หน้าแรก คลังความรู้ พีชคณิตเชิงเส้น กฎของคราเมอร์ Linear Algebra // บทที่ 7.5 · พีชคณิตเชิงเส้น · Cramer's Rule
กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) แก้ระบบสมการด้วยดีเทอร์มิแนนต์
กฎของคราเมอร์ให้สูตรตรงของตัวแปรแต่ละตัว ไม่ต้องลดแถว ไม่ต้องหาอินเวอร์ส เหมาะที่สุดกับโจทย์วงจร 2–3 ลูปที่ถามกระแสเพียงตัวเดียว และใช้ได้ทั้งกับตัวเลขจริง อิมพีแดนซ์เชิงซ้อน และตัวแปร s s s
สรุปใน 30 วินาที
x i = Δ i / Δ x_i = \Delta_i/\Delta x i = Δ i /Δ Δ = det A \Delta = \det A Δ = det A Δ i \Delta_i Δ i det \det det A A A แทนหลักที่ i i i b \mathbf b b ใช้ได้เมื่อ A A A Δ ≠ 0 \Delta \ne 0 Δ = 0
หาตัวแปรเดียวใช้ดีเทอร์มิแนนต์แค่สองตัว จึงเร็วมากสำหรับโจทย์วงจรที่ถามกระแสลูปเดียว
ใช้กับอิมพีแดนซ์เชิงซ้อนและตัวแปร s s s Δ ( s ) = 0 \Delta(s) = 0 Δ ( s ) = 0
ระดับ พื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย
อ่านวิธีทำ
ค้นหาสูตรในหน้านี้
โหมดฝึกทำ: ซ่อนวิธีทำ
สูตรกฎของคราเมอร์ พื้นฐาน
ขั้นตอนมีแค่สามอย่าง: หา Δ \Delta Δ
C1 Cramer's rule
x i = Δ i Δ = det A i det A , Δ = det A ≠ 0 x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta} = \frac{\det A_i}{\det A}, \qquad \Delta = \det A \ne 0 x i = Δ Δ i = det A det A i , Δ = det A = 0 A i A_i A i A A A i i i b \mathbf b b
A 2 = ( a 11 b 1 a 13 a 21 b 2 a 23 a 31 b 3 a 33 ) A_2 = \begin{pmatrix} a_{11} & \hlU{b_1} & a_{13} \\ a_{21} & \hlU{b_2} & a_{23} \\ a_{31} & \hlU{b_3} & a_{33} \end{pmatrix} A 2 = a 11 a 21 a 31 b 1 b 2 b 3 a 13 a 23 a 33
C2 Cramer's rule for 2×2
a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 ⇒ x = ∣ c 1 b 1 c 2 b 2 ∣ ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ = c 1 b 2 − b 1 c 2 a 1 b 2 − b 1 a 2 , y = ∣ a 1 c 1 a 2 c 2 ∣ ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ = a 1 c 2 − c 1 a 2 a 1 b 2 − b 1 a 2 \begin{aligned} a_1x + b_1y &= c_1 \\ a_2x + b_2y &= c_2 \end{aligned} \ \Rightarrow\ x = \frac{\begin{vmatrix} \hlU{c_1} & b_1 \\ \hlU{c_2} & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} = \frac{c_1b_2 - b_1c_2}{a_1b_2 - b_1a_2}, \quad y = \frac{\begin{vmatrix} a_1 & \hlU{c_1} \\ a_2 & \hlU{c_2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} = \frac{a_1c_2 - c_1a_2}{a_1b_2 - b_1a_2} a 1 x + b 1 y a 2 x + b 2 y = c 1 = c 2 ⇒ x = a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 b 1 b 2 = a 1 b 2 − b 1 a 2 c 1 b 2 − b 1 c 2 , y = a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 a 2 c 1 c 2 = a 1 b 2 − b 1 a 2 a 1 c 2 − c 1 a 2
ตัวอย่าง C-1 · 2×2 แก้ 3 x + 2 y = 7 x − y = − 1 \begin{aligned} 3x + 2y &= 7 \\ x - y &= -1 \end{aligned} 3 x + 2 y x − y = 7 = − 1 ลองในเครื่องคิดเลข
Δ = ∣ 3 2 1 − 1 ∣ = − 3 − 2 = − 5 \Delta = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -3 - 2 = -5 Δ = 3 1 2 − 1 = − 3 − 2 = − 5 แทนหลัก x x x y y y ( 7 , − 1 ) (7, -1) ( 7 , − 1 ) C2
Δ x = ∣ 7 2 − 1 − 1 ∣ = − 7 + 2 = − 5 , Δ y = ∣ 3 7 1 − 1 ∣ = − 3 − 7 = − 10 \Delta_x = \begin{vmatrix} \hlU{7} & 2 \\ \hlU{-1} & -1 \end{vmatrix} = -7 + 2 = -5, \qquad \Delta_y = \begin{vmatrix} 3 & \hlU{7} \\ 1 & \hlU{-1} \end{vmatrix} = -3 - 7 = -10 Δ x = 7 − 1 2 − 1 = − 7 + 2 = − 5 , Δ y = 3 1 7 − 1 = − 3 − 7 = − 10 x = − 5 − 5 = 1 , y = − 10 − 5 = 2 x = \frac{-5}{-5} = 1, \qquad y = \frac{-10}{-5} = 2 x = − 5 − 5 = 1 , y = − 5 − 10 = 2
( x , y ) = ( 1 , 2 ) (x, y) = (1, 2) ( x , y ) = ( 1 , 2 )
ตรวจ: 3 + 4 = 7 3 + 4 = 7 3 + 4 = 7 1 − 2 = − 1 1 - 2 = -1 1 − 2 = − 1
กฎของคราเมอร์ 3×3 พื้นฐาน
C3 Cramer's rule for 3×3
x = Δ x Δ , y = Δ y Δ , z = Δ z Δ , Δ x = ∣ b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 ∣ , … x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, \quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta}, \qquad \Delta_x = \begin{vmatrix} \hlU{b_1} & a_{12} & a_{13} \\ \hlU{b_2} & a_{22} & a_{23} \\ \hlU{b_3} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix},\ \dots x = Δ Δ x , y = Δ Δ y , z = Δ Δ z , Δ x = b 1 b 2 b 3 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 , … ใช้ดีเทอร์มิแนนต์ 3×3 สี่ตัว หาด้วยซาร์รัส D2 หรือกระจายตามหลักที่มีศูนย์ D4 · ตรวจคำตอบด้วยการแทนกลับทุกครั้ง
ตัวอย่าง C-2 · 3×3 ครบทุกตัวแปร แก้ 2 x + y − z = 1 x − y + 2 z = 5 3 x + 2 y + z = 10 \begin{aligned} 2x + y - z &= 1 \\ x - y + 2z &= 5 \\ 3x + 2y + z &= 10 \end{aligned} 2 x + y − z x − y + 2 z 3 x + 2 y + z = 1 = 5 = 10 ลองในเครื่องคิดเลข
Δ \Delta Δ ( 2 ) ( − 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) + ( − 1 ) ( 1 ) ( 2 ) = 2 (2)(-1)(1) + (1)(2)(3) + (-1)(1)(2) = 2 ( 2 ) ( − 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) + ( − 1 ) ( 1 ) ( 2 ) = 2 ( − 1 ) ( − 1 ) ( 3 ) + ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) + ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) = 12 (-1)(-1)(3) + (2)(2)(2) + (1)(1)(1) = 12 ( − 1 ) ( − 1 ) ( 3 ) + ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) + ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) = 12
Δ = ∣ 2 1 − 1 1 − 1 2 3 2 1 ∣ = 2 − 12 = − 10 \Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 12 = -10 Δ = 2 1 3 1 − 1 2 − 1 2 1 = 2 − 12 = − 10 แทนหลักที่ 1 ด้วย ( 1 , 5 , 10 ) (1, 5, 10) ( 1 , 5 , 10 ) − 1 + 20 − 10 = 9 -1 + 20 - 10 = 9 − 1 + 20 − 10 = 9 10 + 4 + 5 = 19 10 + 4 + 5 = 19 10 + 4 + 5 = 19
Δ x = ∣ 1 1 − 1 5 − 1 2 10 2 1 ∣ = 9 − 19 = − 10 \Delta_x = \begin{vmatrix} \hlU{1} & 1 & -1 \\ \hlU{5} & -1 & 2 \\ \hlU{10} & 2 & 1 \end{vmatrix} = 9 - 19 = -10 Δ x = 1 5 10 1 − 1 2 − 1 2 1 = 9 − 19 = − 10 แทนหลักที่ 2: ลงขวา 10 + 6 − 10 = 6 10 + 6 - 10 = 6 10 + 6 − 10 = 6 − 15 + 40 + 1 = 26 -15 + 40 + 1 = 26 − 15 + 40 + 1 = 26
Δ y = ∣ 2 1 − 1 1 5 2 3 10 1 ∣ = 6 − 26 = − 20 \Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & \hlU{1} & -1 \\ 1 & \hlU{5} & 2 \\ 3 & \hlU{10} & 1 \end{vmatrix} = 6 - 26 = -20 Δ y = 2 1 3 1 5 10 − 1 2 1 = 6 − 26 = − 20 แทนหลักที่ 3: ลงขวา − 20 + 15 + 2 = − 3 -20 + 15 + 2 = -3 − 20 + 15 + 2 = − 3 − 3 + 20 + 10 = 27 -3 + 20 + 10 = 27 − 3 + 20 + 10 = 27
Δ z = ∣ 2 1 1 1 − 1 5 3 2 10 ∣ = − 3 − 27 = − 30 \Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & \hlU{1} \\ 1 & -1 & \hlU{5} \\ 3 & 2 & \hlU{10} \end{vmatrix} = -3 - 27 = -30 Δ z = 2 1 3 1 − 1 2 1 5 10 = − 3 − 27 = − 30 x = − 10 − 10 = 1 , y = − 20 − 10 = 2 , z = − 30 − 10 = 3 x = \frac{-10}{-10} = 1, \qquad y = \frac{-20}{-10} = 2, \qquad z = \frac{-30}{-10} = 3 x = − 10 − 10 = 1 , y = − 10 − 20 = 2 , z = − 10 − 30 = 3
( x , y , z ) = ( 1 , 2 , 3 ) (x, y, z) = (1, 2, 3) ( x , y , z ) = ( 1 , 2 , 3 )
ตรวจ: 2 + 2 − 3 = 1 2 + 2 - 3 = 1 2 + 2 − 3 = 1 1 − 2 + 6 = 5 1 - 2 + 6 = 5 1 − 2 + 6 = 5 3 + 4 + 3 = 10 3 + 4 + 3 = 10 3 + 4 + 3 = 10
ทำไมสูตรนี้ถูก กลาง
พิสูจน์ได้ในสองบรรทัดด้วยสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ ให้ X i X_i X i i i i x \mathbf x x A X i AX_i A X i i i i A x = b A\mathbf x = \mathbf b A x = b A A A A X i = A i AX_i = A_i A X i = A i
C4 Proof sketch
A X i = A i ⇒ det A ⋅ det X i = det A i , det X i = x i ( กระจายตามแถว i ) ⇒ x i = det A i det A AX_i = A_i \ \Rightarrow\ \det A\cdot\det X_i = \det A_i, \qquad \det X_i = x_i \ (\text{กระจายตามแถว } i) \ \Rightarrow\ x_i = \frac{\det A_i}{\det A} A X i = A i ⇒ det A ⋅ det X i = det A i , det X i = x i ( กระจายตามแถว i ) ⇒ x i = det A det A i
C6 Relation to the adjugate
x = A − 1 b = adj A b det A , x i = ∑ j C j i b j det A = det A i det A \mathbf x = A^{-1}\mathbf b = \frac{\operatorname{adj}A\,\mathbf b}{\det A}, \qquad x_i = \frac{\sum_j C_{ji}b_j}{\det A} = \frac{\det A_i}{\det A} x = A − 1 b = det A adj A b , x i = det A ∑ j C ji b j = det A det A i ∑ j C j i b j \sum_j C_{ji}b_j ∑ j C ji b j A i A_i A i i i i
เมื่อ Δ = 0 กลาง
C5 When Δ = 0
Δ = 0 ⇒ คราเมอร์ใช้ไม่ได้: ไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบไม่จำกัด \Delta = 0 \ \Rightarrow\ \text{คราเมอร์ใช้ไม่ได้: ไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบไม่จำกัด} Δ = 0 ⇒ คราเมอร์ใช้ไม่ได้ : ไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบไม่จำกัด ถ้า Δ = 0 \Delta = 0 Δ = 0 Δ i ≠ 0 \Delta_i \ne 0 Δ i = 0 ไม่มีคำตอบ · ถ้าทุก Δ i = 0 \Delta_i = 0 Δ i = 0 ยังสรุปไม่ได้ (ตั้งแต่ 3×3 ขึ้นไป) ต้องลดแถว L6
ตัวอย่าง C-3 · ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ทุกตัว แต่ไม่มีคำตอบ พิจารณา x + y + z = 1 x + y + z = 2 x + y + z = 3 \begin{aligned} x + y + z &= 1 \\ x + y + z &= 2 \\ x + y + z &= 3 \end{aligned} x + y + z x + y + z x + y + z = 1 = 2 = 3
Δ = 0 \Delta = 0 Δ = 0 Δ x , Δ y , Δ z \Delta_x, \Delta_y, \Delta_z Δ x , Δ y , Δ z ( 1 , 1 , 1 ) (1,1,1) ( 1 , 1 , 1 ) D9
แต่สมการพูดว่า x + y + z x + y + z x + y + z
ระบบไม่มีคำตอบ ทั้งที่ “0 / 0 0/0 0/0 Δ = 0 \Delta = 0 Δ = 0
คราเมอร์กับพารามิเตอร์: โจทย์สอบเข้ามหาวิทยาลัย พื้นฐาน → กลาง
เมื่อสัมประสิทธิ์มีตัวแปร k k k k k k k k k Δ = 0 \Delta = 0 Δ = 0
C10 Cramer with a parameter
Δ ( k ) ≠ 0 ⇒ x i = Δ i ( k ) Δ ( k ) ; Δ ( k 0 ) = 0 ⇒ แทน k 0 แล้วลดแถว (ไม่มีคำตอบหรือไม่จำกัด) \Delta(k) \ne 0 \Rightarrow x_i = \frac{\Delta_i(k)}{\Delta(k)};\qquad \Delta(k_0) = 0 \Rightarrow \text{แทน } k_0 \text{ แล้วลดแถว (ไม่มีคำตอบหรือไม่จำกัด)} Δ ( k ) = 0 ⇒ x i = Δ ( k ) Δ i ( k ) ; Δ ( k 0 ) = 0 ⇒ แทน k 0 แล้วลดแถว ( ไม่มีคำตอบหรือไม่จำกัด ) สำหรับ 2×2: Δ = 0 \Delta = 0 Δ = 0 Δ x ≠ 0 \Delta_x \ne 0 Δ x = 0 Δ y ≠ 0 \Delta_y \ne 0 Δ y = 0 Δ = Δ x = Δ y = 0 \Delta = \Delta_x = \Delta_y = 0 Δ = Δ x = Δ y = 0 C5 และ ทฤษฎีบทรูเช-กาเปลลี R7
ตัวอย่าง C-7 · พารามิเตอร์ k ระบบ k x + y = 1 x + k y = 1 \begin{aligned} kx + y &= 1 \\ x + ky &= 1 \end{aligned} k x + y x + k y = 1 = 1 k k k ลองที่ k = 2
Δ = ∣ k 1 1 k ∣ = k 2 − 1 , Δ x = ∣ 1 1 1 k ∣ = k − 1 , Δ y = ∣ k 1 1 1 ∣ = k − 1 \Delta = \begin{vmatrix} k & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix} = k^2 - 1,\qquad \Delta_x = \begin{vmatrix} \hlU{1} & 1 \\ \hlU{1} & k \end{vmatrix} = k - 1,\qquad \Delta_y = \begin{vmatrix} k & \hlU{1} \\ 1 & \hlU{1} \end{vmatrix} = k - 1 Δ = k 1 1 k = k 2 − 1 , Δ x = 1 1 1 k = k − 1 , Δ y = k 1 1 1 = k − 1 k ≠ ± 1 k \ne \pm1 k = ± 1 C10
x = y = k − 1 ( k − 1 ) ( k + 1 ) = 1 k + 1 x = y = \frac{k - 1}{(k - 1)(k + 1)} = \frac{1}{k + 1} x = y = ( k − 1 ) ( k + 1 ) k − 1 = k + 1 1 k = 1 k = 1 k = 1 Δ = Δ x = Δ y = 0 \Delta = \Delta_x = \Delta_y = 0 Δ = Δ x = Δ y = 0 x + y = 1 x + y = 1 x + y = 1 ( t , 1 − t ) (t, 1 - t) ( t , 1 − t )
k = − 1 k = -1 k = − 1 Δ = 0 \Delta = 0 Δ = 0 Δ x = − 2 ≠ 0 \Delta_x = -2 \ne 0 Δ x = − 2 = 0 − x + y = 1 -x + y = 1 − x + y = 1 x − y = 1 x - y = 1 x − y = 1
k ≠ ± 1 k \ne \pm1 k = ± 1 x = y = 1 k + 1 x = y = \tfrac{1}{k + 1} x = y = k + 1 1 k = 1 k = 1 k = 1 k = − 1 k = -1 k = − 1
กับดัก: ถ้าตัด ( k − 1 ) (k - 1) ( k − 1 ) 1 k + 1 \tfrac{1}{k + 1} k + 1 1 k = 1 k = 1 k = 1 1 2 \tfrac12 2 1 k = 1 k = 1 k = 1 ( 1 2 , 1 2 ) (\tfrac12, \tfrac12) ( 2 1 , 2 1 ) ชุด A ข้อ A9–A10
โจทย์วงจรที่เจอบ่อย: หากระแสลูปเดียวในวงจรสามลูป พื้นฐาน
รูปแบบนี้ออกสอบแทบทุกเทอม เขียนสมการเมชด้วยการมอง (by inspection): สมาชิกทแยง = ผลรวมความต้านทานรอบลูปนั้น สมาชิกนอกทแยง = ลบความต้านทานที่ใช้ร่วมกัน ด้านขวา = ผลรวมแหล่งจ่ายที่ดันกระแสไปทางเดียวกับลูป (ดูที่มาเต็มใน A1 )
+ −
24 V
R₁ = 2 Ω
R₃ = 2 Ω
R₂ 4 Ω
R₄ 6 Ω
R₅ 3 Ω
I₁
I₂
I₃
กระแสเมชทั้งสามวนตามเข็มนาฬิกา R 2 R_2 R 2 R 4 R_4 R 4
ตัวอย่าง C-4 · หาเฉพาะ I₂ จากวงจรข้างบน หากระแส I 2 I_2 I 2 R 3 R_3 R 3 ลองในเครื่องคิดเลข
เขียนเมทริกซ์ด้วยการมอง: ทแยง 2 + 4 = 6 2 + 4 = 6 2 + 4 = 6 4 + 2 + 6 = 12 4 + 2 + 6 = 12 4 + 2 + 6 = 12 6 + 3 = 9 6 + 3 = 9 6 + 3 = 9 − 4 -4 − 4 − 6 -6 − 6
( 6 − 4 0 − 4 12 − 6 0 − 6 9 ) ( I 1 I 2 I 3 ) = ( 24 0 0 ) \begin{pmatrix} 6 & -4 & 0 \\ -4 & 12 & -6 \\ 0 & -6 & 9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} 6 − 4 0 − 4 12 − 6 0 − 6 9 I 1 I 2 I 3 = 24 0 0 Δ \Delta Δ D4
Δ = 6 ∣ 12 − 6 − 6 9 ∣ − ( − 4 ) ∣ − 4 − 6 0 9 ∣ + 0 = 6 ( 108 − 36 ) + 4 ( − 36 ) = 432 − 144 = 288 \Delta = 6\begin{vmatrix} 12 & -6 \\ -6 & 9 \end{vmatrix} - (-4)\begin{vmatrix} -4 & -6 \\ 0 & 9 \end{vmatrix} + 0 = 6(108 - 36) + 4(-36) = 432 - 144 = 288 Δ = 6 12 − 6 − 6 9 − ( − 4 ) − 4 0 − 6 9 + 0 = 6 ( 108 − 36 ) + 4 ( − 36 ) = 432 − 144 = 288 แทนหลักที่ 2 ด้วย ( 24 , 0 , 0 ) (24, 0, 0) ( 24 , 0 , 0 ) C1
Δ 2 = ∣ 6 24 0 − 4 0 − 6 0 0 9 ∣ = + 9 ∣ 6 24 − 4 0 ∣ = 9 ( 0 + 96 ) = 864 \Delta_2 = \begin{vmatrix} 6 & \hlU{24} & 0 \\ -4 & \hlU{0} & -6 \\ 0 & \hlU{0} & 9 \end{vmatrix} = +9\begin{vmatrix} 6 & 24 \\ -4 & 0 \end{vmatrix} = 9(0 + 96) = 864 Δ 2 = 6 − 4 0 24 0 0 0 − 6 9 = + 9 6 − 4 24 0 = 9 ( 0 + 96 ) = 864 I 2 = Δ 2 Δ = 864 288 = 3 A I_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{864}{288} = 3\ \text{A} I 2 = Δ Δ 2 = 288 864 = 3 A
I 2 = 3 I_2 = 3 I 2 = 3 I 1 = 6 I_1 = 6 I 1 = 6 I 3 = 2 I_3 = 2 I 3 = 2
ตรวจกำลัง: แหล่งจ่าย 24 × 6 = 144 24 \times 6 = 144 24 × 6 = 144 2 ( 6 ) 2 + 4 ( 3 ) 2 + 2 ( 3 ) 2 + 6 ( 1 ) 2 + 3 ( 2 ) 2 = 72 + 36 + 18 + 6 + 12 = 144 2(6)^2 + 4(3)^2 + 2(3)^2 + 6(1)^2 + 3(2)^2 = 72 + 36 + 18 + 6 + 12 = 144 2 ( 6 ) 2 + 4 ( 3 ) 2 + 2 ( 3 ) 2 + 6 ( 1 ) 2 + 3 ( 2 ) 2 = 72 + 36 + 18 + 6 + 12 = 144
คราเมอร์กับจำนวนเชิงซ้อน: วงจร AC กลาง
ในสถานะคงตัวไซน์ (sinusoidal steady state) ตัวเหนี่ยวนำมีอิมพีแดนซ์ j X L jX_L j X L − j X C -jX_C − j X C
C7 Works over complex numbers and in s
Z I = V ⇒ I k = Δ k Δ , Δ , Δ k ∈ C หรือเป็นพหุนามของ s \mathbf Z\,\mathbf I = \mathbf V \ \Rightarrow\ I_k = \frac{\Delta_k}{\Delta}, \qquad \Delta,\ \Delta_k \in \mathbb C \ \text{หรือเป็นพหุนามของ } s Z I = V ⇒ I k = Δ Δ k , Δ , Δ k ∈ C หรือเป็นพหุนามของ s คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ด้วยกฎของจำนวนเชิงซ้อน j 2 = − 1 j^2 = -1 j 2 = − 1 ∣ I ∣ ∠ θ |I|\angle\theta ∣ I ∣∠ θ
10∠0°
R₁ = 4 Ω
−j4 Ω
j8 Ω
R₂ 4 Ω
I₁
I₂
วงจร AC สองเมช ค่าอิมพีแดนซ์ที่ความถี่ใช้งาน ตัวเก็บประจุอยู่ร่วมทั้งสองเมช
ตัวอย่าง C-5 · กระแสเมชในวงจร AC หา I 1 \mathbf I_1 I 1 I 2 \mathbf I_2 I 2
ทแยง: 4 − j 4 4 - j4 4 − j 4 − j 4 + j 8 + 4 = 4 + j 4 -j4 + j8 + 4 = 4 + j4 − j 4 + j 8 + 4 = 4 + j 4 − ( − j 4 ) = + j 4 -(-j4) = +j4 − ( − j 4 ) = + j 4
( 4 − j 4 j 4 j 4 4 + j 4 ) ( I 1 I 2 ) = ( 10 0 ) \begin{pmatrix} 4 - j4 & j4 \\ j4 & 4 + j4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathbf I_1 \\ \mathbf I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \end{pmatrix} ( 4 − j 4 j 4 j 4 4 + j 4 ) ( I 1 I 2 ) = ( 10 0 ) ดีเทอร์มิแนนต์เชิงซ้อน ใช้ ( 4 − j 4 ) ( 4 + j 4 ) = 16 + 16 (4 - j4)(4 + j4) = 16 + 16 ( 4 − j 4 ) ( 4 + j 4 ) = 16 + 16 ( j 4 ) 2 = − 16 (j4)^2 = -16 ( j 4 ) 2 = − 16
Δ = ( 4 − j 4 ) ( 4 + j 4 ) − ( j 4 ) ( j 4 ) = 32 − ( − 16 ) = 48 \Delta = (4 - j4)(4 + j4) - (j4)(j4) = 32 - (-16) = 48 Δ = ( 4 − j 4 ) ( 4 + j 4 ) − ( j 4 ) ( j 4 ) = 32 − ( − 16 ) = 48 แทนหลักแล้วหาร C7
I 1 = ∣ 10 j 4 0 4 + j 4 ∣ 48 = 40 + j 40 48 , I 2 = ∣ 4 − j 4 10 j 4 0 ∣ 48 = − j 40 48 \mathbf I_1 = \frac{\begin{vmatrix} \hlU{10} & j4 \\ \hlU{0} & 4 + j4 \end{vmatrix}}{48} = \frac{40 + j40}{48}, \qquad \mathbf I_2 = \frac{\begin{vmatrix} 4 - j4 & \hlU{10} \\ j4 & \hlU{0} \end{vmatrix}}{48} = \frac{-j40}{48} I 1 = 48 10 0 j 4 4 + j 4 = 48 40 + j 40 , I 2 = 48 4 − j 4 j 4 10 0 = 48 − j 40 แปลงเป็นเชิงขั้ว
I 1 = 0.833 + j 0.833 = 1.18 ∠ 45 ∘ A , I 2 = − j 0.833 = 0.833 ∠ − 90 ∘ A \mathbf I_1 = 0.833 + j0.833 = 1.18\angle 45^\circ\ \text{A}, \qquad \mathbf I_2 = -j0.833 = 0.833\angle{-90^\circ}\ \text{A} I 1 = 0.833 + j 0.833 = 1.18∠4 5 ∘ A , I 2 = − j 0.833 = 0.833∠ − 9 0 ∘ A
I 1 = 1.18 ∠ 45 ∘ \mathbf I_1 = 1.18\angle45^\circ I 1 = 1.18∠4 5 ∘ I 2 = 0.833 ∠ − 90 ∘ \mathbf I_2 = 0.833\angle{-90^\circ} I 2 = 0.833∠ − 9 0 ∘
ตรวจ KVL เมช 2: แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ ( − j 4 ) ( I 1 − I 2 ) = ( − j 4 ) ( 0.833 + j 1.667 ) = 6.67 − j 3.33 (-j4)(\mathbf I_1 - \mathbf I_2) = (-j4)(0.833 + j1.667) = 6.67 - j3.33 ( − j 4 ) ( I 1 − I 2 ) = ( − j 4 ) ( 0.833 + j 1.667 ) = 6.67 − j 3.33 ( 4 + j 8 ) I 2 = 6.67 − j 3.33 (4 + j8)\mathbf I_2 = 6.67 - j3.33 ( 4 + j 8 ) I 2 = 6.67 − j 3.33
คราเมอร์ในโดเมน s: ฟังก์ชันถ่ายโอนและสมการลักษณะเฉพาะ ขั้นสูง
หลังแปลงลาปลาซ (ทบทวนที่ การแปลงลาปลาซ ) ตัวเก็บประจุกลายเป็น 1 / s C 1/sC 1/ s C s s s รากของ Δ ( s ) \Delta(s) Δ ( s )
C8 Transfer function and natural frequencies
H ( s ) = X k ( s ) U ( s ) = Δ k ( s ) / U ( s ) Δ ( s ) , Δ ( s ) = 0 คือสมการลักษณะเฉพาะ ให้ขั้วของวงจร H(s) = \frac{X_k(s)}{U(s)} = \frac{\Delta_k(s)/U(s)}{\Delta(s)}, \qquad \Delta(s) = 0 \ \text{คือสมการลักษณะเฉพาะ ให้ขั้วของวงจร} H ( s ) = U ( s ) X k ( s ) = Δ ( s ) Δ k ( s ) / U ( s ) , Δ ( s ) = 0 คือสมการลักษณะเฉพาะ ให้ขั้วของวงจร
+ − u
R R
C C
v₁
v₂ (เอาต์พุต)
วงจรกรองผ่านต่ำ RC สองชั้น ให้ τ = R C \tau = RC τ = RC
ตัวอย่าง C-6 · หาฟังก์ชันถ่ายโอนด้วยคราเมอร์ หา H ( s ) = V 2 ( s ) / U ( s ) H(s) = V_2(s)/U(s) H ( s ) = V 2 ( s ) / U ( s )
KCL ที่โนด 1 และ 2 ในโดเมน s แล้วคูณทุกพจน์ด้วย R R R s R C = τ s sRC = \tau s s RC = τ s
V 1 − U R + s C V 1 + V 1 − V 2 R = 0 V 2 − V 1 R + s C V 2 = 0 ⇒ ( 2 + τ s − 1 − 1 1 + τ s ) ( V 1 V 2 ) = ( U 0 ) \begin{aligned} \tfrac{V_1 - U}{R} + sCV_1 + \tfrac{V_1 - V_2}{R} &= 0 \\ \tfrac{V_2 - V_1}{R} + sCV_2 &= 0 \end{aligned} \ \Rightarrow\ \begin{pmatrix} 2 + \tau s & -1 \\ -1 & 1 + \tau s \end{pmatrix}\begin{pmatrix} V_1 \\ V_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} U \\ 0 \end{pmatrix} R V 1 − U + s C V 1 + R V 1 − V 2 R V 2 − V 1 + s C V 2 = 0 = 0 ⇒ ( 2 + τ s − 1 − 1 1 + τ s ) ( V 1 V 2 ) = ( U 0 ) Δ ( s ) = ( 2 + τ s ) ( 1 + τ s ) − 1 = τ 2 s 2 + 3 τ s + 1 \Delta(s) = (2 + \tau s)(1 + \tau s) - 1 = \tau^2s^2 + 3\tau s + 1 Δ ( s ) = ( 2 + τ s ) ( 1 + τ s ) − 1 = τ 2 s 2 + 3 τ s + 1 หา V 2 V_2 V 2 C8
V 2 = ∣ 2 + τ s U − 1 0 ∣ Δ ( s ) = U τ 2 s 2 + 3 τ s + 1 V_2 = \frac{\begin{vmatrix} 2 + \tau s & \hlU{U} \\ -1 & \hlU{0} \end{vmatrix}}{\Delta(s)} = \frac{U}{\tau^2s^2 + 3\tau s + 1} V 2 = Δ ( s ) 2 + τ s − 1 U 0 = τ 2 s 2 + 3 τ s + 1 U ขั้วคือรากของ Δ ( s ) = 0 \Delta(s) = 0 Δ ( s ) = 0
τ s = − 3 ± 5 2 ⇒ s 1 = − 0.382 τ , s 2 = − 2.618 τ \tau s = \frac{-3 \pm \sqrt5}{2} \ \Rightarrow\ s_1 = -\frac{0.382}{\tau},\quad s_2 = -\frac{2.618}{\tau} τ s = 2 − 3 ± 5 ⇒ s 1 = − τ 0.382 , s 2 = − τ 2.618
H ( s ) = 1 τ 2 s 2 + 3 τ s + 1 H(s) = \dfrac{1}{\tau^2s^2 + 3\tau s + 1} H ( s ) = τ 2 s 2 + 3 τ s + 1 1 2.618 τ 2.618\tau 2.618 τ 0.382 τ 0.382\tau 0.382 τ φ 2 = 2.618 \varphi^2 = 2.618 φ 2 = 2.618
ขั้วสองตัวนี้คือค่าเฉพาะ ของเมทริกซ์สถานะของวงจรเดียวกันพอดี ดูการคำนวณอีกมุมใน การประยุกต์: RC สองชั้น
ข้อดี ข้อจำกัด และต้นทุนการคำนวณ กลาง
C9 Computational cost
คราเมอร์ครบทุกตัวแปร = ( n + 1 ) ดีเทอร์มิแนนต์ n × n เทียบ เกาส์ ≈ n 3 3 การคูณ \text{คราเมอร์ครบทุกตัวแปร} = (n + 1) \text{ ดีเทอร์มิแนนต์ } n\times n \qquad \text{เทียบ} \qquad \text{เกาส์} \approx \tfrac{n^3}{3} \text{ การคูณ} คราเมอร์ครบทุกตัวแปร = ( n + 1 ) ดีเทอร์มิแนนต์ n × n เทียบ เกาส์ ≈ 3 n 3 การคูณ ทำมือ 2×2 และ 3×3 คราเมอร์สะดวกที่สุด · หาตัวแปรเดียวใช้แค่ 2 ดีเทอร์มิแนนต์ · ตั้งแต่ 4×4 ขึ้นไปให้ลดแถว · คอมพิวเตอร์ไม่ใช้คราเมอร์แก้ระบบใหญ่
ใช้คราเมอร์เมื่อ เลี่ยงคราเมอร์เมื่อ
2–3 ตัวแปร ทำมือ 4 ตัวแปรขึ้นไป ต้องการตัวแปรเดียว เช่น กระแสลูปเดียว Δ = 0 \Delta = 0 Δ = 0 สัมประสิทธิ์เป็นตัวอักษร เช่น R R R s s s k k k สมการไม่เท่าตัวแปร อิมพีแดนซ์เชิงซ้อน 2×2 ต้องการความแม่นยำเชิงตัวเลขในโปรแกรม
เครื่องคิดเลขคราเมอร์แสดงวิธีทำ
เลือกโหมด “แก้ระบบ” ใส่ A A A b \mathbf b b det A ≠ 0 \det A \ne 0 det A = 0 Δ \Delta Δ Δ 1 , Δ 2 , … \Delta_1, \Delta_2, \dots Δ 1 , Δ 2 , …
คำถามที่พบบ่อย กฎของคราเมอร์ใช้ไม่ได้เมื่อไร? เมื่อ Δ = det A = 0 \Delta = \det A = 0 Δ = det A = 0 Δ = 0 \Delta = 0 Δ = 0
ถ้า Δ = 0 และ Δx = Δy = Δz = 0 แปลว่ามีคำตอบไม่จำกัดใช่ไหม? ไม่เสมอไป สำหรับ 2×2 ที่ไม่ใช่เมทริกซ์ศูนย์ใช่ แต่ตั้งแต่ 3×3 ขึ้นไปไม่จริง เช่น x + y + z = 1 , x + y + z = 2 , x + y + z = 3 x + y + z = 1,\ x + y + z = 2,\ x + y + z = 3 x + y + z = 1 , x + y + z = 2 , x + y + z = 3
คราเมอร์กับอินเวอร์สต่างกันอย่างไร? ให้คำตอบเท่ากันเสมอ คราเมอร์คือการเขียนสูตรอินเวอร์สแบบแอดจอยต์คูณกับ b ทีละตัวแปร ข้อดีคือหาตัวแปรเดียวได้โดยไม่ต้องหาอินเวอร์สทั้งเมทริกซ์ เหมาะกับโจทย์ที่ถามกระแสเพียงลูปเดียว
ใช้คราเมอร์กับวงจร AC ได้ไหม? ได้ ทุกขั้นตอนใช้แค่บวก ลบ คูณ หาร จึงใช้กับอิมพีแดนซ์จำนวนเชิงซ้อนได้ตรง ๆ คำนวณดีเทอร์มิแนนต์แบบเชิงซ้อนแล้วหาร ตอบในรูปเชิงขั้ว (ขนาดและมุม)
มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ ดูโปรไฟล์
บทความอ่านง่ายเกี่ยวกับหัวข้อนี้
ดูบทความทั้งหมด →