หน้าแรก คลังความรู้ อนุพันธ์ การประยุกต์ Differential Calculus // บทที่ 4.1 · อนุพันธ์ · Engineering Applications
การประยุกต์อนุพันธ์ทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา
อนุพันธ์ไม่ใช่แค่แบบฝึกหัดในห้อง ทุกสาขาวิศวกรรมใช้มันทุกวัน: วิศวกรไฟฟ้าใช้หากระแสในตัวเก็บประจุและแรงดันกระชากของขดลวด วิศวกรเครื่องกลใช้หาความเร็วและความเร่งของกลไก วิศวกรโยธาใช้อ่านความชันและโมเมนต์ของคาน และทุกสาขาใช้หาจุดที่ดีที่สุด หน้านี้แยกตามสาขา ทุกตัวอย่างมีตัวเลขจริงและแล็บให้ลอง สูตรใช้รหัส A
สรุปใน 30 วินาที
ไฟฟ้า: i = C d v d t i = C\frac{dv}{dt} i = C d t d v v = L d i d t v = L\frac{di}{dt} v = L d t d i e = − N d Φ d t e = -N\frac{d\Phi}{dt} e = − N d t d Φ R L = R s R_L = R_s R L = R s
เครื่องกล: v = x ˙ , a = v ˙ v = \dot x,\ a = \dot v v = x ˙ , a = v ˙ q = − k d T d x q = -k\frac{dT}{dx} q = − k d x d T P = T ω P = T\omega P = T ω
โยธา: V = d M d x V = \frac{dM}{dx} V = d x d M θ = d y d x \theta = \frac{dy}{dx} θ = d x d y M = E I d 2 y d x 2 M = EI\frac{d^2y}{dx^2} M = E I d x 2 d 2 y
ทุกสาขา: ค่าเหมาะสมอยู่ที่อนุพันธ์ = 0 และความคลาดเคลื่อน d y = f ′ ( x ) d x dy = f'(x)dx d y = f ′ ( x ) d x
ค้นหาสูตรในหน้านี้
โหมดฝึกทำ: ซ่อนวิธีทำ
วิศวกรรมไฟฟ้า: C, L, ฟาราเดย์ และกำลัง พื้นฐาน
A1 Capacitor
i C = C d v C d t i_C = C\frac{dv_C}{dt} i C = C d t d v C แรงดันคงที่ → ไม่มีกระแส (DC เปิดวงจร) · แรงดันกระโดด → กระแสอนันต์ จึงเป็นไปไม่ได้
A2 Inductor
v L = L d i L d t v_L = L\frac{di_L}{dt} v L = L d t d i L กระแสคงที่ → ไม่มีแรงดัน (DC ลัดวงจร) · ตัดกระแสเร็ว → แรงดันกระชากสูงมาก
A3 Faraday's law
e = − N d Φ d t = − d λ d t e = -N\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d\lambda}{dt} e = − N d t d Φ = − d t d λ
A4 Maximum power transfer
P = V s 2 R L ( R s + R L ) 2 , d P d R L = 0 ⇒ R L = R s , P max = V s 2 4 R s P = \frac{V_s^2R_L}{(R_s + R_L)^2},\quad \frac{dP}{dR_L} = 0 \Rightarrow R_L = R_s,\ P_{\max} = \frac{V_s^2}{4R_s} P = ( R s + R L ) 2 V s 2 R L , d R L d P = 0 ⇒ R L = R s , P m a x = 4 R s V s 2
A5 Small-signal resistance
r d = d V D d I D = n V T I D r_d = \frac{dV_D}{dI_D} = \frac{nV_T}{I_D} r d = d I D d V D = I D n V T ความชันของกราฟ I-V ที่จุดทำงาน = การประมาณเชิงเส้น D30
A6 Sensitivity
S x y = ∂ y ∂ x ⋅ x y ≈ Δ y / y Δ x / x S_x^y = \frac{\partial y}{\partial x}\cdot\frac{x}{y} \approx \frac{\Delta y/y}{\Delta x/x} S x y = ∂ x ∂ y ⋅ y x ≈ Δ x / x Δ y / y
ตัวอย่าง A-1 · กระแสตัวเก็บประจุ v ( t ) = 10 sin ( 100 π t ) v(t) = 10\sin(100\pi t) v ( t ) = 10 sin ( 100 π t ) C = 10 μ F C = 10\ \mu\text{F} C = 10 μ F i ( t ) i(t) i ( t )
i = C d v d t = 10 × 10 − 6 ⋅ 10 ⋅ 100 π cos ( 100 π t ) = 0.0314 cos ( 100 π t ) A i = C\frac{dv}{dt} = 10\times10^{-6}\cdot 10\cdot100\pi\cos(100\pi t) = 0.0314\cos(100\pi t)\ \text{A} i = C d t d v = 10 × 1 0 − 6 ⋅ 10 ⋅ 100 π cos ( 100 π t ) = 0.0314 cos ( 100 π t ) A
ยอด 31.4 mA และกระแสนำหน้าแรงดัน 90° (cos นำ sin) ตรงกับ X C = 1 / ( ω C ) = 318 Ω X_C = 1/(\omega C) = 318\ \Omega X C = 1/ ( ω C ) = 318 Ω 10 / 318 = 31.4 10/318 = 31.4 10/318 = 31.4
ตัวอย่าง A-2 · แรงดันกระชากของรีเลย์ ขดลวด L = 50 L = 50 L = 50
(ก) v = 0.05 × 2 10 − 3 = 100 v = 0.05\times\dfrac{2}{10^{-3}} = 100 v = 0.05 × 1 0 − 3 2 = 100
(ข) v = 0.05 × 2 10 − 5 = 10,000 v = 0.05\times\dfrac{2}{10^{-5}} = 10{,}000 v = 0.05 × 1 0 − 5 2 = 10 , 000
ตัดเร็วขึ้น 100 เท่า แรงดันสูงขึ้น 100 เท่าเป็น 10 kV จึงต้องมีไดโอดฟรีวีลคร่อมขดลวดเสมอ
ตัวอย่าง A-3 · กฎของฟาราเดย์ในหม้อแปลง ฟลักซ์ Φ = 0.02 sin ( 100 π t ) \Phi = 0.02\sin(100\pi t) Φ = 0.02 sin ( 100 π t )
e = − N d Φ d t = − 100 ⋅ 0.02 ⋅ 100 π cos ( 100 π t ) = − 628.3 cos ( 100 π t ) V e = -N\frac{d\Phi}{dt} = -100\cdot0.02\cdot100\pi\cos(100\pi t) = -628.3\cos(100\pi t)\ \text{V} e = − N d t d Φ = − 100 ⋅ 0.02 ⋅ 100 π cos ( 100 π t ) = − 628.3 cos ( 100 π t ) V
ยอด 628 V (RMS ≈ 444 V) ตรงกับสมการหม้อแปลง E rms = 4.44 f N Φ m = 4.44 ( 50 ) ( 100 ) ( 0.02 ) = 444 E_{\text{rms}} = 4.44fN\Phi_m = 4.44(50)(100)(0.02) = 444 E rms = 4.44 f N Φ m = 4.44 ( 50 ) ( 100 ) ( 0.02 ) = 444 2 π / 2 2\pi/\sqrt2 2 π / 2
ตัวอย่าง A-4 · ถ่ายโอนกำลังสูงสุด แหล่งจ่าย 12 V ความต้านทานภายใน 4 Ω ต่อโหลด R L R_L R L
P = 144 R L ( 4 + R L ) 2 , d P d R L = 144 ( 4 + R L ) − 2 R L ( 4 + R L ) 3 = 144 ( 4 − R L ) ( 4 + R L ) 3 P = \frac{144R_L}{(4 + R_L)^2},\quad \frac{dP}{dR_L} = 144\frac{(4 + R_L) - 2R_L}{(4 + R_L)^3} = \frac{144(4 - R_L)}{(4 + R_L)^3} P = ( 4 + R L ) 2 144 R L , d R L d P = 144 ( 4 + R L ) 3 ( 4 + R L ) − 2 R L = ( 4 + R L ) 3 144 ( 4 − R L ) d P / d R L = 0 ⇒ R L = 4 Ω dP/dR_L = 0 \Rightarrow R_L = 4\ \Omega d P / d R L = 0 ⇒ R L = 4 Ω
P max = 144 ⋅ 4 64 = 9 W P_{\max} = \frac{144\cdot4}{64} = 9\ \text{W} P m a x = 64 144 ⋅ 4 = 9 W
R L = 4 Ω R_L = 4\ \Omega R L = 4 Ω P max = 9 P_{\max} = 9 P m a x = 9
ตัวอย่าง A-5 · ความต้านทานสัญญาณเล็กและความไว (ก) ไดโอดทำงานที่ I D = 1 I_D = 1 I D = 1 n V T = 26 nV_T = 26 n V T = 26 r d r_d r d R 1 = R 2 R_1 = R_2 R 1 = R 2 R 2 R_2 R 2 V o V_o V o
(ก) r d = 26 mV / 1 mA = 26 Ω r_d = 26\text{ mV}/1\text{ mA} = 26\ \Omega r d = 26 mV /1 mA = 26 Ω
(ข) V o = V i R 2 R 1 + R 2 V_o = V_i\dfrac{R_2}{R_1 + R_2} V o = V i R 1 + R 2 R 2 S = ∂ V o ∂ R 2 R 2 V o = R 1 R 1 + R 2 = 0.5 S = \dfrac{\partial V_o}{\partial R_2}\dfrac{R_2}{V_o} = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2} = 0.5 S = ∂ R 2 ∂ V o V o R 2 = R 1 + R 2 R 1 = 0.5
(ก) 26 Ω · (ข) 0.5% — ความไวบอกว่าควรใช้ตัวต้านทานเกรดไหน
วิศวกรรมเครื่องกล: การเคลื่อนที่ กลไก ความร้อน และกำลัง กลาง
A7 Kinematics
v = d x d t , a = d v d t = d 2 x d t 2 , a = v d v d x v = \frac{dx}{dt},\quad a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2},\quad a = v\frac{dv}{dx} v = d t d x , a = d t d v = d t 2 d 2 x , a = v d x d v
A8 Slider–crank
x ( θ ) = r cos θ + l 2 − r 2 sin 2 θ , v = ω d x d θ , a ≈ − r ω 2 ( cos θ + r l cos 2 θ ) x(\theta) = r\cos\theta + \sqrt{l^2 - r^2\sin^2\theta},\quad v = \omega\frac{dx}{d\theta},\quad a \approx -r\omega^2\left(\cos\theta + \frac rl\cos2\theta\right) x ( θ ) = r cos θ + l 2 − r 2 sin 2 θ , v = ω d θ d x , a ≈ − r ω 2 ( cos θ + l r cos 2 θ )
A9 Newton's second law
F = d p d t = m d v d t ( m คงที่ ) F = \frac{dp}{dt} = m\frac{dv}{dt}\ (m \text{ คงที่}) F = d t d p = m d t d v ( m คงที่ )
A10 Fourier's law
q = − k d T d x ( W/m 2 ) q = -k\frac{dT}{dx}\ \ (\text{W/m}^2) q = − k d x d T ( W/m 2 )
A11 Motor power
T = T 0 ( 1 − ω ω 0 ) , P = T ω ⇒ P max = T 0 ω 0 4 ที่ ω = ω 0 2 T = T_0\left(1 - \frac{\omega}{\omega_0}\right),\ P = T\omega \Rightarrow P_{\max} = \frac{T_0\omega_0}{4}\ \text{ที่ } \omega = \frac{\omega_0}{2} T = T 0 ( 1 − ω 0 ω ) , P = T ω ⇒ P m a x = 4 T 0 ω 0 ที่ ω = 2 ω 0
ตัวอย่าง A-6 · ตำแหน่ง ความเร็ว ความเร่ง x ( t ) = 2 t 3 − 9 t 2 + 12 t x(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t x ( t ) = 2 t 3 − 9 t 2 + 12 t
v = 6 t 2 − 18 t + 12 = 6 ( t − 1 ) ( t − 2 ) = 0 ⇒ t = 1 , 2 s v = 6t^2 - 18t + 12 = 6(t - 1)(t - 2) = 0 \Rightarrow t = 1,\ 2\ \text{s} v = 6 t 2 − 18 t + 12 = 6 ( t − 1 ) ( t − 2 ) = 0 ⇒ t = 1 , 2 s a = 12 t − 18 = 0 ⇒ t = 1.5 s a = 12t - 18 = 0 \Rightarrow t = 1.5\ \text{s} a = 12 t − 18 = 0 ⇒ t = 1.5 s
หยุดที่ t = 1 s (x = 5 m) และ t = 2 s (x = 4 m) ถอยหลังในช่วง 1–2 s · ความเร่งเปลี่ยนเครื่องหมายที่ 1.5 s (จุดเปลี่ยนเว้าของ x(t))
ตัวอย่าง A-7 · ลูกสูบ r = 5 r = 5 r = 5 l = 15 l = 15 l = 15 θ = 90 ∘ \theta = 90^\circ θ = 9 0 ∘ θ = 0 ∘ \theta = 0^\circ θ = 0 ∘
ω = 600 ⋅ 2 π / 60 = 62.83 \omega = 600\cdot2\pi/60 = 62.83 ω = 600 ⋅ 2 π /60 = 62.83 d x d θ = − r sin θ − r 2 sin θ cos θ l 2 − r 2 sin 2 θ \dfrac{dx}{d\theta} = -r\sin\theta - \dfrac{r^2\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{l^2 - r^2\sin^2\theta}} d θ d x = − r sin θ − l 2 − r 2 sin 2 θ r 2 sin θ cos θ = − 5 = -5 = − 5
v = − 5 × 62.83 = − 314 cm/s = − 3.14 m/s v = -5\times62.83 = -314\ \text{cm/s} = -3.14\ \text{m/s} v = − 5 × 62.83 = − 314 cm/s = − 3.14 m/s ที่ 0°: a = − r ω 2 ( 1 + r / l ) = − 5 ( 3948 ) ( 1.333 ) = − 26,319 a = -r\omega^2(1 + r/l) = -5(3948)(1.333) = -26{,}319 a = − r ω 2 ( 1 + r / l ) = − 5 ( 3948 ) ( 1.333 ) = − 26 , 319
∣ v ∣ = 3.14 |v| = 3.14 ∣ v ∣ = 3.14 ∣ a ∣ ≈ 263 |a| \approx 263 ∣ a ∣ ≈ 263
ตัวอย่าง A-8 · ความร้อนผ่านผนัง และกำลังมอเตอร์ (ก) ผนัง k = 0.8 k = 0.8 k = 0.8 T 0 = 2 T_0 = 2 T 0 = 2 ω 0 = 300 \omega_0 = 300 ω 0 = 300
(ก) อุณหภูมิลดลงเชิงเส้น d T / d x = − 10 / 0.2 = − 50 dT/dx = -10/0.2 = -50 d T / d x = − 10/0.2 = − 50 q = − 0.8 ( − 50 ) = 40 q = -0.8(-50) = 40 q = − 0.8 ( − 50 ) = 40
(ข) P = 2 ω − 2 300 ω 2 P = 2\omega - \tfrac{2}{300}\omega^2 P = 2 ω − 300 2 ω 2 d P / d ω = 2 − 4 300 ω = 0 ⇒ ω = 150 dP/d\omega = 2 - \tfrac{4}{300}\omega = 0 \Rightarrow \omega = 150 d P / d ω = 2 − 300 4 ω = 0 ⇒ ω = 150 P = 150 P = 150 P = 150
(ก) 40 W/m² · (ข) กำลังสูงสุด 150 W ที่ 150 rad/s (≈ 1432 rpm) ครึ่งหนึ่งของความเร็วไร้โหลด
วิศวกรรมโยธา: คาน ถนน รางน้ำ และงานสำรวจ กลาง
A12 Beam relations
d V d x = − w ( x ) , d M d x = V ( x ) , θ = d y d x , E I d 2 y d x 2 = M ( x ) \frac{dV}{dx} = -w(x),\qquad \frac{dM}{dx} = V(x),\qquad \theta = \frac{dy}{dx},\qquad EI\frac{d^2y}{dx^2} = M(x) d x d V = − w ( x ) , d x d M = V ( x ) , θ = d x d y , E I d x 2 d 2 y = M ( x ) อนุพันธ์ไล่จากการโก่งขึ้นไปหาน้ำหนัก ส่วนการอินทิเกรตไล่ลงมา ดูแล็บคานในหน้าอินทิกรัล
A13 Vertical curve
y = g 1 x + g 2 − g 1 2 L x 2 , y ′ = 0 ⇒ x = g 1 L g 1 − g 2 y = g_1x + \frac{g_2 - g_1}{2L}x^2,\quad y' = 0 \Rightarrow x = \frac{g_1L}{g_1 - g_2} y = g 1 x + 2 L g 2 − g 1 x 2 , y ′ = 0 ⇒ x = g 1 − g 2 g 1 L
A14 Best rectangular channel
P = A y + 2 y , d P d y = 0 ⇒ b = 2 y P = \frac{A}{y} + 2y,\quad \frac{dP}{dy} = 0 \Rightarrow b = 2y P = y A + 2 y , d y d P = 0 ⇒ b = 2 y
ตัวอย่าง A-9 · โมเมนต์สูงสุดของคาน คานช่วงเดียว L = 6 L = 6 L = 6 w = 10 w = 10 w = 10
แรงปฏิกิริยา w L / 2 = 30 wL/2 = 30 w L /2 = 30 M ( x ) = 30 x − 5 x 2 M(x) = 30x - 5x^2 M ( x ) = 30 x − 5 x 2
d M d x = 30 − 10 x = V ( x ) = 0 ⇒ x = 3 \dfrac{dM}{dx} = 30 - 10x = V(x) = 0 \Rightarrow x = 3 d x d M = 30 − 10 x = V ( x ) = 0 ⇒ x = 3 A12
M max = 30 ( 3 ) − 5 ( 9 ) = 45 kN ⋅ m = w L 2 8 M_{\max} = 30(3) - 5(9) = 45\ \text{kN}\cdot\text{m} = \frac{wL^2}{8} M m a x = 30 ( 3 ) − 5 ( 9 ) = 45 kN ⋅ m = 8 w L 2
45 kN·m ที่กลางคาน ตรงจุดที่แรงเฉือนเป็นศูนย์
ตัวอย่าง A-10 · ความชันที่ฐานและการโก่งสูงสุด คานเดิม E I = 20,000 EI = 20{,}000 E I = 20 , 000 y = − w x 24 E I ( L 3 − 2 L x 2 + x 3 ) y = -\dfrac{wx}{24EI}\left(L^3 - 2Lx^2 + x^3\right) y = − 24 E I w x ( L 3 − 2 L x 2 + x 3 )
θ = y ′ = − w 24 E I ( L 3 − 6 L x 2 + 4 x 3 ) \theta = y' = -\dfrac{w}{24EI}\left(L^3 - 6Lx^2 + 4x^3\right) θ = y ′ = − 24 E I w ( L 3 − 6 L x 2 + 4 x 3 ) x = 0 x = 0 x = 0
θ 0 = − w L 3 24 E I = − 10 ( 216 ) 480,000 = − 0.0045 rad \theta_0 = -\frac{wL^3}{24EI} = -\frac{10(216)}{480{,}000} = -0.0045\ \text{rad} θ 0 = − 24 E I w L 3 = − 480 , 000 10 ( 216 ) = − 0.0045 rad โก่งสูงสุดที่ θ = 0 \theta = 0 θ = 0 x = L / 2 x = L/2 x = L /2
y max = − 5 w L 4 384 E I = − 5 ( 10 ) ( 1296 ) 7,680,000 = − 8.44 mm y_{\max} = -\frac{5wL^4}{384EI} = -\frac{5(10)(1296)}{7{,}680{,}000} = -8.44\ \text{mm} y m a x = − 384 E I 5 w L 4 = − 7 , 680 , 000 5 ( 10 ) ( 1296 ) = − 8.44 mm
θ ที่ฐาน 0.0045 rad (0.26°) · โก่ง 8.44 mm ≈ L/711 ผ่านเกณฑ์ทั่วไป L/360
ตัวอย่าง A-11 · จุดสูงสุดของโค้งทางดิ่ง
ทางขึ้นลาด +3% เปลี่ยนเป็นลง −2% ด้วยโค้งยาว 200 m จุดสูงสุดอยู่ที่ใด
y ′ = 0.03 + − 0.02 − 0.03 200 x = 0 ⇒ x = 0.03 ( 200 ) 0.05 = 120 m y' = 0.03 + \frac{-0.02 - 0.03}{200}x = 0 \Rightarrow x = \frac{0.03(200)}{0.05} = 120\ \text{m} y ′ = 0.03 + 200 − 0.02 − 0.03 x = 0 ⇒ x = 0.05 0.03 ( 200 ) = 120 m y ( 120 ) = 0.03 ( 120 ) − 0.05 400 ( 120 ) 2 = 3.6 − 1.8 = 1.8 m y(120) = 0.03(120) - \frac{0.05}{400}(120)^2 = 3.6 - 1.8 = 1.8\ \text{m} y ( 120 ) = 0.03 ( 120 ) − 400 0.05 ( 120 ) 2 = 3.6 − 1.8 = 1.8 m
ที่ 120 m จากจุดเริ่มโค้ง สูงกว่าจุดเริ่ม 1.8 m (ตำแหน่งท่อระบายน้ำและระยะมองเห็น)
ตัวอย่าง A-12 · รางน้ำและงานสำรวจ
(ก) รางสี่เหลี่ยมพื้นที่หน้าตัด 8 m² ขนาดใดใช้วัสดุบุน้อยสุด (ข) วัดรัศมีลานวงกลม 50 m คลาด ±0.05 m พื้นที่คลาดเท่าไร
(ก) d P d y = − 8 y 2 + 2 = 0 ⇒ y = 2 \dfrac{dP}{dy} = -\dfrac{8}{y^2} + 2 = 0 \Rightarrow y = 2 d y d P = − y 2 8 + 2 = 0 ⇒ y = 2 b = 4 b = 4 b = 4 P = 8 P = 8 P = 8 A14
(ข) d A = 2 π r d r = 2 π ( 50 ) ( 0.05 ) = 15.7 dA = 2\pi r\,dr = 2\pi(50)(0.05) = 15.7 d A = 2 π r d r = 2 π ( 50 ) ( 0.05 ) = 15.7 2 d r / r = 0.2 % 2\,dr/r = 0.2\% 2 d r / r = 0.2%
(ก) กว้าง 4 m ลึก 2 m · (ข) ±15.7 m² จากพื้นที่ 7,854 m²
แล็บออกแบบให้เหมาะสมที่สุด (ทุกสาขา)
ห้าโจทย์คลาสสิกจากสามสาขา ลากจุดบนกราฟบนเพื่อเปลี่ยนค่า x กราฟล่างคืออนุพันธ์ จุดที่ดีที่สุดอยู่ตรงที่อนุพันธ์ข้ามแกนศูนย์ทุกโจทย์ วิธีคิดเหมือนกันหมด: เขียนปริมาณที่ต้องการให้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว หาอนุพันธ์ ตั้งเท่ากับศูนย์ แล้วตรวจว่าเป็นสูงสุดหรือต่ำสุด
ตัวอย่าง A-13 · กระป๋องใช้วัสดุน้อยสุด
กระป๋องทรงกระบอกปิดหัวท้าย ปริมาตร 1 ลิตร (1000 cm³) ใช้แผ่นโลหะน้อยที่สุดเมื่อมีขนาดเท่าใด
π r 2 h = 1000 ⇒ h = 1000 π r 2 \pi r^2h = 1000 \Rightarrow h = \dfrac{1000}{\pi r^2} π r 2 h = 1000 ⇒ h = π r 2 1000 A = 2 π r 2 + 2 π r h = 2 π r 2 + 2000 r A = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r^2 + \dfrac{2000}{r} A = 2 π r 2 + 2 π r h = 2 π r 2 + r 2000
A ′ ( r ) = 4 π r − 2000 r 2 = 0 ⇒ r 3 = 500 π ⇒ r = 5.42 cm A'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \Rightarrow r^3 = \frac{500}{\pi} \Rightarrow r = 5.42\ \text{cm} A ′ ( r ) = 4 π r − r 2 2000 = 0 ⇒ r 3 = π 500 ⇒ r = 5.42 cm A ′ ′ ( r ) = 4 π + 4000 / r 3 > 0 A''(r) = 4\pi + 4000/r^3 > 0 A ′′ ( r ) = 4 π + 4000/ r 3 > 0 h = 1000 / ( π ⋅ 5.42 2 ) = 10.84 h = 1000/(\pi\cdot5.42^2) = 10.84 h = 1000/ ( π ⋅ 5.4 2 2 ) = 10.84
r = 5.42 r = 5.42 r = 5.42 h = 10.84 h = 10.84 h = 10.84 h = 2 r h = 2r h = 2 r
คำถามที่พบบ่อย วิศวกรไฟฟ้าใช้อนุพันธ์ทำอะไรบ่อยที่สุด? ความสัมพันธ์ของตัวเก็บประจุ i = C d v / d t i = C\,dv/dt i = C d v / d t v = L d i / d t v = L\,di/dt v = L d i / d t
ทำไมรีเลย์ต้องมีไดโอดคร่อม? เพราะเมื่อตัดกระแสในขดลวดทันที d i / d t di/dt d i / d t v = L d i / d t v = L\,di/dt v = L d i / d t
ทำไมโมเมนต์ดัดสูงสุดของคานอยู่ตรงที่แรงเฉือนเป็นศูนย์? เพราะ d M / d x = V dM/dx = V d M / d x = V
มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ ดูโปรไฟล์