พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. ระบบควบคุม
  4. ไนควิสต์

// บทที่ 13.14 · ระบบควบคุม · Nyquist Stability Criterion

เกณฑ์เสถียรภาพของไนควิสต์ (Nyquist Criterion)

แฮร์รี ไนควิสต์ (Harry Nyquist, Bell Labs, 1932) ตอบคำถามที่โบดตอบได้ไม่ครบ: ถ้าวงเปิดไม่เสถียร หรือกราฟตัด 0 dB หลายครั้ง จะรู้ได้อย่างไรว่าวงปิดเสถียร คำตอบคือนับจำนวนรอบที่กราฟ L(jω)L(j\omega) อ้อมจุด −1 สูตรเดียว Z=N+PZ = N + P ใช้ได้กับระบบเชิงเส้นทุกแบบ รวมหน่วงเวลา สูตรใช้รหัส N

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
สรุปใน 30 วินาที
  • วาด L(jω)L(j\omega) บนระนาบเชิงซ้อน ω จาก −∞ ถึง ∞ (ครึ่งล่างคือภาพสะท้อน)
  • NN = จำนวนรอบตามเข็มที่อ้อม −1 · PP = ขั้วฝั่งขวาของวงเปิด
  • Z=N+PZ = N + P = ขั้ววงปิดฝั่งขวา · เสถียร   ⟺  Z=0\iff Z = 0
  • วงเปิดเสถียร: ห้ามอ้อม −1 · GM จากจุดตัดแกนจริงลบ · PM จากจุดตัดวงกลมหนึ่งหน่วย

แนวคิด: ทฤษฎีบทอาร์กิวเมนต์ กลาง

ลากจุด ss วนรอบเส้นทางปิดตามเข็มนาฬิกา แล้วดูเวกเตอร์ s−ps - p จากขั้วหรือศูนย์ pp ถ้า pp อยู่ในเส้นทาง เวกเตอร์หมุนครบ 360° หนึ่งรอบ ถ้าอยู่นอกจะส่ายไปมาแล้วกลับที่เดิม (หมุนสุทธิ 0) ฟังก์ชัน F(s)=1+L(s)F(s) = 1 + L(s) จึงหมุนรอบจุดกำเนิดเท่ากับ (ศูนย์ภายใน − ขั้วภายใน) รอบ

N1 Argument principle ทฤษฎีบทอาร์กิวเมนต์ (โคชี)

#รอบตามเข็มของ F(s) รอบ 0=ZF−PF(ศูนย์และขั้วของ F ภายในเส้นทาง)\#\text{รอบตามเข็มของ } F(s) \text{ รอบ } 0 = Z_F - P_F \quad (\text{ศูนย์และขั้วของ } F \text{ ภายในเส้นทาง})

เลือก F=1+LF = 1 + L: ศูนย์ของ FF = ขั้ววงปิด, ขั้วของ FF = ขั้ววงเปิด · FF รอบ 0 ↔ LL รอบ −1

N2 Nyquist contour เส้นทางไนควิสต์

s: j0→j∞ → ครึ่งวงกลมรัศมี ∞ (ฝั่งขวา) → −j∞→j0s:\ j0 \to j\infty \ \to\ \text{ครึ่งวงกลมรัศมี } \infty \text{ (ฝั่งขวา)} \ \to\ -j\infty \to j0

ครอบคลุมฝั่งขวาทั้งหมด · ระบบ proper: ครึ่งวงกลมใหญ่ส่งไปจุดเดียว (0 หรือค่าคงที่) · ขั้วบนแกน jωj\omega อ้อมด้วยครึ่งวงกลมเล็กรัศมี ε\varepsilon ทางขวา N4

N3 Nyquist stability criterion เกณฑ์ไนควิสต์

Z=N+P,วงปิดเสถียร  ⟺  Z=0  ⟺  N=−PZ = N + P, \qquad \text{วงปิดเสถียร} \iff Z = 0 \iff N = -P

NN = รอบตามเข็มที่ L(jω)L(j\omega) อ้อม −1 (ทวนเข็มนับลบ) · PP = ขั้วฝั่งขวาของ LL · วงเปิดไม่เสถียร PP ตัว ต้องอ้อม −1 ทวนเข็ม PP รอบพอดี · ถ้า LL ผ่านจุด −1 พอดี: ขั้ววงปิดอยู่บนแกน jωj\omega

วาดกราฟไนควิสต์ทีละขั้น กลาง

N4 Sketching procedure ขั้นตอนวาด

  1. ω→0+\omega \to 0^+: จากโบด ขนาดและเฟสเริ่มต้น (ระบบชนิด qq: ขนาด → ∞ ที่มุม −90q∘-90q^\circ)
  2. ω→∞\omega \to \infty: ขนาด → 0 เข้าหาจุดกำเนิดที่มุม −90(n−m)∘-90(n - m)^\circ
  3. จุดตัดแกนจริง: ตั้ง Im⁡L(jω)=0\operatorname{Im}L(j\omega) = 0 (หรือเฟส = −180°) จุดตัดวงกลมหนึ่งหน่วย: ∣L∣=1|L| = 1
  4. สะท้อนครึ่งบน/ล่างรอบแกนจริงเพื่อได้ส่วน ω ลบ
  5. ขั้ว qq ตัวที่จุดกำเนิด: ปิดกราฟด้วยส่วนโค้งรัศมีอนันต์ หมุนตามเข็ม q×180∘q \times 180^\circ จากปลาย ω=0−\omega = 0^- ไป ω=0+\omega = 0^+
  6. นับ NN แล้วใช้ Z=N+PZ = N + P
ตัวอย่าง N-1 · ระบบเดิมของเรา

ใช้ไนควิสต์ตรวจ L(s)=Ks(s+1)(s+2)L(s) = \dfrac{K}{s(s+1)(s+2)} ที่ K=2K = 2 และ K=10K = 10

  1. P=0P = 0 · ω→0+\omega \to 0^+: ขนาด ∞ มุม −90° (ลงมาจากด้านล่างซ้าย ส่วนจริงเข้าหา −3K/4-3K/4) · ω→∞\omega \to \infty: เข้าจุดกำเนิดที่ −270°

  2. ตัดแกนจริงที่ ω=2\omega = \sqrt2: L(j2)=−K/6L(j\sqrt2) = -K/6 N4

  3. K=2K = 2: ตัดที่ −1/3-1/3 อยู่ขวาของ −1 → ไม่อ้อม N=0N = 0 → Z=0Z = 0 เสถียร · GM =1/(1/3)=3= 1/(1/3) = 3

  4. K=10K = 10: ตัดที่ −5/3-5/3 อยู่ซ้ายของ −1 → อ้อมตามเข็ม 2 รอบ N=2N = 2 → Z=2Z = 2 N3

−2.5−2.0−1.5−1.0−0.500.51.01.52.0−1.5j−1.0j−0.5j0.5j1.0j1.5jReIm−1ตัดแกนจริงที่ −1/3 → GM = 3
K=2K = 2: ไม่อ้อม −1 (เส้นประคือส่วน ω ลบ) · วงกลมม่วงคือ ∣L∣=1|L| = 1
−3−2−1012−2j−1j1j2jReIm−1N = 2, P = 0 → Z = 2
K=10K = 10: อ้อม −1 สองรอบ วงปิดมีขั้วฝั่งขวา 2 ตัว

สอดคล้องกับเราท์ (K<6K \lt 6) และรูทโลคัส ✓ · python-control นับ N=0N = 0 และ N=2N = 2 ✓

วงเปิดไม่เสถียร: ต้องอ้อมทวนเข็ม กลาง

ตัวอย่าง N-2 · พลานต์ไม่เสถียร

L(s)=Ks−1L(s) = \dfrac{K}{s - 1} เสถียรเมื่อ KK เท่าไร (ตรวจด้วยไนควิสต์)

  1. P=1P = 1 (ขั้วที่ +1) · L(jω)=Kjω−1=−K(1+jω)1+ω2L(j\omega) = \dfrac{K}{j\omega - 1} = \dfrac{-K(1 + j\omega)}{1 + \omega^2}

  2. ω=0\omega = 0: −K-K · ω→∞\omega \to \infty: 0 จากด้านล่าง (มุม −90°) · เป็นวงกลมศูนย์กลาง −K/2-K/2 รัศมี K/2K/2

  3. K>1K \gt 1: วงกลมครอบ −1 อ้อมทวนเข็ม 1 รอบ N=−1N = -1 → Z=−1+1=0Z = -1 + 1 = 0 เสถียร · K<1K \lt 1: ไม่ครอบ N=0N = 0 → Z=1Z = 1 ไม่เสถียร

−2.5−2.0−1.5−1.0−0.500.51.01.52.0−1.5j−1.0j−0.5j0.5j1.0j1.5jReIm−1N = −1, P = 1 → Z = 0

เสถียรเมื่อ K>1K \gt 1 ตรงกับตัวอย่าง S-2 · กรณีนี้ถ้าอ่าน GM จากโบดแบบปกติจะได้คำตอบผิด เพราะเกณฑ์โบดใช้เฉพาะวงเปิดเสถียร

มาร์จินบนกราฟไนควิสต์ กลาง

N5 Margins on the Nyquist plot มาร์จินบนไนควิสต์

GM=1∣a∣ (จุดตัดแกนจริงลบที่ −a),PM=∠ระหว่างจุดตัดวงกลม ∣L∣=1 กับแกนจริงลบ,sm=min⁡ω∣1+L(jω)∣=1Ms\text{GM} = \frac{1}{|a|}\ (\text{จุดตัดแกนจริงลบที่ } -a), \qquad \text{PM} = \angle\text{ระหว่างจุดตัดวงกลม } |L| = 1 \text{ กับแกนจริงลบ}, \qquad s_m = \min_\omega|1 + L(j\omega)| = \frac{1}{M_s}

sms_m (modulus margin) คือระยะใกล้สุดถึง −1 ในทุกทิศ ครอบคลุมทั้ง GM และ PM · Ms<2M_s \lt 2 รับประกัน GM ≥6\ge 6 dB และ PM ≥29∘\ge 29^\circ

ระบบที่ลดเกนแล้วไม่เสถียร ขั้นสูง

ตัวอย่าง N-3 · เกนต่ำเกินก็ไม่ได้

L(s)=K(s+1)2s3L(s) = \dfrac{K(s+1)^2}{s^3} (ระบบชนิด 3 เช่น เซอร์โวติดตามความเร่ง) เสถียรเมื่อใด

  1. P=0P = 0 · เฟสเริ่ม −270° แล้วศูนย์คู่ดึงขึ้นไปจบที่ −90° ข้ามเส้น −180° หนึ่งครั้ง

  2. เราท์ของ s3+Ks2+2Ks+Ks^3 + Ks^2 + 2Ks + K: K⋅2K>K⇒K>0.5K \cdot 2K \gt K \Rightarrow K \gt 0.5

  3. ไนควิสต์: K=2K = 2 นับได้ N=0N = 0 · K=0.3K = 0.3 นับได้ N=2N = 2

เสถียรเมื่อ K>0.5K \gt 0.5 เท่านั้น: ลดเกนกลับทำให้ไม่เสถียร (ต่างจากระบบปกติ) การอิ่มตัวของตัวขับลดเกนประสิทธิผลได้ ระบบแบบนี้จึงอาจแกว่งเมื่ออิ่มตัว (ดูฟังก์ชันพรรณนา) · ลองในแล็บ preset “เกนต่ำไม่เสถียร”

แล็บไนควิสต์

เลื่อน KK ดูกราฟขยายจนอ้อม −1 (กากบาทแดง) ตัวเลข P, N, Z คำนวณให้มุมขวาบน ใช้ปุ่ม + − ซูม ลองเทียบกับรูทโลคัสในจอเดียวกัน

กำลังโหลดแล็บ (ต้องเปิด JavaScript)

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ลืมส่วน ω ลบ และส่วนโค้งที่อนันต์ → นับรอบผิด ต้องปิดเส้นทางให้ครบ
  • สลับทิศตามเข็ม/ทวนเข็ม → ตำราบางเล่มนิยาม NN เป็นทวนเข็ม และเขียน Z=P−NZ = P - N ผลเหมือนกัน ต้องรู้ว่าใช้แบบไหน
  • ลืมนับ P → พลานต์ไม่เสถียรต้องอ้อม −1 ทวนเข็มพอดี P รอบ
  • ใช้ GM/PM กับระบบวงเปิดไม่เสถียร → ตัดสินด้วยไนควิสต์เท่านั้น

ต่อยอดไปหน้าถัดไป

รู้วิธีตัดสินเสถียรภาพครบทุกเครื่องมือแล้ว ถึงเวลาออกแบบ: ตัวชดเชย lead lag ดัดกราฟโบดและไนควิสต์ให้ห่างจาก −1 ตามสเปก

คำถามที่พบบ่อย

นับรอบอ้อม −1 อย่างไรให้ไม่พลาด?

ลากเส้นตรงจากจุด −1 ออกไปทิศใดก็ได้ (นิยมไปทาง −∞ บนแกนจริง) นับจำนวนครั้งที่กราฟตัดเส้นนั้น ตัดแบบตามเข็มนับ +1 ทวนเข็มนับ −1 ผลรวมคือ N ต้องรวมทั้งส่วน ω บวก ส่วน ω ลบ (ภาพสะท้อน) และส่วนที่ปิดวงที่อนันต์ด้วย

P ในสูตร Z = N + P คืออะไร?

P คือจำนวนขั้วของฟังก์ชันวงเปิด L(s) ที่อยู่ฝั่งขวาของระนาบ s (ไม่รวมขั้วบนแกน jω ซึ่งเลี่ยงด้วยครึ่งวงกลมเล็ก) ถ้าวงเปิดเสถียร P = 0 จึงต้องการ N = 0 คือไม่อ้อม −1 เลย

ไนควิสต์ดีกว่าโบดตรงไหน?

ใช้ได้กับทุกกรณี รวมถึงวงเปิดไม่เสถียร ครอสโอเวอร์หลายครั้ง และหน่วงเวลา และให้ภาพระยะห่างจากจุด −1 ในทุกทิศ ซึ่งบอกความทนทานได้ดีกว่าการดูแค่ GM และ PM ส่วนโบดวาดและออกแบบง่ายกว่าในกรณีทั่วไป

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์