สัญญาณเบื้องต้น (Signals): แล็บสัญญาณต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่อง การแปลงเวลา และคอนโวลูชัน

Q: สัญญาณเวลาต่อเนื่องกับสัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลาต่างกันอย่างไร?

สัญญาณเวลาต่อเนื่อง x(t) มีค่าทุกขณะเวลา ส่วนสัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลา x[n] มีค่าเฉพาะที่จำนวนเต็ม n มักได้จากการสุ่ม x[n] = x(nT_s) สัญญาณเวลาต่อเนื่องอาจมีจุดกระโดดได้ เช่น u(t) จึงต้องแยกคำว่าเวลาต่อเนื่องออกจากคำว่าต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์

Q: ทำไมอิมพัลส์ δ(t) จึงวาดเป็นลูกศร?

เพราะ delta(t) ไม่ใช่ฟังก์ชันธรรมดา มีความกว้างเป็นศูนย์แต่มีพื้นที่เท่ากับ 1 ความสูงจึงวาดตามจริงไม่ได้ ลูกศรแทนตำแหน่ง และตัวเลขในวงเล็บบอกพื้นที่หรือน้ำหนักของอิมพัลส์

Q: x(2t − 4) เลื่อนไปกี่หน่วย?

เลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย ไม่ใช่ 4 เพราะ x(2t-4) = x(2(t-2)) ให้จัดรูปเป็น x(a(t-t_0)) ก่อนเสมอ จุดที่ tau ของสัญญาณเดิมจะไปอยู่ที่ t = t_0 + tau/a

Q: คอนโวลูชันใช้ทำอะไร?

ใช้หาผลตอบสนองของระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลา ถ้ารู้ผลตอบสนองอิมพัลส์ h(t) ของระบบ เอาต์พุตสำหรับอินพุตใด ๆ คือ y = x * h เช่น ระบบอันดับหนึ่งมี h(t) = tfrac{1}{tau}e^{-t/tau}u(t)

สัญญาณเบื้องต้น

พิมพ์สมการสัญญาณเองได้ หรือเลือกจากสัญญาณพื้นฐาน แล้วดูหน้าตาของสัญญาณพร้อมกันหลายมุม ทั้งอนุพันธ์ อินทิกรัล ส่วนคู่คี่ พลังงาน และสเปกตรัม ลองเลื่อน สเกล และกลับเวลา หรือนำสัญญาณสองตัวมาบวก คูณ และคอนโวลูชัน ใช้ได้ทั้งเวลาต่อเนื่อง x(t) และไม่ต่อเนื่อง x[n] อ่านทฤษฎีด้านล่าง ↓

สัญญาณ

x(t) =

ฟังก์ชันที่ใช้ได้

u(t) ขั้นบันได · r(t) แรมป์ · delta(t) อิมพัลส์ · rect(t) พัลส์กว้าง 1 · tri(t) สามเหลี่ยมฐาน 2 · sinc(t) = sin(πt)/(πt) · sgn(t) · sq(x) คลื่นสี่เหลี่ยม · saw(x) ฟันเลื่อย · sin cos tan exp ln sqrt abs floor mod(a,b) min max · ค่าคงที่ pi, e · ยกกำลังด้วย ^ · เขียน 2t หรือ 2pi t ได้ · ในโหมด x[n] ใช้ตัวแปร n

y = A·x(a(t − t₀)) + C

เลื่อนเวลา t₀

สเกลเวลา a (ลบ = กลับเวลา)

แอมพลิจูด A

เลื่อนแนวตั้ง C

แสดงขั้นกลาง ลูกศรติดตามจุดอ้างอิง

เส้นช่วยวิเคราะห์

เส้นทุกหน่วยเวลา จุดตัดศูนย์ จุดยอด/ร่อง จุดกระโดด (ไม่ต่อเนื่อง) ค่าเฉลี่ย (DC) ระดับ ±RMS จุดสุ่ม x(nTs)

คาบการสุ่ม Ts

// ทฤษฎีประกอบแล็บ

พื้นฐานของสัญญาณ

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต 12 ต.ค. 2569

สรุปใน 30 วินาที

สัญญาณคือฟังก์ชันของเวลา: $x(t)$ เวลาต่อเนื่อง หรือ $x[n]$ ไม่ต่อเนื่องทางเวลา
สัญญาณพื้นฐานผูกกันด้วยแคลคูลัส: $\delta \xrightarrow{\int} u \xrightarrow{\int} r$
$y(t) = x(a(t - t_0))$ : จุด τ เดิมไปอยู่ที่ $t = t_0 + \tau/a$
คอนโวลูชัน = กลับ เลื่อน คูณ แล้วหาพื้นที่ ใช้หาเอาต์พุตของระบบ

สัญญาณคืออะไร

สัญญาณคือปริมาณที่เปลี่ยนไปตามเวลาและเก็บข้อมูลบางอย่างไว้ เช่น แรงดันไฟบ้าน กระแสมอเตอร์ หรือค่าจากเซนเซอร์ เราเขียนเป็นฟังก์ชันของเวลาได้สองแบบ

ชนิด	สัญลักษณ์	นิยามอยู่ที่	ตัวอย่าง
เวลาต่อเนื่อง	$x(t)$	ทุกค่าจริง t	แรงดันบนสายไฟ
ไม่ต่อเนื่องทางเวลา	$x[n]$	เฉพาะจำนวนเต็ม n	ค่าที่ไมโครคอนโทรลเลอร์อ่านได้ทุก $T_s$

สัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลามักได้จากการสุ่ม $x[n] = x(nT_s)$ เปิด "จุดสุ่ม x(nTs)" ในแล็บแล้วลองปรับ $T_s$ ดู และระวังคำว่า "ต่อเนื่อง" สองความหมาย สัญญาณเวลาต่อเนื่องอาจ ไม่ต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์ ได้ เช่น $u(t)$ กระโดดที่ $t = 0$ แล็บแสดงจุดกระโดดด้วยจุดทึบและจุดโปร่ง

สัญญาณพื้นฐาน

ชื่อ	นิยาม	พิมพ์ในแล็บ
ขั้นบันได	$u(t) = 1$ เมื่อ $t \ge 0$ , 0 เมื่อ $t < 0$	`u(t)`
แรมป์	$r(t) = t\,u(t)$	`r(t)`
อิมพัลส์	$\delta(t) = 0$ เมื่อ $t \ne 0$ และ $\int\delta(t)\,dt = 1$	`delta(t)`
พัลส์สี่เหลี่ยม	$\operatorname{rect}(t) = 1$ เมื่อ $\|t\| < \tfrac12$	`rect(t)`
เอกซ์โพเนนเชียล	$e^{-at}u(t)$	`exp(-at)u(t)`
ไซน์	$A\cos(2\pi f t + \phi)$	`Acos(2pift + phi)`

สามตัวแรกผูกกันด้วยแคลคูลัส

r(t) = \int_{-\infty}^{t} u(\tau)\,d\tau \qquad u(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau)\,d\tau \qquad \delta(t) = \frac{du}{dt}

ในแล็บ เลือก $u(t)$ แล้วดูกราฟอนุพันธ์ (ได้อิมพัลส์) และกราฟอินทิกรัลสะสม (ได้แรมป์) สมบัติสำคัญของอิมพัลส์คือการกรอง (sifting): $\int x(t)\,\delta(t - t_0)\,dt = x(t_0)$

การแปลงตัวแปรเวลา

เขียนทุกการแปลงให้อยู่ในรูปเดียว

y(t) = A\,x\big(a(t - t_0)\big) + C \qquad\text{จุด } \tau \text{ ของ } x \text{ ไปอยู่ที่ } t = t_0 + \frac{\tau}{a}

$t_0 > 0$ เลื่อนไปทางขวา (ล่าช้า) · $t_0 < 0$ เลื่อนไปทางซ้าย
$|a| > 1$ บีบเข้า · $|a| < 1$ ยืดออก · $a < 0$ กลับเวลา

ตัวอย่างที่ 1 · จุดที่มักพลาด

สัญญาณ $x(2t - 4)$ เลื่อนไปกี่หน่วยเมื่อเทียบกับ $x(t)$

ดูวิธีทำ

x(2t - 4) = x\big(2(t - 2)\big) \quad\Rightarrow\quad a = 2,\ t_0 = 2

บีบเข้า 2 เท่า แล้วเลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย ไม่ใช่ 4 จุด τ = 0 ของสัญญาณเดิมไปอยู่ที่ t = 2 และจุด τ = 1 ไปอยู่ที่ t = 2.5 ลองตั้ง a = 2, t₀ = 2 ในโหมด "แปลงทางเวลา" แล้วดูลูกศร

สัญญาณคู่และสัญญาณคี่

x_e(t) = \tfrac12\big[x(t) + x(-t)\big] \qquad x_o(t) = \tfrac12\big[x(t) - x(-t)\big] \qquad x(t) = x_e(t) + x_o(t)

สัญญาณคู่สมมาตรรอบแกนตั้ง เช่น $\cos t$ สัญญาณคี่สมมาตรรอบจุดกำเนิด เช่น $\sin t$ ทุกสัญญาณแยกเป็นผลรวมของสองส่วนนี้ได้เสมอ แล็บแสดงทั้งสองส่วนและสัดส่วนพลังงาน

พลังงานและกำลังของสัญญาณ

E = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2\,dt \qquad P = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} |x(t)|^2\,dt

สัญญาณพลังงาน: E จำกัด (P = 0) เช่น $e^{-t}u(t)$ มี $E = \int_0^\infty e^{-2t}\,dt = \tfrac12$
สัญญาณกำลัง: E ไม่จำกัดแต่ P จำกัด เช่น $A\cos\omega t$ มี $P = A^2/2$

ลองเลือก exp(-t)*u(t) ในแล็บ ค่า E จะออกมาใกล้ 0.5 และเส้นพลังงานสะสมจะนิ่ง ส่วนโคไซน์เส้นจะเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ

สัญญาณคาบ

สัญญาณคาบทุกตัวเขียนเป็นผลรวมของไซน์ที่ความถี่เป็นจำนวนเต็มเท่าของ $1/T$ ได้ เรียนวิธีหาและใช้งานในวงจรไฟฟ้าทีละขั้นที่ อนุกรมฟูเรียร์และการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก และลองใน แล็บวิเคราะห์ฮาร์มอนิก

สัญญาณเป็นคาบเมื่อ $x(t + T) = x(t)$ ทุก t ผลรวมไซน์หลายตัวเป็นคาบเมื่ออัตราส่วนความถี่เป็นจำนวนตรรกยะ สำหรับเวลาไม่ต่อเนื่องมีข้อควรระวัง $\cos(\omega_0 n)$ เป็นคาบก็ต่อเมื่อ $\omega_0/2\pi$ เป็นจำนวนตรรกยะ

ตัวอย่างที่ 2

$\cos(\pi n/4)$ และ $\cos(n)$ เป็นคาบหรือไม่

ดูวิธีทำ

$\cos(\pi n/4)$ : $\omega_0/2\pi = 1/8$ เป็นตรรกยะ คาบพื้นฐาน $N_0 = 8$

$\cos(n)$ : $\omega_0/2\pi = 1/(2\pi)$ เป็นอตรรกยะ จึง ไม่เป็นคาบ แม้ $\cos t$ จะเป็นคาบก็ตาม

ในแล็บโหมด x[n] ลองพิมพ์ cos(pi*n/4) จะพบ N₀ = 8 ส่วน cos(n) จะไม่พบคาบ

การดำเนินการระหว่างสัญญาณ

การบวกและคูณทำทีละเวลา การคูณสัญญาณช้ากับสัญญาณเร็วคือการมอดูเลต ผลลัพธ์ถูกจำกัดอยู่ในเปลือกของตัวคูณ ส่วนคอนโวลูชันคือหัวใจของวิชาสัญญาณและระบบ

y(t) = (x_1 * x_2)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x_1(\tau)\,x_2(t - \tau)\,d\tau \qquad y[n] = \sum_{k} x_1[k]\,x_2[n-k]

อ่านเป็นขั้นตอน: กลับ

x_2

→ เลื่อนไปที่ t → คูณกับ

x_1

→ หาพื้นที่

พื้นที่ใต้ y เท่ากับพื้นที่ใต้ $x_1$ คูณพื้นที่ใต้ $x_2$
ความยาวของ y เท่ากับความยาวของ $x_1$ บวกความยาวของ $x_2$
คอนโวลูชันกับ $\delta(t - t_0)$ คือการเลื่อนสัญญาณไป $t_0$

ตัวอย่างที่ 3

หา $\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)$ และ $u[n] * u[n]$

ดูวิธีทำ

พัลส์กว้าง 1 สองตัวซ้อนกันมากที่สุดที่ t = 0 และเหลื่อมกันเป็นเส้นตรงเมื่อเลื่อนออก จึงได้สามเหลี่ยมฐานกว้าง 2 พื้นที่ 1 × 1 = 1

\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) = \operatorname{tri}(t) \qquad u[n] * u[n] = \sum_{k=0}^{n} 1 = (n+1)\,u[n]

ลองในโหมด "ดำเนินการระหว่างสัญญาณ" ตั้ง x₁ = x₂ = rect(t) แล้วกด "เลื่อน t" จะเห็นพื้นที่แรเงาโตขึ้นแล้วเล็กลงเป็นรูปสามเหลี่ยม

คอนโวลูชันเชื่อมกับบทก่อนหน้าโดยตรง เอาต์พุตของระบบคือคอนโวลูชันระหว่างอินพุตกับผลตอบสนองอิมพัลส์ $h(t)$ ลองตั้ง x₁ = u(t) และ x₂ = exp(-t)*u(t) จะได้ $1 - e^{-t}$ ซึ่งคือผลตอบสนองขั้นบันไดใน แล็บระบบอันดับหนึ่ง ที่ τ = 1

ต่อยอด: สัญญาณในระบบควบคุม

สัญญาณขั้นบันได อิมพัลส์ และไซน์ คืออินพุตทดสอบมาตรฐานของระบบควบคุม ไซน์นำไปสู่ผลตอบสนองความถี่และโบด ส่วนสัญญาณไม่ต่อเนื่อง x[n] นำไปสู่ระบบควบคุมดิจิทัลและการแปลง z

คำถามที่พบบ่อย

สัญญาณเวลาต่อเนื่องกับสัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลาต่างกันอย่างไร?

สัญญาณเวลาต่อเนื่อง $x(t)$ มีค่าทุกขณะเวลา ส่วนสัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลา $x[n]$ มีค่าเฉพาะที่จำนวนเต็ม n มักได้จากการสุ่ม $x[n] = x(nT_s)$ สัญญาณเวลาต่อเนื่องอาจมีจุดกระโดดได้ เช่น $u(t)$ จึงต้องแยกคำว่าเวลาต่อเนื่องออกจากคำว่าต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์

ทำไมอิมพัลส์ δ(t) จึงวาดเป็นลูกศร?

เพราะ $\delta(t)$ ไม่ใช่ฟังก์ชันธรรมดา มีความกว้างเป็นศูนย์แต่มีพื้นที่เท่ากับ 1 ความสูงจึงวาดตามจริงไม่ได้ ลูกศรแทนตำแหน่ง และตัวเลขในวงเล็บบอกพื้นที่หรือน้ำหนักของอิมพัลส์

x(2t − 4) เลื่อนไปกี่หน่วย?

เลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย ไม่ใช่ 4 เพราะ $x(2t-4) = x(2(t-2))$ ให้จัดรูปเป็น $x(a(t-t_0))$ ก่อนเสมอ จุดที่ $\tau$ ของสัญญาณเดิมจะไปอยู่ที่ $t = t_0 + \tau/a$

คอนโวลูชันใช้ทำอะไร?

ใช้หาผลตอบสนองของระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลา ถ้ารู้ผลตอบสนองอิมพัลส์ $h(t)$ ของระบบ เอาต์พุตสำหรับอินพุตใด ๆ คือ $y = x * h$ เช่น ระบบอันดับหนึ่งมี $h(t) = \tfrac{1}{\tau}e^{-t/\tau}u(t)$

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

สัญญาณเบื้องต้น

หน้าตาของสัญญาณ

กลับแล้วเลื่อน (flip and slide)

อนุพันธ์ dx/dt

ผลต่างลำดับแรก x[n] − x[n−1]

อินทิกรัลสะสม ∫x dτ

ผลรวมสะสม Σ x[k]

ส่วนคู่ xₑ = ½[x(t) + x(−t)]

ส่วนคู่ xₑ[n] = ½(x[n] + x[−n])

ส่วนคี่ xₒ = ½[x(t) − x(−t)]

ส่วนคี่ xₒ[n] = ½(x[n] − x[−n])

พลังงานสะสม

สเปกตรัมขนาด

ขั้น 1 · เลื่อน

ขั้น 2 · สเกล/กลับ

ขั้น 3 · แอมพลิจูด

สเปกตรัมก่อนและหลังแปลง

สเปกตรัมของ x₁, x₂ และผลลัพธ์

พื้นฐานของสัญญาณ

สัญญาณคืออะไร

สัญญาณพื้นฐาน

การแปลงตัวแปรเวลา

สัญญาณ $x(2t - 4)$ เลื่อนไปกี่หน่วยเมื่อเทียบกับ $x(t)$

สัญญาณคู่และสัญญาณคี่

พลังงานและกำลังของสัญญาณ

สัญญาณคาบ

$\cos(\pi n/4)$ และ $\cos(n)$ เป็นคาบหรือไม่

การดำเนินการระหว่างสัญญาณ

หา $\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)$ และ $u[n] * u[n]$

ต่อยอด: สัญญาณในระบบควบคุม

คำถามที่พบบ่อย

สัญญาณคืออะไร

สัญญาณพื้นฐาน

การแปลงตัวแปรเวลา

สัญญาณ x(2t−4)x(2t - 4)x(2t−4) เลื่อนไปกี่หน่วยเมื่อเทียบกับ x(t)x(t)x(t)

สัญญาณคู่และสัญญาณคี่

พลังงานและกำลังของสัญญาณ

สัญญาณคาบ

cos⁡(πn/4)\cos(\pi n/4)cos(πn/4) และ cos⁡(n)\cos(n)cos(n) เป็นคาบหรือไม่

การดำเนินการระหว่างสัญญาณ

หา rect⁡(t)∗rect⁡(t)\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)rect(t)∗rect(t) และ u[n]∗u[n]u[n] * u[n]u[n]∗u[n]

ต่อยอด: สัญญาณในระบบควบคุม

คำถามที่พบบ่อย

สัญญาณ $x(2t - 4)$ เลื่อนไปกี่หน่วยเมื่อเทียบกับ $x(t)$

$\cos(\pi n/4)$ และ $\cos(n)$ เป็นคาบหรือไม่

หา $\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)$ และ $u[n] * u[n]$