// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 3 · Vectors in robot arms

เวกเตอร์ในแขนกล: จลนศาสตร์ Jacobian และแรงบิดข้อต่อ

Q: Forward kinematics ของแขนกลสองข้อต่อคืออะไร?

คือการหาตำแหน่งปลายแขนจากมุมข้อต่อ โดยบวกเวกเตอร์ของข้อแขนแต่ละท่อน p = L₁(cos θ₁, sin θ₁) + L₂(cos(θ₁+θ₂), sin(θ₁+θ₂)) มุมของท่อนที่สองต้องใช้ θ₁+θ₂ เพราะวัดเทียบกับท่อนแรก

Q: Inverse kinematics หามุมข้อต่ออย่างไร?

ใช้กฎของโคไซน์กับสามเหลี่ยมฐาน-ข้อศอก-ปลายแขน cos θ₂ = (x² + y² − L₁² − L₂²)/(2L₁L₂) ได้สองคำตอบ (ข้อศอกขึ้นหรือลง) แล้ว θ₁ = atan2(y, x) − atan2(L₂ sin θ₂, L₁ + L₂ cos θ₂) ถ้า cos θ₂ อยู่นอก [−1, 1] เป้าหมายอยู่นอกพื้นที่ทำงาน

Q: Jacobian ของแขนกลใช้ทำอะไร?

เชื่อมความเร็วข้อต่อกับความเร็วปลายแขน v = J θ̇ และเชื่อมแรงที่ปลายแขนกับแรงบิดข้อต่อ τ = Jᵀ F เมื่อ det J = 0 (ภาวะเอกฐาน) แขนขยับปลายในบางทิศไม่ได้ และต้องใช้ความเร็วข้อต่อสูงมากเมื่อเข้าใกล้

Q: เลือกมอเตอร์ข้อต่ออย่างไร?

หาแรงบิดสูงสุดที่ข้อต่อจาก τ = JᵀF ในท่าที่แย่ที่สุด (มักเป็นแขนเหยียดแนวนอน) รวมน้ำหนักข้อแขนเอง หารด้วยอัตราทดเกียร์และประสิทธิภาพ แล้วเผื่อค่าความปลอดภัย กระแสมอเตอร์ประมาณจาก τ_motor = K_t i

แขนกลในโรงงานประกอบรถยนต์ แขนหยิบชิ้นงานบนสายพาน หรือแขนหุ่นยนต์ที่นักศึกษาสร้างจากเซอร์โว ล้วนคือโซ่ของเวกเตอร์ ตำแหน่งปลายแขนคือผลบวกเวกเตอร์ของข้อแขน ความเร็วปลายแขนคือผลรวมของ ω × r และแรงบิดที่มอเตอร์ต้องให้คือโมเมนต์ของแรงที่ปลายแขน บทนี้เชื่อมทุกเรื่องที่เรียนมา — บวกเวกเตอร์ กฎโคไซน์ cross product และการหมุนแกน — ให้กลายเป็นเครื่องมือออกแบบแขนกลและเลือกมอเตอร์ได้จริง

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต 13 ต.ค. 2569

Forward kinematics Inverse kinematics Jacobian แรงบิด τ = JᵀF แล็บแขนกล

สรุปใน 30 วินาที

$\mathbf p=L_1\mathbf e(\theta_1)+L_2\mathbf e(\theta_1+\theta_2)$ — มุมของท่อนที่สองสะสมจากท่อนแรก
IK: $\cos\theta_2=\dfrac{x^2+y^2-L_1^2-L_2^2}{2L_1L_2}$ (กฎโคไซน์) มีสองท่า
$\mathbf v=J\dot{\boldsymbol\theta}$ , คอลัมน์ของ J = $\mathbf k\times(\mathbf p-\mathbf p_i)$ ; เอกฐานเมื่อ $\det J=L_1L_2\sin\theta_2=0$
$\boldsymbol\tau=J^{\mathsf T}\mathbf F$ : แรงบิดข้อต่อคือโมเมนต์ของแรงปลายแขนรอบข้อต่อนั้น

1. แขนกลคือโซ่ของเวกเตอร์ พื้นฐาน

แขนกลแบบข้อต่อหมุน (revolute) ประกอบด้วยข้อแขนแข็งเกร็งต่อกันด้วยมอเตอร์ เมื่อรู้มุมของมอเตอร์ทุกตัว ข้อแขนแต่ละท่อนคือเวกเตอร์ที่มีความยาวคงที่และทิศตามมุมสะสม ตำแหน่งปลายแขน (end-effector) จึงเป็นผลบวกหัวต่อหางของเวกเตอร์เหล่านี้ — กฎเดียวกับ การบวกเวกเตอร์ ที่เรียนในบทแรก

มุมข้อต่อ θ (เอนโค้ดเดอร์)→ FK →ตำแหน่งปลายแขน p→ IK ←เป้าหมายที่ต้องการ· J ·ความเร็ว v, แรง F

2. Forward kinematics ของแขน 2 ข้อต่อในระนาบ พื้นฐาน

A1 Forward kinematics (2R planar) ตำแหน่งปลายแขนจากมุมข้อต่อ

\mathbf p=L_1\begin{bmatrix}\cos\theta_1\\\sin\theta_1\end{bmatrix}+L_2\begin{bmatrix}\cos(\theta_1+\theta_2)\\\sin(\theta_1+\theta_2)\end{bmatrix}

θ₂ วัดเทียบกับท่อนแรก (เอนโค้ดเดอร์ที่ข้อศอกวัดแบบนี้) ทิศของท่อนสองเทียบโลกจึงเป็น θ₁ + θ₂

A2 Workspace พื้นที่ทำงาน

|L_1-L_2|\le\lVert\mathbf p\rVert\le L_1+L_2

มาจากอสมการสามเหลี่ยมของเวกเตอร์ เป็นวงแหวน ถ้า L₁ = L₂ ปลายแขนแตะฐานได้ (ระยะใน = 0)

ตัวอย่าง A-1 · หาตำแหน่งปลายแขน

L₁ = 0.5 m, L₂ = 0.4 m, θ₁ = 30°, θ₂ = 60° จงหาตำแหน่งปลายแขน

ท่อนแรก: $0.5(\cos30^\circ,\sin30^\circ)=(0.4330,\ 0.2500)$ m
ท่อนสองชี้ที่ 30° + 60° = 90°: $0.4(\cos90^\circ,\sin90^\circ)=(0,\ 0.4)$ m
$\mathbf p=(0.4330,\ 0.6500)$ m ระยะจากฐาน 0.781 m อยู่ใน [0.1, 0.9] ✓

$\mathbf p=(0.433,\ 0.650)$ m — ค่าเริ่มต้นของแล็บด้านล่าง

3. Inverse kinematics: กฎของโคไซน์ในชีวิตจริง กลาง

ฐาน ข้อศอก และปลายแขนเป็นสามเหลี่ยมที่รู้ความยาวทั้งสามด้าน (L₁, L₂, ‖p‖) มุมที่ข้อศอกหาได้จาก กฎของโคไซน์ — ตัวเดียวกับที่ใช้รวมแรง เพราะ $\mathbf p$ ก็คือ “แรงลัพธ์” ของเวกเตอร์ข้อแขนสองท่อน

A3 Inverse kinematics (2R planar) หามุมข้อต่อจากตำแหน่ง

\cos\theta_2=\frac{x^2+y^2-L_1^2-L_2^2}{2L_1L_2},\qquad \theta_2=\pm\arccos(\cdot),\qquad \theta_1=\operatorname{atan2}(y,x)-\operatorname{atan2}\big(L_2\sin\theta_2,\ L_1+L_2\cos\theta_2\big)

θ₂ บวก = ข้อศอกลง (elbow-down) θ₂ ลบ = ข้อศอกขึ้น (elbow-up) สำหรับเป้าหมายในควอดแรนต์แรก ถ้า |cos θ₂| > 1 เป้าหมายอยู่นอกพื้นที่ทำงาน

ตัวอย่าง A-2 · ส่งปลายแขนไปหยิบชิ้นงาน

แขน L₁ = 0.5 m, L₂ = 0.4 m ต้องไปที่ (0.6, 0.3) m จงหามุมข้อต่อทั้งสองท่า

$\cos\theta_2=\dfrac{0.36+0.09-0.25-0.16}{2(0.5)(0.4)}=\dfrac{0.04}{0.4}=0.1\Rightarrow\theta_2=\pm84.26^\circ$
ท่าข้อศอกลง (θ₂ = +84.26°): $\theta_1=\operatorname{atan2}(0.3,0.6)-\operatorname{atan2}(0.398,\ 0.540)=26.57^\circ-36.39^\circ=-9.83^\circ$
ท่าข้อศอกขึ้น (θ₂ = −84.26°): $\theta_1=26.57^\circ+36.39^\circ=62.96^\circ$
ตรวจด้วย A1: ทั้งสองท่าให้ (0.600, 0.300) ✓ เลือกท่าที่ไม่ชนสิ่งกีดขวางหรือใกล้ท่าปัจจุบันที่สุด

(θ₁, θ₂) = (−9.83°, 84.26°) หรือ (62.96°, −84.26°)

4. แล็บแขนกล 2 ข้อต่อ พื้นฐาน

โหมด Forward ปรับมุม θ₁ θ₂ แล้วดูเวกเตอร์ข้อแขนรวมกันเป็น p โหมด Inverse คลิกหรือลากบนภาพเพื่อย้ายเป้าหมาย (กากบาทแดง) แขนจะคำนวณ IK ทันที ติ๊ก “ลากเส้นทาง” แล้วลองวาดตัวอักษร สังเกตว่าเมื่อเหยียดแขนสุดเข้าใกล้ขอบวงแหวน ระบบจะเตือนภาวะเอกฐาน

5. ความเร็วปลายแขนและ Jacobian กลาง

ข้อต่อหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม $\dot\theta_i$ รอบแกน z ทำให้ทุกจุดที่อยู่ปลายน้ำของข้อต่อนั้นเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว $\boldsymbol\omega\times\mathbf r$ (ดู ความเร็วจาก cross product) รวมผลของทุกข้อต่อได้ Jacobian

A4 Jacobian and tip velocity Jacobian และความเร็วปลายแขน

\mathbf v=J\dot{\boldsymbol\theta},\qquad J=\frac{\partial\mathbf p}{\partial\boldsymbol\theta}=\begin{bmatrix}-L_1s_1-L_2s_{12}&-L_2s_{12}\\L_1c_1+L_2c_{12}&L_2c_{12}\end{bmatrix},\qquad J_{:,i}=\mathbf k\times(\mathbf p-\mathbf p_i)

$s_{12}=\sin(\theta_1+\theta_2)$ คอลัมน์ i คือความเร็วปลายแขนเมื่อหมุนข้อต่อ i ด้วย 1 rad/s — ตั้งฉากกับเวกเตอร์จากข้อต่อนั้นไปปลายแขนเสมอ

A5 Kinematic singularity ภาวะเอกฐาน

\det J=L_1L_2\sin\theta_2=0\ \Longleftrightarrow\ \theta_2=0^\circ\ \text{(เหยียดสุด)}\ \text{หรือ}\ 180^\circ\ \text{(พับสุด)}

สองคอลัมน์ของ J ขนานกัน ปลายแขนขยับในแนวรัศมีไม่ได้ และ $\dot{\boldsymbol\theta}=J^{-1}\mathbf v$ พุ่งไม่จำกัดเมื่อเข้าใกล้ ตัวควบคุมหุ่นยนต์จริงจึงต้องหลีกเลี่ยงหรือใช้ damped least squares

ตัวอย่าง A-3 · ความเร็วปลายแขน

ที่ท่า A-1 ข้อต่อฐานหมุน $\dot\theta_1=0.5$ rad/s ข้อศอกนิ่ง จงหาความเร็วปลายแขน

$J=\begin{bmatrix}-0.65&-0.40\\0.433&0\end{bmatrix}$ (คอลัมน์ 1 = $\mathbf k\times\mathbf p=(-0.65,\ 0.433)$ )
$\mathbf v=J\,(0.5,\ 0)^{\mathsf T}=(-0.325,\ 0.2165)$ m/s, $\lVert\mathbf v\rVert=0.3905$ m/s
ตรวจ: $\lVert\mathbf v\rVert=\omega\lVert\mathbf p\rVert=0.5(0.781)=0.3905$ ✓ และ $\mathbf v\perp\mathbf p$
$\det J=0.5(0.4)\sin60^\circ=0.1732\ne0$ : ไม่อยู่ในภาวะเอกฐาน

v = (−0.325, 0.217) m/s ตั้งฉากกับ p

6. แรงบิดข้อต่อ τ = JᵀF: ทำไมมอเตอร์ฐานต้องแรงที่สุด ขั้นสูง

หลักงานเสมือน (virtual work): ถ้าปลายแขนดันวัตถุด้วยแรง F และข้อต่อขยับนิด ๆ δθ งานที่มอเตอร์ทำ $\boldsymbol\tau\cdot\delta\boldsymbol\theta$ ต้องเท่ากับงานที่ปลายแขนทำ $\mathbf F\cdot\delta\mathbf p=\mathbf F\cdot J\delta\boldsymbol\theta$ สำหรับทุก δθ จึงได้

A6 Static joint torques แรงบิดข้อต่อจากแรงที่ปลายแขน

\boldsymbol\tau=J^{\mathsf T}\mathbf F\qquad\Longleftrightarrow\qquad \tau_i=\big((\mathbf p-\mathbf p_i)\times\mathbf F\big)\cdot\mathbf k

รูปขวาคือโมเมนต์ของแรงปลายแขนรอบข้อต่อ i (S2) ตรงกับสามัญสำนึก: ยิ่งปลายแขนอยู่ไกลจากข้อต่อในแนวตั้งฉากกับแรง แรงบิดยิ่งมาก

A7 Motor sizing through a gearbox เลือกมอเตอร์ผ่านเกียร์

\tau_{\text{motor}}=\frac{\tau_{\text{joint}}}{N\,\eta},\qquad i\approx\frac{\tau_{\text{motor}}}{K_t},\qquad \omega_{\text{motor}}=N\,\dot\theta

N = อัตราทด η = ประสิทธิภาพเกียร์ $K_t$ = ค่าคงที่แรงบิดของมอเตอร์ (N·m/A) เผื่อค่าความปลอดภัย 1.5–2 เท่าสำหรับความเร่งและแรงเสียดทาน

ตัวอย่าง A-4 · ยกของ 2 kg แล้วเลือกมอเตอร์

ที่ท่า A-1 ปลายแขนถือของ 2 kg นิ่ง (ไม่คิดน้ำหนักแขน) จงหาแรงบิดข้อต่อ แล้วเลือกมอเตอร์ฐานผ่านเกียร์ 50:1 (η = 0.8, K_t = 0.1 N·m/A)

แขนต้องออกแรงขึ้นต้านน้ำหนัก: $\mathbf F=(0,\ 2\times9.81)=(0,\ 19.62)$ N
$\boldsymbol\tau=J^{\mathsf T}\mathbf F=\begin{bmatrix}-0.65&0.433\\-0.40&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\19.62\end{bmatrix}=(8.496,\ 0)$ N·m
ทำไม τ₂ = 0? ท่อนสองตั้งดิ่ง (30° + 60° = 90°) แรงแนวดิ่งผ่านข้อศอกพอดี แขนโมเมนต์เป็นศูนย์
มอเตอร์ฐาน: $\tau_m=8.496/(50\times0.8)=0.212$ N·m กระแส ≈ 0.212/0.1 = 2.1 A — เผื่อ 2 เท่า เลือกมอเตอร์ที่ให้ต่อเนื่อง ≥ 0.42 N·m
ท่าที่แย่ที่สุด: แขนเหยียดแนวนอน τ₁ = 19.62 × 0.9 = 17.7 N·m (มากกว่าเกือบสองเท่า) ต้องออกแบบด้วยท่านี้

τ = (8.50, 0) N·m ที่ท่านี้ · ออกแบบด้วยท่าเหยียดแนวนอน 17.7 N·m

7. แขน 3 มิติ: ฐานหมุน + แขนในระนาบแนวดิ่ง กลาง

แขนแบบ articulated ที่พบบ่อยที่สุดมีข้อต่อฐานหมุนรอบแกนตั้ง (q₁) แล้วมีไหล่ (q₂) และศอก (q₃) หมุนในระนาบแนวดิ่ง ฐานหมุนพาระนาบนั้นทั้งระนาบไปด้วย จึงคิดเป็นสองขั้น: หาระยะเอื้อมแนวราบ ρ และความสูง z ในระนาบแขนก่อน แล้วหมุนด้วย q₁ เหมือนการแตกแรงสองขั้นใน K6

A8 3-DOF articulated arm แขน 3 ข้อต่อ (ฐาน-ไหล่-ศอก)

\rho=L_2\cos q_2+L_3\cos(q_2+q_3),\quad \mathbf p=\big(\rho\cos q_1,\ \rho\sin q_1,\ h+L_2\sin q_2+L_3\sin(q_2+q_3)\big)

A9 Homogeneous transforms เมทริกซ์แปลงเอกพันธ์ (หมุน + เลื่อน)

T=\begin{bmatrix}R&\mathbf d\\\mathbf 0^{\mathsf T}&1\end{bmatrix},\qquad T_{0\to n}=T_1T_2\cdots T_n,\qquad \begin{bmatrix}\mathbf p\\1\end{bmatrix}=T_{0\to n}\begin{bmatrix}\mathbf p_n\\1\end{bmatrix}

รวมเมทริกซ์หมุน (T4) กับเวกเตอร์เลื่อนไว้ในเมทริกซ์ 4×4 เดียว คูณต่อกันตามข้อต่อ — ตารางพารามิเตอร์ Denavit–Hartenberg เป็นวิธีมาตรฐานเขียน T แต่ละข้อ

ตัวอย่าง A-5 · แขน 3 มิติ

h = 0.4 m, L₂ = 0.6 m, L₃ = 0.5 m, q₁ = 30°, q₂ = 40°, q₃ = −60° จงหาตำแหน่งปลายแขน

$\rho=0.6\cos40^\circ+0.5\cos(-20^\circ)=0.4596+0.4698=0.9295$ m
$z=0.4+0.6\sin40^\circ+0.5\sin(-20^\circ)=0.4+0.3857-0.1710=0.6147$ m
หมุนด้วยฐาน: $x=0.9295\cos30^\circ=0.8049$ , $y=0.9295\sin30^\circ=0.4647$ m

$\mathbf p=(0.805,\ 0.465,\ 0.615)$ m — ลองตั้งค่าเดียวกันในฉาก 3 มิติด้านล่าง

8. มุมมองวิศวกรไฟฟ้า: จากเวกเตอร์สู่กระแสมอเตอร์ กลาง

เซนเซอร์

เอนโค้ดเดอร์ → θ

เอนโค้ดเดอร์ 4096 พัลส์ต่อรอบ ความละเอียด 0.088° ที่ระยะ 0.9 m ทำให้ปลายแขนคลาดได้ 1.4 mm — คำนวณจาก $\delta\mathbf p=J\delta\boldsymbol\theta$

ไดรฟ์

τ → กระแส

แรงบิดมอเตอร์ BLDC/PMSM แปรตามกระแสแกน q ( $\tau=K_t i_q$ ) ซึ่งได้จากการหมุนแกน Park ใน บทหมุนแกน

ควบคุม

ลูปตำแหน่ง

ตัวควบคุม PID ของแต่ละข้อต่อและการชดเชยแรงโน้มถ่วง $\tau_g=J^{\mathsf T}\mathbf F_g$ ดูต่อใน ระบบควบคุมหุ่นยนต์

9. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ข้อผิดพลาด	วิธีป้องกัน
ใช้ θ₂ เป็นมุมของท่อนสองเทียบโลก	θ₂ เป็นมุมสัมพัทธ์ ใช้ θ₁ + θ₂
ใช้ arctan(y/x) แทน atan2	ควอดแรนต์ผิดเมื่อ x < 0 แขนจะเลี้ยวผิดข้าง
ลืมว่า IK มีสองคำตอบ	เลือกท่าตามสิ่งกีดขวางและความต่อเนื่องของการเคลื่อนที่
ใช้ J แทน Jᵀ หาแรงบิด	มิติไม่ตรงในแขน 3 ข้อต่อ 2 มิติ (J เป็น 2×3) ทันที
เลือกมอเตอร์จากท่าเดียว	หาท่าที่แรงบิดสูงสุด (มักเหยียดแนวนอน) และรวมน้ำหนักแขน

10. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

L₁ = L₂ = 0.3 m, θ₁ = 90°, θ₂ = −90° จงหา p
แขนเดียวกัน ต้องการ p = (0.3, 0.3) จงหา θ₂ และ θ₁ (ท่าข้อศอกลง)
แขนเหยียดแนวนอน (θ₁ = θ₂ = 0) L₁ = 0.5, L₂ = 0.4 ปลายถือ 1 kg จงหา τ₁, τ₂ และ det J
τ ที่ข้อต่อฐาน 12 N·m เกียร์ 100:1 ประสิทธิภาพ 0.7 มอเตอร์ต้องให้แรงบิดเท่าไร?

เปิดเฉลย

(0, 0.3) + (0.3cos0°, 0.3sin0°) = (0.3, 0.3) m
cos θ₂ = (0.18 − 0.18)/0.18 = 0 → θ₂ = 90°; θ₁ = 45° − atan2(0.3, 0.3) = 0° (และท่าอีกแบบคือ θ₁ = 90°, θ₂ = −90° จากข้อ 1)
F = (0, 9.81): τ₁ = 0.9 × 9.81 = 8.83 N·m, τ₂ = 0.4 × 9.81 = 3.92 N·m; det J = 0 เพราะ θ₂ = 0 (เอกฐาน แต่ยังถือของนิ่งได้)
12/(100 × 0.7) = 0.171 N·m

11. สรุปสูตร

หัวข้อ	สูตร
A1 FK	$\mathbf p=L_1\mathbf e(\theta_1)+L_2\mathbf e(\theta_1+\theta_2)$
A2 พื้นที่ทำงาน	$\|L_1-L_2\|\le\lVert\mathbf p\rVert\le L_1+L_2$
A3 IK	กฎโคไซน์ + atan2 สองคำตอบ
A4–A5 Jacobian	$\mathbf v=J\dot{\boldsymbol\theta}$ , $\det J=L_1L_2\sin\theta_2$
A6–A7 แรงบิด	$\boldsymbol\tau=J^{\mathsf T}\mathbf F$ , $\tau_m=\tau/(N\eta)$
A8–A9 สามมิติ	ฐานหมุน + ระนาบแขน, เมทริกซ์ 4×4

12. แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ

Lynch & Park, Modern Robotics (ฉบับเปิดพร้อมวิดีโอ) — บทที่ 4–6 forward/inverse kinematics และ Jacobian
Peter Corke, Robotics Toolbox (Python/MATLAB) — เครื่องมือระดับโลกสำหรับจำลองแขนกล ใช้ตรวจตัวอย่างในหน้านี้ได้
J. J. Craig, Introduction to Robotics: Mechanics and Control — ตำรามาตรฐาน DH parameters

ต่อไป: แรงแม่เหล็กที่สร้างแรงบิดในมอเตอร์ข้อต่อใน เวกเตอร์ในสนามไฟฟ้าและแม่เหล็ก หรือทดลองครบชุดใน แล็บกลศาสตร์

คำถามที่พบบ่อย

Forward kinematics ของแขนกลสองข้อต่อคืออะไร?