หน้าแรก คลังความรู้ การแปลงลาปลาซ Laplace Transform // บทที่ 8 · คณิตศาสตร์วิศวกรรม · Laplace Transform
การแปลงลาปลาซ (Laplace Transform): นิยาม ตาราง และเส้นทางเรียนครบชุด
วงจรที่มีตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำให้สมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งแก้ตรง ๆ ได้ยาก การแปลงลาปลาซเปลี่ยนปัญหานี้ให้เป็นพีชคณิต แก้เสร็จแล้วค่อยแปลงกลับ และยังเป็นรากฐานของฟังก์ชันถ่ายโอนในวิชาระบบควบคุม หน้านี้คือภาพรวม นิยาม และตาราง ส่วนรายละเอียดเชิงลึกแยกเป็น 5 หน้า ตั้งแต่จำนวนเชิงซ้อนและเรซิดิว ไปจนถึงการแปลงกลับทุกกรณีแบบตำรา Ogata
สรุปใน 30 วินาที
นิยาม F ( s ) = ∫ 0 − ∞ f ( t ) e − s t d t F(s) = \int_{0^-}^\infty f(t)\,e^{-st}\,dt F ( s ) = ∫ 0 − ∞ f ( t ) e − s t d t s = σ + j ω s = \sigma + j\omega s = σ + jω
หาอนุพันธ์ในโดเมนเวลา = คูณด้วย s s s L { f ′ } = s F ( s ) − f ( 0 − ) \mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0^-) L { f ′ } = s F ( s ) − f ( 0 − ) คุณสมบัติครบ
คำตอบใน s มักเป็นเศษส่วนพหุนาม แปลงกลับด้วยเศษส่วนย่อยหรือเรซิดิว Inverse Laplace
ตำแหน่งโพลบนระนาบ s บอกรูปร่างคำตอบทั้งหมด: ซ้าย = ลดลง ขวา = โตขึ้น ห่างแกนจริง = แกว่ง โพล-ซีโร่และ ROC
ระดับ พื้นฐาน ปี 1–2กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย
แนวคิด: เปลี่ยนแคลคูลัสเป็นพีชคณิต พื้นฐาน
โดเมนเวลา สมการเชิงอนุพันธ์ของวงจร
→ ℒ →
โดเมน s แก้สมการพีชคณิตหา
Y ( s ) Y(s) Y ( s ) → ℒ⁻¹ →
โดเมนเวลา ได้คำตอบ
y ( t ) y(t) y ( t )
เทียบได้กับการใช้ลอการิทึมเปลี่ยนการคูณเป็นการบวก การแปลงลาปลาซเปลี่ยนการหาอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s s s s s s จำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันวิเคราะห์
เหตุที่ใช้ e − s t e^{-st} e − s t e s t e^{st} e s t e s t e^{st} e s t H ( s ) e s t H(s)\,e^{st} H ( s ) e s t e s t e^{st} e s t
นิยามการแปลงลาปลาซ พื้นฐาน
L1 Unilateral Laplace transform
F ( s ) = L { f ( t ) } = ∫ 0 − ∞ f ( t ) e − s t d t , s = σ + j ω F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0^-}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt, \qquad s = \sigma + j\omega F ( s ) = L { f ( t )} = ∫ 0 − ∞ f ( t ) e − s t d t , s = σ + jω ขีดล่าง 0 − 0^- 0 − δ ( t ) \delta(t) δ ( t ) t = 0 t = 0 t = 0 f ( 0 − ) f(0^-) f ( 0 − )
L2 Bilateral Laplace transform
X ( s ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − s t d t X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-st}\,dt X ( s ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − s t d t ใช้ในวิชาสัญญาณและระบบ ต้องระบุ ROC คู่กับ X ( s ) X(s) X ( s ) หน้า ROC
L3 Inverse (Bromwich) integral
f ( t ) = 1 2 π j ∫ c − j ∞ c + j ∞ F ( s ) e s t d s f(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{c - j\infty}^{c + j\infty} F(s)\,e^{st}\,ds f ( t ) = 2 πj 1 ∫ c − j ∞ c + j ∞ F ( s ) e s t d s เส้น Re s = c \operatorname{Re}s = c Re s = c หน้า 8.5
L4 Existence
f ต่อเนื่องเป็นช่วงบน [ 0 , ∞ ) และ ∣ f ( t ) ∣ ≤ M e α t ⇒ F ( s ) มีค่าสำหรับ Re s > α f \text{ ต่อเนื่องเป็นช่วงบน } [0, \infty) \ \text{และ}\ |f(t)| \le Me^{\alpha t} \ \Rightarrow\ F(s) \text{ มีค่าสำหรับ } \operatorname{Re}s > \alpha f ต่อเนื่องเป็นช่วงบน [ 0 , ∞ ) และ ∣ f ( t ) ∣ ≤ M e α t ⇒ F ( s ) มีค่าสำหรับ Re s > α เรียกว่า f f f อันดับเอกซ์โพเนนเชียล (exponential order) α \alpha α e t 2 e^{t^2} e t 2
ตัวอย่าง L-1 · จากนิยาม หา L { e − a t } \mathcal{L}\{e^{-at}\} L { e − a t }
L { e − a t } = ∫ 0 ∞ e − a t e − s t d t = ∫ 0 ∞ e − ( s + a ) t d t \mathcal{L}\{e^{-at}\} = \int_0^{\infty} e^{-at}e^{-st}\,dt = \int_0^{\infty} e^{-(s+a)t}\,dt L { e − a t } = ∫ 0 ∞ e − a t e − s t d t = ∫ 0 ∞ e − ( s + a ) t d t อินทิเกรตได้ แต่ขอบบนต้องเป็นศูนย์ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ Re ( s + a ) > 0 \operatorname{Re}(s+a) > 0 Re ( s + a ) > 0 ∣ e − ( s + a ) t ∣ = e − ( σ + a ) t |e^{-(s+a)t}| = e^{-(\sigma+a)t} ∣ e − ( s + a ) t ∣ = e − ( σ + a ) t
= [ − e − ( s + a ) t s + a ] 0 ∞ = 0 − ( − 1 s + a ) = 1 s + a = \left[\frac{-e^{-(s+a)t}}{s+a}\right]_0^{\infty} = 0 - \left(\frac{-1}{s+a}\right) = \frac{1}{s+a} = [ s + a − e − ( s + a ) t ] 0 ∞ = 0 − ( s + a − 1 ) = s + a 1
L { e − a t } = 1 s + a \mathcal{L}\{e^{-at}\} = \dfrac{1}{s+a} L { e − a t } = s + a 1 Re s > − a \operatorname{Re}s > -a Re s > − a a = 0 a = 0 a = 0 L { 1 } = 1 s \mathcal{L}\{1\} = \dfrac{1}{s} L { 1 } = s 1 Re s > 0 \operatorname{Re}s > 0 Re s > 0
ตัวอย่าง L-2 · ใช้ออยเลอร์แทนการอินทิเกรตทีละส่วน หา L { cos ω t } \mathcal{L}\{\cos\omega t\} L { cos ω t } L { sin ω t } \mathcal{L}\{\sin\omega t\} L { sin ω t }
ใช้ e j ω t = cos ω t + j sin ω t e^{j\omega t} = \cos\omega t + j\sin\omega t e jω t = cos ω t + j sin ω t a = − j ω a = -j\omega a = − jω
L { e j ω t } = 1 s − j ω = s + j ω s 2 + ω 2 = s s 2 + ω 2 + j ω s 2 + ω 2 \mathcal{L}\{e^{j\omega t}\} = \frac{1}{s - j\omega} = \frac{s + j\omega}{s^2 + \omega^2} = \frac{s}{s^2+\omega^2} + j\,\frac{\omega}{s^2+\omega^2} L { e jω t } = s − jω 1 = s 2 + ω 2 s + jω = s 2 + ω 2 s + j s 2 + ω 2 ω เทียบส่วนจริงกับส่วนจินตภาพ (ลาปลาซเป็นเชิงเส้น และสำหรับ s s s
L { cos ω t } = s s 2 + ω 2 \mathcal{L}\{\cos\omega t\} = \dfrac{s}{s^2+\omega^2} L { cos ω t } = s 2 + ω 2 s L { sin ω t } = ω s 2 + ω 2 \ \mathcal{L}\{\sin\omega t\} = \dfrac{\omega}{s^2+\omega^2} L { sin ω t } = s 2 + ω 2 ω Re s > 0 \operatorname{Re}s > 0 Re s > 0 ± j ω \pm j\omega ± jω
ทั้ง 5 หน้าในชุดการแปลงลาปลาซ
เรียงจากพื้นฐานคณิตศาสตร์ไปสู่การใช้งาน อ่านตามลำดับ 8.1 ถึง 8.5 หรือกระโดดไปหน้าที่ต้องการ ตัวอักษรท้ายการ์ดคือรหัสสูตรของหน้านั้น
ตารางคู่การแปลงที่ใช้บ่อย พร้อม ROC พื้นฐาน
ทุกคู่ในตารางเป็นการแปลงด้านเดียว (f ( t ) = 0 f(t) = 0 f ( t ) = 0 t < 0 t < 0 t < 0 u ( t ) u(t) u ( t ) หน้า ROC
# f ( t ) , t ≥ 0 f(t),\ t \ge 0 f ( t ) , t ≥ 0 F ( s ) F(s) F ( s ) ROC โพล
1 δ ( t ) \delta(t) δ ( t ) 1 1 1 ทั้งระนาบ ไม่มี 2 δ ( t − T ) \delta(t-T) δ ( t − T ) e − s T e^{-sT} e − s T ทั้งระนาบ ไม่มี 3 u ( t ) u(t) u ( t ) 1 1 1 1 s \dfrac{1}{s} s 1 σ > 0 \sigma > 0 σ > 0 0 0 0 4 u ( t − T ) u(t - T) u ( t − T ) e − s T s \dfrac{e^{-sT}}{s} s e − s T σ > 0 \sigma > 0 σ > 0 0 0 0 5 t t t 1 s 2 \dfrac{1}{s^2} s 2 1 σ > 0 \sigma > 0 σ > 0 0 0 0 6 t n , n = 1 , 2 , … t^n,\ n = 1, 2, \dots t n , n = 1 , 2 , … (พิสูจน์) n ! s n + 1 \dfrac{n!}{s^{n+1}} s n + 1 n ! σ > 0 \sigma > 0 σ > 0 0 0 0 n + 1 n+1 n + 1 7 e − a t e^{-at} e − a t 1 s + a \dfrac{1}{s+a} s + a 1 σ > − a \sigma > -a σ > − a − a -a − a 8 t e − a t t\,e^{-at} t e − a t 1 ( s + a ) 2 \dfrac{1}{(s+a)^2} ( s + a ) 2 1 σ > − a \sigma > -a σ > − a − a -a − a 9 t n − 1 ( n − 1 ) ! e − a t \dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at} ( n − 1 )! t n − 1 e − a t 1 ( s + a ) n \dfrac{1}{(s+a)^n} ( s + a ) n 1 σ > − a \sigma > -a σ > − a − a -a − a n n n 10 sin ω t \sin\omega t sin ω t ω s 2 + ω 2 \dfrac{\omega}{s^2+\omega^2} s 2 + ω 2 ω σ > 0 \sigma > 0 σ > 0 ± j ω \pm j\omega ± jω 11 cos ω t \cos\omega t cos ω t s s 2 + ω 2 \dfrac{s}{s^2+\omega^2} s 2 + ω 2 s σ > 0 \sigma > 0 σ > 0 ± j ω \pm j\omega ± jω 12 e − a t sin ω t e^{-at}\sin\omega t e − a t sin ω t ω ( s + a ) 2 + ω 2 \dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2} ( s + a ) 2 + ω 2 ω σ > − a \sigma > -a σ > − a − a ± j ω -a \pm j\omega − a ± jω 13 e − a t cos ω t e^{-at}\cos\omega t e − a t cos ω t s + a ( s + a ) 2 + ω 2 \dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2} ( s + a ) 2 + ω 2 s + a σ > − a \sigma > -a σ > − a − a ± j ω -a \pm j\omega − a ± jω 14 sinh a t \sinh at sinh a t a s 2 − a 2 \dfrac{a}{s^2-a^2} s 2 − a 2 a σ > ∣ a ∣ \sigma > |a| σ > ∣ a ∣ ± a \pm a ± a 15 cosh a t \cosh at cosh a t s s 2 − a 2 \dfrac{s}{s^2-a^2} s 2 − a 2 s σ > ∣ a ∣ \sigma > |a| σ > ∣ a ∣ ± a \pm a ± a 16 1 b − a ( e − a t − e − b t ) \dfrac{1}{b-a}\left(e^{-at} - e^{-bt}\right) b − a 1 ( e − a t − e − b t ) 1 ( s + a ) ( s + b ) \dfrac{1}{(s+a)(s+b)} ( s + a ) ( s + b ) 1 σ > − min ( a , b ) \sigma > -\min(a,b) σ > − min ( a , b ) − a , − b -a,\ -b − a , − b 17 1 a ( 1 − e − a t ) \dfrac{1}{a}\left(1 - e^{-at}\right) a 1 ( 1 − e − a t ) 1 s ( s + a ) \dfrac{1}{s(s+a)} s ( s + a ) 1 σ > max ( 0 , − a ) \sigma > \max(0,-a) σ > max ( 0 , − a ) 0 , − a 0,\ -a 0 , − a 18 t sin ω t t\sin\omega t t sin ω t 2 ω s ( s 2 + ω 2 ) 2 \dfrac{2\omega s}{(s^2+\omega^2)^2} ( s 2 + ω 2 ) 2 2 ω s σ > 0 \sigma > 0 σ > 0 ± j ω \pm j\omega ± jω 19 t cos ω t t\cos\omega t t cos ω t s 2 − ω 2 ( s 2 + ω 2 ) 2 \dfrac{s^2-\omega^2}{(s^2+\omega^2)^2} ( s 2 + ω 2 ) 2 s 2 − ω 2 σ > 0 \sigma > 0 σ > 0 ± j ω \pm j\omega ± jω 20 1 2 ω 3 ( sin ω t − ω t cos ω t ) \dfrac{1}{2\omega^3}(\sin\omega t - \omega t\cos\omega t) 2 ω 3 1 ( sin ω t − ω t cos ω t ) 1 ( s 2 + ω 2 ) 2 \dfrac{1}{(s^2+\omega^2)^2} ( s 2 + ω 2 ) 2 1 σ > 0 \sigma > 0 σ > 0 ± j ω \pm j\omega ± jω 21 ω n 1 − ζ 2 e − ζ ω n t sin ω d t \dfrac{\omega_n}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta\omega_n t}\sin\omega_d t 1 − ζ 2 ω n e − ζ ω n t sin ω d t ω n 2 s 2 + 2 ζ ω n s + ω n 2 \dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2} s 2 + 2 ζ ω n s + ω n 2 ω n 2 σ > − ζ ω n \sigma > -\zeta\omega_n σ > − ζ ω n − ζ ω n ± j ω d -\zeta\omega_n \pm j\omega_d − ζ ω n ± j ω d 22 1 − e − ζ ω n t 1 − ζ 2 sin ( ω d t + ϕ ) , ϕ = cos − 1 ζ 1 - \dfrac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_d t + \phi),\ \phi = \cos^{-1}\zeta 1 − 1 − ζ 2 e − ζ ω n t sin ( ω d t + ϕ ) , ϕ = cos − 1 ζ ω n 2 s ( s 2 + 2 ζ ω n s + ω n 2 ) \dfrac{\omega_n^2}{s(s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2)} s ( s 2 + 2 ζ ω n s + ω n 2 ) ω n 2 σ > 0 \sigma > 0 σ > 0 0 , − ζ ω n ± j ω d 0,\ -\zeta\omega_n \pm j\omega_d 0 , − ζ ω n ± j ω d
ω d = ω n 1 − ζ 2 \omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2} ω d = ω n 1 − ζ 2 0 < ζ < 1 0 < \zeta < 1 0 < ζ < 1 แล็บระบบอันดับสอง
สมบัติสำคัญโดยย่อ พื้นฐาน
สมบัติ โดเมนเวลา โดเมน s
เชิงเส้น a f ( t ) + b g ( t ) af(t) + bg(t) a f ( t ) + b g ( t ) a F ( s ) + b G ( s ) aF(s) + bG(s) a F ( s ) + b G ( s ) เลื่อนทางเวลา f ( t − T ) u ( t − T ) f(t-T)\,u(t-T) f ( t − T ) u ( t − T ) e − s T F ( s ) e^{-sT}F(s) e − s T F ( s ) เลื่อนทางความถี่ e − a t f ( t ) e^{-at}f(t) e − a t f ( t ) F ( s + a ) F(s+a) F ( s + a ) สเกลเวลา f ( a t ) , a > 0 f(at),\ a > 0 f ( a t ) , a > 0 1 a F ( s / a ) \tfrac{1}{a}F(s/a) a 1 F ( s / a ) อนุพันธ์ f ′ ( t ) f'(t) f ′ ( t ) s F ( s ) − f ( 0 − ) sF(s) - f(0^-) s F ( s ) − f ( 0 − ) อนุพันธ์อันดับสอง f ′ ′ ( t ) f''(t) f ′′ ( t ) s 2 F ( s ) − s f ( 0 − ) − f ′ ( 0 − ) s^2F(s) - sf(0^-) - f'(0^-) s 2 F ( s ) − s f ( 0 − ) − f ′ ( 0 − ) ปริพันธ์ ∫ 0 t f ( τ ) d τ \int_0^t f(\tau)\,d\tau ∫ 0 t f ( τ ) d τ F ( s ) s \dfrac{F(s)}{s} s F ( s ) คูณด้วย t t t t f ( t ) t\,f(t) t f ( t ) − d F d s -\dfrac{dF}{ds} − d s d F คอนโวลูชัน ( f ∗ g ) ( t ) (f*g)(t) ( f ∗ g ) ( t ) F ( s ) G ( s ) F(s)G(s) F ( s ) G ( s ) ค่าเริ่มต้น · ค่าสุดท้าย f ( 0 + ) , f ( ∞ ) f(0^+),\ f(\infty) f ( 0 + ) , f ( ∞ ) lim s → ∞ s F ( s ) , lim s → 0 s F ( s ) \lim_{s\to\infty}sF(s),\ \lim_{s\to 0}sF(s) lim s → ∞ s F ( s ) , lim s → 0 s F ( s )
สมบัติอนุพันธ์คือหัวใจของทั้งบท เงื่อนไขเริ่มต้นเข้ามาอยู่ในสมการเองโดยอัตโนมัติ ที่มา ข้อควรระวัง ผลต่อ ROC และแล็บพิสูจน์ด้วยตัวเลขของทุกข้ออยู่ในหน้า 8.3 คุณสมบัติของการแปลงลาปลาซ
การแปลงกลับด้วยเศษส่วนย่อย กลาง
คำตอบในโดเมน s มักเป็นเศษส่วนของพหุนาม วิธีมาตรฐานคือแยกเป็นเศษส่วนย่อยที่มีอยู่ในตาราง แล้วแปลงกลับทีละพจน์ มีสี่กรณีหลัก: โพลเดี่ยวจริง โพลเชิงซ้อน โพลซ้ำ และเศษส่วนไม่แท้ ซึ่งอธิบายครบพร้อมตัวอย่างแบบ Ogata ในหน้า 8.5 ลองเครื่องคิดเลขด้านล่างได้เลย
ตัวอย่าง L-3 · ปิดตัวประกอบ (cover-up) หา f ( t ) f(t) f ( t ) F ( s ) = s + 5 ( s + 1 ) ( s + 2 ) F(s) = \dfrac{s+5}{(s+1)(s+2)} F ( s ) = ( s + 1 ) ( s + 2 ) s + 5 ลองในเครื่องคิดเลข
s + 5 ( s + 1 ) ( s + 2 ) = A s + 1 + B s + 2 \frac{s+5}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2} ( s + 1 ) ( s + 2 ) s + 5 = s + 1 A + s + 2 B ปิด ( s + 1 ) (s+1) ( s + 1 ) s = − 1 s = -1 s = − 1 ( s + 2 ) (s+2) ( s + 2 ) s = − 2 s = -2 s = − 2
A = − 1 + 5 − 1 + 2 = 4 B = − 2 + 5 − 2 + 1 = − 3 A = \frac{-1+5}{-1+2} = 4 \qquad B = \frac{-2+5}{-2+1} = -3 A = − 1 + 2 − 1 + 5 = 4 B = − 2 + 1 − 2 + 5 = − 3
f ( t ) = 4 e − t − 3 e − 2 t f(t) = 4e^{-t} - 3e^{-2t} f ( t ) = 4 e − t − 3 e − 2 t t ≥ 0 t \ge 0 t ≥ 0
ตรวจด้วยทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f ( 0 + ) = lim s → ∞ s F ( s ) = 1 f(0^+) = \lim_{s\to\infty}sF(s) = 1 f ( 0 + ) = lim s → ∞ s F ( s ) = 1 4 − 3 = 1 4 - 3 = 1 4 − 3 = 1
แก้วงจร RC ด้วยลาปลาซ พื้นฐาน
วงจร RC อนุกรม ตัวเก็บประจุไม่มีประจุเริ่มต้น v ( 0 − ) = 0 v(0^-) = 0 v ( 0 − ) = 0 V u ( t ) V\,u(t) V u ( t )
R C d v d t + v = V u ( t ) RC\,\frac{dv}{dt} + v = V\,u(t) RC d t d v + v = V u ( t )
ตัวอย่าง L-4 · วงจร หาแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ v ( t ) v(t) v ( t )
แปลงลาปลาซทั้งสองข้าง ใช้ L { v ′ } = s V C ( s ) − v ( 0 − ) = s V C ( s ) \mathcal{L}\{v'\} = sV_C(s) - v(0^-) = sV_C(s) L { v ′ } = s V C ( s ) − v ( 0 − ) = s V C ( s )
R C s V C ( s ) + V C ( s ) = V s ⇒ V C ( s ) = V s ( R C s + 1 ) = V ( 1 s − 1 s + 1 / R C ) RC\,sV_C(s) + V_C(s) = \frac{V}{s} \ \Rightarrow\ V_C(s) = \frac{V}{s\,(RCs + 1)} = V\left(\frac{1}{s} - \frac{1}{s + 1/RC}\right) RC s V C ( s ) + V C ( s ) = s V ⇒ V C ( s ) = s ( RC s + 1 ) V = V ( s 1 − s + 1/ RC 1 ) เปิดตารางแถว 3 และ 7 แปลงกลับทีละพจน์
v ( t ) = V ( 1 − e − t / R C ) v(t) = V\left(1 - e^{-t/RC}\right) v ( t ) = V ( 1 − e − t / RC ) ตัวเลข R = 10 k Ω R = 10\ \text{k}\Omega R = 10 k Ω C = 100 μ F C = 100\ \mu\text{F} C = 100 μ F V = 5 V = 5 V = 5 τ = R C = 1 \tau = RC = 1 τ = RC = 1
v ( 1 ) = 5 ( 1 − e − 1 ) ≈ 3.16 V v(1) = 5\left(1 - e^{-1}\right) \approx 3.16\ \text{V} v ( 1 ) = 5 ( 1 − e − 1 ) ≈ 3.16 V
ตัวเก็บประจุชาร์จได้ประมาณ 63% ของแรงดันเต็มภายในหนึ่งค่าคงตัวเวลา โดยไม่ต้องแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยตรงเลย ลองปรับ R และ C ในแล็บระบบอันดับหนึ่ง หรือแก้สมการแบบอื่นในหน้า 8.4
ฟังก์ชันถ่ายโอน กลาง
เมื่อเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์ อัตราส่วนของเอาต์พุตต่ออินพุตในโดเมน s ไม่ขึ้นกับสัญญาณที่ป้อน แต่ขึ้นกับตัวระบบเท่านั้น เรียกว่าฟังก์ชันถ่ายโอน และ h ( t ) = L − 1 { H ( s ) } h(t) = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)\} h ( t ) = L − 1 { H ( s )} L { δ ( t ) } = 1 \mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1 L { δ ( t )} = 1
L5 Transfer function
H ( s ) = Y ( s ) X ( s ) ∣ IC = 0 , y ( t ) = ( h ∗ x ) ( t ) H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}\bigg|_{\text{IC} = 0}, \qquad y(t) = (h * x)(t) H ( s ) = X ( s ) Y ( s ) IC = 0 , y ( t ) = ( h ∗ x ) ( t )
L6 Standard second-order system
H ( s ) = ω n 2 s 2 + 2 ζ ω n s + ω n 2 H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} H ( s ) = s 2 + 2 ζ ω n s + ω n 2 ω n 2
วงจร RC เป็นตัวอย่างของระบบอันดับหนึ่ง G ( s ) = K τ s + 1 G(s) = \dfrac{K}{\tau s + 1} G ( s ) = τ s + 1 K ระบบอันดับหนึ่ง ระบบอันดับสองพบในวงจร RLC และระบบควบคุม ω n \omega_n ω n ζ \zeta ζ ζ < 1 \zeta < 1 ζ < 1 เปิดแล็บระบบอันดับสอง
รวมทุกสูตรจากหน้า 8.1–8.5 พร้อมรหัสถาวร (Z จำนวนเชิงซ้อน · R โพล-ซีโร่และ ROC · P คุณสมบัติ · Q สมการเชิงอนุพันธ์ · V การแปลงกลับ) พิมพ์ไทยหรืออังกฤษก็ได้ เช่น residue ROC final value หรือรหัสตรง ๆ เช่น V8
ค้นหาสูตร
ทั้งหมด 99 สูตร
ทุกหน้า L · นิยาม · ตาราง Z · จำนวนเชิงซ้อน · ฟังก์ชันวิเคราะห์ R · โพล · ซีโร่ · ROC P · คุณสมบัติการแปลง Q · แก้สมการเชิงอนุพันธ์ V · Inverse Laplace
L1 Unilateral Laplace transform การแปลงลาปลาซด้านเดียว F ( s ) = L { f ( t ) } = ∫ 0 − ∞ f ( t ) e − s t d t , s = σ + j ω F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0^-}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt, \qquad s = \sigma + j\omega F ( s ) = L { f ( t )} = ∫ 0 − ∞ f ( t ) e − s t d t , s = σ + jω L2 Bilateral Laplace transform การแปลงสองด้าน X ( s ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − s t d t X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-st}\,dt X ( s ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − s t d t L3 Inverse (Bromwich) integral การแปลงกลับ f ( t ) = 1 2 π j ∫ c − j ∞ c + j ∞ F ( s ) e s t d s f(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{c - j\infty}^{c + j\infty} F(s)\,e^{st}\,ds f ( t ) = 2 πj 1 ∫ c − j ∞ c + j ∞ F ( s ) e s t d s L4 Existence เงื่อนไขการมีอยู่ (เงื่อนไขพอเพียง) f ต่อเนื่องเป็นช่วงบน [ 0 , ∞ ) และ ∣ f ( t ) ∣ ≤ M e α t ⇒ F ( s ) มีค่าสำหรับ Re s > α f \text{ ต่อเนื่องเป็นช่วงบน } [0, \infty) \ \text{และ}\ |f(t)| \le Me^{\alpha t} \ \Rightarrow\ F(s) \text{ มีค่าสำหรับ } \operatorname{Re}s > \alpha f ต่อเนื่องเป็นช่วงบน [ 0 , ∞ ) และ ∣ f ( t ) ∣ ≤ M e α t ⇒ F ( s ) มีค่าสำหรับ Re s > α L5 Transfer function ฟังก์ชันถ่ายโอน H ( s ) = Y ( s ) X ( s ) ∣ IC = 0 , y ( t ) = ( h ∗ x ) ( t ) H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}\bigg|_{\text{IC} = 0}, \qquad y(t) = (h * x)(t) H ( s ) = X ( s ) Y ( s ) IC = 0 , y ( t ) = ( h ∗ x ) ( t ) L6 Standard second-order system ระบบอันดับสองมาตรฐาน H ( s ) = ω n 2 s 2 + 2 ζ ω n s + ω n 2 H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} H ( s ) = s 2 + 2 ζ ω n s + ω n 2 ω n 2 Z1 Rectangular form รูปคาร์ทีเซียน z = x + j y , x = Re z , y = Im z , j 2 = − 1 z = x + jy,\quad x = \operatorname{Re}z,\ y = \operatorname{Im}z,\quad j^2 = -1 z = x + j y , x = Re z , y = Im z , j 2 = − 1 Z2 Arithmetic บวก ลบ คูณ ( a + j b ) ( c + j d ) = ( a c − b d ) + j ( a d + b c ) (a+jb)(c+jd) = (ac - bd) + j(ad + bc) ( a + jb ) ( c + j d ) = ( a c − b d ) + j ( a d + b c ) Z3 Conjugate & modulus สังยุคและขนาด z ˉ = x − j y , ∣ z ∣ = x 2 + y 2 , z z ˉ = ∣ z ∣ 2 \bar z = x - jy,\qquad |z| = \sqrt{x^2+y^2},\qquad z\bar z = |z|^2 z ˉ = x − j y , ∣ z ∣ = x 2 + y 2 , z z ˉ = ∣ z ∣ 2 Z4 Division หารด้วยการคูณสังยุค a + j b c + j d = ( a + j b ) ( c − j d ) c 2 + d 2 \frac{a+jb}{c+jd} = \frac{(a+jb)(c-jd)}{c^2+d^2} c + j d a + jb = c 2 + d 2 ( a + jb ) ( c − j d ) Z5 Polar form รูปเชิงขั้ว z = r ( cos θ + j sin θ ) = r ∠ θ , r = ∣ z ∣ , θ = arg z z = r(\cos\theta + j\sin\theta) = r\angle\theta,\quad r = |z|,\ \theta = \arg z z = r ( cos θ + j sin θ ) = r ∠ θ , r = ∣ z ∣ , θ = arg z Z6 Euler's formula สูตรของออยเลอร์ e j θ = cos θ + j sin θ ⇒ z = r e j θ e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta \ \Rightarrow\ z = re^{j\theta} e j θ = cos θ + j sin θ ⇒ z = r e j θ Z7 Products & De Moivre คูณ หาร ยกกำลัง z 1 z 2 = r 1 r 2 ∠ ( θ 1 + θ 2 ) , z 1 z 2 = r 1 r 2 ∠ ( θ 1 − θ 2 ) , z n = r n ∠ n θ z_1z_2 = r_1r_2\angle(\theta_1+\theta_2),\quad \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\angle(\theta_1-\theta_2),\quad z^n = r^n\angle n\theta z 1 z 2 = r 1 r 2 ∠ ( θ 1 + θ 2 ) , z 2 z 1 = r 2 r 1 ∠ ( θ 1 − θ 2 ) , z n = r n ∠ n θ Z8 n-th roots รากที่ n มี n ค่า z 1 / n = r 1 / n ∠ θ + 2 π k n , k = 0 , 1 , … , n − 1 z^{1/n} = r^{1/n}\angle\frac{\theta + 2\pi k}{n},\quad k = 0, 1, \dots, n-1 z 1/ n = r 1/ n ∠ n θ + 2 πk , k = 0 , 1 , … , n − 1 Z9 Complex frequency ความถี่เชิงซ้อน e s t = e ( σ + j ω ) t = e σ t ⏟ โต/หด ( cos ω t + j sin ω t ) ⏟ หมุน/แกว่ง , Re { e s t } = e σ t cos ω t e^{st} = e^{(\sigma + j\omega)t} = \underbrace{e^{\sigma t}}_{\text{โต/หด}}\ \underbrace{(\cos\omega t + j\sin\omega t)}_{\text{หมุน/แกว่ง}},\qquad \operatorname{Re}\{e^{st}\} = e^{\sigma t}\cos\omega t e s t = e ( σ + jω ) t = โต / หด e σ t หมุน / แกว่ง ( cos ω t + j sin ω t ) , Re { e s t } = e σ t cos ω t Z10 Complex function แยกส่วนจริง-จินตภาพ w = f ( z ) = u ( x , y ) + j v ( x , y ) w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y) w = f ( z ) = u ( x , y ) + j v ( x , y ) Z11 Complex limit ลิมิตต้องเท่ากันทุกทิศ lim z → z 0 f ( z ) = L ⟺ ∣ f ( z ) − L ∣ → 0 ไม่ว่า z จะเข้าหา z 0 จากทางใด \lim_{z\to z_0}f(z) = L \iff |f(z) - L| \to 0 \text{ ไม่ว่า } z \text{ จะเข้าหา } z_0 \text{ จากทางใด} z → z 0 lim f ( z ) = L ⟺ ∣ f ( z ) − L ∣ → 0 ไม่ว่า z จะเข้าหา z 0 จากทางใด Z12 Complex derivative อนุพันธ์เชิงซ้อน f ′ ( z 0 ) = lim Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z f'(z_0) = \lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z} f ′ ( z 0 ) = Δ z → 0 lim Δ z f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Z13 Cauchy–Riemann equations สมการโคชี-รีมันน์ ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} ∂ x ∂ u = ∂ y ∂ v , ∂ y ∂ u = − ∂ x ∂ v Z14 Cauchy–Riemann (polar) รูปเชิงขั้ว u r = 1 r v θ , v r = − 1 r u θ u_r = \frac{1}{r}v_\theta,\qquad v_r = -\frac{1}{r}u_\theta u r = r 1 v θ , v r = − r 1 u θ Z15 Analytic function ฟังก์ชันวิเคราะห์ f วิเคราะห์ที่ z 0 ⟺ f ′ มีค่าทุกจุดในย่านรอบ z 0 f \text{ วิเคราะห์ที่ } z_0 \iff f' \text{ มีค่าทุกจุดในย่านรอบ } z_0 f วิเคราะห์ที่ z 0 ⟺ f ′ มีค่าทุกจุดในย่านรอบ z 0 Z16 Harmonic parts u และ v เป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิก ∇ 2 u = u x x + u y y = 0 , ∇ 2 v = 0 \nabla^2 u = u_{xx} + u_{yy} = 0,\qquad \nabla^2 v = 0 ∇ 2 u = u xx + u yy = 0 , ∇ 2 v = 0 Z17 Zero of order m ซีโร่อันดับ m f ( z ) = ( z − z 0 ) m g ( z ) , g ( z 0 ) ≠ 0 f(z) = (z - z_0)^m g(z),\quad g(z_0) \ne 0 f ( z ) = ( z − z 0 ) m g ( z ) , g ( z 0 ) = 0 Z18 Pole of order m โพลอันดับ m f ( z ) = g ( z ) ( z − z 0 ) m , g วิเคราะห์ , g ( z 0 ) ≠ 0 f(z) = \frac{g(z)}{(z - z_0)^m},\quad g \text{ วิเคราะห์},\ g(z_0) \ne 0 f ( z ) = ( z − z 0 ) m g ( z ) , g วิเคราะห์ , g ( z 0 ) = 0 Z19 Types of isolated singularities ชนิดของภาวะเอกฐานเฉพาะจุด sin z z ⏟ ถอดได้ที่ 0 , 1 z 2 ( z + 1 ) ⏟ โพลอันดับ 2 ที่ 0 , อันดับ 1 ที่ − 1 , e 1 / z ⏟ สาระสำคัญที่ 0 \underbrace{\frac{\sin z}{z}}_{\text{ถอดได้ที่ }0},\qquad \underbrace{\frac{1}{z^2(z+1)}}_{\text{โพลอันดับ 2 ที่ }0,\ \text{อันดับ 1 ที่ }-1},\qquad \underbrace{e^{1/z}}_{\text{สาระสำคัญที่ }0} ถอดได้ที่ 0 z sin z , โพลอันดับ 2 ที่ 0 , อันดับ 1 ที่ − 1 z 2 ( z + 1 ) 1 , สาระสำคัญที่ 0 e 1/ z Z20 Taylor series อนุกรมเทย์เลอร์ f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( z 0 ) n ! ( z − z 0 ) n , ∣ z − z 0 ∣ < R f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z - z_0)^n,\quad |z - z_0| < R f ( z ) = n = 0 ∑ ∞ n ! f ( n ) ( z 0 ) ( z − z 0 ) n , ∣ z − z 0 ∣ < R Z21 Laurent series อนุกรมโลรองต์ f ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ a n ( z − z 0 ) n = ⋯ + a − 2 ( z − z 0 ) 2 + a − 1 z − z 0 ⏟ ส่วนหลัก (principal part) + a 0 + a 1 ( z − z 0 ) + ⋯ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z - z_0)^n = \underbrace{\cdots + \frac{a_{-2}}{(z-z_0)^2} + \frac{a_{-1}}{z - z_0}}_{\text{ส่วนหลัก (principal part)}} + a_0 + a_1(z-z_0) + \cdots f ( z ) = n = − ∞ ∑ ∞ a n ( z − z 0 ) n = ส่วนหลัก (principal part) ⋯ + ( z − z 0 ) 2 a − 2 + z − z 0 a − 1 + a 0 + a 1 ( z − z 0 ) + ⋯ Z22 Residue นิยาม Res z = z 0 f ( z ) = a − 1 = 1 2 π j ∮ C f ( z ) d z \operatorname{Res}_{z=z_0}f(z) = a_{-1} = \frac{1}{2\pi j}\oint_C f(z)\,dz Res z = z 0 f ( z ) = a − 1 = 2 πj 1 ∮ C f ( z ) d z Z23 Simple pole โพลเดี่ยว Res z = p f = lim z → p ( z − p ) f ( z ) \operatorname{Res}_{z=p}f = \lim_{z\to p}(z - p)f(z) Res z = p f = z → p lim ( z − p ) f ( z ) Z24 Simple pole of N/D ใช้อนุพันธ์ตัวส่วน Res z = p N ( z ) D ( z ) = N ( p ) D ′ ( p ) , D ( p ) = 0 , D ′ ( p ) ≠ 0 \operatorname{Res}_{z=p}\frac{N(z)}{D(z)} = \frac{N(p)}{D'(p)},\quad D(p) = 0,\ D'(p) \ne 0 Res z = p D ( z ) N ( z ) = D ′ ( p ) N ( p ) , D ( p ) = 0 , D ′ ( p ) = 0 Z25 Pole of order m โพลซ้ำ Res z = p f = 1 ( m − 1 ) ! lim z → p d m − 1 d z m − 1 [ ( z − p ) m f ( z ) ] \operatorname{Res}_{z=p}f = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to p}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{m-1}}\left[(z-p)^m f(z)\right] Res z = p f = ( m − 1 )! 1 z → p lim d z m − 1 d m − 1 [ ( z − p ) m f ( z ) ] Z26 Cauchy–Goursat theorem ทฤษฎีบทของโคชี f วิเคราะห์บนและภายในเส้นปิด C ⇒ ∮ C f ( z ) d z = 0 f \text{ วิเคราะห์บนและภายในเส้นปิด } C \ \Rightarrow\ \oint_C f(z)\,dz = 0 f วิเคราะห์บนและภายในเส้นปิด C ⇒ ∮ C f ( z ) d z = 0 Z27 Residue theorem ทฤษฎีบทเรซิดิว ∮ C f ( z ) d z = 2 π j ∑ k Res z = z k f ( z ) \oint_C f(z)\,dz = 2\pi j\sum_{k}\operatorname{Res}_{z=z_k}f(z) ∮ C f ( z ) d z = 2 πj k ∑ Res z = z k f ( z ) Z28 Inversion by residues การแปลงกลับด้วยเรซิดิว f ( t ) = 1 2 π j ∫ c − j ∞ c + j ∞ F ( s ) e s t d s = ∑ ทุกโพล p k Res s = p k [ F ( s ) e s t ] , t > 0 f(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty}F(s)e^{st}\,ds = \sum_{\text{ทุกโพล } p_k}\operatorname{Res}_{s=p_k}\left[F(s)e^{st}\right],\quad t > 0 f ( t ) = 2 πj 1 ∫ c − j ∞ c + j ∞ F ( s ) e s t d s = ทุกโพล p k ∑ Res s = p k [ F ( s ) e s t ] , t > 0 R1 Pole–zero–gain form รูปโพล-ซีโร่-เกน X ( s ) = N ( s ) D ( s ) = K ( s − z 1 ) ( s − z 2 ) ⋯ ( s − z m ) ( s − p 1 ) ( s − p 2 ) ⋯ ( s − p n ) X(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = K\,\frac{(s - z_1)(s - z_2)\cdots(s - z_m)}{(s - p_1)(s - p_2)\cdots(s - p_n)} X ( s ) = D ( s ) N ( s ) = K ( s − p 1 ) ( s − p 2 ) ⋯ ( s − p n ) ( s − z 1 ) ( s − z 2 ) ⋯ ( s − z m ) R2 Proper / improper เศษส่วนแท้และไม่แท้ m < n : แท้อย่างเข้ม , m = n : แท้ , m > n : ไม่แท้ m < n:\ \text{แท้อย่างเข้ม},\quad m = n:\ \text{แท้},\quad m > n:\ \text{ไม่แท้} m < n : แท้อย่างเข้ม , m = n : แท้ , m > n : ไม่แท้ R3 Conjugate symmetry สมมาตรสังยุค สัมประสิทธิ์จริง ⇒ p เป็นโพล ⟺ p ˉ เป็นโพล \text{สัมประสิทธิ์จริง} \Rightarrow p \text{ เป็นโพล} \iff \bar p \text{ เป็นโพล} สัมประสิทธิ์จริง ⇒ p เป็นโพล ⟺ p ˉ เป็นโพล R4 Region of convergence บริเวณลู่เข้า ROC = { s : ∫ − ∞ ∞ ∣ x ( t ) ∣ e − σ t d t < ∞ } , σ = Re s \text{ROC} = \left\{ s : \int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|\,e^{-\sigma t}\,dt < \infty \right\},\quad \sigma = \operatorname{Re}s ROC = { s : ∫ − ∞ ∞ ∣ x ( t ) ∣ e − σ t d t < ∞ } , σ = Re s R5 Right-sided exponential เอกซ์โพเนนเชียลด้านขวา e − a t u ( t ) ⟷ 1 s + a , Re s > − a e^{-at}u(t)\ \longleftrightarrow\ \frac{1}{s+a},\quad \operatorname{Re}s > -a e − a t u ( t ) ⟷ s + a 1 , Re s > − a R6 Left-sided exponential เอกซ์โพเนนเชียลด้านซ้าย − e − a t u ( − t ) ⟷ 1 s + a , Re s < − a -e^{-at}u(-t)\ \longleftrightarrow\ \frac{1}{s+a},\quad \operatorname{Re}s < -a − e − a t u ( − t ) ⟷ s + a 1 , Re s < − a R7 Property 1 เป็นแถบขนานกับแกน jω ROC = { s : σ 1 < Re s < σ 2 } \text{ROC} = \{ s : \sigma_1 < \operatorname{Re}s < \sigma_2 \} ROC = { s : σ 1 < Re s < σ 2 } R8 Property 2 ไม่มีโพลอยู่ใน ROC p เป็นโพล ⇒ p ∉ ROC p \text{ เป็นโพล} \Rightarrow p \notin \text{ROC} p เป็นโพล ⇒ p ∈ / ROC R9 Property 3 สัญญาณช่วงจำกัด → ทั้งระนาบ x ( t ) = 0 นอก [ T 1 , T 2 ] และอินทิเกรตได้สัมบูรณ์ ⇒ ROC = C x(t) = 0 \text{ นอก } [T_1, T_2] \text{ และอินทิเกรตได้สัมบูรณ์} \Rightarrow \text{ROC} = \mathbb{C} x ( t ) = 0 นอก [ T 1 , T 2 ] และอินทิเกรตได้สัมบูรณ์ ⇒ ROC = C R10 Property 4 ด้านขวา → ครึ่งระนาบขวา x ( t ) = 0 , t < T 1 : σ 0 ∈ ROC ⇒ { Re s > σ 0 } ⊂ ROC x(t) = 0,\ t < T_1:\ \sigma_0 \in \text{ROC} \Rightarrow \{\operatorname{Re}s > \sigma_0\} \subset \text{ROC} x ( t ) = 0 , t < T 1 : σ 0 ∈ ROC ⇒ { Re s > σ 0 } ⊂ ROC R11 Property 5 ด้านซ้าย → ครึ่งระนาบซ้าย x ( t ) = 0 , t > T 2 : σ 0 ∈ ROC ⇒ { Re s < σ 0 } ⊂ ROC x(t) = 0,\ t > T_2:\ \sigma_0 \in \text{ROC} \Rightarrow \{\operatorname{Re}s < \sigma_0\} \subset \text{ROC} x ( t ) = 0 , t > T 2 : σ 0 ∈ ROC ⇒ { Re s < σ 0 } ⊂ ROC R12 Property 6 สองด้าน → แถบ (หรือว่างเปล่า) ROC = ROC ขวา ∩ ROC ซ้าย \text{ROC} = \text{ROC}_{\text{ขวา}} \cap \text{ROC}_{\text{ซ้าย}} ROC = ROC ขวา ∩ ROC ซ้าย R13 Property 7 ตรรกยะ + ด้านขวา ROC = { Re s > Re p ขวาสุด } \text{ROC} = \{\operatorname{Re}s > \operatorname{Re}p_{\text{ขวาสุด}}\} ROC = { Re s > Re p ขวาสุด } R14 Property 8 ตรรกยะ + ด้านซ้าย ROC = { Re s < Re p ซ้ายสุด } \text{ROC} = \{\operatorname{Re}s < \operatorname{Re}p_{\text{ซ้ายสุด}}\} ROC = { Re s < Re p ซ้ายสุด } − σ ± j ω d -\sigma \pm j\omega_d − σ ± j ω d R15 Reading a pole pair อ่านคู่โพล − σ ± j ω d -\sigma \pm j\omega_d − σ ± j ω d τ = 1 σ , ω n = ∣ p ∣ = σ 2 + ω d 2 , ζ = cos θ = σ ω n \tau = \frac{1}{\sigma},\quad \omega_n = |p| = \sqrt{\sigma^2 + \omega_d^2},\quad \zeta = \cos\theta = \frac{\sigma}{\omega_n} τ = σ 1 , ω n = ∣ p ∣ = σ 2 + ω d 2 , ζ = cos θ = ω n σ R16 What zeros do ซีโร่ทำอะไร เรซิดิวที่โพล p k = K ∏ i ( p k − z i ) ∏ j ≠ k ( p k − p j ) \text{เรซิดิวที่โพล } p_k = K\frac{\prod_i (p_k - z_i)}{\prod_{j\ne k}(p_k - p_j)} เรซิดิวที่โพล p k = K ∏ j = k ( p k − p j ) ∏ i ( p k − z i ) R17 Causality ความเป็นเหตุเป็นผล h ( t ) = 0 , t < 0 ⟺ ROC ของ H ( s ) เป็นครึ่งระนาบขวา h(t) = 0,\ t < 0 \iff \text{ROC ของ } H(s) \text{ เป็นครึ่งระนาบขวา} h ( t ) = 0 , t < 0 ⟺ ROC ของ H ( s ) เป็นครึ่งระนาบขวา R18 BIBO stability เสถียรภาพ ∫ − ∞ ∞ ∣ h ( t ) ∣ d t < ∞ ⟺ j ω -axis ⊂ ROC \int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|\,dt < \infty \iff j\omega\text{-axis} \subset \text{ROC} ∫ − ∞ ∞ ∣ h ( t ) ∣ d t < ∞ ⟺ jω -axis ⊂ ROC R19 Causal and stable ทั้งเหตุผลและเสถียร Re p k < 0 ทุกโพล \operatorname{Re}p_k < 0 \ \text{ทุกโพล} Re p k < 0 ทุกโพล R20 Fourier transform การแปลงฟูเรียร์จากลาปลาซ X ( j ω ) = X ( s ) ∣ s = j ω เมื่อ ROC ครอบแกน j ω X(j\omega) = X(s)\big|_{s = j\omega}\quad \text{เมื่อ ROC ครอบแกน } j\omega X ( jω ) = X ( s ) s = jω เมื่อ ROC ครอบแกน jω P1 Linearity เชิงเส้น L { a f ( t ) + b g ( t ) } = a F ( s ) + b G ( s ) , ROC ⊇ R f ∩ R g \mathcal L\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s),\qquad \text{ROC} \supseteq R_f \cap R_g L { a f ( t ) + b g ( t )} = a F ( s ) + b G ( s ) , ROC ⊇ R f ∩ R g P2 Time shifting เลื่อนทางเวลา (หน่วงเวลา) L { f ( t − T ) u ( t − T ) } = e − s T F ( s ) , T ≥ 0 \mathcal L\{f(t - T)\,u(t - T)\} = e^{-sT}F(s),\quad T \ge 0 L { f ( t − T ) u ( t − T )} = e − s T F ( s ) , T ≥ 0 P3 s-shifting เลื่อนทางความถี่ L { e − a t f ( t ) } = F ( s + a ) , ROC เลื่อนไป − Re a \mathcal L\{e^{-at}f(t)\} = F(s + a),\qquad \text{ROC เลื่อนไป } -\operatorname{Re}a L { e − a t f ( t )} = F ( s + a ) , ROC เลื่อนไป − Re a P4 Time scaling สเกลเวลา L { f ( a t ) } = 1 a F ( s a ) , a > 0 \mathcal L\{f(at)\} = \frac{1}{a}F\!\left(\frac{s}{a}\right),\quad a > 0 L { f ( a t )} = a 1 F ( a s ) , a > 0 P5 Time reversal กลับเวลา (การแปลงสองด้าน) L { f ( − t ) } = F ( − s ) , ROC → − ROC \mathcal L\{f(-t)\} = F(-s),\quad \text{ROC} \to -\text{ROC} L { f ( − t )} = F ( − s ) , ROC → − ROC P6 Differentiation in t อนุพันธ์อันดับหนึ่ง L { f ′ ( t ) } = s F ( s ) − f ( 0 − ) \mathcal L\{f'(t)\} = sF(s) - f(0^-) L { f ′ ( t )} = s F ( s ) − f ( 0 − ) P7 Higher derivatives อนุพันธ์อันดับสองและอันดับ n L { f ′ ′ } = s 2 F ( s ) − s f ( 0 − ) − f ′ ( 0 − ) , L { f ( n ) } = s n F ( s ) − ∑ k = 1 n s n − k f ( k − 1 ) ( 0 − ) \mathcal L\{f''\} = s^2F(s) - sf(0^-) - f'(0^-),\qquad \mathcal L\{f^{(n)}\} = s^nF(s) - \sum_{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0^-) L { f ′′ } = s 2 F ( s ) − s f ( 0 − ) − f ′ ( 0 − ) , L { f ( n ) } = s n F ( s ) − k = 1 ∑ n s n − k f ( k − 1 ) ( 0 − ) P8 Integration in t ปริพันธ์ L { ∫ 0 − t f ( τ ) d τ } = F ( s ) s \mathcal L\left\{\int_{0^-}^{t}f(\tau)\,d\tau\right\} = \frac{F(s)}{s} L { ∫ 0 − t f ( τ ) d τ } = s F ( s ) P9 Multiplication by t คูณด้วย t L { t f ( t ) } = − d F ( s ) d s \mathcal L\{t\,f(t)\} = -\frac{dF(s)}{ds} L { t f ( t )} = − d s d F ( s ) P10 Multiplication by tⁿ คูณด้วย tⁿ L { t n f ( t ) } = ( − 1 ) n d n F ( s ) d s n \mathcal L\{t^nf(t)\} = (-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n} L { t n f ( t )} = ( − 1 ) n d s n d n F ( s ) P11 Division by t หารด้วย t L { f ( t ) t } = ∫ s ∞ F ( u ) d u , ถ้า lim t → 0 + f ( t ) / t มีค่า \mathcal L\left\{\frac{f(t)}{t}\right\} = \int_s^\infty F(u)\,du,\quad \text{ถ้า } \lim_{t\to 0^+}f(t)/t \text{ มีค่า} L { t f ( t ) } = ∫ s ∞ F ( u ) d u , ถ้า t → 0 + lim f ( t ) / t มีค่า P12 Convolution คอนโวลูชัน → คูณ L { ( f ∗ g ) ( t ) } = F ( s ) G ( s ) , ( f ∗ g ) ( t ) = ∫ 0 t f ( τ ) g ( t − τ ) d τ \mathcal L\{(f*g)(t)\} = F(s)\,G(s),\qquad (f*g)(t) = \int_0^t f(\tau)\,g(t - \tau)\,d\tau L {( f ∗ g ) ( t )} = F ( s ) G ( s ) , ( f ∗ g ) ( t ) = ∫ 0 t f ( τ ) g ( t − τ ) d τ P13 Multiplication การคูณในเวลา (คอนโวลูชันเชิงซ้อน) L { f ( t ) g ( t ) } = 1 2 π j ∫ c − j ∞ c + j ∞ F ( p ) G ( s − p ) d p \mathcal L\{f(t)g(t)\} = \frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty}F(p)\,G(s - p)\,dp L { f ( t ) g ( t )} = 2 πj 1 ∫ c − j ∞ c + j ∞ F ( p ) G ( s − p ) d p t t t P14 Periodic function ฟังก์ชันคาบ T T T L { f ( t ) } = F 1 ( s ) 1 − e − s T , F 1 ( s ) = ∫ 0 T f ( t ) e − s t d t \mathcal L\{f(t)\} = \frac{F_1(s)}{1 - e^{-sT}},\qquad F_1(s) = \int_0^T f(t)\,e^{-st}\,dt L { f ( t )} = 1 − e − s T F 1 ( s ) , F 1 ( s ) = ∫ 0 T f ( t ) e − s t d t P15 Initial value theorem ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น f ( 0 + ) = lim s → ∞ s F ( s ) f(0^+) = \lim_{s\to\infty}sF(s) f ( 0 + ) = s → ∞ lim s F ( s ) P16 Final value theorem ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย f ( ∞ ) = lim s → 0 s F ( s ) f(\infty) = \lim_{s\to 0}sF(s) f ( ∞ ) = s → 0 lim s F ( s ) P17 Conjugation สังยุค L { f ( t ) ‾ } = F ( s ˉ ) ‾ \mathcal L\{\overline{f(t)}\} = \overline{F(\bar s)} L { f ( t ) } = F ( s ˉ ) Q1 Laplace method for IVPs ขั้นตอนแก้ปัญหาค่าเริ่มต้น ODE → L สมการพีชคณิตใน Y ( s ) → แก้ Y ( s ) = N ( s ) D ( s ) → เศษส่วนย่อย ∑ c k ( s − p k ) m → L − 1 y ( t ) \text{ODE} \xrightarrow{\ \mathcal L\ } \text{สมการพีชคณิตใน } Y(s) \xrightarrow{\text{แก้}} Y(s) = \frac{N(s)}{D(s)} \xrightarrow{\text{เศษส่วนย่อย}} \sum\frac{c_k}{(s-p_k)^m} \xrightarrow{\ \mathcal L^{-1}\ } y(t) ODE L สมการพีชคณิตใน Y ( s ) แก้ Y ( s ) = D ( s ) N ( s ) เศษส่วนย่อย ∑ ( s − p k ) m c k L − 1 y ( t ) Q2 Derivatives สูตรที่ใช้ทุกข้อ L { y ′ } = s Y − y ( 0 ) , L { y ′ ′ } = s 2 Y − s y ( 0 ) − y ′ ( 0 ) \mathcal L\{y'\} = sY - y(0),\quad \mathcal L\{y''\} = s^2Y - sy(0) - y'(0) L { y ′ } = s Y − y ( 0 ) , L { y ′′ } = s 2 Y − sy ( 0 ) − y ′ ( 0 ) Q3 Zero-input + zero-state แยกคำตอบสองส่วน Y ( s ) = I ( s ) D ( s ) ⏟ จากค่าเริ่มต้น + N ( s ) D ( s ) X ( s ) ⏟ H ( s ) X ( s ) Y(s) = \underbrace{\frac{I(s)}{D(s)}}_{\text{จากค่าเริ่มต้น}} + \underbrace{\frac{N(s)}{D(s)}X(s)}_{H(s)X(s)} Y ( s ) = จากค่าเริ่มต้น D ( s ) I ( s ) + H ( s ) X ( s ) D ( s ) N ( s ) X ( s ) y ′ + a y = r ( t ) y' + ay = r(t) y ′ + a y = r ( t ) Q4 First-order linear ODE สมการอันดับหนึ่ง y ′ + a y = r ( t ) y' + ay = r(t) y ′ + a y = r ( t ) Y ( s ) = y ( 0 ) s + a + R ( s ) s + a ⇒ y ( t ) = y ( 0 ) e − a t + ∫ 0 t e − a ( t − τ ) r ( τ ) d τ Y(s) = \frac{y(0)}{s + a} + \frac{R(s)}{s + a}\ \Rightarrow\ y(t) = y(0)e^{-at} + \int_0^t e^{-a(t-\tau)}r(\tau)\,d\tau Y ( s ) = s + a y ( 0 ) + s + a R ( s ) ⇒ y ( t ) = y ( 0 ) e − a t + ∫ 0 t e − a ( t − τ ) r ( τ ) d τ a y ′ ′ + b y ′ + c y = r ( t ) ay'' + by' + cy = r(t) a y ′′ + b y ′ + cy = r ( t ) Q5 Second-order ODE สมการอันดับสอง a y ′ ′ + b y ′ + c y = r ( t ) ay'' + by' + cy = r(t) a y ′′ + b y ′ + cy = r ( t ) ( a s 2 + b s + c ) Y ( s ) = a [ s y ( 0 ) + y ′ ( 0 ) ] + b y ( 0 ) + R ( s ) (as^2 + bs + c)Y(s) = a\left[sy(0) + y'(0)\right] + b\,y(0) + R(s) ( a s 2 + b s + c ) Y ( s ) = a [ sy ( 0 ) + y ′ ( 0 ) ] + b y ( 0 ) + R ( s ) ζ = b 2 a c \zeta = \dfrac{b}{2\sqrt{ac}} ζ = 2 a c b Q6 Damping cases กรณีของความหน่วง ζ = b 2 a c \zeta = \dfrac{b}{2\sqrt{ac}} ζ = 2 a c b b 2 − 4 a c > 0 ( ζ > 1 ) s 1 , 2 จริงต่างกัน y h = c 1 e s 1 t + c 2 e s 2 t b 2 − 4 a c = 0 ( ζ = 1 ) s ซ้ำ y h = ( c 1 + c 2 t ) e s t b 2 − 4 a c < 0 ( 0 < ζ < 1 ) − σ ± j ω d y h = e − σ t ( c 1 cos ω d t + c 2 sin ω d t ) b = 0 ( ζ = 0 ) ± j ω n y h = c 1 cos ω n t + c 2 sin ω n t \begin{array}{lll} b^2 - 4ac > 0\ (\zeta > 1) & s_{1,2} \text{ จริงต่างกัน} & y_h = c_1e^{s_1t} + c_2e^{s_2t} \\ b^2 - 4ac = 0\ (\zeta = 1) & s \text{ ซ้ำ} & y_h = (c_1 + c_2t)e^{st} \\ b^2 - 4ac < 0\ (0 < \zeta < 1) & -\sigma \pm j\omega_d & y_h = e^{-\sigma t}(c_1\cos\omega_dt + c_2\sin\omega_dt) \\ b = 0\ (\zeta = 0) & \pm j\omega_n & y_h = c_1\cos\omega_nt + c_2\sin\omega_nt \end{array} b 2 − 4 a c > 0 ( ζ > 1 ) b 2 − 4 a c = 0 ( ζ = 1 ) b 2 − 4 a c < 0 ( 0 < ζ < 1 ) b = 0 ( ζ = 0 ) s 1 , 2 จริงต่างกัน s ซ้ำ − σ ± j ω d ± j ω n y h = c 1 e s 1 t + c 2 e s 2 t y h = ( c 1 + c 2 t ) e s t y h = e − σ t ( c 1 cos ω d t + c 2 sin ω d t ) y h = c 1 cos ω n t + c 2 sin ω n t Q7 s-domain element models อุปกรณ์ในโดเมน s พร้อมค่าเริ่มต้น R : V = R I L : V = s L I − L i ( 0 − ) C : V = I s C + v ( 0 − ) s R:\ V = RI \qquad L:\ V = sLI - Li(0^-) \qquad C:\ V = \frac{I}{sC} + \frac{v(0^-)}{s} R : V = R I L : V = s L I − L i ( 0 − ) C : V = s C I + s v ( 0 − ) Q8 Series RLC (capacitor voltage) RLC อนุกรม L C v C ′ ′ + R C v C ′ + v C = v s ( t ) , ω n = 1 L C , ζ = R 2 C L LC\,v_C'' + RC\,v_C' + v_C = v_s(t),\quad \omega_n = \frac{1}{\sqrt{LC}},\ \zeta = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}} L C v C ′′ + RC v C ′ + v C = v s ( t ) , ω n = L C 1 , ζ = 2 R L C Q9 Mass–spring–damper มวล-สปริง-ตัวหน่วง m x ¨ + c x ˙ + k x = F ( t ) , ω n = k m , ζ = c 2 k m m\ddot x + c\dot x + kx = F(t),\quad \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}},\ \zeta = \frac{c}{2\sqrt{km}} m x ¨ + c x ˙ + k x = F ( t ) , ω n = m k , ζ = 2 km c Q10 Systems / state space ระบบสมการ x ˙ = A x + B u ⇒ X ( s ) = ( s I − A ) − 1 [ x ( 0 ) + B U ( s ) ] \dot{\mathbf x} = A\mathbf x + B\mathbf u \ \Rightarrow\ \mathbf X(s) = (sI - A)^{-1}\left[\mathbf x(0) + B\mathbf U(s)\right] x ˙ = A x + B u ⇒ X ( s ) = ( s I − A ) − 1 [ x ( 0 ) + B U ( s ) ] Q11 Variable coefficients สมการสัมประสิทธิ์เป็นพหุนามใน t L { t y ′ } = − d d s [ s Y − y ( 0 ) ] , L { t y ′ ′ } = − d d s [ s 2 Y − s y ( 0 ) − y ′ ( 0 ) ] \mathcal L\{ty'\} = -\frac{d}{ds}\left[sY - y(0)\right],\qquad \mathcal L\{ty''\} = -\frac{d}{ds}\left[s^2Y - sy(0) - y'(0)\right] L { t y ′ } = − d s d [ s Y − y ( 0 ) ] , L { t y ′′ } = − d s d [ s 2 Y − sy ( 0 ) − y ′ ( 0 ) ] V1 Inverse Laplace transform การแปลงผกผัน f ( t ) = L − 1 { F ( s ) } = 1 2 π j ∫ c − j ∞ c + j ∞ F ( s ) e s t d s , t > 0 , c > Re ( ทุกโพล ) f(t) = \mathcal L^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty}F(s)\,e^{st}\,ds,\quad t > 0,\ c > \operatorname{Re}(\text{ทุกโพล}) f ( t ) = L − 1 { F ( s )} = 2 πj 1 ∫ c − j ∞ c + j ∞ F ( s ) e s t d s , t > 0 , c > Re ( ทุกโพล ) V2 Rational F(s) รูปทั่วไป F ( s ) = B ( s ) A ( s ) = K ( s + z 1 ) ( s + z 2 ) ⋯ ( s + z m ) ( s + p 1 ) ( s + p 2 ) ⋯ ( s + p n ) , m < n F(s) = \frac{B(s)}{A(s)} = K\,\frac{(s+z_1)(s+z_2)\cdots(s+z_m)}{(s+p_1)(s+p_2)\cdots(s+p_n)},\quad m < n F ( s ) = A ( s ) B ( s ) = K ( s + p 1 ) ( s + p 2 ) ⋯ ( s + p n ) ( s + z 1 ) ( s + z 2 ) ⋯ ( s + z m ) , m < n V3 Partial-fraction rules กฎการตั้งรูปเศษส่วนย่อย ( s + p ) → a s + p ( s + p ) r → b 1 s + p + b 2 ( s + p ) 2 + ⋯ + b r ( s + p ) r ( s + α ) 2 + ω 2 → A ( s + α ) + B ω ( s + α ) 2 + ω 2 หรือ K s + α − j ω + K ˉ s + α + j ω \begin{array}{ll} (s + p) & \to\ \dfrac{a}{s+p} \\[6pt] (s + p)^r & \to\ \dfrac{b_1}{s+p} + \dfrac{b_2}{(s+p)^2} + \cdots + \dfrac{b_r}{(s+p)^r} \\[6pt] (s+\alpha)^2 + \omega^2 & \to\ \dfrac{A(s+\alpha) + B\omega}{(s+\alpha)^2 + \omega^2}\ \text{ หรือ }\ \dfrac{K}{s + \alpha - j\omega} + \dfrac{\bar K}{s + \alpha + j\omega} \end{array} ( s + p ) ( s + p ) r ( s + α ) 2 + ω 2 → s + p a → s + p b 1 + ( s + p ) 2 b 2 + ⋯ + ( s + p ) r b r → ( s + α ) 2 + ω 2 A ( s + α ) + B ω หรือ s + α − jω K + s + α + jω K ˉ V4 Heaviside cover-up วิธีปิดตัวประกอบ F ( s ) = ∑ k = 1 n a k s + p k , a k = [ ( s + p k ) F ( s ) ] s = − p k , f ( t ) = ∑ k = 1 n a k e − p k t F(s) = \sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{s + p_k},\qquad a_k = \Big[(s + p_k)F(s)\Big]_{s = -p_k},\qquad f(t) = \sum_{k=1}^{n}a_ke^{-p_kt} F ( s ) = k = 1 ∑ n s + p k a k , a k = [ ( s + p k ) F ( s ) ] s = − p k , f ( t ) = k = 1 ∑ n a k e − p k t V5 Using A′(s) สูตรอนุพันธ์ตัวส่วน a k = B ( − p k ) A ′ ( − p k ) a_k = \frac{B(-p_k)}{A'(-p_k)} a k = A ′ ( − p k ) B ( − p k ) V6 Quick checks ตรวจคำตอบเร็ว f ( 0 + ) = ∑ a k = lim s → ∞ s F ( s ) f(0^+) = \sum a_k = \lim_{s\to\infty}sF(s) f ( 0 + ) = ∑ a k = s → ∞ lim s F ( s ) V7 Completing the square เติมกำลังสองสมบูรณ์ A ( s + α ) + B ω ( s + α ) 2 + ω 2 ⟶ e − α t ( A cos ω t + B sin ω t ) \frac{A(s+\alpha) + B\omega}{(s+\alpha)^2 + \omega^2}\ \longrightarrow\ e^{-\alpha t}\left(A\cos\omega t + B\sin\omega t\right) ( s + α ) 2 + ω 2 A ( s + α ) + B ω ⟶ e − α t ( A cos ω t + B sin ω t ) V8 Complex residue form รูปแอมพลิจูด-มุมเฟส K s + α − j ω + K ˉ s + α + j ω ⟶ 2 ∣ K ∣ e − α t cos ( ω t + ∠ K ) , K = [ ( s + α − j ω ) F ( s ) ] s = − α + j ω \frac{K}{s + \alpha - j\omega} + \frac{\bar K}{s + \alpha + j\omega}\ \longrightarrow\ 2|K|\,e^{-\alpha t}\cos\left(\omega t + \angle K\right),\quad K = \Big[(s + \alpha - j\omega)F(s)\Big]_{s = -\alpha + j\omega} s + α − jω K + s + α + jω K ˉ ⟶ 2∣ K ∣ e − α t cos ( ω t + ∠ K ) , K = [ ( s + α − jω ) F ( s ) ] s = − α + jω V9 Multiple-pole coefficients สัมประสิทธิ์ของโพลซ้ำอันดับ r B ( s ) A ( s ) = b r ( s + p ) r + b r − 1 ( s + p ) r − 1 + ⋯ + b 1 s + p + ( พจน์ของโพลอื่น ) \frac{B(s)}{A(s)} = \frac{b_r}{(s+p)^r} + \frac{b_{r-1}}{(s+p)^{r-1}} + \cdots + \frac{b_1}{s+p} + (\text{พจน์ของโพลอื่น}) A ( s ) B ( s ) = ( s + p ) r b r + ( s + p ) r − 1 b r − 1 + ⋯ + s + p b 1 + ( พจน์ของโพลอื่น ) V10 Time terms แปลงกลับพจน์โพลซ้ำ 1 ( s + p ) j ⟶ t j − 1 ( j − 1 ) ! e − p t \frac{1}{(s+p)^j}\ \longrightarrow\ \frac{t^{j-1}}{(j-1)!}e^{-pt} ( s + p ) j 1 ⟶ ( j − 1 )! t j − 1 e − pt V11 Repeated complex poles โพลเชิงซ้อนซ้ำ 1 ( s 2 + ω 2 ) 2 ⟶ sin ω t − ω t cos ω t 2 ω 3 \frac{1}{(s^2+\omega^2)^2}\ \longrightarrow\ \frac{\sin\omega t - \omega t\cos\omega t}{2\omega^3} ( s 2 + ω 2 ) 2 1 ⟶ 2 ω 3 sin ω t − ω t cos ω t V12 Improper F(s) หารยาวก่อน B ( s ) A ( s ) = Q ( s ) + R ( s ) A ( s ) , L − 1 { c 0 + c 1 s + c 2 s 2 + ⋯ } = c 0 δ ( t ) + c 1 δ ′ ( t ) + c 2 δ ′ ′ ( t ) + ⋯ \frac{B(s)}{A(s)} = Q(s) + \frac{R(s)}{A(s)},\quad \mathcal L^{-1}\{c_0 + c_1s + c_2s^2 + \cdots\} = c_0\,\delta(t) + c_1\,\delta'(t) + c_2\,\delta''(t) + \cdots A ( s ) B ( s ) = Q ( s ) + A ( s ) R ( s ) , L − 1 { c 0 + c 1 s + c 2 s 2 + ⋯ } = c 0 δ ( t ) + c 1 δ ′ ( t ) + c 2 δ ′′ ( t ) + ⋯ V13 Delayed terms พจน์ที่มีตัวหน่วง L − 1 { e − s T G ( s ) } = g ( t − T ) u ( t − T ) , g = L − 1 { G } \mathcal L^{-1}\{e^{-sT}G(s)\} = g(t - T)\,u(t - T),\qquad g = \mathcal L^{-1}\{G\} L − 1 { e − s T G ( s )} = g ( t − T ) u ( t − T ) , g = L − 1 { G } V14 Equating coefficients เทียบสัมประสิทธิ์ B ( s ) = ∑ k a k A ( s ) s + p k + ⋯ ⇒ เทียบสัมประสิทธิ์ของ s 0 , s 1 , … หรือแทน s หลายค่า B(s) = \sum_k a_k\frac{A(s)}{s + p_k} + \cdots \quad\Rightarrow\quad \text{เทียบสัมประสิทธิ์ของ } s^0, s^1, \dots \text{ หรือแทน } s \text{ หลายค่า} B ( s ) = k ∑ a k s + p k A ( s ) + ⋯ ⇒ เทียบสัมประสิทธิ์ของ s 0 , s 1 , … หรือแทน s หลายค่า V15 Inverse of a product แปลงกลับผลคูณ L − 1 { F ( s ) G ( s ) } = ∫ 0 t f ( τ ) g ( t − τ ) d τ \mathcal L^{-1}\{F(s)G(s)\} = \int_0^t f(\tau)\,g(t - \tau)\,d\tau L − 1 { F ( s ) G ( s )} = ∫ 0 t f ( τ ) g ( t − τ ) d τ V16 Residue inversion แปลงกลับด้วยเรซิดิว f ( t ) = ∑ k Res s = s k [ F ( s ) e s t ] , Res s k = 1 ( m − 1 ) ! lim s → s k d m − 1 d s m − 1 [ ( s − s k ) m F ( s ) e s t ] f(t) = \sum_{k}\operatorname{Res}_{s = s_k}\left[F(s)e^{st}\right],\qquad \operatorname{Res}_{s_k} = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{s\to s_k}\frac{d^{\,m-1}}{ds^{m-1}}\left[(s - s_k)^mF(s)e^{st}\right] f ( t ) = k ∑ Res s = s k [ F ( s ) e s t ] , Res s k = ( m − 1 )! 1 s → s k lim d s m − 1 d m − 1 [ ( s − s k ) m F ( s ) e s t ] V17 Heaviside expansion theorem ทฤษฎีบทการกระจายของเฮวิไซด์ L − 1 { B ( s ) A ( s ) } = ∑ k = 1 n B ( s k ) A ′ ( s k ) e s k t ( โพลเดี่ยวทั้งหมด s k ) \mathcal L^{-1}\left\{\frac{B(s)}{A(s)}\right\} = \sum_{k=1}^{n}\frac{B(s_k)}{A'(s_k)}e^{s_kt}\quad(\text{โพลเดี่ยวทั้งหมด } s_k) L − 1 { A ( s ) B ( s ) } = k = 1 ∑ n A ′ ( s k ) B ( s k ) e s k t ( โพลเดี่ยวทั้งหมด s k )
ไม่พบสูตรที่ตรงกัน ลองพิมพ์คำอื่น หรือใช้ภาษาอังกฤษ เช่น inverse, determinant, eigenvalue
ดูวิดีโอประกอบ
ℒ
Laplace Transform การแปลงลาปลาซ · เพลย์ลิสต์บน YouTube
สอนโดยอาจารย์มด · ภาษาไทย เปิดใน YouTube ↗
คำถามที่พบบ่อย ทำไมต้องใช้การแปลงลาปลาซ แทนการแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยตรง? เพราะลาปลาซเปลี่ยนการหาอนุพันธ์ให้เป็นการคูณด้วย s s s
ตัวแปร s ในการแปลงลาปลาซคืออะไร? s = σ + j ω s = \sigma + j\omega s = σ + jω σ \sigma σ ω \omega ω e s t = e σ t ( cos ω t + j sin ω t ) e^{st} = e^{\sigma t}(\cos\omega t + j\sin\omega t) e s t = e σ t ( cos ω t + j sin ω t )
ROC (บริเวณลู่เข้า) คืออะไร สำคัญอย่างไร? ROC คือเซตของค่า s s s X ( s ) X(s) X ( s )
การแปลงลาปลาซต่างจากการแปลงฟูริเยร์อย่างไร? การแปลงฟูริเยร์มองสัญญาณบนแกน j ω j\omega jω s = σ + j ω s = \sigma + j\omega s = σ + jω j ω j\omega jω s = j ω s = j\omega s = jω
ควรเรียนหน้าไหนก่อน? ถ้าพื้นจำนวนเชิงซ้อนยังไม่แน่น เริ่มที่หน้า 8.1 จำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันวิเคราะห์ ต่อด้วย 8.2 โพล-ซีโร่และ ROC แล้ว 8.3 คุณสมบัติ 8.4 การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ และ 8.5 การแปลงลาปลาซผกผัน ถ้ากำลังทำการบ้าน ไปที่เครื่องคิดเลขในหน้า 8.5 ได้เลย
มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ ดูโปรไฟล์
บทความอ่านง่ายเกี่ยวกับหัวข้อนี้
ดูบทความทั้งหมด →