ระบบไม่เชิงเส้นและการควบคุมแบบทนทาน

U1 Describing functions ฟังก์ชันพรรณนา (เกนสมมูลต่อไซน์แอมพลิจูด $a$)

$$\text{รีเลย์ } \pm d:\ N(a) = \frac{4d}{\pi a}, \qquad \text{อิ่มตัว (ชัน } k, \text{ ขีด } \delta):\ N(a) = \frac{2k}{\pi}\left[\sin^{-1}\frac{\delta}{a} + \frac{\delta}{a}\sqrt{1 - \frac{\delta^2}{a^2}}\right]\ (a \gt \delta)$$

ประมาณเฉพาะฮาร์มอนิกหลัก ใช้ได้ดีเมื่อพลานต์กรองฮาร์มอนิกสูง (low-pass) · อิ่มตัว: $N$ ลดลงเมื่อ $a$ เพิ่ม (เกนประสิทธิผลลดลง) · $N(a)$ คือ $b_1/a$ ของอนุกรมฟูเรียร์ของขาออก (รีเลย์ = สี่เหลี่ยม W1, อิ่มตัว = ไซน์ตัดยอด W16)

U2 Limit-cycle prediction ทำนายลิมิตไซเคิล

$$1 + N(a)G(j\omega) = 0 \iff G(j\omega) = -\frac{1}{N(a)}$$

วาด $-1/N(a)$ บนกราฟไนควิสต์ จุดตัดให้ทั้งแอมพลิจูดและความถี่ของการแกว่ง · เป็นหลักการของ relay auto-tune

U3 Lyapunov's direct method วิธีตรงของลียาปูนอฟ

$$V(\mathbf 0) = 0,\ \ V(\mathbf x) \gt 0 \ (\mathbf x \ne \mathbf 0),\ \ \dot V = \nabla V\cdot f(\mathbf x) \lt 0 \ \Rightarrow\ \text{เสถียรเชิงอาการ}$$

ถ้า $V \to \infty$ เมื่อ $\|\mathbf x\| \to \infty$ ด้วย จะเสถียรแบบทั่วทั้งปริภูมิ (global) · ระบบเชิงเส้น: $V = \mathbf x^TP\mathbf x$ กับ $A^TP + PA = -Q$

U4 Lyapunov's indirect method วิธีอ้อม (ทำให้เป็นเชิงเส้น)

$$J = \left.\frac{\partial f}{\partial\mathbf x}\right|_{\mathbf x_0}:\ \ \operatorname{Re}\lambda_i(J) \lt 0 \Rightarrow \text{เสถียรเฉพาะที่}, \quad \operatorname{Re}\lambda_i \gt 0 \text{ บางตัว} \Rightarrow \text{ไม่เสถียร}$$

ถ้ามี $\operatorname{Re}\lambda = 0$ สรุปไม่ได้ ต้องใช้วิธีตรง · เป็นเหตุผลที่การทำให้เป็นเชิงเส้นใช้ได้

U5 Sliding mode control ควบคุมแบบโหมดเลื่อน

$$\sigma = \dot e + \lambda e, \qquad u = u_{eq} - k\,\operatorname{sign}(\sigma), \quad k \gt |\text{ความไม่แน่นอน}|$$

บังคับให้สถานะเลื่อนบนผิว $\sigma = 0$ ซึ่ง $e \to 0$ แบบ $e^{-\lambda t}$ ทนต่อการรบกวนที่จำกัดขอบเขตได้สมบูรณ์ · ข้อเสีย: chattering แก้ด้วย $\operatorname{sat}(\sigma/\phi)$ แทน sign · ใช้ในไดรฟ์มอเตอร์และตัวแปลงกำลัง

U6 Robust stability (multiplicative uncertainty) เสถียรภาพทนทาน

$$G_{\text{จริง}} = G(1 + W\Delta),\ |\Delta| \le 1 \quad\Rightarrow\quad \text{เสถียรทุกพลานต์} \iff |W(j\omega)T(j\omega)| \lt 1 \ \ \forall\omega$$

$|W(j\omega)|$ = ขนาดความไม่แน่นอนสัมพัทธ์ที่แต่ละความถี่ (มักเล็กที่ความถี่ต่ำ โตที่ความถี่สูง) · จึงต้องให้ $|T|$ เล็กที่ความถี่สูง: แบนด์วิดท์ถูกจำกัดด้วยความรู้เรื่องพลานต์

U7 Small-gain theorem ทฤษฎีบทเกนเล็ก

$$\|G_1\|_\infty\,\|G_2\|_\infty \lt 1 \ \Rightarrow\ \text{ระบบป้อนกลับของ } G_1, G_2 \text{ เสถียร}$$

ใช้ได้แม้ $G_2$ ไม่เชิงเส้นหรือแปรตามเวลา (ใช้เกนแบบ $L_2$) · เป็นฐานของ H∞ control ซึ่งออกแบบตัวควบคุมให้ $\|W_1S\|_\infty$ และ $\|W_2T\|_\infty$ เล็กที่สุดพร้อมกัน