หน้าแรก คลังความรู้ พีชคณิตเชิงเส้น เมทริกซ์ Linear Algebra // บทที่ 7.1 · พีชคณิตเชิงเส้น · Matrices
เมทริกซ์และการดำเนินการ (Matrices & Matrix Operations)
เมทริกซ์คือภาษากลางของวิศวกรรม ระบบสมการจากวงจรสิบลูป สมการสถานะของมอเตอร์ หรือการแปลงสามเฟส ล้วนเขียนเป็นเมทริกซ์ได้ หน้านี้รวบรวมนิยาม ชนิด และการดำเนินการทุกแบบที่ต้องใช้ ทุกสูตรมีรหัส M กำกับไว้ให้อ้างอิง ตัวอย่างทำให้ดูทีละขั้น
สรุปใน 30 วินาที
เมทริกซ์ m × n m\times n m × n m m m n n n i i i j j j a i j a_{ij} a ij
บวก ลบ ทำทีละช่อง ขนาดต้องเท่ากัน ส่วนการคูณ A B AB A B
โดยทั่วไป A B ≠ B A AB \ne BA A B = B A ( A B ) T = B T A T (AB)^T = B^TA^T ( A B ) T = B T A T
I I I A I = I A = A AI = IA = A A I = I A = A
ระดับ พื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย
ค้นหาสูตรในหน้านี้
โหมดฝึกทำ: ซ่อนวิธีทำ
เมทริกซ์คืออะไร พื้นฐาน
เมทริกซ์ (matrix) คือตัวเลขที่จัดเรียงเป็นตารางสี่เหลี่ยม มีแถว (row) เรียงตามแนวนอน และหลัก (column) เรียงตามแนวตั้ง เราบอกขนาดเป็น “จำนวนแถว × จำนวนหลัก” เสมอ ตัวอักษรใหญ่ใช้แทนทั้งเมทริกซ์ ตัวอักษรเล็กที่มีดัชนีสองตัวใช้แทนสมาชิกหนึ่งตัว
a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄
a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄
a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄
แถวที่ 2 →
หลักที่ 3 ↓
A = [aᵢⱼ]
3 × 4
m แถว × n หลัก
aᵢⱼ : i = เลขแถว (ตัวแรก) · j = เลขหลัก (ตัวหลัง)
ดัชนีตัวแรกคือแถว ตัวที่สองคือหลัก เสมอ จำว่า “แถวก่อน หลักทีหลัง” (row then column)
M1 Matrix and its entries
A = [ a i j ] m × n = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) A = [a_{ij}]_{m\times n} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} A = [ a ij ] m × n = a 11 a 21 ⋮ a m 1 a 12 a 22 ⋮ a m 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a mn ขนาด (size, order) m × n m\times n m × n 1 × n 1\times n 1 × n m × 1 m\times 1 m × 1 m = n m = n m = n a 11 , a 22 , … , a n n a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn} a 11 , a 22 , … , a nn
M2 Equality of matrices
A = B ⟺ ขนาดเท่ากัน และ a i j = b i j ทุก i , j A = B \iff \text{ขนาดเท่ากัน และ } a_{ij} = b_{ij} \ \text{ทุก } i, j A = B ⟺ ขนาดเท่ากัน และ a ij = b ij ทุก i , j ใช้ตั้งสมการหาตัวแปร เช่น ( x + y 2 3 x − y ) = ( 5 2 3 1 ) \begin{pmatrix} x+y & 2 \\ 3 & x-y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1\end{pmatrix} ( x + y 3 2 x − y ) = ( 5 3 2 1 ) x + y = 5 , x − y = 1 x + y = 5,\ x - y = 1 x + y = 5 , x − y = 1 x = 3 , y = 2 x = 3,\ y = 2 x = 3 , y = 2
ตัวอย่าง M-0 · อ่านขนาดและสมาชิก ให้ A = ( 3 − 1 0 2 5 4 7 − 6 ) A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 & 2 \\ 5 & 4 & 7 & -6 \end{pmatrix} A = ( 3 5 − 1 4 0 7 2 − 6 ) a 13 a_{13} a 13 a 24 a_{24} a 24 a 31 a_{31} a 31
นับแถวได้ 2 นับหลักได้ 4 ขนาดจึงเป็น 2 × 4 2\times 4 2 × 4 M1
a 13 a_{13} a 13 0 0 0 a 24 a_{24} a 24 − 6 -6 − 6
a 31 a_{31} a 31 ไม่มีสมาชิกนี้
ขนาด 2 × 4 2\times4 2 × 4 a 13 = 0 a_{13} = 0 a 13 = 0 a 24 = − 6 a_{24} = -6 a 24 = − 6 a 31 a_{31} a 31
ชนิดของเมทริกซ์ (Types of Matrices) พื้นฐาน → ขั้นสูง
ชื่อเฉพาะเหล่านี้โผล่ในโจทย์และตำราตลอด รู้ชื่อแล้วรู้สมบัติทันที เช่น เห็นคำว่า “สามเหลี่ยม” ก็รู้ว่าดีเทอร์มิแนนต์คือผลคูณเส้นทแยง เห็นคำว่า “เชิงตั้งฉาก” ก็รู้ว่าอินเวอร์สคือทรานสโพส
ชื่อ เงื่อนไข ตัวอย่าง ระดับ
จัตุรัส square m = n m = n m = n ( 1 2 3 4 ) \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} ( 1 3 2 4 ) พื้นฐาน ศูนย์ zero, O O O ทุกสมาชิกเป็น 0 ( 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} ( 0 0 0 0 ) พื้นฐาน เอกลักษณ์ identity, I n I_n I n a i i = 1 a_{ii} = 1 a ii = 1 ( 1 0 0 1 ) \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} ( 1 0 0 1 ) พื้นฐาน ทแยงมุม diagonal a i j = 0 a_{ij} = 0 a ij = 0 i ≠ j i \ne j i = j ( 2 0 0 − 5 ) \begin{pmatrix}2&0\\0&-5\end{pmatrix} ( 2 0 0 − 5 ) พื้นฐาน สเกลาร์ scalar ทแยงมุมที่ทุกตัวเท่ากัน = k I = kI = k I ( 3 0 0 3 ) \begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix} ( 3 0 0 3 ) พื้นฐาน สามเหลี่ยมบน upper triangular a i j = 0 a_{ij} = 0 a ij = 0 i > j i \gt j i > j ( 1 4 2 0 3 5 0 0 6 ) \begin{pmatrix}1&4&2\\0&3&5\\0&0&6\end{pmatrix} 1 0 0 4 3 0 2 5 6 พื้นฐาน สามเหลี่ยมล่าง lower triangular a i j = 0 a_{ij} = 0 a ij = 0 i < j i \lt j i < j ( 1 0 7 2 ) \begin{pmatrix}1&0\\7&2\end{pmatrix} ( 1 7 0 2 ) พื้นฐาน สมมาตร symmetric A T = A A^T = A A T = A a i j = a j i a_{ij} = a_{ji} a ij = a ji ( 6 − 4 − 4 10 ) \begin{pmatrix}6&-4\\-4&10\end{pmatrix} ( 6 − 4 − 4 10 ) กลาง สมมาตรเสมือน skew-symmetric A T = − A A^T = -A A T = − A ( 0 3 − 3 0 ) \begin{pmatrix}0&3\\-3&0\end{pmatrix} ( 0 − 3 3 0 ) กลาง เชิงตั้งฉาก orthogonal Q T Q = I Q^TQ = I Q T Q = I Q − 1 = Q T Q^{-1} = Q^T Q − 1 = Q T ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix} ( cos θ sin θ − sin θ cos θ ) กลาง เอกฐาน singular det A = 0 \det A = 0 det A = 0 ( 1 2 2 4 ) \begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix} ( 1 2 2 4 ) พื้นฐาน ฉายซ้ำคงเดิม idempotent A 2 = A A^2 = A A 2 = A ( 1 0 0 0 ) \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} ( 1 0 0 0 ) ขั้นสูง นิลโพเทนต์ nilpotent A k = O A^k = O A k = O k k k ( 0 1 0 0 ) \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} ( 0 0 1 0 ) ขั้นสูง เฮอร์มิเชียน Hermitian A H = A A^H = A A H = A ( 2 1 − j 1 + j 3 ) \begin{pmatrix}2&1-j\\1+j&3\end{pmatrix} ( 2 1 + j 1 − j 3 ) ขั้นสูง ยูนิแทรี unitary U H U = I U^HU = I U H U = I 1 2 ( 1 j j 1 ) \tfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&j\\j&1\end{pmatrix} 2 1 ( 1 j j 1 ) ขั้นสูง
M3 Identity matrix
I n = ( 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ) , A I = I A = A I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}, \quad AI = IA = A I n = 1 0 ⋮ 0 0 1 0 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 0 0 ⋮ 1 , A I = I A = A ทำหน้าที่เหมือนเลข 1 ของการคูณ ถ้า A A A I I I I m A = A I n = A I_mA = AI_n = A I m A = A I n = A
M4 Symmetric + skew-symmetric split
A = 1 2 ( A + A T ) ⏟ สมมาตร + 1 2 ( A − A T ) ⏟ สมมาตรเสมือน A = \underbrace{\tfrac12(A + A^T)}_{\text{สมมาตร}} + \underbrace{\tfrac12(A - A^T)}_{\text{สมมาตรเสมือน}} A = สมมาตร 2 1 ( A + A T ) + สมมาตรเสมือน 2 1 ( A − A T ) เมทริกซ์จัตุรัสทุกตัวแยกแบบนี้ได้แบบเดียว ในรูปกำลังสอง x T A x \mathbf x^TA\mathbf x x T A x
M5 Orthogonal matrix
Q T Q = Q Q T = I ⟺ Q − 1 = Q T Q^TQ = QQ^T = I \iff Q^{-1} = Q^T Q T Q = Q Q T = I ⟺ Q − 1 = Q T หลักทุกหลักยาว 1 และตั้งฉากกัน รักษาความยาวและมุม det Q = ± 1 \det Q = \pm 1 det Q = ± 1 R ( θ ) R(\theta) R ( θ )
M6 Conjugate transpose
A H = A ‾ T , ( A H ) i j = a j i ‾ A^H = \overline{A}^{\,T}, \qquad (A^H)_{ij} = \overline{a_{ji}} A H = A T , ( A H ) ij = a ji ใช้กับวงจร AC ที่สมาชิกเป็นอิมพีแดนซ์เชิงซ้อน กำลังเชิงซ้อน S = V T I ‾ S = \mathbf V^T\overline{\mathbf I} S = V T I A ∗ A^* A ∗ A † A^\dagger A †
บวก ลบ และคูณด้วยสเกลาร์ พื้นฐาน
สองการดำเนินการนี้ทำทีละช่อง (element-wise) ช่องตรงกันจับคู่กัน จึงต้องมีขนาดเท่ากันทุกประการ
M7 Matrix addition
( A ± B ) i j = a i j ± b i j (A \pm B)_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij} ( A ± B ) ij = a ij ± b ij ใช้ได้เมื่อ A A A B B B
M8 Scalar multiplication
( k A ) i j = k a i j (kA)_{ij} = k\,a_{ij} ( k A ) ij = k a ij คูณ k k k D7 )
M9 Properties of addition and scalar multiplication
A + B = B + A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) A + O = A k ( A + B ) = k A + k B ( k + l ) A = k A + l A k ( l A ) = ( k l ) A \begin{gathered} A + B = B + A \qquad (A + B) + C = A + (B + C) \qquad A + O = A \\ k(A + B) = kA + kB \qquad (k + l)A = kA + lA \qquad k(lA) = (kl)A \end{gathered} A + B = B + A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) A + O = A k ( A + B ) = k A + k B ( k + l ) A = k A + l A k ( l A ) = ( k l ) A
ตัวอย่าง M-1 · บวกลบและคูณสเกลาร์ ให้ A = ( 1 − 2 3 0 ) , B = ( 2 1 − 1 4 ) A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} A = ( 1 3 − 2 0 ) , B = ( 2 − 1 1 4 ) 2 A − 3 B 2A - 3B 2 A − 3 B
คูณสเกลาร์เข้าทุกช่อง M8
2 A = ( 2 − 4 6 0 ) , 3 B = ( 6 3 − 3 12 ) 2A = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}, \qquad 3B = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ -3 & 12 \end{pmatrix} 2 A = ( 2 6 − 4 0 ) , 3 B = ( 6 − 3 3 12 ) ลบช่องต่อช่อง M7
2 A − 3 B = ( 2 − 6 − 4 − 3 6 − ( − 3 ) 0 − 12 ) 2A - 3B = \begin{pmatrix} 2-6 & -4-3 \\ 6-(-3) & 0-12 \end{pmatrix} 2 A − 3 B = ( 2 − 6 6 − ( − 3 ) − 4 − 3 0 − 12 )
2 A − 3 B = ( − 4 − 7 9 − 12 ) 2A - 3B = \begin{pmatrix} -4 & -7 \\ 9 & -12 \end{pmatrix} 2 A − 3 B = ( − 4 9 − 7 − 12 )
การคูณเมทริกซ์ (Matrix Multiplication) พื้นฐาน
การคูณเมทริกซ์ไม่ได้คูณทีละช่อง สมาชิกแต่ละตัวของผลคูณได้จากแถวของตัวหน้า “คูณจุด” กับหลักของตัวหลัง คือคูณตัวที่ตรงกันแล้วบวกรวม ก่อนคูณต้องเช็กขนาดก่อนเสมอ
A B AB
( m × n ) ( n × p ) = ( m × p )
ด้านในต้องเท่ากัน
ด้านนอก = ขนาดผลลัพธ์
ตัวอย่าง
(2×3)(3×2) → 2×2 ✓
(3×2)(2×3) → 3×3 ✓
(2×3)(2×3) ✗
คูณไม่ได้
เขียนขนาดเรียงกันแล้วดูตัวเลขด้านใน ถ้าไม่เท่ากันให้หยุด คูณไม่ได้
M10 Matrix product
( A B ) i j = ∑ k = 1 n a i k b k j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ⋯ + a i n b n j (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} ( A B ) ij = k = 1 ∑ n a ik b kj = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ⋯ + a in b nj A A A m × n m\times n m × n B B B n × p n\times p n × p A B AB A B m × p m\times p m × p ( i , j ) (i,j) ( i , j ) i i i A A A j j j B B B
ลองแตะช่องคำตอบ แล้วดูว่ามาจากแถวไหนคูณหลักไหน
ตัวอย่าง M-2 · คูณเมทริกซ์ 2×3 กับ 3×2 ให้ A = ( 2 − 1 3 0 4 1 ) , B = ( 1 2 3 0 − 2 5 ) A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} A = ( 2 0 − 1 4 3 1 ) , B = 1 3 − 2 2 0 5 A B AB A B B A BA B A
เช็กขนาด ( 2 × 3 ) ( 3 × 2 ) (2\times\hlF{3})(\hlF{3}\times 2) ( 2 × 3 ) ( 3 × 2 ) 2 × 2 2\times 2 2 × 2
ช่อง ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) M10
c 11 = ( 2 ) ( 1 ) + ( − 1 ) ( 3 ) + ( 3 ) ( − 2 ) = 2 − 3 − 6 = − 7 c_{11} = (2)(1) + (-1)(3) + (3)(-2) = 2 - 3 - 6 = -7 c 11 = ( 2 ) ( 1 ) + ( − 1 ) ( 3 ) + ( 3 ) ( − 2 ) = 2 − 3 − 6 = − 7 ช่อง ( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 )
c 12 = ( 2 ) ( 2 ) + ( − 1 ) ( 0 ) + ( 3 ) ( 5 ) = 4 + 0 + 15 = 19 c_{12} = (2)(2) + (-1)(0) + (3)(5) = 4 + 0 + 15 = 19 c 12 = ( 2 ) ( 2 ) + ( − 1 ) ( 0 ) + ( 3 ) ( 5 ) = 4 + 0 + 15 = 19 ช่อง ( 2 , 1 ) (2,1) ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) (2,2) ( 2 , 2 )
c 21 = ( 0 ) ( 1 ) + ( 4 ) ( 3 ) + ( 1 ) ( − 2 ) = 10 c 22 = ( 0 ) ( 2 ) + ( 4 ) ( 0 ) + ( 1 ) ( 5 ) = 5 \begin{aligned} c_{21} &= (0)(1) + (4)(3) + (1)(-2) = 10 \\ c_{22} &= (0)(2) + (4)(0) + (1)(5) = 5 \end{aligned} c 21 c 22 = ( 0 ) ( 1 ) + ( 4 ) ( 3 ) + ( 1 ) ( − 2 ) = 10 = ( 0 ) ( 2 ) + ( 4 ) ( 0 ) + ( 1 ) ( 5 ) = 5 ส่วน B A BA B A ( 3 × 2 ) ( 2 × 3 ) = 3 × 3 (3\times\hlF{2})(\hlF{2}\times3) = 3\times 3 ( 3 × 2 ) ( 2 × 3 ) = 3 × 3
B A = ( 2 7 5 6 − 3 9 − 4 22 − 1 ) BA = \begin{pmatrix} 2 & 7 & 5 \\ 6 & -3 & 9 \\ -4 & 22 & -1 \end{pmatrix} B A = 2 6 − 4 7 − 3 22 5 9 − 1
A B = ( − 7 19 10 5 ) AB = \begin{pmatrix} -7 & 19 \\ 10 & 5 \end{pmatrix} A B = ( − 7 10 19 5 ) B A BA B A
สมบัติของการคูณเมทริกซ์
M11 Properties of matrix multiplication
( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = A B + A C ( A + B ) C = A C + B C k ( A B ) = ( k A ) B = A ( k B ) I m A = A I n = A \begin{gathered} (AB)C = A(BC) \qquad A(B + C) = AB + AC \qquad (A + B)C = AC + BC \\ k(AB) = (kA)B = A(kB) \qquad I_mA = AI_n = A \end{gathered} ( A B ) C = A ( BC ) A ( B + C ) = A B + A C ( A + B ) C = A C + BC k ( A B ) = ( k A ) B = A ( k B ) I m A = A I n = A
M12 What does NOT hold
A B ≠ B A (โดยทั่วไป) A B = O ⇏ A = O หรือ B = O A B = A C ⇏ B = C ( A + B ) 2 = A 2 + A B + B A + B 2 ≠ A 2 + 2 A B + B 2 \begin{gathered} AB \ne BA \ \text{(โดยทั่วไป)} \qquad AB = O \not\Rightarrow A = O \text{ หรือ } B = O \\ AB = AC \not\Rightarrow B = C \qquad (A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 \ne A^2 + 2AB + B^2 \end{gathered} A B = B A ( โดยทั่วไป ) A B = O ⇒ A = O หรือ B = O A B = A C ⇒ B = C ( A + B ) 2 = A 2 + A B + B A + B 2 = A 2 + 2 A B + B 2 ตัดเมทริกซ์ทั้งสองข้างได้ก็ต่อเมื่อ A A A det A ≠ 0 \det A \ne 0 det A = 0 A − 1 A^{-1} A − 1
ตัวอย่าง M-3 · ลำดับการคูณสำคัญ ให้ A = ( 1 2 0 1 ) , B = ( 1 0 3 1 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} A = ( 1 0 2 1 ) , B = ( 1 3 0 1 ) A B ≠ B A AB \ne BA A B = B A
A B = ( 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 3 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 ) = ( 7 2 3 1 ) AB = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 2\cdot3 & 1\cdot0 + 2\cdot1 \\ 0\cdot1 + 1\cdot3 & 0\cdot0 + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} A B = ( 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 3 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 ) = ( 7 3 2 1 ) B A = ( 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 1 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 3 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 ) = ( 1 2 3 7 ) BA = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 0\cdot0 & 1\cdot2 + 0\cdot1 \\ 3\cdot1 + 1\cdot0 & 3\cdot2 + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} B A = ( 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 1 3 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 ) = ( 1 3 2 7 )
ขนาดเท่ากันแต่ค่าต่างกัน จึง A B ≠ B A AB \ne BA A B = B A M12
ตัวอย่างที่น่าตกใจกว่า: ( 1 1 1 1 ) ( 1 − 1 − 1 1 ) = ( 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} ( 1 1 1 1 ) ( 1 − 1 − 1 1 ) = ( 0 0 0 0 )
มองการคูณสามแบบ กลาง
สูตร M10 เป็นวิธีคำนวณ แต่การ “มองออก” ว่าการคูณหมายถึงอะไรช่วยมากในบทหลัง โดยเฉพาะมุมมองแบบหลัก ซึ่งเป็นหัวใจของระบบสมการและค่าเฉพาะ
M13 Column view: Ax is a combination of columnsA x A\mathbf x A x
A x = ( ∣ ∣ ∣ a 1 a 2 ⋯ a n ∣ ∣ ∣ ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) = x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ + x n a n A\mathbf x = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ \mathbf a_1 & \mathbf a_2 & \cdots & \mathbf a_n \\ | & | & & | \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = x_1\mathbf a_1 + x_2\mathbf a_2 + \cdots + x_n\mathbf a_n A x = ∣ a 1 ∣ ∣ a 2 ∣ ⋯ ∣ a n ∣ x 1 x 2 ⋮ x n = x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ + x n a n การแก้ A x = b A\mathbf x = \mathbf b A x = b b \mathbf b b det A = 0 \det A = 0 det A = 0
M14 Row view
( A x ) i = r i ⋅ x (A\mathbf x)_i = \mathbf r_i \cdot \mathbf x ( A x ) i = r i ⋅ x แต่ละแถวคือสมการหนึ่งสมการ เช่น KVL หนึ่งลูป
M15 Outer-product view
A B = ∑ k = 1 n ( หลัก k ของ A ) ( แถว k ของ B ) AB = \sum_{k=1}^{n} (\text{หลัก } k \text{ ของ } A)(\text{แถว } k \text{ ของ } B) A B = k = 1 ∑ n ( หลัก k ของ A ) ( แถว k ของ B ) แต่ละพจน์เป็นเมทริกซ์แรงก์หนึ่ง เป็นพื้นฐานของ SVD และการบีบอัดข้อมูล
ระบบสมการคือการคูณเมทริกซ์: 2 x + 3 y = 8 x − y = − 1 \begin{aligned}2x + 3y &= 8\\ x - y &= -1\end{aligned} 2 x + 3 y x − y = 8 = − 1 เขียนเป็น
( 2 3 1 − 1 ) ( x y ) = ( 8 − 1 ) \begin{pmatrix}2&3\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8\\-1\end{pmatrix} ( 2 1 3 − 1 ) ( x y ) = ( 8 − 1 ) หรือ
A x = b A\mathbf x = \mathbf b A x = b ทุกวิธีในหน้าถัด ๆ ไปคือวิธีหา
x \mathbf x x ตัวนี้
ไปหน้าระบบสมการ →
ทรานสโพส (Transpose) พื้นฐาน
ทรานสโพสคือการพลิกเมทริกซ์ตามเส้นทแยงมุมหลัก แถวกลายเป็นหลัก หลักกลายเป็นแถว เมทริกซ์ m × n m\times n m × n n × m n\times m n × m
M16 Transpose
( A T ) i j = a j i , ( 1 2 3 4 5 6 ) T = ( 1 4 2 5 3 6 ) (A^T)_{ij} = a_{ji}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^{\!T} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} ( A T ) ij = a ji , ( 1 4 2 5 3 6 ) T = 1 2 3 4 5 6
M17 Properties of transpose
( A T ) T = A ( A + B ) T = A T + B T ( k A ) T = k A T ( A B ) T = B T A T \begin{gathered} (A^T)^T = A \qquad (A + B)^T = A^T + B^T \\ (kA)^T = kA^T \qquad \hlF{(AB)^T = B^TA^T} \end{gathered} ( A T ) T = A ( A + B ) T = A T + B T ( k A ) T = k A T ( A B ) T = B T A T ทรานสโพสของผลคูณกลับลำดับ ขยายได้: ( A B C ) T = C T B T A T (ABC)^T = C^TB^TA^T ( A BC ) T = C T B T A T
ตัวอย่าง M-4 · ตรวจ (AB)ᵀ = BᵀAᵀ ใช้ A , B A, B A , B ( A B ) T = B T A T (AB)^T = B^TA^T ( A B ) T = B T A T
จากตัวอย่าง M-2 ได้ A B = ( − 7 19 10 5 ) AB = \begin{pmatrix} -7 & 19 \\ 10 & 5 \end{pmatrix} A B = ( − 7 10 19 5 ) ( A B ) T = ( − 7 10 19 5 ) (AB)^T = \begin{pmatrix} -7 & 10 \\ 19 & 5 \end{pmatrix} ( A B ) T = ( − 7 19 10 5 )
คำนวณ B T A T B^TA^T B T A T ( 2 × 3 ) ( 3 × 2 ) = 2 × 2 (2\times3)(3\times2) = 2\times2 ( 2 × 3 ) ( 3 × 2 ) = 2 × 2
B T A T = ( 1 3 − 2 2 0 5 ) ( 2 0 − 1 4 3 1 ) = ( 2 − 3 − 6 0 + 12 − 2 4 + 0 + 15 0 + 0 + 5 ) B^TA^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & 0 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 3 - 6 & 0 + 12 - 2 \\ 4 + 0 + 15 & 0 + 0 + 5 \end{pmatrix} B T A T = ( 1 2 3 0 − 2 5 ) 2 − 1 3 0 4 1 = ( 2 − 3 − 6 4 + 0 + 15 0 + 12 − 2 0 + 0 + 5 )
B T A T = ( − 7 10 19 5 ) = ( A B ) T B^TA^T = \begin{pmatrix} -7 & 10 \\ 19 & 5 \end{pmatrix} = (AB)^T B T A T = ( − 7 19 10 5 ) = ( A B ) T A T B T A^TB^T A T B T
เกร็ดที่ใช้บ่อย: A T A A^TA A T A และ
A A T AA^T A A T สมมาตรเสมอ เพราะ
( A T A ) T = A T ( A T ) T = A T A (A^TA)^T = A^T(A^T)^T = A^TA ( A T A ) T = A T ( A T ) T = A T A เมทริกซ์นี้ปรากฏในวิธีกำลังสองน้อยสุด
L10
เทรซ (Trace) กลาง
เทรซคือผลบวกสมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์จัตุรัส ดูเหมือนเล็กน้อย แต่เท่ากับผลบวกค่าเฉพาะทุกตัว จึงเป็นเครื่องมือตรวจคำตอบที่เร็วที่สุด
M18 Trace
tr A = ∑ i = 1 n a i i = a 11 + a 22 + ⋯ + a n n \operatorname{tr}A = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} tr A = i = 1 ∑ n a ii = a 11 + a 22 + ⋯ + a nn
M19 Properties of trace
tr ( A + B ) = tr A + tr B tr ( k A ) = k tr A tr ( A T ) = tr A tr ( A B ) = tr ( B A ) \begin{gathered} \operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}A + \operatorname{tr}B \qquad \operatorname{tr}(kA) = k\operatorname{tr}A \\ \operatorname{tr}(A^T) = \operatorname{tr}A \qquad \hlF{\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)} \end{gathered} tr ( A + B ) = tr A + tr B tr ( k A ) = k tr A tr ( A T ) = tr A tr ( A B ) = tr ( B A ) ข้อสุดท้ายจริงแม้ A B AB A B B A BA B A tr A = λ 1 + ⋯ + λ n \operatorname{tr}A = \lambda_1 + \cdots + \lambda_n tr A = λ 1 + ⋯ + λ n E6
ตรวจด้วยตัวอย่าง M-2: tr ( A B ) = − 7 + 5 = − 2 \operatorname{tr}(AB) = -7 + 5 = -2 tr ( A B ) = − 7 + 5 = − 2 tr ( B A ) = 2 + ( − 3 ) + ( − 1 ) = − 2 \operatorname{tr}(BA) = 2 + (-3) + (-1) = -2 tr ( B A ) = 2 + ( − 3 ) + ( − 1 ) = − 2
กำลังของเมทริกซ์ (Matrix Powers) กลาง
M20 Matrix power
A 0 = I , A k = A A ⋯ A ⏟ k ตัว , A m A n = A m + n , ( A m ) n = A m n A^0 = I, \quad A^k = \underbrace{AA\cdots A}_{k \text{ ตัว}}, \quad A^mA^n = A^{m+n}, \quad (A^m)^n = A^{mn} A 0 = I , A k = k ตัว AA ⋯ A , A m A n = A m + n , ( A m ) n = A mn นิยามได้เฉพาะเมทริกซ์จัตุรัส และโดยทั่วไป ( A B ) k ≠ A k B k (AB)^k \ne A^kB^k ( A B ) k = A k B k
M21 Power of a diagonal matrix
( d 1 ⋱ d n ) k = ( d 1 k ⋱ d n k ) \begin{pmatrix} d_1 & & \\ & \ddots & \\ & & d_n \end{pmatrix}^{\!k} = \begin{pmatrix} d_1^k & & \\ & \ddots & \\ & & d_n^k \end{pmatrix} d 1 ⋱ d n k = d 1 k ⋱ d n k นี่คือเหตุผลที่อยากทำเมทริกซ์ให้เป็นทแยงมุม: A k = P D k P − 1 A^k = PD^kP^{-1} A k = P D k P − 1 E10
ตัวอย่าง M-5 · หารูปแบบของ Aⁿ ให้ A = ( 1 1 0 1 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} A = ( 1 0 1 1 ) A n A^n A n
ลองคำนวณกำลังน้อย ๆ ก่อน
A 2 = ( 1 1 0 1 ) ( 1 1 0 1 ) = ( 1 2 0 1 ) , A 3 = A 2 A = ( 1 3 0 1 ) A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \hlF{2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^3 = A^2A = \begin{pmatrix} 1 & \hlF{3} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} A 2 = ( 1 0 1 1 ) ( 1 0 1 1 ) = ( 1 0 2 1 ) , A 3 = A 2 A = ( 1 0 3 1 ) เดาว่า A n = ( 1 n 0 1 ) A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} A n = ( 1 0 n 1 ) n n n
A n + 1 = A n A = ( 1 n 0 1 ) ( 1 1 0 1 ) = ( 1 n + 1 0 1 ) A^{n+1} = A^nA = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & n+1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} A n + 1 = A n A = ( 1 0 n 1 ) ( 1 0 1 1 ) = ( 1 0 n + 1 1 )
A n = ( 1 n 0 1 ) A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} A n = ( 1 0 n 1 )
เมทริกซ์บล็อก (Block Matrices) ขั้นสูง
เมทริกซ์ใหญ่แบ่งเป็นบล็อกย่อยได้ แล้วคูณบล็อกเหมือนคูณตัวเลข (แต่ต้องรักษาลำดับ) ใช้มากในระบบที่ประกอบจากระบบย่อย เช่น การวิเคราะห์โนดดัดแปลง (MNA) ใน SPICE ที่มีรูป ( G B C D ) \begin{pmatrix} G & B \\ C & D\end{pmatrix} ( G C B D )
M22 Block multiplication
( A B C D ) ( E F G H ) = ( A E + B G A F + B H C E + D G C F + D H ) \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} E & F \\ G & H \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} AE + BG & AF + BH \\ CE + DG & CF + DH \end{pmatrix} ( A C B D ) ( E G F H ) = ( A E + BG CE + D G A F + B H CF + DH ) ขนาดของบล็อกต้องคูณกันได้ทุกคู่ · บล็อกทแยงมุม diag ( A 1 , A 2 ) \operatorname{diag}(A_1, A_2) diag ( A 1 , A 2 )
เวกเตอร์ในรูปเมทริกซ์ กลาง
เวกเตอร์หลัก x \mathbf x x n × 1 n\times 1 n × 1 พีชคณิตของเวกเตอร์ )
M23 Inner product, norm and outer product
x T y = ∑ i x i y i , ∥ x ∥ = x T x , x ⊥ y ⟺ x T y = 0 , x y T = [ x i y j ] \mathbf x^T\mathbf y = \sum_{i} x_iy_i, \qquad \lVert\mathbf x\rVert = \sqrt{\mathbf x^T\mathbf x}, \qquad \mathbf x \perp \mathbf y \iff \mathbf x^T\mathbf y = 0, \qquad \mathbf x\mathbf y^T = [x_iy_j] x T y = i ∑ x i y i , ∥ x ∥ = x T x , x ⊥ y ⟺ x T y = 0 , x y T = [ x i y j ] x T y \mathbf x^T\mathbf y x T y x y T \mathbf x\mathbf y^T x y T n × n n\times n n × n P = v T i P = \mathbf v^T\mathbf i P = v T i
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน
เช็กลิสต์ก่อนส่งคำตอบ
คูณเมทริกซ์ทีละช่องเหมือนการบวก → ผิด ต้องแถวคูณจุดหลัก M10
ลืมเช็กขนาดก่อนคูณ → เขียนขนาดเรียงกันทุกครั้ง ด้านในต้องเท่ากัน
สลับลำดับ A B AB A B B A BA B A M12
เขียน ( A B ) T = A T B T (AB)^T = A^TB^T ( A B ) T = A T B T B T A T B^TA^T B T A T M17
กระจาย ( A + B ) 2 = A 2 + 2 A B + B 2 (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 ( A + B ) 2 = A 2 + 2 A B + B 2 A 2 + A B + B A + B 2 A^2 + AB + BA + B^2 A 2 + A B + B A + B 2
สับสน a i j a_{ij} a ij M1
ต่อยอดไปหน้าถัดไป
เมื่อเขียนระบบเป็น A x = b A\mathbf x = \mathbf b A x = b ดีเทอร์มิแนนต์ ส่วนตัวอย่างการเขียนเมทริกซ์จากวงจรจริงอยู่ในหน้า ประยุกต์ในวิศวกรรมไฟฟ้า
คำถามที่พบบ่อย คูณเมทริกซ์ได้เมื่อไร? คูณ A B AB A B A A A B B B A A A m × n m\times n m × n B B B n × p n\times p n × p m × p m\times p m × p
ทำไม AB ไม่เท่ากับ BA? เพราะสมาชิกของ A B AB A B A A A B B B B A BA B A B B B A A A A B AB A B B B B A A A
ทรานสโพสของผลคูณคืออะไร? ( A B ) T = B T A T (AB)^T = B^T A^T ( A B ) T = B T A T
เทรซ (trace) ใช้ทำอะไร? เทรซคือผลบวกสมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลัก เท่ากับผลบวกของค่าเฉพาะทุกตัว ใช้ตรวจคำตอบค่าเฉพาะได้ทันที และในระบบอันดับสองเทรซของเมทริกซ์สถานะบอกค่าการหน่วง
มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ ดูโปรไฟล์
บทความอ่านง่ายเกี่ยวกับหัวข้อนี้
ดูบทความทั้งหมด →