หน้าแรก คลังความรู้ เวกเตอร์ sin · cos ไฟฟ้า AC Vectors: Forces, Fields & Phasors ดูครบทุกส่วน · 20 หน้า 1 · พื้นฐานเวกเตอร์ 2D / 3D 4 · ไฟฟ้า: สนามและเฟสเซอร์ 5 · ห้องแล็บและเครื่องมือ // เวกเตอร์ · ส่วนที่ 4 · Sine & cosine in AC circuits
sin และ cos ในไฟฟ้ากระแสสลับ: แอมพลิจูด เฟส นำหน้า-ตามหลัง และ RMS
ไฟฟ้าที่เสียบปลั๊กใช้ทุกวันเป็นคลื่นไซน์ 50 Hz ที่เกิดจากขดลวดหมุนในเครื่องกำเนิด ก่อนจะใช้เฟสเซอร์วิเคราะห์วงจรได้ ต้องอ่านคลื่นไซน์ให้คล่อง: แอมพลิจูด ความถี่ มุมเฟส การแปลงระหว่าง sin กับ cos และการบอกว่าอะไรนำหน้าหรือตามหลัง บทนี้ยังแสดงว่า A cos ω t + B sin ω t A\cos\omega t+B\sin\omega t A cos ω t + B sin ω t
สรุปใน 30 วินาที
v ( t ) = V m sin ( ω t + φ ) v(t)=V_m\sin(\omega t+\varphi) v ( t ) = V m sin ( ω t + φ ) ω = 2 π f \omega=2\pi f ω = 2 π f T = 1 / f T=1/f T = 1/ f V m = 311 V_m=311 V m = 311 sin θ = cos ( θ − 90 ∘ ) \sin\theta=\cos(\theta-90^\circ) sin θ = cos ( θ − 9 0 ∘ ) − sin θ = sin ( θ ± 180 ∘ ) -\sin\theta=\sin(\theta\pm180^\circ) − sin θ = sin ( θ ± 18 0 ∘ ) เทียบเฟสต้องใช้ฟังก์ชันเดียวกัน แอมพลิจูดบวก และความถี่เดียวกัน
A cos ω t + B sin ω t = A 2 + B 2 cos ( ω t − δ ) A\cos\omega t+B\sin\omega t=\sqrt{A^2+B^2}\cos(\omega t-\delta) A cos ω t + B sin ω t = A 2 + B 2 cos ( ω t − δ ) δ = atan2 ( B , A ) \delta=\operatorname{atan2}(B,A) δ = atan2 ( B , A )
ค้นหาสูตรในหน้านี้ โหมดฝึกทำ: ซ่อนวิธีทำ
1. ไซน์มาจากไหน: ขดลวดหมุนกับ dot product พื้นฐาน
ขดลวดพื้นที่ A หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม ω ในสนาม B ทำให้มุมระหว่างเวกเตอร์ปกติกับสนามเป็น ωt ฟลักซ์ Φ = B ⋅ A = B A cos ω t \Phi=\mathbf B\cdot\mathbf A=BA\cos\omega t Φ = B ⋅ A = B A cos ω t M6 ) และแรงดันเหนี่ยวนำ e = − N d Φ / d t = N B A ω sin ω t e=-N\,d\Phi/dt=NBA\omega\sin\omega t e = − N d Φ/ d t = NB A ω sin ω t การฉายของเวกเตอร์ที่หมุน โดยธรรมชาติ — ความคิดนี้คือหัวใจของเฟสเซอร์ในบทถัดไป
2. พารามิเตอร์ของคลื่นไซน์ พื้นฐาน
W1 General sinusoid
v ( t ) = V m sin ( ω t + φ ) , ω = 2 π f = 2 π T [ rad/s ] , T = 1 f v(t)=V_m\sin(\omega t+\varphi),\qquad \omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}\ \ [\text{rad/s}],\qquad T=\frac1f v ( t ) = V m sin ( ω t + φ ) , ω = 2 π f = T 2 π [ rad/s ] , T = f 1 V m V_m V m φ \varphi φ
ตัวอย่าง W-1 · ไฟบ้านประเทศไทย
แรงดันไฟบ้าน 220 V RMS 50 Hz มุมเฟส 0° จงหา V_m, ω, T และค่าแรงดันที่ t = 2.5 ms
V m = 220 2 = 311.1 V_m=220\sqrt2=311.1 V m = 220 2 = 311.1 ω = 2 π ( 50 ) = 314.16 \omega=2\pi(50)=314.16 ω = 2 π ( 50 ) = 314.16 T = 1 / 50 = 20 T=1/50=20 T = 1/50 = 20
ที่ t = 2.5 ms: ω t = 314.16 ( 0.0025 ) = 0.7854 \omega t=314.16(0.0025)=0.7854 ω t = 314.16 ( 0.0025 ) = 0.7854
v = 311.1 sin 45 ∘ = 220.0 v=311.1\sin45^\circ=220.0 v = 311.1 sin 4 5 ∘ = 220.0
v ( t ) = 311 sin ( 314.16 t ) v(t)=311\sin(314.16t) v ( t ) = 311 sin ( 314.16 t )
3. แปลงระหว่าง sin กับ cos และจัดการเครื่องหมายลบ พื้นฐาน
ดูจากวงกลมหนึ่งหน่วย: cos คือการฉายบนแกนนอน sin คือการฉายบนแกนตั้ง ลูกศรที่หมุนทวนเข็มจะไปถึงแกนตั้งช้ากว่าแกนนอน 90° ดังนั้น sin ตามหลัง cos อยู่ 90° (ดู สูตรตรีโกณมิติ )
W2 Conversion identities
sin θ = cos ( θ − 90 ∘ ) , cos θ = sin ( θ + 90 ∘ ) , − sin θ = sin ( θ ± 180 ∘ ) , − cos θ = cos ( θ ± 180 ∘ ) \sin\theta=\cos(\theta-90^\circ),\quad \cos\theta=\sin(\theta+90^\circ),\quad -\sin\theta=\sin(\theta\pm180^\circ),\quad -\cos\theta=\cos(\theta\pm180^\circ) sin θ = cos ( θ − 9 0 ∘ ) , cos θ = sin ( θ + 9 0 ∘ ) , − sin θ = sin ( θ ± 18 0 ∘ ) , − cos θ = cos ( θ ± 18 0 ∘ ) จำเป็นภาพ: เลื่อน ±90° สลับ sin↔cos และเลื่อน ±180° กลับเครื่องหมาย เลือกเครื่องหมายที่ทำให้มุมอยู่ในช่วง −180° ถึง 180°
ตัวอย่าง W-2 · จัดรูปให้แอมพลิจูดเป็นบวก เขียน i ( t ) = − 5 cos ( ω t + 30 ∘ ) i(t)=-5\cos(\omega t+30^\circ) i ( t ) = − 5 cos ( ω t + 3 0 ∘ )
กำจัดเครื่องหมายลบ: − cos x = cos ( x − 180 ∘ ) -\cos x=\cos(x-180^\circ) − cos x = cos ( x − 18 0 ∘ ) 5 cos ( ω t − 150 ∘ ) 5\cos(\omega t-150^\circ) 5 cos ( ω t − 15 0 ∘ )
แปลงเป็น sin: cos y = sin ( y + 90 ∘ ) \cos y=\sin(y+90^\circ) cos y = sin ( y + 9 0 ∘ ) 5 sin ( ω t − 60 ∘ ) 5\sin(\omega t-60^\circ) 5 sin ( ω t − 6 0 ∘ )
ตรวจที่ t = 0: − 5 cos 30 ∘ = − 4.330 -5\cos30^\circ=-4.330 − 5 cos 3 0 ∘ = − 4.330 5 sin ( − 60 ∘ ) = − 4.330 5\sin(-60^\circ)=-4.330 5 sin ( − 6 0 ∘ ) = − 4.330
i ( t ) = 5 sin ( ω t − 60 ∘ ) i(t)=5\sin(\omega t-60^\circ) i ( t ) = 5 sin ( ω t − 6 0 ∘ )
4. ความต่างเฟส: นำหน้าหรือตามหลัง กลาง
W3 Phase difference
v = V m sin ( ω t + φ v ) , i = I m sin ( ω t + φ i ) : Δ φ = φ v − φ i { > 0 i ตามหลัง v ( inductive ) < 0 i นำหน้า v ( capacitive ) v=V_m\sin(\omega t+\varphi_v),\ i=I_m\sin(\omega t+\varphi_i):\qquad \Delta\varphi=\varphi_v-\varphi_i\ \begin{cases}>0 & i\ \text{ตามหลัง}\ v\ (\text{inductive})\\<0 & i\ \text{นำหน้า}\ v\ (\text{capacitive})\end{cases} v = V m sin ( ω t + φ v ) , i = I m sin ( ω t + φ i ) : Δ φ = φ v − φ i { > 0 < 0 i ตามหลัง v ( inductive ) i นำหน้า v ( capacitive ) เงื่อนไขก่อนเทียบ: ความถี่เดียวกัน ฟังก์ชันเดียวกัน (sin กับ sin) แอมพลิจูดบวก และเลือก Δφ ในช่วง −180° ถึง 180°
W4 Phase from a time shift
Δ φ = ω Δ t = 360 ∘ ⋅ Δ t T \Delta\varphi=\omega\,\Delta t=360^\circ\cdot\frac{\Delta t}{T} Δ φ = ω Δ t = 36 0 ∘ ⋅ T Δ t บนสโคป วัด Δt ระหว่างจุดผ่านศูนย์ขาขึ้นของสองสัญญาณ (ดู การวัดด้วยสโคป )
ตัวอย่าง W-3 · ใครนำหน้า? v = 100 sin ( ω t + 20 ∘ ) v=100\sin(\omega t+20^\circ) v = 100 sin ( ω t + 2 0 ∘ ) i = 4 cos ( ω t − 50 ∘ ) i=4\cos(\omega t-50^\circ) i = 4 cos ( ω t − 5 0 ∘ )
แปลง i เป็น sin: 4 cos ( ω t − 50 ∘ ) = 4 sin ( ω t + 40 ∘ ) 4\cos(\omega t-50^\circ)=4\sin(\omega t+40^\circ) 4 cos ( ω t − 5 0 ∘ ) = 4 sin ( ω t + 4 0 ∘ )
Δ φ = φ v − φ i = 20 ∘ − 40 ∘ = − 20 ∘ \Delta\varphi=\varphi_v-\varphi_i=20^\circ-40^\circ=-20^\circ Δ φ = φ v − φ i = 2 0 ∘ − 4 0 ∘ = − 2 0 ∘
กระแสนำหน้าแรงดัน 20° → โหลดมีลักษณะตัวเก็บประจุ (ถ้าเทียบ cos กับ sin ตรง ๆ จะได้คำตอบผิดเป็น 70°)
ตัวอย่าง W-4 · วัดจากออสซิลโลสโคป
ที่ 50 Hz กระแสมอเตอร์ผ่านศูนย์ขาขึ้นช้ากว่าแรงดัน 1.5 ms จงหามุมเฟสและเพาเวอร์แฟกเตอร์
Δ φ = 360 ∘ ( 1.5 / 20 ) = 27 ∘ \Delta\varphi=360^\circ(1.5/20)=27^\circ Δ φ = 36 0 ∘ ( 1.5/20 ) = 2 7 ∘
PF = cos 27° = 0.891 ตามหลัง (lagging) — ต่อใน เพาเวอร์แฟกเตอร์
27° ตามหลัง · PF = 0.891
5. A cos + B sin คือเวกเตอร์ (A, B) กลาง
ขยาย C cos ( ω t − δ ) = C cos δ cos ω t + C sin δ sin ω t C\cos(\omega t-\delta)=C\cos\delta\cos\omega t+C\sin\delta\sin\omega t C cos ( ω t − δ ) = C cos δ cos ω t + C sin δ sin ω t A cos ω t + B sin ω t A\cos\omega t+B\sin\omega t A cos ω t + B sin ω t A = C cos δ A=C\cos\delta A = C cos δ B = C sin δ B=C\sin\delta B = C sin δ พื้นฐานเวกเตอร์ 2 มิติ ล้วน ๆ
W5 Combining cos and sin of the same frequency
A cos ω t + B sin ω t = C cos ( ω t − δ ) = C sin ( ω t + 90 ∘ − δ ) , C = A 2 + B 2 , δ = atan2 ( B , A ) A\cos\omega t+B\sin\omega t=C\cos(\omega t-\delta)=C\sin(\omega t+90^\circ-\delta),\qquad C=\sqrt{A^2+B^2},\quad \delta=\operatorname{atan2}(B,A) A cos ω t + B sin ω t = C cos ( ω t − δ ) = C sin ( ω t + 9 0 ∘ − δ ) , C = A 2 + B 2 , δ = atan2 ( B , A ) ใช้ atan2 เพราะ A หรือ B อาจติดลบ ผลลัพธ์นี้ใช้บ่อยมากในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ของวงจรด้วยวิธีสัมประสิทธิ์ (ก่อนรู้จักเฟสเซอร์)
ตัวอย่าง W-5 · คำตอบสภาวะคงตัวของวงจร ได้คำตอบ i ( t ) = 3 cos ω t + 4 sin ω t i(t)=3\cos\omega t+4\sin\omega t i ( t ) = 3 cos ω t + 4 sin ω t
C = 3 2 + 4 2 = 5 C=\sqrt{3^2+4^2}=5 C = 3 2 + 4 2 = 5 δ = atan2 ( 4 , 3 ) = 53.13 ∘ \delta=\operatorname{atan2}(4,3)=53.13^\circ δ = atan2 ( 4 , 3 ) = 53.1 3 ∘
i = 5 cos ( ω t − 53.13 ∘ ) = 5 sin ( ω t + 36.87 ∘ ) i=5\cos(\omega t-53.13^\circ)=5\sin(\omega t+36.87^\circ) i = 5 cos ( ω t − 53.1 3 ∘ ) = 5 sin ( ω t + 36.8 7 ∘ )
แอมพลิจูด 5 A ไม่ใช่ 7 A — ค่ายอดของผลรวมคือความยาวของเวกเตอร์ (3, 4)
6. ค่าเฉลี่ยและค่า RMS พื้นฐาน
W6 RMS value
V rms = 1 T ∫ 0 T v 2 ( t ) d t = V m 2 T ∫ 0 T sin 2 ω t d t = V m 2 V_{\text{rms}}=\sqrt{\frac1T\int_0^T v^2(t)\,dt}=\sqrt{\frac{V_m^2}{T}\int_0^T\sin^2\omega t\,dt}=\frac{V_m}{\sqrt2} V rms = T 1 ∫ 0 T v 2 ( t ) d t = T V m 2 ∫ 0 T sin 2 ω t d t = 2 V m ใช้ sin 2 x = 1 2 ( 1 − cos 2 x ) \sin^2x=\tfrac12(1-\cos2x) sin 2 x = 2 1 ( 1 − cos 2 x ) sin 2 \sin^2 sin 2 อินทิกรัล ) ใช้ได้กับไซน์เท่านั้น คลื่นที่มีฮาร์มอนิกต้องคำนวณจากนิยาม (พาร์เซวาล )
W7 Average values
1 T ∫ 0 T v d t = 0 , V avg,half = 2 V m π ≈ 0.637 V m , form factor = V rms V avg,half = 1.111 \frac1T\int_0^T v\,dt=0,\qquad V_{\text{avg,half}}=\frac{2V_m}{\pi}\approx0.637V_m,\qquad \text{form factor}=\frac{V_{\text{rms}}}{V_{\text{avg,half}}}=1.111 T 1 ∫ 0 T v d t = 0 , V avg,half = π 2 V m ≈ 0.637 V m , form factor = V avg,half V rms = 1.111 มิเตอร์ราคาถูกวัดค่าเฉลี่ยแล้วคูณ 1.111 จึงอ่านถูกเฉพาะไซน์ มิเตอร์ “True RMS” ใช้นิยาม W6
7. อนุพันธ์ของไซน์เลื่อนเฟส 90°: ทำไม L และ C ทำให้เกิดเฟส กลาง
W8 Calculus shifts phase by 90°
d d t sin ( ω t + φ ) = ω sin ( ω t + φ + 90 ∘ ) , ∫ sin ( ω t + φ ) d t = 1 ω sin ( ω t + φ − 90 ∘ ) \frac{d}{dt}\sin(\omega t+\varphi)=\omega\sin(\omega t+\varphi+90^\circ),\qquad \int\sin(\omega t+\varphi)\,dt=\frac1\omega\sin(\omega t+\varphi-90^\circ) d t d sin ( ω t + φ ) = ω sin ( ω t + φ + 9 0 ∘ ) , ∫ sin ( ω t + φ ) d t = ω 1 sin ( ω t + φ − 9 0 ∘ ) ตัวเหนี่ยวนำ v = L d i / d t v=L\,di/dt v = L d i / d t i = C d v / d t i=C\,dv/dt i = C d v / d t
ทดลองด้านล่าง: เปลี่ยนมุมเฟสของกระแส φ_i ให้ติดลบ (ตามหลัง) แล้วเลือกฟังก์ชันอ้างอิงเป็น sin หรือ cos สังเกตว่าเงาบนแกนจินตภาพคือ sin และเงาบนแกนจริงคือ cos ของลูกศรเดียวกัน
เปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ
8. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
ข้อผิดพลาด วิธีป้องกัน
เทียบเฟสระหว่าง sin กับ cos ตรง ๆ แปลงให้เป็นฟังก์ชันเดียวกันก่อนด้วย W2 เทียบเฟสเมื่อแอมพลิจูดติดลบ ย้ายเครื่องหมายลบเข้าไปในมุมด้วย ±180° ใช้องศากับเรเดียนปนกัน ωt เป็นเรเดียนเสมอ แปลง φ ให้หน่วยเดียวกันก่อนบวก ใช้ 220 V เป็นค่ายอด 220 V คือ RMS ค่ายอด 311 V (สำคัญเมื่อเลือกพิกัดแรงดันของตัวเก็บประจุและไดโอด) บวกแอมพลิจูดของไซน์ที่ต่างเฟส รวมแบบเวกเตอร์ด้วย W5 หรือเฟสเซอร์
9. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย
v = 170 sin ( 377 t − 30 ∘ ) v=170\sin(377t-30^\circ) v = 170 sin ( 377 t − 3 0 ∘ ) เขียน − 8 sin ( ω t + 120 ∘ ) -8\sin(\omega t+120^\circ) − 8 sin ( ω t + 12 0 ∘ )
v = 10 cos ( ω t + 10 ∘ ) v=10\cos(\omega t+10^\circ) v = 10 cos ( ω t + 1 0 ∘ ) i = 2 sin ( ω t + 70 ∘ ) i=2\sin(\omega t+70^\circ) i = 2 sin ( ω t + 7 0 ∘ ) รวม − 6 cos ω t + 8 sin ω t -6\cos\omega t+8\sin\omega t − 6 cos ω t + 8 sin ω t
เปิดเฉลย
f = 377/2π = 60.0 Hz, T = 16.67 ms, V_rms = 170/√2 = 120.2 V (ไฟบ้านอเมริกา)
− 8 sin ( ω t + 120 ∘ ) = 8 sin ( ω t − 60 ∘ ) = 8 cos ( ω t − 150 ∘ ) -8\sin(\omega t+120^\circ)=8\sin(\omega t-60^\circ)=8\cos(\omega t-150^\circ) − 8 sin ( ω t + 12 0 ∘ ) = 8 sin ( ω t − 6 0 ∘ ) = 8 cos ( ω t − 15 0 ∘ ) v = 10 sin(ωt + 100°) เทียบ i ที่ 70°: แรงดันนำหน้า 30° (กระแสตามหลัง — โหลดแบบเหนี่ยวนำ)
C = 10, δ = atan2(8, −6) = 126.87° → 10 cos ( ω t − 126.87 ∘ ) 10\cos(\omega t-126.87^\circ) 10 cos ( ω t − 126.8 7 ∘ )
10. สรุปสูตร
หัวข้อ สูตร
W1 รูปทั่วไปV m sin ( ω t + φ ) V_m\sin(\omega t+\varphi) V m sin ( ω t + φ ) ω = 2 π f \omega=2\pi f ω = 2 π f W2 แปลงรูป±90° สลับ sin/cos, ±180° กลับเครื่องหมาย W3 –W4 ความต่างเฟสΔ φ = φ v − φ i = 360 ∘ Δ t / T \Delta\varphi=\varphi_v-\varphi_i=360^\circ\Delta t/T Δ φ = φ v − φ i = 36 0 ∘ Δ t / T W5 รวมเป็นไซน์เดียวA 2 + B 2 cos ( ω t − atan2 ( B , A ) ) \sqrt{A^2+B^2}\cos(\omega t-\operatorname{atan2}(B,A)) A 2 + B 2 cos ( ω t − atan2 ( B , A )) W6 –W7 RMS / เฉลี่ยV m / 2 V_m/\sqrt2 V m / 2 2 V m / π 2V_m/\pi 2 V m / π W8 อนุพันธ์คูณ ω และเลื่อน +90°
11. แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ
ต่อไป: เปลี่ยนไซน์ให้เป็นลูกศรที่คำนวณง่ายใน พื้นฐานเฟสเซอร์
คำถามที่พบบ่อย sin กับ cos ต่างกันอย่างไรในไฟฟ้ากระแสสลับ? เป็นคลื่นรูปเดียวกันที่เลื่อนเฟสกัน 90° คือ sin θ = cos(θ − 90°) และ cos θ = sin(θ + 90°) หมายความว่า cos นำหน้า sin อยู่ 90° ก่อนเทียบเฟสของสองสัญญาณต้องแปลงให้อยู่ในฟังก์ชันเดียวกันและแอมพลิจูดเป็นบวกก่อนเสมอ
ไฟบ้าน 220 V มีค่ายอดเท่าไร? 220 V เป็นค่า RMS ค่ายอดคือ 220 × √2 ≈ 311 V และค่ายอดถึงยอดคือ 622 V ความถี่ 50 Hz คาบ 20 ms ความถี่เชิงมุม ω = 2π(50) ≈ 314 rad/s
บอกได้อย่างไรว่ากระแสนำหน้าหรือตามหลังแรงดัน? เขียนทั้งสองเป็น sin (หรือ cos) ที่แอมพลิจูดเป็นบวก แล้วเทียบมุมเฟส ตัวที่มุมเฟสมากกว่านำหน้า บนออสซิลโลสโคป ตัวที่ผ่านศูนย์ขาขึ้นก่อนคือตัวที่นำหน้า วงจรแบบเหนี่ยวนำกระแสตามหลัง วงจรแบบตัวเก็บประจุกระแสนำหน้า
ทำไมค่า RMS ของไซน์คือ Vm/√2? ค่า RMS คือรากที่สองของค่าเฉลี่ยของกำลังสอง ค่าเฉลี่ยของ sin² ในหนึ่งคาบเท่ากับ 1/2 จึงได้ V_rms = Vm/√2 ความหมายทางกายภาพคือแรงดันกระแสตรงที่ทำให้ตัวต้านทานร้อนเท่ากัน
มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ ดูโปรไฟล์
บทความอ่านง่ายเกี่ยวกับหัวข้อนี้
ดูบทความทั้งหมด →