// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 1 · Direction cosines & 3D force components

ทิศทางโคไซน์และการแตกแรงสามมิติ

ในสองมิติ มุมเดียวบอกทิศของแรงได้ครบ แต่ในสามมิติ สายเคเบิลของเสาอากาศ แรงบนข้อต่อแขนกล หรือสนามแม่เหล็กที่เซนเซอร์อ่านได้ ต้องบอกทิศด้วยมุมกับสามแกน บทนี้สร้างเครื่องมือหลักของสแตติกส์สามมิติ: มุม α β γ ทิศทางโคไซน์ เวกเตอร์หนึ่งหน่วย การแตกแรงสองขั้น และการเขียนแรงตามแนวเส้นจากพิกัด พร้อมฉาก 3 มิติที่ลากหมุนดูได้ทุกมุม

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต 13 ต.ค. 2569

นิยาม α β γ มุมราบ-มุมเงย แรงตามสายเคเบิล ฉาก 3 มิติ

สรุปใน 30 วินาที

$\cos\alpha=F_x/F,\ \cos\beta=F_y/F,\ \cos\gamma=F_z/F$ และ $\mathbf u_F=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$
เอกลักษณ์ $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$ ทำให้รู้สองมุมแล้วหามุมที่สามได้ (มีสองคำตอบ)
แตกแรงสองขั้น: $F_h=F\cos\varphi$ , $F_z=F\sin\varphi$ , แล้ว $F_x=F_h\cos\theta$ , $F_y=F_h\sin\theta$
แรงตามสาย: $\mathbf F=F\,\dfrac{\mathbf r_B-\mathbf r_A}{\lVert\mathbf r_B-\mathbf r_A\rVert}$ ไม่ต้องหามุมเลย

1. ทำไมสามมิติต้องใช้มุมกับสามแกน พื้นฐาน

แรง 500 N ที่ “เอียง 60° จากแกน x” ในสามมิติยังไม่ได้บอกอะไรมากนัก เพราะเวกเตอร์ทุกเส้นบนผิวกรวยรอบแกน x ที่มีมุมยอด 60° ทำมุม 60° กับแกน x เหมือนกันหมด เราจึงต้องระบุเพิ่มว่าเวกเตอร์ทำมุมกับแกน y และแกน z เท่าใด หรือใช้มุมสองมุมแบบอื่น เช่น มุมราบกับมุมเงยแบบที่ใช้หันจานดาวเทียม

ทางวิศวกรรม ทิศของแรงสามมิติมักมาจากสามแหล่ง ซึ่งบทนี้จะสอนให้แปลงไปมาได้ทั้งหมด:

แบบ ①

มุมกับสามแกน α β γ

ตำราสแตติกส์และแบบงานโครงสร้าง เช่น “แรงทำมุม 60°, 45° และ 120° กับแกน x, y, z”

แบบ ②

มุมราบ θ + มุมเงย φ

เสาอากาศ จานดาวเทียม แผงโซลาร์ ทิศของลมหรือแสงอาทิตย์ บอกเป็นทิศบนพื้นแล้วเงยขึ้น

แบบ ③

พิกัดสองจุดบนแนวแรง

สายเคเบิล สายยึดเสา โซ่รอก แขนกล รู้ว่าสายวิ่งจากจุดไหนไปจุดไหน

2. นิยามมุม α β γ และทิศทางโคไซน์ พื้นฐาน

วางหางของเวกเตอร์ $\mathbf F$ ที่จุดกำเนิด มุม α คือมุมระหว่าง $\mathbf F$ กับแกน +x, β คือมุมกับ +y และ γ คือมุมกับ +z ทุกมุมอยู่ในช่วง 0° ถึง 180° (ไม่ใช้มุมติดลบ เพราะเป็นมุมระหว่างสองทิศในอวกาศ ไม่ใช่การหมุนในระนาบ) เมื่อฉายเวกเตอร์ลงบนแกน x จะได้ $F_x=F\cos\alpha$ ซึ่งก็คือ dot product กับเวกเตอร์ฐาน $\mathbf F\cdot\mathbf i=F(1)\cos\alpha$

มุม α วัดในระนาบที่มีแกน x และ F เอง ไม่ใช่ในระนาบ xy — ภาพสองมิติหลอกตาได้ จึงต้องใช้แล็บหมุนดูด้านล่าง

K1 Direction cosines ทิศทางโคไซน์

\cos\alpha=\frac{F_x}{F},\qquad \cos\beta=\frac{F_y}{F},\qquad \cos\gamma=\frac{F_z}{F},\qquad F=\lVert\mathbf F\rVert=\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}

เครื่องหมายของโคไซน์ตรงกับเครื่องหมายขององค์ประกอบ: $F_x<0$ แปลว่า $\alpha>90^\circ$ ใช้ $\arccos$ ได้ตรง ๆ เพราะผลลัพธ์อยู่ในช่วง 0°–180° พอดี ไม่มีปัญหาควอดแรนต์แบบ arctan

K2 Unit vector from direction cosines เวกเตอร์หนึ่งหน่วยคือชุดทิศทางโคไซน์

\mathbf u_F=\frac{\mathbf F}{F}=\cos\alpha\,\mathbf i+\cos\beta\,\mathbf j+\cos\gamma\,\mathbf k,\qquad \mathbf F=F\,\mathbf u_F

นี่คือการแยก “ขนาด” ออกจาก “ทิศ” ให้ชัด: ทิศเก็บใน $\mathbf u_F$ ที่ไม่มีหน่วย ขนาดเก็บใน $F$ ที่มีหน่วยนิวตัน

K3 Fundamental identity ผลบวกกำลังสองของทิศทางโคไซน์

\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1

พิสูจน์: $\lVert\mathbf u_F\rVert^2=1$ และ $\lVert\mathbf u_F\rVert^2=\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma$ จึงเท่ากัน ในสองมิติจะลดรูปเป็น $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ เพราะมุมกับแกน y เท่ากับ $90^\circ-\theta$

ตัวอย่าง K-0 · จากองค์ประกอบสู่มุม

แรง $\mathbf F=(300,400,500)$ N จงหาขนาด ทิศทางโคไซน์ และมุม α β γ

ขนาด $F=\sqrt{300^2+400^2+500^2}=\sqrt{500{,}000}=707.11$ N
$\cos\alpha=300/707.11=0.4243\Rightarrow\alpha=64.90^\circ$ ; $\cos\beta=0.5657\Rightarrow\beta=55.55^\circ$ ; $\cos\gamma=0.7071\Rightarrow\gamma=45.00^\circ$
ตรวจ $0.18+0.32+0.50=1$ ✓ และ $\mathbf u_F=(0.4243,0.5657,0.7071)$

$F=707.1$ N · $\alpha=64.9^\circ,\ \beta=55.6^\circ,\ \gamma=45.0^\circ$ — ค่าเริ่มต้นในแล็บ 3 มิติด้านล่าง ลองลากหมุนดูว่ามุม γ อยู่ระหว่างลูกศรกับแกน z จริง

3. จากมุมสู่องค์ประกอบ และการหามุมที่สาม กลาง

K4 Components from magnitude and direction angles องค์ประกอบจากขนาดและมุม

\mathbf F=F\cos\alpha\,\mathbf i+F\cos\beta\,\mathbf j+F\cos\gamma\,\mathbf k

K5 The third angle มุมที่สามมีสองคำตอบ

\cos\gamma=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta},\qquad \gamma_2=180^\circ-\gamma_1

เครื่องหมาย + เมื่อแรงชี้ขึ้น ( $F_z\ge0$ ) และ − เมื่อชี้ลง ถ้า $\cos^2\alpha+\cos^2\beta>1$ ชุดมุมนั้นเป็นไปไม่ได้ทางเรขาคณิต เช่น α = β = 30° (เพราะ 0.75 + 0.75 = 1.5)

ตัวอย่าง K-1 · โจทย์คลาสสิกของสแตติกส์

แรง 500 N ทำมุม α = 60° กับแกน x และ β = 45° กับแกน y แรงชี้ขึ้น จงหา γ และเขียนเวกเตอร์แรง

$\cos^2\gamma=1-\cos^2 60^\circ-\cos^2 45^\circ=1-0.25-0.5=0.25\Rightarrow\cos\gamma=\pm0.5$
แรงชี้ขึ้น เลือก $\cos\gamma=+0.5\Rightarrow\gamma=60^\circ$ (ถ้าชี้ลงจะได้ $\gamma=120^\circ$ )
$\mathbf F=500(\cos60^\circ,\cos45^\circ,\cos60^\circ)=(250,\ 353.6,\ 250)$ N
ตรวจขนาด $\sqrt{250^2+353.6^2+250^2}=500$ N ✓

$\gamma=60^\circ$ · $\mathbf F=250\mathbf i+353.6\mathbf j+250\mathbf k$ N

4. แตกแรงสองขั้นด้วยมุมราบ θ และมุมเงย φ กลาง

เมื่อโจทย์บอกทิศเป็น “หันไปทาง 30° จากแกน x บนพื้น แล้วเงยขึ้น 50°” ให้แตกสองครั้ง: ครั้งแรกแยกแรงเป็นส่วนตั้ง $F_z$ กับส่วนนอน $F_h$ ในระนาบแนวดิ่งที่มีแรงอยู่ ครั้งที่สองแยก $F_h$ บนพื้นเป็น $F_x$ และ $F_y$ เหมือนโจทย์สองมิติ ภาพในใจคือ “เงาของแรงบนพื้น” $F_h$ แล้วค่อยแตกเงานั้น

K6 Two-step resolution (azimuth θ, elevation φ) แตกแรงสองขั้น

F_h=F\cos\varphi,\quad F_z=F\sin\varphi,\quad F_x=F_h\cos\theta=F\cos\varphi\cos\theta,\quad F_y=F\cos\varphi\sin\theta

กลับทาง: $F_h=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$ , $\theta=\operatorname{atan2}(F_y,F_x)$ , $\varphi=\operatorname{atan2}(F_z,F_h)$ บางตำราใช้มุมจากแกน z (zenith) $\phi_z=90^\circ-\varphi$ แทน ซึ่งก็คือ γ ของ K1 นั่นเอง

ตัวอย่าง K-2 · สายยึดเสาอากาศ

แรงดึงในสาย 700 N หันไปทาง θ = 30° จากแกน +x บนพื้น และเงยขึ้น φ = 50° จากพื้น จงหาองค์ประกอบและมุม α β γ

แยกตั้ง-นอน: $F_z=700\sin50^\circ=536.2$ N, $F_h=700\cos50^\circ=450.0$ N
แยกเงาบนพื้น: $F_x=450.0\cos30^\circ=389.7$ N, $F_y=450.0\sin30^\circ=225.0$ N
มุมกับแกน: $\alpha=\arccos(389.7/700)=56.17^\circ$ , $\beta=\arccos(225.0/700)=71.25^\circ$ , $\gamma=\arccos(536.2/700)=40.00^\circ$
สังเกต $\gamma=90^\circ-\varphi$ เสมอ แต่ $\alpha\ne\theta$ เพราะ α วัดในอวกาศ ไม่ใช่บนพื้น

$\mathbf F=(389.7,\ 225.0,\ 536.2)$ N · α = 56.2°, β = 71.3°, γ = 40.0°

ข้อผิดพลาดยอดนิยม

ใช้ $F_x=F\cos\theta$ ตรง ๆ โดยลืมคูณ $\cos\varphi$ ก่อน ตัวเลข $700\cos30^\circ=606$ N ใหญ่เกินจริง ตรวจได้ทันทีว่า $F_x^2+F_y^2+F_z^2$ จะมากกว่า $F^2$

5. แรงตามแนวเส้น: จากพิกัดสองจุดเป็นเวกเตอร์แรง กลาง

สายเคเบิลรับแรงดึงได้ในแนวสายเท่านั้น ถ้ารู้พิกัดจุดยึด A และจุด B ที่สายวิ่งไปหา เราได้ทิศของแรงทันทีจากเวกเตอร์ตำแหน่ง $\mathbf r_{AB}=\mathbf r_B-\mathbf r_A$ วิธีนี้เป็นวิธีที่วิศวกรใช้จริงมากที่สุด เพราะแบบงานบอกพิกัด ไม่ได้บอกมุม

K7 Force directed along a line แรงตามแนวเส้นจาก A ไป B

\mathbf r_{AB}=(x_B-x_A)\mathbf i+(y_B-y_A)\mathbf j+(z_B-z_A)\mathbf k,\qquad \mathbf u_{AB}=\frac{\mathbf r_{AB}}{\lVert\mathbf r_{AB}\rVert},\qquad \mathbf F=F\,\mathbf u_{AB}

ทิศทางโคไซน์ของแรงคือองค์ประกอบของ $\mathbf u_{AB}$ ระวังทิศ: แรงที่สายกระทำต่อจุด A ชี้จาก A ไป B (สายดึง A เข้าหา B) ส่วนแรงที่กระทำต่อ B ชี้กลับจาก B ไป A

ตัวอย่าง K-3 · สายยึดจากฐานถึงยอดเสา

สายวิ่งจาก A(0, 0, 0) m ไป B(2, −3, 6) m มีแรงดึง 840 N จงเขียนแรงที่สายกระทำต่อ A เป็นเวกเตอร์ และหามุม α β γ

$\mathbf r_{AB}=(2,-3,6)$ m ความยาว $\sqrt{4+9+36}=7$ m (ชุดตัวเลข 2-3-6-7 จำง่าย)
$\mathbf u_{AB}=(2/7,\ -3/7,\ 6/7)=(0.2857,\ -0.4286,\ 0.8571)$
$\mathbf F=840\,\mathbf u_{AB}=(240,\ -360,\ 720)$ N
$\alpha=\arccos(2/7)=73.40^\circ$ , $\beta=\arccos(-3/7)=115.38^\circ$ (เกิน 90° เพราะ $F_y<0$ ), $\gamma=\arccos(6/7)=31.00^\circ$

$\mathbf F=240\mathbf i-360\mathbf j+720\mathbf k$ N · ตรวจ $\sqrt{240^2+360^2+720^2}=840$ N ✓

6. รวมแรงสามมิติ: องค์ประกอบก่อน ขนาดทีหลัง กลาง

K8 Resultant of 3D forces แรงลัพธ์สามมิติและทิศของมัน

\mathbf R=\Big(\sum F_x\Big)\mathbf i+\Big(\sum F_y\Big)\mathbf j+\Big(\sum F_z\Big)\mathbf k,\qquad \cos\alpha_R=\frac{R_x}{R},\ \cos\beta_R=\frac{R_y}{R},\ \cos\gamma_R=\frac{R_z}{R}

ตัวอย่าง K-4 · เสาไฟฟ้ากับสายยึดสองเส้น

ยอดเสาอยู่ที่ P(0, 0, 12) m สาย PA ไปสมอ A(4, −3, 0) m มีแรงดึง 650 N สาย PB ไป B(−3, 4, 0) m มีแรงดึง 390 N จงหาแรงลัพธ์ที่สายทั้งสองกระทำต่อยอดเสา

$\mathbf r_{PA}=(4,-3,-12)$ , $\lVert\mathbf r_{PA}\rVert=13$ m → $\mathbf F_A=650(4,-3,-12)/13=(200,-150,-600)$ N
$\mathbf r_{PB}=(-3,4,-12)$ , $\lVert\mathbf r_{PB}\rVert=13$ m → $\mathbf F_B=390(-3,4,-12)/13=(-90,120,-360)$ N
รวมองค์ประกอบ $\mathbf R=(110,\ -30,\ -960)$ N, $R=\sqrt{110^2+30^2+960^2}=966.7$ N
$\alpha_R=83.47^\circ,\ \beta_R=91.78^\circ,\ \gamma_R=173.23^\circ$ : แรงลัพธ์เกือบดิ่งลง กดเสาเป็นแรงอัด 960 N
อ่านผลเชิงวิศวกรรม: ยังมีส่วนแนวนอน $(110,-30)$ N ทำให้ยอดเสาถูกดัด ต้องเพิ่มสายเส้นที่สามหรือปรับแรงดึงให้ส่วนแนวนอนหักล้างกันเป็นศูนย์

$\mathbf R=(110,-30,-960)$ N · $R=966.7$ N · ส่วนแนวนอน 114.0 N ต้องจัดการต่อ

7. ฉาก 3 มิติ: หมุนดูมุม α β γ ให้เห็นจริง พื้นฐาน

ลากภาพเพื่อหมุนกล้องรอบเวกเตอร์ ปุ่ม xy · xz · yz ให้มุมมองจากบน หน้า และข้าง ลองสามการทดลองนี้:

เลือก “ขนาด + มุม α β” ตั้ง α = β = 30° ระบบจะเตือนว่าเป็นไปไม่ได้ อธิบายด้วย K3
เปลี่ยน Fz ให้ติดลบ แล้วดูว่า γ ข้าม 90° ขณะที่ α β ไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย
มองจากบน (ปุ่ม xy) แล้วสังเกตว่า “เงา” F_h บนพื้นคือสิ่งที่ใช้กับมุมราบ θ ในตัวอย่าง K-2

8. ทิศทางโคไซน์กับการหมุนแกน: เมทริกซ์โคไซน์ทิศทาง ขั้นสูง

ถ้ามีกรอบพิกัดใหม่ $x'y'z'$ ที่เอียงจากกรอบเดิม แกนใหม่แต่ละแกนก็มีทิศทางโคไซน์สามค่าเทียบกับแกนเดิม เก้าค่านี้จัดเป็นเมทริกซ์ที่เรียกว่า direction cosine matrix (DCM) ซึ่งเป็นเมทริกซ์หมุนนั่นเอง องค์ประกอบของเวกเตอร์ในกรอบใหม่คือ dot product กับแกนใหม่แต่ละแกน

K9 Direction cosine matrix เมทริกซ์โคไซน์ทิศทาง

\begin{bmatrix}F_{x'}\\F_{y'}\\F_{z'}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta_{x'x}&\cos\theta_{x'y}&\cos\theta_{x'z}\\\cos\theta_{y'x}&\cos\theta_{y'y}&\cos\theta_{y'z}\\\cos\theta_{z'x}&\cos\theta_{z'y}&\cos\theta_{z'z}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}F_x\\F_y\\F_z\end{bmatrix}

แต่ละแถวคือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของแกนใหม่ เขียนในกรอบเดิม ทุกแถวยาว 1 และตั้งฉากกัน (K3 ใช้กับทุกแถว) รายละเอียดการหมุนอยู่ในบท การหมุนแกนพิกัด

9. ใช้กับงานไฟฟ้า: สนามแม่เหล็กจากเซนเซอร์และทิศของสนาม กลาง

แมกนีโตมิเตอร์สามแกนในโทรศัพท์ โดรน และมิเตอร์อัจฉริยะ อ่านค่าสนามแม่เหล็กออกมาเป็นสามองค์ประกอบ ทิศทางโคไซน์บอกว่าสนามชี้ไปทางใดเทียบกับตัวเครื่อง ส่วนมุมกับระนาบนอน (มุมจุ่ม) และมุมบนพื้น (heading) คือมุมเงยและมุมราบของ K6 แบบเดียวกับการหาทิศของสนามไฟฟ้าลัพธ์จากประจุหลายตัว

ตัวอย่าง K-5 · แมกนีโตมิเตอร์สามแกน (ตัวเลขสมมติ)

เซนเซอร์วางราบอ่าน $\mathbf B=(30,\ -10,\ -15)\ \mu$ T จงหาขนาด ทิศทางโคไซน์ มุมกดลงจากแนวนอน และมุมบนพื้นจากแกน x

$B=\sqrt{30^2+10^2+15^2}=\sqrt{1225}=35\ \mu$ T
$\mathbf u_B=(0.8571,\ -0.2857,\ -0.4286)$ → α = 31.00°, β = 106.60°, γ = 115.38°
ส่วนแนวนอน $B_h=\sqrt{30^2+10^2}=31.62\ \mu$ T มุมกดลง $\arctan(15/31.62)=25.38^\circ$ (เท่ากับ $\gamma-90^\circ$ )
มุมบนพื้น $\operatorname{atan2}(-10,30)=-18.43^\circ$ คือสนามแนวนอนเบนไปทาง −y จากแกน x ของเครื่อง

$B=35\ \mu$ T · กดลง 25.4° · เบน −18.4° จากแกน x (เครื่องเข็มทิศจริงต้องชดเชยความเอียงของเครื่องด้วยการหมุนแกน)

สนามไฟฟ้าลัพธ์จากประจุสามตัวในสามมิติ ใช้ขั้นตอนเดียวกัน: รวมองค์ประกอบ แล้วหาทิศด้วย K8 ทดลองได้ใน บทสนามไฟฟ้าและแม่เหล็ก

10. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและวิธีตรวจ

ข้อผิดพลาด	ทำไมผิด / วิธีตรวจ
ใช้ $\cos\theta$ ของมุมราบแทน $\cos\alpha$	α วัดในอวกาศ ตรวจด้วย K3: ผลรวมกำลังสองต้องเท่ากับ 1
ลืมว่ามุมที่สามมีสองค่า	เลือกตามทิศขึ้น/ลงของแรง ถ้าไม่ระบุต้องรายงานทั้งสองกรณี
ใช้ arctan หามุม α β γ	ใช้ arccos ซึ่งให้ 0°–180° ตรงนิยามพอดี
กลับทิศ $\mathbf r_{AB}$	แรงที่สายกระทำต่อจุดยึดชี้ “ออกจากจุดนั้นตามสาย” วาดภาพก่อนลบพิกัด
คูณแรงด้วย $\mathbf r_{AB}$ โดยไม่หารความยาว	ได้ขนาดผิดเป็น $F\cdot L$ ตรวจหน่วย: $\mathbf u$ ต้องไม่มีหน่วย
บวกขนาดแรงสามมิติ	รวมองค์ประกอบก่อนเสมอ ขนาดผลรวมไม่เท่าผลรวมขนาด

11. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

$\mathbf F=(-200,\ 150,\ 600)$ N จงหา F และ α β γ
แรง 1.2 kN มี α = 120°, γ = 45° และ $F_y>0$ จงหา β และองค์ประกอบ
แรง 400 N หันไปทางมุมราบ θ = 135° เงยลง φ = −20° จงหาองค์ประกอบ
สายจาก A(1, 2, 0) ไป B(−3, 6, 7) m แรงดึง 450 N จงหาแรงที่กระทำต่อ A
มุมชุด α = 45°, β = 45°, γ = 45° เป็นไปได้หรือไม่? ทำไม?

เปิดเฉลย

$F=\sqrt{40000+22500+360000}=650$ N; α = arccos(−0.3077) = 107.9°, β = arccos(0.2308) = 76.66°, γ = arccos(0.9231) = 22.62°
$\cos^2\beta=1-0.25-0.5=0.25\Rightarrow\beta=60^\circ$ ; $\mathbf F=1.2(-0.5,\ 0.5,\ 0.7071)=(-0.6,\ 0.6,\ 0.8485)$ kN
$F_h=400\cos(-20^\circ)=375.9$ , $F_z=400\sin(-20^\circ)=-136.8$ ; $F_x=375.9\cos135^\circ=-265.8$ , $F_y=265.8$ N
$\mathbf r_{AB}=(-4,4,7)$ , ยาว 9 m → $\mathbf F=50(-4,4,7)=(-200,\ 200,\ 350)$ N
ไม่ได้ เพราะ $3\cos^2 45^\circ=1.5\ne1$ มุมที่ทำกับสามแกนเท่ากันได้คือ $\arccos(1/\sqrt3)=54.74^\circ$ (ทิศ (1,1,1))

12. สรุปสูตรและการเลือกใช้

โจทย์ให้	ใช้สูตร	ได้
องค์ประกอบ	K1	มุม α β γ
ขนาด + มุมสองมุมกับแกน	K5 แล้ว K4	มุมที่สามและองค์ประกอบ
ขนาด + มุมราบ + มุมเงย	K6	องค์ประกอบ
พิกัดสองจุดบนแนวแรง	K7	เวกเตอร์แรงโดยตรง
หลายแรง	K8	แรงลัพธ์และทิศ
กรอบพิกัดเอียง	K9	องค์ประกอบในกรอบใหม่

13. แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ

OpenStax Calculus Volume 3 §2.3 The Dot Product — นิยาม direction angles และ direction cosines
OpenStax University Physics Vol. 1 §2.2 Components of a Vector — องค์ประกอบสามมิติ
R. C. Hibbeler, Engineering Mechanics: Statics, บทที่ 2 (Cartesian vectors, position vectors, force directed along a line) — ตำราหลักของวิชาสแตติกส์

ต่อไป: ใช้ทิศทางโคไซน์รวมแรงด้วยตรีโกณมิติใน แรงลัพธ์ด้วยกฎไซน์-โคไซน์ หรือเปิด สตูดิโอเวกเตอร์ 3 มิติ แล้วเลือกตัวอย่าง “ทิศทางโคไซน์”

คำถามที่พบบ่อย

ทิศทางโคไซน์คืออะไร?

คือโคไซน์ของมุมที่เวกเตอร์ทำกับแกน +x, +y และ +z (มุม α, β, γ ตามลำดับ) ค่าทั้งสามเท่ากับองค์ประกอบของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศนั้น cos α = Fx/|F|, cos β = Fy/|F|, cos γ = Fz/|F| และต้องเป็นไปตาม cos²α + cos²β + cos²γ = 1

รู้มุมสองมุมแล้วหามุมที่สามได้ไหม?

ได้จาก cos²γ = 1 − cos²α − cos²β แต่จะได้สองคำตอบ γ และ 180° − γ ต้องดูจากโจทย์ว่าแรงชี้ขึ้น (Fz ≥ 0) หรือลง (Fz ≤ 0) ถ้า cos²α + cos²β มากกว่า 1 แปลว่ามุมที่ให้มาเป็นไปไม่ได้

แรงตามสายเคเบิลเขียนเป็นเวกเตอร์อย่างไร?

หาเวกเตอร์ตำแหน่งจากจุดยึดไปจุดที่สายดึง r_AB = B − A หารด้วยความยาวได้เวกเตอร์หนึ่งหน่วย แล้วคูณขนาดแรงตึง F = |F| r_AB/|r_AB| วิธีนี้ไม่ต้องหามุมเลย และทิศทางโคไซน์คือองค์ประกอบของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยนั้น

มุม α β γ ต่างจากมุมราบและมุมเงยอย่างไร?

α β γ วัดจากสามแกนโดยตรงและอยู่ในช่วง 0° ถึง 180° ส่วนมุมราบ θ วัดในระนาบ xy และมุมเงย φ วัดจากระนาบ xy ขึ้นไป ใช้แตกแรงสองขั้น F_h = F cos φ, Fz = F sin φ, Fx = F_h cos θ, Fy = F_h sin θ ทั้งสองแบบให้เวกเตอร์เดียวกัน

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์