แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมโยธา: ภูมิประเทศ ดินขุด-ถม คุณสมบัติหน้าตัด แรงดันน้ำ และการไหลซึม

1. $\nabla h = \langle0.06,\ 0.03\rangle$ · $|\nabla h| = \sqrt{0.0036 + 0.0009} = 0.0671$ → ความลาดชัน 6.71% ($\beta = 3.84^\circ$)

2. ทิศน้ำไหล $-\nabla h = \langle-0.06,\ -0.03\rangle$ → ชี้ไปทางตะวันตกและใต้ · bearing $= \operatorname{atan2}(-0.06, -0.03) = -116.6^\circ \equiv 243.4^\circ$ (ตะวันตกเฉียงใต้ ค่อนไปทางตะวันตก)

3. เส้นชั้นความสูงตั้งฉากกับ $\nabla h$ และห่างกัน $\Delta h/|\nabla h| = 1/0.0671 = 14.9$ m (คำนวณตามทิศ $\nabla h$)

4. เทียบกับเกณฑ์: 6.7% ใช้เป็นพื้นระบายน้ำได้ดีและไม่ชันเกินไปสำหรับถนนภายในโครงการ (แต่เกิน 5% ที่มักกำหนดสำหรับลานจอดรถ)

ความลาดชัน $6.71\%$ · น้ำไหลทิศ $243.4^\circ$ · เส้นชั้นห่างกัน 14.9 m

1. เนินสมมาตรรอบยอด: $|\nabla h| = \left|\dfrac{dh}{dr}\right| = 5\cdot\dfrac{2r}{260}e^{-r^2/260} = \dfrac{r}{26}e^{-r^2/260}$

2. หาค่าสูงสุดตาม $r$: $\dfrac{d}{dr}\left[re^{-r^2/260}\right] = e^{-r^2/260}\left(1 - \dfrac{2r^2}{260}\right) = 0$ → $r^2 = 130$ → $r = 11.40$ m

3. $|\nabla h|_{\max} = \dfrac{11.40}{26}e^{-0.5} = 0.4385\times0.6065 = 0.2660$ → ความลาดชัน 26.6% ($14.9^\circ$)

4. ที่ยอด $r = 0$ ความชัน 0 (จุดวิกฤตสูงสุด) และที่ไกลมากความชันเข้าสู่ 0 · เส้นชั้นเป็นวงกลม และน้ำไหลออกตามรัศมีทุกทิศ ตั้งฉากเส้นชั้น

ความลาดชันสูงสุด 26.6% ที่ $r = 11.4$ m จากยอด (ในแล็บ จุดนี้คือ $(41.4, 22)$)

1. พื้นที่ $A = 50\times30 = 1500$ m² · ปริมาตรขุด $\iint\max(h - 11.5, 0)\,dA$ และถม $\iint\max(11.5 - h, 0)\,dA$ อินทิเกรตเชิงตัวเลข (เส้นแบ่งขุด/ถมคือเส้นชั้น $h = 11.5$ ซึ่งเป็นเส้นโค้ง จึงไม่เหมาะกับการหาด้วยมือ)

2. ผล: $V_{\text{cut}} = 1497.4$ m³ · $V_{\text{fill}} = 142.3$ m³ · ขุด − ถม = 1355.2 m³ (ดินเหลือต้องขนออก)

3. ตรวจด้วยสูตร $A(\bar h - z_0)$: ความสูงเฉลี่ย $\bar h = \dfrac1A\iint h\,dA = 12.403$ m (อินทิกรัลของ $0.8\sin\frac x9\cos\frac y{11}$ บนพื้นที่นี้ได้ $+0.1$ กว่าเล็กน้อย) → $1500(12.403 - 11.5) = 1355$ ✓

4. ตั้ง $z_0 = \bar h = 12.403$ m: ขุด = ถม = 680.9 m³ (สมดุล ไม่ต้องขนดินเข้า-ออก)

5. จำนวนเที่ยวรถบรรทุก 10 m³ สำหรับส่วนที่ขุดเมื่อ $z_0 = 11.5$: $1497.4/10 \to 150$ เที่ยว (ก่อนคิดการขยายตัว) · แต่ถ้าสมดุล ใช้ 69 เที่ยวภายในโครงการ (ขุดไปถมในโครงการเอง)

$z_0 = 11.5$: ขุด 1497 m³ ถม 142 m³ · สมดุลที่ $z_0 = 12.40$ m: ขุด = ถม = 681 m³

1. ความลึกเฉลี่ยจากสี่มุม $= \dfrac{0.8 + 1.2 + 1.0 + 0.6}{4} = 0.90$ m

2. $V = 100\times0.90 = 90$ m³

3. เหตุผลทางแคลคูลัส: ผิวสอดแทรกสองเชิงเส้น $d(x, y) = a + bx + cy + dxy$ มีอินทิกรัลบนสี่เหลี่ยม = พื้นที่ × ค่าเฉลี่ยของสี่มุมพอดี (พจน์ $xy$ เฉลี่ยออกไปด้วยสมมาตร) จึงไม่ใช่การประมาณหยาบ แต่เป็นอินทิกรัลที่แน่นอนของผิวที่สมมติ

$V = 90$ m³

1. แบ่งเป็นสองสี่เหลี่ยม: เอว $A_1 = 100\times300 = 30\,000$ mm² ($y_1 = 150$) · ปีก $A_2 = 300\times100 = 30\,000$ mm² ($y_2 = 350$) → $A = 60\,000$ mm²

2. $\bar y = \dfrac{30\,000(150) + 30\,000(350)}{60\,000} = 250$ mm · $\bar x = 50$ mm (สมมาตร)

3. แกนขนาน: เอว $I = \dfrac{100(300)^3}{12} + 30\,000(250 - 150)^2 = 225\times10^6 + 300\times10^6 = 525\times10^6$ · ปีก $I = \dfrac{300(100)^3}{12} + 30\,000(350 - 250)^2 = 25\times10^6 + 300\times10^6 = 325\times10^6$

4. $I_{\bar x} = 850\times10^6$ mm⁴ (ตรงกับสูตรกรีนในแล็บ) · $S_{\text{บน}} = I/150 = 5.667\times10^6$ mm³ · $S_{\text{ล่าง}} = I/250 = 3.400\times10^6$ mm³

5. $M = 30$ kN·m $= 30\times10^6$ N·mm (ทำให้ใต้เส้นใยล่างดึง บนอัด): $\sigma_{\text{บน}} = \dfrac{30\times10^6(150)}{850\times10^6} = 5.29$ MPa (อัด) · $\sigma_{\text{ล่าง}} = \dfrac{30\times10^6(250)}{850\times10^6} = 8.82$ MPa (ดึง)

$A = 60\,000$ mm² · $\bar y = 250$ mm · $I = 850\times10^6$ mm⁴ · $\sigma_{\text{บน}} = 5.29$ MPa, $\sigma_{\text{ล่าง}} = 8.82$ MPa

1. $c_1 = 0\cdot0 - 300\cdot0 = 0$ · $c_2 = 300\cdot500 - 300\cdot0 = 150\,000$ · $c_3 = 300\cdot500 - 0\cdot500 = 150\,000$ · $c_4 = 0\cdot0 - 0\cdot500 = 0$

2. $A = \tfrac12(0 + 150\,000 + 150\,000 + 0) = 150\,000$ mm² ($= 300\times500$ ✓)

3. จุดศูนย์ถ่วง:

   $$\bar y = \dfrac{1}{6A}\left[(0 + 0)\cdot0 + (0 + 500)(150\,000) + (500 + 500)(150\,000) + (500 + 0)\cdot0\right] = \dfrac{225\times10^6}{900\,000} = 250\ \text{mm}$$

   ตรงตามที่คาด ✓ (และ $\bar x = 150$)

4. $I_x$ (รอบแกนที่ขอบล่าง):

   $$I_x = \tfrac1{12}\left[(0 + 0 + 250\,000)\cdot150\,000 + (250\,000 + 250\,000 + 250\,000)\cdot150\,000\right] = \tfrac1{12}\left[37.5\times10^9 + 112.5\times10^9\right] = 12.5\times10^9\ \text{mm}^4$$

   ตรงกับ $bh^3/3 = 300\cdot500^3/3$ ✓

5. ย้ายไปแกนผ่านจุดศูนย์ถ่วง: $I_{\bar x} = I_x - A\bar y^2 = 12.5\times10^9 - 150\,000(250)^2 = 3.125\times10^9$ mm⁴ = $bh^3/12$ ✓

$A = 150\,000$ mm² · $(\bar x, \bar y) = (150, 250)$ · $I_{\bar x} = 3.125\times10^9$ mm⁴ (ตรงกับสูตร $bh^3/12$)

1. $R = \displaystyle\int_0^4\!\int_0^6\dfrac{10x}{6}\,dx\,dy = 4\cdot\dfrac{10}{6}\cdot\dfrac{36}{2} = 4\cdot30 = 120$ kN

2. $\bar x = \dfrac{1}{120}\displaystyle\int_0^4\!\int_0^6x\cdot\dfrac{10x}{6}\,dx\,dy = \dfrac{1}{120}\cdot4\cdot\dfrac{10}{6}\cdot\dfrac{216}{3} = \dfrac{480}{120} = 4.0$ m (สองในสามของ 6 — ตรงกับเรขาคณิตของพีระมิดลิ่ม)

3. $\bar y = 2.0$ m (สมมาตรตามแนว $y$) · แรงลัพธ์ 120 kN กระทำที่ $(4.0,\ 2.0)$ ตรวจในแล็บได้ $M = 120,\ \bar x = 4,\ \bar y = 2$

4. ถ้าแผ่นพื้นวางบนคานสองเส้นที่ $x = 0$ และ $x = 6$: ปฏิกิริยา $R_6 = 120\times\dfrac46 = 80$ kN และ $R_0 = 120\times\dfrac26 = 40$ kN (สมดุลโมเมนต์รอบ $x = 0$)

$R = 120$ kN ที่ $(\bar x, \bar y) = (4.0, 2.0)$ m · ปฏิกิริยาคาน 40 และ 80 kN

1. แรงดันที่ความลึก $d$: $p = \rho gd = 9810d$ Pa · ที่ฐาน $p = 196.2$ kPa

2. $F = \displaystyle\iint p\,dA = \int_0^{20}9810(20 - z)(100)\,dz = 9810\cdot100\cdot\dfrac{20^2}{2} = 1.962\times10^{8}$ N = 196.2 MN

3. ตำแหน่ง: $z_{cp} = \dfrac{\int_0^{20}z(20 - z)\,dz}{\int_0^{20}(20 - z)\,dz} = \dfrac{20^3/6}{20^2/2} = \dfrac{20}{3} = 6.67$ m เหนือฐาน (ต่ำกว่าครึ่งความสูงเพราะแรงดันมากที่ล่าง)

4. โมเมนต์พลิกคว่ำรอบฐาน $M = F\cdot z_{cp} = 196.2\times6.67 = 1308$ MN·m ต้องถูกต้านด้วยน้ำหนักของเขื่อนและแรงต้านดิน · ถ้าระดับน้ำเพิ่มเป็น 25 m แรงเพิ่ม $(25/20)^2 = 1.56$ เท่า (306.6 MN)

$F = 196.2$ MN ที่ $6.67$ m เหนือฐาน · $M = 1308$ MN·m

1. ระดับน้ำเป็นเส้นตรง $h(x) = h_1 - 5x/50$ ซึ่งเป็นคำตอบของลาปลาซ ($h'' = 0$) · gradient ไฮดรอลิก $i = |\nabla h| = 5/50 = 0.1$

2. ดาร์ซี: $v = Ki = 10^{-5}\times0.1 = 1.0\times10^{-6}$ m/s (ตามทิศ $-\nabla h$ คือจากฝั่งสูงไปต่ำ)

3. $Q = vA = 10^{-6}\times(10\times2) = 2.0\times10^{-5}$ m³/s = 1.73 m³/วัน

4. เทียบกับการนำความร้อนของผนังหนา (K-1) $q = k\Delta T/L$: รูปเดียวกัน $v \leftrightarrow q,\ K \leftrightarrow k,\ h \leftrightarrow T$ — ตารางเปรียบเทียบด้านล่าง

$v = 1.0\times10^{-6}$ m/s · $Q = 2.0\times10^{-5}$ m³/s $\approx 1.73$ m³/วัน

1. การไหลเข้าบ่อสมมาตรรอบแกน $h = h(r)$ · ลาปลาซ: $\dfrac1r\dfrac{d}{dr}\left(r\dfrac{dh}{dr}\right) = 0$ → $h = C_1\ln r + C_2$

2. ดาร์ซี: $v_r = -K\dfrac{dh}{dr} = -\dfrac{KC_1}{r}$ · ฟลักซ์ผ่านทรงกระบอกรัศมี $r$ สูง $T$: $Q = v_r(2\pi rT)$ = คงที่ → $C_1 = \dfrac{Q}{2\pi KT}$ (เมื่อ $Q$ ไหลเข้าบ่อ เครื่องหมายสลับ)

3. จากสองบ่อ: $h_2 - h_1 = C_1\ln\dfrac{r_2}{r_1}$ → $Q = \dfrac{2\pi KT(h_2 - h_1)}{\ln(r_2/r_1)} = \dfrac{2\pi(10^{-4})(20)(1.4)}{\ln10} = \dfrac{0.017593}{2.3026} = 7.64\times10^{-3}$ m³/s

4. $Q = 7.64$ L/s ≈ 660 m³/วัน · ตรวจแบบเดียวกับ K-2: อัตราไหลต่อความยาว/ความหนาเป็นค่าคงที่ทุกรัศมี

$Q = 7.64$ L/s (Thiem)