ⌋ ) + T ( ⌈ n 2 ⌉ ) + n ⇒ T ( n ) ≤ n ⌈ log 2 n ⌉ C ( n ) = 1 + C ( ⌊ n 2 ⌋ ) ⇒ C ( n ) = ⌊ log 2 n ⌋ + 1 \begin{gathered} T(n) = T\big(\lfloor\tfrac n2\rfloor\big) + T\big(\lceil\tfrac n2\rceil\big) + n \\ \Rightarrow\ T(n) \le n\lceil\log_2 n\rceil \\ C(n) = 1 + C\big(\lfloor\tfrac n2\rfloor\big) \ \Rightarrow\ C(n) = \lfloor\log_2 n\rfloor + 1 \end{gathered} T ( n ) = T ( ⌊ 2 n ⌋ ) + T ( ⌈ 2 n ⌉ ) + n ⇒ T ( n ) ≤ n ⌈ log 2 n ⌉ C ( n ) = 1 + C ( ⌊ 2 n ⌋ ) ⇒ C ( n ) = ⌊ log 2 n ⌋ + 1 N9 Take-away games เกมหยิบ (P/N positions) n แพ้ ⟺ ทุกการหยิบนำไปสู่ตำแหน่งชนะ หยิบ { 1 , … , k } : n แพ้ ⟺ ( k + 1 ) ∣ n \begin{gathered} n \text{ แพ้} \iff \text{ทุกการหยิบนำไปสู่ตำแหน่งชนะ} \\ \text{หยิบ } \{1, \dots, k\}:\ n \text{ แพ้} \iff (k+1) \mid n \end{gathered} n แพ้ ⟺ ทุกการหยิบนำไปสู่ตำแหน่งชนะ หยิบ { 1 , … , k } : n แพ้ ⟺ ( k + 1 ) ∣ n
ไม่พบสูตรที่ตรงกัน ลองพิมพ์คำอื่น หรือใช้ภาษาอังกฤษ เช่น inverse, determinant, eigenvalue
วิธีเรียนให้ได้ผล
เห็นก่อนพิสูจน์ — เปิดแล็บดูผลบวกย่อยหรือพหุนามเทย์เลอร์ก่อนอ่านทฤษฎีบท จะเข้าใจว่าเงื่อนไขแต่ละข้อมีไว้ทำไมจำตัวเทียบให้ขึ้นใจ — อนุกรมเรขาคณิต อนุกรม p และตารางแมคลอริน 7 ตัว คือสิ่งที่ใช้เทียบทุกโจทย์เขียนเหตุผลครบ — ข้อสอบให้คะแนนที่การระบุการทดสอบและตรวจเงื่อนไข ไม่ใช่แค่คำตอบตรวจด้วยตัวเลขทีหลัง — ใช้แล็บยืนยันคำตอบ แต่ระวังอนุกรมที่ลู่ออกช้ามากอย่าง Σ 1/(n ln n) ซึ่งตัวเลขดูเหมือนนิ่ง
เอกสารค้นคว้าต่อ
บทความอ่านง่าย: ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง (แผนที่ภาพรวม) · เลือกการทดสอบการลู่เข้าอย่างไร · รัศมีการลู่เข้าหาอย่างไร · อนุกรมโลรองต์ต่างจากเทย์เลอร์อย่างไร · สูตรอนุกรมเรขาคณิต · อนุกรมเทย์เลอร์คืออะไร · English: Sequences and series roadmap · บทเรียนต่อยอด: ลิมิต · อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ · อนุกรมฟูริเยร์ · การแปลงลาปลาซ
คำถามที่พบบ่อย ลำดับและอนุกรมในมหาวิทยาลัยต่างจาก ม.ปลายอย่างไร? ม.ปลายเน้นลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต ซิกมา และอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ซึ่งหาผลบวกได้ ส่วนแคลคูลัส 2 ในมหาวิทยาลัยเน้นคำถามว่าอนุกรมลู่เข้าหรือไม่ (การทดสอบต่าง ๆ) อนุกรมกำลัง และอนุกรมเทย์เลอร์ ส่วนคณิตศาสตร์วิศวกรรมต่อไปถึงอนุกรมโลรองต์ เรซิดิว และการแปลง Z หน้านี้จัดเส้นทางเรียนให้ทั้งสามระดับ
ควรเรียนอะไรก่อนเริ่มบทลำดับและอนุกรม? ต้องคล่องลิมิตของฟังก์ชัน (รวมกฎของโลปิตาล) อนุพันธ์และอินทิกรัลพื้นฐาน สำหรับอนุกรมโลรองต์ควรรู้จำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันวิเคราะห์ ซึ่งมีในบทลิมิต บทอนุพันธ์ บทอินทิกรัล และบทการแปลงลาปลาซของเว็บไซต์นี้
อนุกรมเทย์เลอร์และอนุกรมโลรองต์ใช้ทำอะไรในงานวิศวกรรมไฟฟ้า? อนุกรมเทย์เลอร์ใช้ทำให้ระบบไม่เชิงเส้นเป็นเชิงเส้น (แบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอด ทรานซิสเตอร์ คอนเวอร์เตอร์) ประมาณมุมเล็ก และคำนวณฟังก์ชันในไมโครคอนโทรลเลอร์ อนุกรมโลรองต์คือรากฐานของการแปลง Z (ROC คือวงแหวนการลู่เข้า) เรซิดิวใช้หาการแปลงลาปลาซผกผันและอินทิกรัลในทฤษฎีสัญญาณ
จะเลือกการทดสอบการลู่เข้าแบบไหน? เริ่มจากการทดสอบพจน์ที่ n แล้วดูรูปแบบ: เรขาคณิตและอนุกรม p ตอบได้ทันที เศษส่วนพหุนามใช้เปรียบเทียบแบบลิมิต แฟกทอเรียลหรือเลขยกกำลังใช้อัตราส่วน ยกกำลัง n ทั้งก้อนใช้ราก มี ln ใช้ปริพันธ์ เครื่องหมายสลับใช้ไลบ์นิซ ดูผังเต็มในหน้าการทดสอบการลู่เข้า
มีแบบฝึกหัดพร้อมเฉลยและเครื่องมือตรวจคำตอบไหม? มีแนวข้อสอบ 60 ข้อแบ่งสามระดับพร้อมเฉลยทีละขั้น เครื่องสุ่มโจทย์ไม่จำกัดที่ตรวจคำตอบอัตโนมัติ เกมฝึกเลือกการทดสอบ 40 ข้อ และแล็บ 12 ชุดสำหรับตรวจผลบวกย่อย รัศมีการลู่เข้า พหุนามเทย์เลอร์ และอนุกรมโลรองต์
มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ ดูโปรไฟล์
บทความอ่านง่ายเกี่ยวกับหัวข้อนี้
ดูบทความทั้งหมด →