พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. ลำดับและอนุกรม
  4. อนุกรมอนันต์

// บทที่ 26.2 · ลำดับและอนุกรม · Infinite Series

อนุกรมอนันต์ (Infinite Series): ผลบวกย่อย อนุกรมเรขาคณิต กล้องส่องทางไกล ฮาร์มอนิก และอนุกรม p

บวกจำนวนไม่สิ้นสุดแล้วได้ค่าจำกัดได้อย่างไร คำตอบคือมองผ่านลำดับผลบวกย่อย ถ้าผลบวกสะสมเข้าใกล้ค่าหนึ่ง ค่านั้นคือผลบวกของอนุกรม หน้านี้รวมอนุกรมที่หาผลบวกได้จริงทั้งหมด (เรขาคณิต กล้องส่องทางไกล เลขคณิต-เรขาคณิต) อนุกรมมาตรฐานที่ใช้เป็นตัวเทียบ (ฮาร์มอนิก อนุกรม p) และการทดสอบพจน์ที่ n ซึ่งเป็นด่านแรกของทุกโจทย์

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
แล็บผลบวกย่อย สูตรซิกมา เรขาคณิตอนันต์ กล้องส่องทางไกล ฮาร์มอนิก · อนุกรม p
สรุปใน 30 วินาที
  • ∑an=lim⁡Sn\sum a_n = \lim S_n · ถ้าลิมิตไม่มีหรือเป็นอนันต์ อนุกรมลู่ออก · an=Sn−Sn−1a_n = S_n - S_{n-1}
  • เรขาคณิต: ∑n=0∞arn=a1−r\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r} เมื่อ ∣r∣<1|r| < 1 · กล้องส่องทางไกล: ∑(bn−bn+1)=b1−lim⁡bn\sum (b_n - b_{n+1}) = b_1 - \lim b_n
  • อนุกรม p ∑1/np\sum 1/n^p ลู่เข้า ⇔ p>1p > 1 · ฮาร์มอนิก (p=1p = 1) ลู่ออก
  • an↛0⇒a_n \not\to 0 \Rightarrow ลู่ออก แต่ an→0a_n \to 0 ยังสรุปไม่ได้
ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · เตรียมสอบเข้ากลาง แคลคูลัส 2ขั้นสูง ทฤษฎี

อนุกรมคือลิมิตของผลบวกย่อย พื้นฐาน

ให้ลำดับ a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots ผลบวกย่อย (partial sum) ตัวที่ n คือ Sn=a1+a2+⋯+anS_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n ซึ่งเป็นลำดับใหม่ อนุกรม ∑an\sum a_n ลู่เข้า เมื่อลำดับ SnS_n ลู่เข้า และผลบวกของอนุกรมคือลิมิตนั้น ภาพด้านล่างคือหัวใจของทั้งบท: แท่งคือพจน์ เส้นคือผลบวกสะสม

1234567891000.250.50.751nผลบวก = 1aₙSₙR₄ = 1/16 ↑
พจน์ an=(1/2)na_n = (1/2)^n (แท่ง) และผลบวกย่อย SnS_n (จุด) ซึ่งเข้าใกล้ 1 แต่ไม่ถึง ส่วนที่ขาด 1−Sn=(1/2)n1 - S_n = (1/2)^n คือเศษเหลือ (remainder)

S1 Sum of a series ผลบวกของอนุกรม

∑n=1∞an=lim⁡N→∞SN,SN=∑n=1Nan\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N\to\infty} S_N,\qquad S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n

เศษเหลือ (remainder) RN=S−SN=∑n=N+1∞anR_N = S - S_N = \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n บอกความคลาดเมื่อหยุดบวกที่ N

S2 Terms from partial sums หาพจน์จากผลบวกย่อย

a1=S1,an=Sn−Sn−1 (n≥2)a_1 = S_1,\qquad a_n = S_n - S_{n-1}\ (n \ge 2)

โจทย์ให้สูตร SnS_n มา ให้หา ana_n ด้วยวิธีนี้ และผลบวกอนันต์คือ lim⁡Sn\lim S_n

ตัวอย่าง S-1 · ผลบวกย่อยให้มา

อนุกรมหนึ่งมี Sn=n2n+1S_n = \dfrac{n}{2n+1} จงหา ana_n และผลบวกของอนุกรม

  1. an=n2n+1−n−12n−1=n(2n−1)−(n−1)(2n+1)(2n+1)(2n−1)=14n2−1a_n = \dfrac{n}{2n+1} - \dfrac{n-1}{2n-1} = \dfrac{n(2n-1) - (n-1)(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} = \dfrac{1}{4n^2 - 1} (ใช้ได้ทั้ง n = 1 ด้วย เพราะ S1=13S_1 = \tfrac13)

  2. ผลบวก =lim⁡n2n+1=12= \lim \dfrac{n}{2n+1} = \dfrac12

an=14n2−1a_n = \dfrac{1}{4n^2-1} และ ∑n=1∞14n2−1=12\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^2-1} = \frac12

แล็บผลบวกย่อย พื้นฐาน

เลือกอนุกรมแล้วเลื่อนจำนวนพจน์ N เทียบผลบวกย่อยกับผลบวกจริง และดูสูตรเศษเหลือของแต่ละแบบ ลองเลือกฮาร์มอนิกเพื่อดูผลบวกที่โตไม่หยุดแม้จะช้ามาก

อนุกรมจำกัดและสูตรซิกมา พื้นฐาน

ก่อนไปอนุกรมอนันต์ ต้องคล่องผลบวกจำกัด ซึ่งออกข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยทุกปี สูตรสามตัวของ ∑kp\sum k^p และสมบัติเชิงเส้นของซิกมาใช้แก้โจทย์ผลบวกของพหุนามได้ทุกข้อ

S3 Power sums สูตรผลบวกกำลัง

∑k=1nk=n(n+1)2,∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6,∑k=1nk3=[n(n+1)2]2\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\qquad \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2

พิสูจน์ได้ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ · ∑(c ak+bk)=c∑ak+∑bk\sum (c\,a_k + b_k) = c\sum a_k + \sum b_k · ∑k=1nc=cn\sum_{k=1}^n c = cn

S4 Arithmetic series อนุกรมเลขคณิต

Sn=n2(a1+an)=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right) = \frac{n}{2}\left[2a_1 + (n-1)d\right]

“จำนวนพจน์ × ค่าเฉลี่ยของพจน์แรกกับพจน์สุดท้าย” แบบเกาส์ · อนุกรมเลขคณิตอนันต์ลู่ออกเสมอ (ยกเว้นทุกพจน์เป็น 0)

S5 Finite geometric series อนุกรมเรขาคณิตจำกัด

Sn=a1+a1r+⋯+a1rn−1=a11−rn1−r(r≠1)S_n = a_1 + a_1 r + \cdots + a_1 r^{n-1} = a_1\frac{1 - r^n}{1 - r}\quad (r \ne 1)

ได้จาก Sn−rSn=a1−a1rnS_n - rS_n = a_1 - a_1 r^n · ถ้า r=1r = 1: Sn=na1S_n = n a_1

ตัวอย่าง S-2 · ซิกมา (แนวข้อสอบเข้า)

(ก) ∑k=120(2k−1)(k+1)\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(2k-1)(k+1) (ข) 1⋅2+2⋅3+3⋅4+⋯+20⋅211\cdot2 + 2\cdot3 + 3\cdot4 + \cdots + 20\cdot21

  1. (ก) กระจาย (2k−1)(k+1)=2k2+k−1(2k-1)(k+1) = 2k^2 + k - 1 แล้วแยกซิกมา: 2∑k2+∑k−∑12\sum k^2 + \sum k - \sum 1

  2. n = 20: ∑k2=20⋅21⋅416=2870\sum k^2 = \dfrac{20\cdot21\cdot41}{6} = 2870, ∑k=210\sum k = 210, ∑1=20\sum 1 = 20 ⇒ 5740+210−20=59305740 + 210 - 20 = 5930

  3. (ข) ∑k=120k(k+1)=∑k2+∑k=2870+210=3080\sum_{k=1}^{20} k(k+1) = \sum k^2 + \sum k = 2870 + 210 = 3080 · ตรวจด้วยสูตรลัด n(n+1)(n+2)3=20⋅21⋅223=3080\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} = \dfrac{20\cdot21\cdot22}{3} = 3080

(ก) 5930 · (ข) 3080

อนุกรมเรขาคณิตอนันต์และทศนิยมซ้ำ พื้นฐาน

อนุกรมเรขาคณิตเป็นอนุกรมอนันต์ตัวแรกที่หาผลบวกได้ และเป็นตัวเทียบสำคัญของการทดสอบทุกแบบ จาก S5 ถ้า ∣r∣<1|r| < 1 แล้ว rn→0r^n \to 0 ผลบวกย่อยจึงเข้าใกล้ a1−r\dfrac{a}{1-r}

S6 Infinite geometric series อนุกรมเรขาคณิตอนันต์

∑n=0∞arn=a+ar+ar2+⋯=a1−r  ⟺  ∣r∣<1;∣r∣≥1⇒ลู่ออก\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = a + ar + ar^2 + \cdots = \frac{a}{1-r} \iff |r| < 1;\qquad |r| \ge 1 \Rightarrow \text{ลู่ออก}

a = พจน์แรกของอนุกรม (อย่าหลงใช้ 1) · เศษเหลือ RN=arN1−rR_N = \dfrac{ar^N}{1-r}

S7 Repeating decimals ทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน

0.d1d2⋯dk‾=d1d2⋯dk99⋯9⏟k0.\overline{d_1 d_2\cdots d_k} = \frac{d_1 d_2 \cdots d_k}{\underbrace{99\cdots9}_{k}}

มาจาก D10k+D102k+⋯\tfrac{D}{10^k} + \tfrac{D}{10^{2k}} + \cdots · 0.9‾=99=10.\overline{9} = \tfrac{9}{9} = 1 พอดี

ตัวอย่าง S-3 · ทศนิยมซ้ำและเรขาคณิต

(ก) เขียน 0.245‾0.2\overline{45} เป็นเศษส่วน (ข) ∑n=1∞3n+15n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n+1}}{5^n} (ค) ค่า x ใดที่ ∑n=0∞(x−1)n\sum_{n=0}^{\infty}(x-1)^n ลู่เข้า และผลบวกเท่าไร

  1. (ก) 0.245‾=210+451000+45100000+⋯=15+45/10001−1/100=15+45990=15+122=271100.2\overline{45} = \dfrac{2}{10} + \dfrac{45}{1000} + \dfrac{45}{100000} + \cdots = \dfrac15 + \dfrac{45/1000}{1 - 1/100} = \dfrac15 + \dfrac{45}{990} = \dfrac15 + \dfrac{1}{22} = \dfrac{27}{110}

  2. (ข) พจน์แรก (n = 1) =95= \dfrac{9}{5}, r=35r = \dfrac35 ⇒ S=9/51−3/5=9/52/5=92S = \dfrac{9/5}{1 - 3/5} = \dfrac{9/5}{2/5} = \dfrac92

  3. (ค) r=x−1r = x - 1 ต้อง ∣x−1∣<1  ⟺  0<x<2|x - 1| < 1 \iff 0 < x < 2 และ S=11−(x−1)=12−xS = \dfrac{1}{1 - (x-1)} = \dfrac{1}{2-x}

(ก) 27110\tfrac{27}{110} · (ข) 92\tfrac92 · (ค) 0<x<2, S=12−x0 < x < 2,\ S = \tfrac{1}{2-x} — ข้อ (ค) คืออนุกรมกำลังตัวแรกของเรา (ดูอนุกรมกำลัง)

ตัวอย่าง S-4 · แนวข้อสอบเข้า + ฟิสิกส์

(ก) อนุกรมเรขาคณิตอนันต์มีผลบวก 8 และผลบวกของกำลังสองของพจน์เท่ากับ 32 จงหา a และ r (ข) ปล่อยลูกบอลจากความสูง 12 m ทุกครั้งที่กระทบพื้นจะเด้งขึ้น 3/4 ของความสูงก่อนหน้า ระยะทางรวมเท่าไร

  1. (ก) a1−r=8\dfrac{a}{1-r} = 8 และกำลังสองของพจน์เป็นเรขาคณิตอัตราส่วน r2r^2: a21−r2=32\dfrac{a^2}{1-r^2} = 32

  2. หารสมการที่สองด้วยกำลังสองของสมการแรก: a2/(1−r2)a2/(1−r)2=1−r1+r=3264=12⇒r=13, a=8⋅23=163\dfrac{a^2/(1-r^2)}{a^2/(1-r)^2} = \dfrac{1-r}{1+r} = \dfrac{32}{64} = \dfrac12 \Rightarrow r = \dfrac13,\ a = 8\cdot\dfrac23 = \dfrac{16}{3}

  3. (ข) ความสูงที่เด้งขึ้น 9, 6.75, … รวม 91−3/4=36\dfrac{9}{1 - 3/4} = 36 m ขาขึ้นและขาลงเท่ากัน ⇒ 2×36=722\times36 = 72 บวกระยะตกแรก 12 m

(ก) a=163, r=13a = \tfrac{16}{3},\ r = \tfrac13 · (ข) 84 m

แนวข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยข้อสอบชอบให้ “ผลบวกอนันต์” และ “ผลบวกของกำลังสอง” หรือ “ผลบวกพจน์คี่” มาพร้อมกัน จำว่ากำลังสองของพจน์ยังเป็นเรขาคณิตด้วยอัตราส่วน r2r^2 และพจน์ตำแหน่งคี่เป็นเรขาคณิตด้วยอัตราส่วน r2r^2 เช่นกัน แล้วหารสองสมการเพื่อกำจัด a

อนุกรมกล้องส่องทางไกล (Telescoping Series) กลาง

ชื่อมาจากกล้องโทรทรรศน์แบบพับเก็บได้: เมื่อเขียนพจน์เป็นผลต่างของลำดับเดียวกัน พจน์กลางจะหักล้างกันจนเหลือหัวกับท้าย ทักษะที่ต้องมีคือการแยกเศษส่วนย่อย (partial fractions)

1−½+½−⅓+⅓−¼+¼…−1/(N+1)(1 − ½) + (½ − ⅓) + (⅓ − ¼) + ⋯ + (1/N − 1/(N+1))เหลือแค่หัวกับท้าย: S_N = 1 − 1/(N+1) → 1
(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯\left(1 - \tfrac12\right) + \left(\tfrac12 - \tfrac13\right) + \left(\tfrac13 - \tfrac14\right) + \cdots พจน์กลางหักล้างกันเป็นคู่ เหลือ 1−1N+11 - \tfrac{1}{N+1}

S8 Telescoping series อนุกรมกล้องส่องทางไกล

∑n=1N(bn−bn+1)=b1−bN+1 ⇒ ∑n=1∞(bn−bn+1)=b1−lim⁡n→∞bn\sum_{n=1}^{N}(b_n - b_{n+1}) = b_1 - b_{N+1}\ \Rightarrow\ \sum_{n=1}^{\infty}(b_n - b_{n+1}) = b_1 - \lim_{n\to\infty} b_n

ถ้า bnb_n ไม่มีลิมิตจำกัด อนุกรมลู่ออก เช่น ∑ln⁡n+1n=lim⁡ln⁡(N+1)=∞\sum\ln\frac{n+1}{n} = \lim\ln(N+1) = \infty

S9 Partial fractions for telescoping แยกเศษส่วนย่อย

1n(n+k)=1k(1n−1n+k),∑n=1∞1n(n+k)=1k(1+12+⋯+1k)\frac{1}{n(n+k)} = \frac1k\left(\frac1n - \frac{1}{n+k}\right),\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+k)} = \frac1k\left(1 + \frac12 + \cdots + \frac1k\right)

ช่องว่าง k ทำให้เหลือ k พจน์แรก (ไม่ใช่พจน์เดียว) — จุดที่ทำผิดบ่อยที่สุด

ตัวอย่าง S-5 · กล้องส่องทางไกล

(ก) ∑n=1∞1n(n+2)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)} (ข) ∑n=2∞1n2−1\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-1} (ค) ∑n=1∞ln⁡(1+1n)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1 + \frac1n\right)

  1. (ก) 1n(n+2)=12(1n−1n+2)\dfrac{1}{n(n+2)} = \dfrac12\left(\dfrac1n - \dfrac{1}{n+2}\right) เหลือสองพจน์แรกของ 1n\tfrac1n: 12(1+12)=34\dfrac12\left(1 + \dfrac12\right) = \dfrac34

  2. (ข) 1n2−1=12(1n−1−1n+1)\dfrac{1}{n^2-1} = \dfrac12\left(\dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n+1}\right) เริ่ม n = 2 เหลือ 12(1+12)=34\dfrac12\left(1 + \dfrac12\right) = \dfrac34

  3. (ค) ln⁡(1+1n)=ln⁡(n+1)−ln⁡n\ln\left(1 + \tfrac1n\right) = \ln(n+1) - \ln n ⇒ SN=ln⁡(N+1)→∞S_N = \ln(N+1) \to \infty ลู่ออก

(ก) 34\tfrac34 · (ข) 34\tfrac34 · (ค) ลู่ออก ทั้งที่พจน์ → 0

อนุกรมฮาร์มอนิกและอนุกรม p กลาง

อนุกรมฮาร์มอนิก ∑1/n\sum 1/n เป็นตัวอย่างคลาสสิกว่า “พจน์เข้าใกล้ศูนย์ ไม่ได้แปลว่าบวกแล้วจำกัด” การพิสูจน์ของนิโคล โอเรสม์ (ศตวรรษที่ 14) จัดกลุ่มพจน์ให้แต่ละกลุ่มมากกว่า ½ ส่วนอนุกรม p เป็นตัวเทียบมาตรฐานที่สุดในการทดสอบแบบเปรียบเทียบ

12481600.51n1/n> ½> ½> ½½1 + ½ + (⅓ + ¼) + (⅕ + ⋯ + ⅛) + ⋯ > 1 + ½ + ½ + ½ + ⋯ = ∞
จัดกลุ่มพจน์ของอนุกรมฮาร์มอนิกเป็นชุดขนาด 1, 2, 4, 8, … ทุกชุดมากกว่า ½ ผลบวกจึงไม่มีขอบเขต

S10 Harmonic series diverges อนุกรมฮาร์มอนิกลู่ออก

1+12+13+14⏟>12+15+⋯+18⏟>12+⋯ ⇒ S2k>1+k2→∞1 + \tfrac12 + \underbrace{\tfrac13 + \tfrac14}_{>\frac12} + \underbrace{\tfrac15 + \cdots + \tfrac18}_{>\frac12} + \cdots \ \Rightarrow\ S_{2^k} > 1 + \frac{k}{2} \to \infty

ลู่ออกช้ามาก: ต้องใช้ 12,367 พจน์จึงเกิน 10

S11 p-series อนุกรม p

∑n=1∞1np ลู่เข้า  ⟺  p>1\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\ \text{ลู่เข้า} \iff p > 1

พิสูจน์ด้วยการทดสอบด้วยปริพันธ์ · p=2p = 2: π2/6\pi^2/6 (ปัญหาบาเซิล) · p=4p = 4: π4/90\pi^4/90

S12 Growth of harmonic numbers การโตของผลบวกฮาร์มอนิก

Hn=∑k=1n1k=ln⁡n+γ+12n−⋯ ,γ≈0.5772H_n = \sum_{k=1}^{n}\frac1k = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \cdots,\quad \gamma \approx 0.5772

γ คือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเคโรนี · ใช้ประมาณ H1000≈7.485H_{1000} \approx 7.485

ตัวอย่าง S-6 · ฮาร์มอนิก

ต้องบวกอนุกรมฮาร์มอนิกอย่างน้อยกี่พจน์ ผลบวกจึงเกิน 10

  1. ใช้ S12: ln⁡n+0.5772>10⇒ln⁡n>9.4228⇒n>e9.4228≈12,367\ln n + 0.5772 > 10 \Rightarrow \ln n > 9.4228 \Rightarrow n > e^{9.4228} \approx 12{,}367 (ค่าประมาณเท่านั้น ต้องยืนยัน)

  2. คำนวณตรงยืนยัน: H12366≈9.99996H_{12366} \approx 9.99996 และ H12367≈10.00004H_{12367} \approx 10.00004

12,367 พจน์ — ล้านพจน์ได้แค่ราว 14.39 แต่ก็ยังโตไม่หยุด

สมบัติของอนุกรมและการทดสอบพจน์ที่ n พื้นฐาน

S13 Linearity สมบัติเชิงเส้น

∑(c an+bn)=c∑an+∑bn(เมื่อทั้งสองลู่เข้า)\sum(c\,a_n + b_n) = c\sum a_n + \sum b_n\quad(\text{เมื่อทั้งสองลู่เข้า})

ลู่เข้า + ลู่ออก = ลู่ออกเสมอ · ลู่ออก + ลู่ออก อาจลู่เข้าได้ เช่น ∑1+∑(−1)\sum 1 + \sum(-1)

S14 n-th term test การทดสอบพจน์ที่ n

lim⁡n→∞an≠0  (หรือไม่มี) ⇒ ∑an ลู่ออก\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \ \ (\text{หรือไม่มี}) \ \Rightarrow\ \sum a_n \text{ ลู่ออก}

เพราะถ้า ∑an=S\sum a_n = S แล้ว an=Sn−Sn−1→S−S=0a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0 · บทกลับไม่จริง (ฮาร์มอนิก)

S15 Tails decide convergence พจน์ช่วงแรกไม่มีผล

∑n=1∞an ลู่เข้า  ⟺  ∑n=m∞an ลู่เข้า\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ ลู่เข้า} \iff \sum_{n=m}^{\infty} a_n \text{ ลู่เข้า}

ตัดหรือเพิ่มพจน์จำนวนจำกัดไม่เปลี่ยนการลู่เข้า (แต่เปลี่ยนค่าผลบวก) · เลื่อนดัชนีได้ตามสะดวก

กับดักที่พบบ่อยเขียนว่า “an→0a_n \to 0 จึงลู่เข้า” ผิดทุกครั้ง nth-term test ใช้สรุปได้เพียงทางเดียวคือลู่ออก ถ้าพจน์เข้าใกล้ 0 ต้องไปใช้การทดสอบอื่นในหน้าถัดไป

อนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิต: วิธี S − rS กลาง

พจน์รูป (เลขคณิต) × (เรขาคณิต) เช่น nrnn r^n พบในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและในค่าคาดหมายของความน่าจะเป็น วิธีมาตรฐานคือคูณด้วย r แล้วลบเพื่อให้เหลืออนุกรมเรขาคณิตธรรมดา

S16 Arithmetico-geometric series อนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิต

∑n=1∞nrn=r(1−r)2,∑n=1∞n2rn=r(1+r)(1−r)3(∣r∣<1)\sum_{n=1}^{\infty} n r^n = \frac{r}{(1-r)^2},\qquad \sum_{n=1}^{\infty} n^2 r^n = \frac{r(1+r)}{(1-r)^3}\qquad (|r| < 1)

วิธี: S−rS=r+r2+r3+⋯=r1−rS - rS = r + r^2 + r^3 + \cdots = \dfrac{r}{1-r} · หรือหาอนุพันธ์ของ ∑rn\sum r^n ในอนุกรมกำลัง

ตัวอย่าง S-7 · S − rS

(ก) ∑n=1∞n3n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n} (ข) 1+22+34+48+516+⋯1 + \dfrac22 + \dfrac34 + \dfrac48 + \dfrac5{16} + \cdots

  1. (ก) S=13+29+327+⋯S = \tfrac13 + \tfrac{2}{9} + \tfrac{3}{27} + \cdots · 13S=19+227+⋯\tfrac13 S = \tfrac19 + \tfrac{2}{27} + \cdots · ลบ: 23S=13+19+127+⋯=1/31−1/3=12⇒S=34\tfrac23 S = \tfrac13 + \tfrac19 + \tfrac1{27} + \cdots = \dfrac{1/3}{1 - 1/3} = \tfrac12 \Rightarrow S = \tfrac34

  2. ตรวจด้วย S16: 1/3(2/3)2=1/34/9=34\dfrac{1/3}{(2/3)^2} = \dfrac{1/3}{4/9} = \dfrac34 ✓

  3. (ข) พจน์ทั่วไป n2n−1=2⋅n2n\dfrac{n}{2^{n-1}} = 2\cdot\dfrac{n}{2^n} ⇒ 2⋅1/2(1/2)2=2⋅2=42\cdot\dfrac{1/2}{(1/2)^2} = 2\cdot2 = 4

(ก) 34\tfrac34 · (ข) 4

อนุกรมในโลกจริง: ซีโน เกล็ดหิมะค็อค และเงิน กลาง

ปฏิทรรศน์ของซีโน: เดินครึ่งทาง แล้วครึ่งของที่เหลือ ไปเรื่อย ๆ ระยะทางรวม 12+14+⋯=1\tfrac12 + \tfrac14 + \cdots = 1 และเวลารวมก็จำกัด อนุกรมอนันต์จึงไม่ได้แปลว่าใช้เวลาอนันต์ · เกล็ดหิมะค็อค: ทุกขั้นเพิ่มสามเหลี่ยมเล็ก 3⋅4k−13\cdot4^{k-1} รูป แต่ละรูปพื้นที่ A0/9kA_0/9^k พื้นที่รวม A0(1+∑k≥13⋅4k−19k)=85A0A_0\left(1 + \sum_{k\ge1}\tfrac{3\cdot4^{k-1}}{9^k}\right) = \tfrac85 A_0 จำกัด ขณะที่เส้นรอบรูปคูณด้วย 43\tfrac43 ทุกขั้นจึงยาวอนันต์ · เงินและพลังงาน: มูลค่าปัจจุบันของรายรับเท่ากันทุกปีเป็นอนุกรมเรขาคณิต ดูตัวอย่างโซลาร์รูฟท็อปในอนุกรมในงานวิศวกรรม

ต่อไป: ทดสอบว่าลู่เข้าหรือไม่ เมื่อหาผลบวกไม่ได้

อนุกรมส่วนใหญ่ เช่น ∑1n2+1\sum \dfrac{1}{n^2+1} หรือ ∑n!nn\sum \dfrac{n!}{n^n} หาผลบวกเป็นสูตรไม่ได้ แต่เรายังตัดสินได้ว่าลู่เข้าหรือไม่ด้วยการทดสอบการลู่เข้า เช่น ปริพันธ์ เปรียบเทียบ อัตราส่วน และราก ทบทวนลำดับได้ที่ ลำดับและลิมิตของลำดับ หรืออ่านบทความ สูตรอนุกรมเรขาคณิตแบบเข้าใจง่าย

คำถามที่พบบ่อย

อนุกรมอนันต์บวกกันได้อย่างไรในเมื่อมีพจน์ไม่สิ้นสุด?

ไม่ได้บวกทีละพจน์จนหมด แต่ดูลำดับผลบวกย่อย Sn=a1+⋯+anS_n = a_1 + \cdots + a_n ถ้า SnS_n ลู่เข้าสู่ SS เราให้นิยามว่าอนุกรมมีผลบวก SS เช่น 12+14+18+⋯\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots มี Sn=1−(1/2)n→1S_n = 1 - (1/2)^n \to 1

สูตรผลบวกอนุกรมเรขาคณิตอนันต์คืออะไร ใช้ได้เมื่อไร?

a+ar+ar2+⋯=a1−ra + ar + ar^2 + \cdots = \dfrac{a}{1-r} ใช้ได้เฉพาะเมื่อ ∣r∣<1|r| < 1 ถ้า ∣r∣≥1|r| \ge 1 อนุกรมลู่ออก โดย a คือพจน์แรกของอนุกรม (ไม่จำเป็นต้องเป็น 1) และ r คืออัตราส่วนร่วม

ทำไมอนุกรมฮาร์มอนิก 1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ ลู่ออก ทั้งที่พจน์เข้าใกล้ 0?

จัดกลุ่ม 13+14>12\tfrac13 + \tfrac14 > \tfrac12, 15+⋯+18>12\tfrac15 + \cdots + \tfrac18 > \tfrac12 ไปเรื่อย ๆ ได้ 12\tfrac12 เพิ่มขึ้นไม่สิ้นสุด ผลบวกย่อยจึงโตไม่มีขอบเขต แม้จะช้ามากแบบ ln⁡n\ln n (ต้องบวก 12,367 พจน์จึงเกิน 10) การที่พจน์เข้าใกล้ 0 เป็นเงื่อนไขจำเป็นแต่ไม่พอ

อนุกรมกล้องส่องทางไกล (telescoping) คืออะไร?

อนุกรมที่เขียนพจน์เป็นผลต่าง bn−bn+1b_n - b_{n+1} ได้ เมื่อบวกกันพจน์กลางจะหักล้างกันหมด เหลือ SN=b1−bN+1S_N = b_1 - b_{N+1} เช่น ∑1n(n+1)=∑(1n−1n+1)=1\sum \dfrac{1}{n(n+1)} = \sum\left(\dfrac1n - \dfrac{1}{n+1}\right) = 1 วิธีหาคือแยกเศษส่วนย่อย

หาผลบวก Σ n/2ⁿ หรือ 1 + 2x + 3x² + ⋯ อย่างไร?

เป็นอนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิต ใช้วิธี S − rS: ถ้า S=∑nrnS = \sum n r^n แล้ว S−rS=r+r2+⋯=r1−rS - rS = r + r^2 + \cdots = \dfrac{r}{1-r} จึงได้ S=r(1−r)2S = \dfrac{r}{(1-r)^2} เมื่อ ∣r∣<1|r| < 1 เช่น ∑n/2n=2\sum n/2^n = 2

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์