พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. เวกเตอร์
  4. เฟสเซอร์

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 4 · Phasor fundamentals

พื้นฐานเฟสเซอร์: จากเวกเตอร์หมุนสู่จำนวนเชิงซ้อน

ถ้าต้องบวกแรงดัน 100sin⁡(ωt)100\sin(\omega t) กับ 80sin⁡(ωt+60∘)80\sin(\omega t+60^\circ) ด้วยตรีโกณมิติ จะต้องขยายสูตรผลบวกมุมหลายบรรทัด แต่ถ้ามองแต่ละไซน์เป็นลูกศรที่หมุนด้วยความเร็วเดียวกัน การบวกก็คือการบวกเวกเตอร์สองตัว — เหมือนแรงลัพธ์ทุกประการ เฟสเซอร์คือเครื่องมือที่ทำให้วงจรไฟฟ้ากระแสสลับคำนวณง่ายเท่าวงจรกระแสตรง บทนี้สร้างแนวคิดจากภาพเวกเตอร์ แล้วเชื่อมสู่จำนวนเชิงซ้อนด้วยสูตรออยเลอร์

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
เวกเตอร์หมุนสูตรออยเลอร์บวก คูณ หารบวกไซน์
สรุปใน 30 วินาที
  • Vmcos⁡(ωt+φ)=Re⁡{Vmejφejωt}V_m\cos(\omega t+\varphi)=\operatorname{Re}\{V_me^{j\varphi}e^{j\omega t}\} → เฟสเซอร์ V=Vm∠φ\mathbf V=V_m\angle\varphi
  • a+jb=r∠θa+jb=r\angle\theta, r=a2+b2r=\sqrt{a^2+b^2}, θ=atan2⁡(b,a)\theta=\operatorname{atan2}(b,a)
  • บวก/ลบ: รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก (เวกเตอร์) · คูณ/หาร: รูปเชิงขั้ว (คูณขนาด บวกมุม)
  • ddt↔jω\dfrac{d}{dt}\leftrightarrow j\omega: คูณด้วย j คือหมุนไป 90°

1. เวกเตอร์หมุน: ไซน์คือเงาของลูกศร พื้นฐาน

วางลูกศรยาว VmV_m บนระนาบ ให้หมุนทวนเข็มด้วยความเร็วเชิงมุม ω เริ่มที่มุม φ ตอน t = 0 เงาบนแกนนอนคือ Vmcos⁡(ωt+φ)V_m\cos(\omega t+\varphi) เงาบนแกนตั้งคือ Vmsin⁡(ωt+φ)V_m\sin(\omega t+\varphi) ในวงจรเชิงเส้นที่ทุกสัญญาณมีความถี่เดียวกัน ลูกศรทุกตัวหมุนพร้อมกันด้วย ω เดียว มุมระหว่างลูกศรจึงคงที่ เราจึงถ่ายภาพนิ่งไว้ที่ t = 0 แล้วทำงานกับภาพนิ่งนั้นได้ — ภาพนิ่งนี้คือเฟสเซอร์

2. สูตรออยเลอร์: ลูกศรหมุนเขียนเป็นจำนวนเชิงซ้อน กลาง

จุดบนระนาบ (x, y) เขียนเป็นจำนวนเชิงซ้อน x+jyx+jy ได้ (วิศวกรไฟฟ้าใช้ j แทน i เพราะ i คือกระแส) ลูกศรหนึ่งหน่วยที่มุม θ คือ cos⁡θ+jsin⁡θ\cos\theta+j\sin\theta สูตรออยเลอร์บอกว่าสิ่งนี้เท่ากับ ejθe^{j\theta} ทำให้การหมุนกลายเป็นการคูณ และการคูณเลขชี้กำลังคือการบวกมุม

H1 Euler's formula สูตรออยเลอร์

ejθ=cos⁡θ+jsin⁡θ,cos⁡θ=Re⁡{ejθ},sin⁡θ=Im⁡{ejθ},j2=−1e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta,\qquad \cos\theta=\operatorname{Re}\{e^{j\theta}\},\quad \sin\theta=\operatorname{Im}\{e^{j\theta}\},\quad j^2=-1

พิสูจน์จากอนุกรมเทย์เลอร์ของ exe^x, cos⁡x\cos x, sin⁡x\sin x หรือจาก “ejθe^{j\theta} เป็นคำตอบของ z′=jzz'=jz” ซึ่งคือการเคลื่อนที่ที่ความเร็วตั้งฉากกับตำแหน่งเสมอ = หมุนเป็นวงกลม

H2 Phasor definition นิยามเฟสเซอร์

v(t)=Vmcos⁡(ωt+φ)=Re⁡{Vmejφ⏟V ejωt}⟹V=Vmejφ=Vm∠φv(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi)=\operatorname{Re}\big\{\underbrace{V_me^{j\varphi}}_{\mathbf V}\,e^{j\omega t}\big\}\qquad\Longrightarrow\qquad \mathbf V=V_me^{j\varphi}=V_m\angle\varphi

ตำราวงจรส่วนใหญ่อ้างอิงกับ cos ถ้าสัญญาณให้มาเป็น sin ให้แปลงด้วย sin⁡x=cos⁡(x−90∘)\sin x=\cos(x-90^\circ) ก่อน หรือใช้ sin เป็นอ้างอิงตลอดทั้งโจทย์ (ห้ามปน)

3. รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากและรูปเชิงขั้ว พื้นฐาน

H3 Rectangular ↔ polar แปลงรูป

a+jb=r∠θ,r=a2+b2,θ=atan2⁡(b,a);a=rcos⁡θ,b=rsin⁡θa+jb=r\angle\theta,\qquad r=\sqrt{a^2+b^2},\quad \theta=\operatorname{atan2}(b,a);\qquad a=r\cos\theta,\quad b=r\sin\theta

เหมือนเวกเตอร์สองมิติ (ขนาด-ทิศ ↔ องค์ประกอบ) ทุกประการ ปุ่ม tan⁻¹ ของเครื่องคิดเลขให้มุมแค่ −90° ถึง 90° ต้องดูควอดแรนต์เองเมื่อ a < 0

ตัวอย่าง H-1 · กับดักควอดแรนต์

เขียน −3+j4-3+j4 ในรูปเชิงขั้ว

  1. r=9+16=5r=\sqrt{9+16}=5

  2. tan⁡−1(4/−3)=−53.13∘\tan^{-1}(4/-3)=-53.13^\circ แต่จุด (−3, 4) อยู่ควอดแรนต์ II

  3. θ=180∘−53.13∘=126.87∘\theta=180^\circ-53.13^\circ=126.87^\circ (atan2 ให้ค่านี้โดยตรง)

−3+j4=5∠126.87∘-3+j4=5\angle126.87^\circ ไม่ใช่ 5∠−53.13∘5\angle-53.13^\circ (ซึ่งคือ 3−j43-j4)

4. บวก ลบ คูณ หาร: เลือกรูปให้ถูกงาน พื้นฐาน

H4 Addition / subtraction บวกลบในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

(a1+jb1)±(a2+jb2)=(a1±a2)+j(b1±b2)(a_1+jb_1)\pm(a_2+jb_2)=(a_1\pm a_2)+j(b_1\pm b_2)

คือการบวกเวกเตอร์ (หัวต่อหาง) — KVL และ KCL ในวงจร AC คือการบวกเวกเตอร์ชนิดนี้

H5 Multiplication / division คูณหารในรูปเชิงขั้ว

(r1∠θ1)(r2∠θ2)=r1r2∠(θ1+θ2),r1∠θ1r2∠θ2=r1r2∠(θ1−θ2),z∗=r∠−θ(r_1\angle\theta_1)(r_2\angle\theta_2)=r_1r_2\angle(\theta_1+\theta_2),\qquad \frac{r_1\angle\theta_1}{r_2\angle\theta_2}=\frac{r_1}{r_2}\angle(\theta_1-\theta_2),\qquad \mathbf z^*=r\angle-\theta

การคูณคือ “ยืดหด + หมุน” ของเวกเตอร์ ซึ่งไม่มีในพีชคณิตเวกเตอร์ปกติ นี่คือสิ่งที่จำนวนเชิงซ้อนให้เพิ่ม — อิมพีแดนซ์จึงทำหน้าที่ยืดและหมุนเฟสเซอร์กระแสให้เป็นเฟสเซอร์แรงดัน

H6 Multiplying by j คูณด้วย j คือหมุน 90°

j=1∠90∘,−j=1j=1∠−90∘,j (a+jb)=−b+jaj=1\angle90^\circ,\qquad -j=\frac1j=1\angle-90^\circ,\qquad j\,(a+jb)=-b+ja
ตัวอย่าง H-2 · คูณเฟสเซอร์

คำนวณ (10∠30∘)(4−j3)(10\angle30^\circ)(4-j3)

  1. แปลงตัวหลัง: 4−j3=5∠−36.87∘4-j3=5\angle-36.87^\circ

  2. คูณขนาด บวกมุม: 50∠(30∘−36.87∘)=50∠−6.87∘50\angle(30^\circ-36.87^\circ)=50\angle-6.87^\circ

  3. กลับเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก: 49.64−j5.9849.64-j5.98

50∠−6.87∘=49.64−j5.9850\angle-6.87^\circ=49.64-j5.98 — ค่าเริ่มต้นของเครื่องคิดเลขเชิงซ้อนด้านล่าง

ตัวอย่าง H-3 · หารเฟสเซอร์

คำนวณ 8+j63−j4\dfrac{8+j6}{3-j4}

  1. 8+j6=10∠36.87∘8+j6=10\angle36.87^\circ, 3−j4=5∠−53.13∘3-j4=5\angle-53.13^\circ

  2. 105∠(36.87∘+53.13∘)=2∠90∘=j2\dfrac{10}{5}\angle(36.87^\circ+53.13^\circ)=2\angle90^\circ=j2

  3. ตรวจด้วยการคูณสังยุค: (8+j6)(3+j4)9+16=24+j32+j18−2425=j5025=j2\dfrac{(8+j6)(3+j4)}{9+16}=\dfrac{24+j32+j18-24}{25}=\dfrac{j50}{25}=j2 ✓

j2=2∠90∘j2=2\angle90^\circ

5. บวกไซน์ความถี่เดียวกันด้วยเวกเตอร์และกฎโคไซน์ กลาง

H7 Sum of two sinusoids ผลบวกของไซน์ความถี่เดียวกัน

A1∠φ1+A2∠φ2=A∠φ,A=A12+A22+2A1A2cos⁡(φ2−φ1)A_1\angle\varphi_1+A_2\angle\varphi_2=A\angle\varphi,\qquad A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)}

คือ R1 ของแรงลัพธ์ เพราะเฟสเซอร์คือเวกเตอร์สองมิติ มุมเฟสหาด้วย atan2 ของผลรวมองค์ประกอบ

ตัวอย่าง H-4 · บวกแรงดันสองแหล่ง

v1=100sin⁡ωtv_1=100\sin\omega t V และ v2=80sin⁡(ωt+60∘)v_2=80\sin(\omega t+60^\circ) V (ใช้ sin เป็นอ้างอิง) จงหา v1+v2v_1+v_2

  1. เฟสเซอร์: V1=100∠0∘=100+j0\mathbf V_1=100\angle0^\circ=100+j0, V2=80∠60∘=40+j69.28\mathbf V_2=80\angle60^\circ=40+j69.28

  2. บวก: V=140+j69.28=156.2∠26.33∘\mathbf V=140+j69.28=156.2\angle26.33^\circ

  3. ตรวจด้วยกฎโคไซน์: 1002+802+2(100)(80)cos⁡60∘=24400=156.2\sqrt{100^2+80^2+2(100)(80)\cos60^\circ}=\sqrt{24400}=156.2 ✓

v1+v2=156.2sin⁡(ωt+26.33∘)v_1+v_2=156.2\sin(\omega t+26.33^\circ) V — ไม่ใช่ 180 V

ตัวอย่าง H-5 · KCL ที่จุดต่อ

i1=10cos⁡ωti_1=10\cos\omega t A และ i2=6cos⁡(ωt+60∘)i_2=6\cos(\omega t+60^\circ) A ไหลเข้าจุดต่อเดียวกัน กระแสที่ไหลออกเป็นเท่าไร?

  1. I=10∠0∘+6∠60∘=(10+3)+j5.196=13+j5.196\mathbf I=10\angle0^\circ+6\angle60^\circ=(10+3)+j5.196=13+j5.196

  2. I=14.0∠21.79∘\mathbf I=14.0\angle21.79^\circ A

i=14cos⁡(ωt+21.79∘)i=14\cos(\omega t+21.79^\circ) A — ตัวอย่างเดียวกับ R-8

6. อนุพันธ์กลายเป็นการคูณด้วย jω กลาง

H8 Calculus in the phasor domain อนุพันธ์และปริพันธ์

dvdt ⟷ jωV,∫v dt ⟷ Vjω\frac{dv}{dt}\ \longleftrightarrow\ j\omega\mathbf V,\qquad \int v\,dt\ \longleftrightarrow\ \frac{\mathbf V}{j\omega}

เพราะ ddtejωt=jωejωt\frac{d}{dt}e^{j\omega t}=j\omega e^{j\omega t} — การคูณ jω คือขยาย ω เท่าและหมุน +90° ตรงกับ W8 ผลคือ VL=jωL I\mathbf V_L=j\omega L\,\mathbf I และ IC=jωC V\mathbf I_C=j\omega C\,\mathbf V สมการเชิงอนุพันธ์ของวงจรกลายเป็นพีชคณิต

ตัวอย่าง H-6 · แรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

กระแส i=2cos⁡(1000t)i=2\cos(1000t) A ไหลผ่าน L = 50 mH จงหา v(t)

  1. I=2∠0∘\mathbf I=2\angle0^\circ, jωL=j(1000)(0.05)=j50 Ωj\omega L=j(1000)(0.05)=j50\ \Omega

  2. V=j50×2∠0∘=100∠90∘\mathbf V=j50\times2\angle0^\circ=100\angle90^\circ V

  3. ตรวจในโดเมนเวลา: L di/dt=0.05(−2000sin⁡1000t)=−100sin⁡1000t=100cos⁡(1000t+90∘)L\,di/dt=0.05(-2000\sin1000t)=-100\sin1000t=100\cos(1000t+90^\circ) ✓

v(t)=100cos⁡(1000t+90∘)v(t)=100\cos(1000t+90^\circ) V แรงดันนำหน้ากระแส 90°

7. เฟสเซอร์ค่ายอดหรือค่า RMS? พื้นฐาน

H9 Peak vs RMS phasors สองธรรมเนียมการเขียน

Vpeak=Vm∠φ,Vrms=Vm2∠φ,S=VrmsIrms∗=12VpeakIpeak∗\mathbf V_{\text{peak}}=V_m\angle\varphi,\qquad \mathbf V_{\text{rms}}=\frac{V_m}{\sqrt2}\angle\varphi,\qquad \mathbf S=\mathbf V_{\text{rms}}\mathbf I_{\text{rms}}^*=\tfrac12\mathbf V_{\text{peak}}\mathbf I_{\text{peak}}^*

งานไฟฟ้ากำลัง (ไฟบ้าน 220∠0° V) ใช้ RMS เพื่อให้สูตรกำลังสะอาด ส่วนงานอิเล็กทรอนิกส์และตำราวงจรหลายเล่มใช้ค่ายอด สิ่งสำคัญคือใช้แบบเดียวตลอดโจทย์

8. เมื่อไหร่ใช้เฟสเซอร์ไม่ได้ กลาง

  • ความถี่ต่างกัน: ลูกศรหมุนด้วยความเร็วต่างกัน มุมระหว่างกันเปลี่ยนตลอด ไม่มีเฟสเซอร์ผลรวม (ลองในแล็บบวกไซน์ เลือก “2 เท่า”) ต้องใช้ superposition ทีละความถี่ ดู วิเคราะห์วงจรด้วยอนุกรมฟูเรียร์
  • ช่วงเปลี่ยนสภาวะ (transient): เฟสเซอร์ให้เฉพาะสภาวะคงตัวของไซน์ ช่วงเปิดสวิตช์ต้องใช้ การแปลงลาปลาซ
  • วงจรไม่เชิงเส้น: ไดโอด แกนเหล็กอิ่มตัว อินเวอร์เตอร์ — สร้างฮาร์มอนิก ไซน์เข้าไม่ได้ไซน์ออก

9. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ข้อผิดพลาดวิธีป้องกัน
บวกเฟสเซอร์ในรูปเชิงขั้ว (บวกขนาด บวกมุม)บวกต้องเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเสมอ
tan⁻¹ ผิดควอดแรนต์ใช้ atan2 หรือวาดจุดก่อน (H-1)
ปน sin กับ cos เป็นอ้างอิงแปลงทุกสัญญาณให้อ้างอิงเดียวกันก่อนเขียนเฟสเซอร์
ปนค่ายอดกับ RMSระบุให้ชัดแต่ต้น โดยเฉพาะตอนคำนวณกำลัง
เขียน v(t) = 100∠30°เฟสเซอร์ไม่ใช่ฟังก์ชันเวลา ต้องแปลงกลับ v(t)=100cos⁡(ωt+30∘)v(t)=100\cos(\omega t+30^\circ)

10. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

  1. แปลง −5−j5-5-j5 และ 12∠−150∘12\angle-150^\circ ไปอีกรูปหนึ่ง
  2. คำนวณ (6∠20∘)(2∠−50∘)/(3∠−90∘)(6\angle20^\circ)(2\angle-50^\circ)/(3\angle-90^\circ)
  3. 10cos⁡(ωt+45∘)−10cos⁡(ωt−45∘)10\cos(\omega t+45^\circ)-10\cos(\omega t-45^\circ) = ?
  4. ประจุ C = 100 μF มีแรงดัน 10cos⁡(500t)10\cos(500t) V จงหากระแสด้วยเฟสเซอร์
เปิดเฉลย
  1. −5−j5=7.071∠−135∘-5-j5=7.071\angle-135^\circ; 12∠−150∘=−10.39−j612\angle-150^\circ=-10.39-j6
  2. 12∠−30∘3∠−90∘=4∠60∘\dfrac{12\angle-30^\circ}{3\angle-90^\circ}=4\angle60^\circ
  3. (7.071+j7.071)−(7.071−j7.071)=j14.14=14.14∠90∘(7.071+j7.071)-(7.071-j7.071)=j14.14=14.14\angle90^\circ → 14.14cos⁡(ωt+90∘)=−14.14sin⁡ωt14.14\cos(\omega t+90^\circ)=-14.14\sin\omega t
  4. I=jωCV=j(500)(10−4)(10)=j0.5\mathbf I=j\omega C\mathbf V=j(500)(10^{-4})(10)=j0.5 → i=0.5cos⁡(500t+90∘)i=0.5\cos(500t+90^\circ) A (กระแสนำหน้า 90°)

11. สรุปสูตร

หัวข้อสูตร
H1–H2ejθ=cos⁡θ+jsin⁡θe^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta, V=Vm∠φ\mathbf V=V_m\angle\varphi
H3 แปลงรูปr=a2+b2r=\sqrt{a^2+b^2}, θ=atan2⁡(b,a)\theta=\operatorname{atan2}(b,a)
H4–H6 ดำเนินการบวก: สี่เหลี่ยมมุมฉาก · คูณ/หาร: เชิงขั้ว · j = หมุน 90°
H7 บวกไซน์กฎโคไซน์ของเวกเตอร์
H8 แคลคูลัสd/dt→jωd/dt\to j\omega, ∫→1/(jω)\int\to1/(j\omega)
H9 RMSS=VrmsIrms∗\mathbf S=\mathbf V_{\text{rms}}\mathbf I_{\text{rms}}^*

12. แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ

ต่อไป: นำเฟสเซอร์ไปวิเคราะห์วงจรจริงใน วิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับด้วยเฟสเซอร์

คำถามที่พบบ่อย

เฟสเซอร์คืออะไร?

เฟสเซอร์คือจำนวนเชิงซ้อน (หรือเวกเตอร์สองมิติ) ที่เก็บแอมพลิจูดและมุมเฟสของสัญญาณไซน์ความถี่หนึ่ง เช่น v(t) = 311 cos(ωt + 30°) เขียนเป็น V = 311∠30° ภาพในใจคือลูกศรยาว 311 ที่หมุนด้วยความเร็ว ω แล้วถ่ายภาพไว้ที่ t = 0 สัญญาณจริงคือเงาของลูกศรบนแกนจริง

ทำไมต้องใช้เฟสเซอร์?

เพราะเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ของวงจร RLC ให้เป็นพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน อนุพันธ์กลายเป็นการคูณด้วย jω ทำให้ใช้กฎของโอห์ม KVL KCL และการหารแรงดันแบบวงจรกระแสตรงได้ทันที โดยตัวต้านทานกลายเป็นอิมพีแดนซ์

บวกเฟสเซอร์อย่างไร?

แปลงเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก a + jb แล้วบวกส่วนจริงกับส่วนจริง ส่วนจินตภาพกับส่วนจินตภาพ เหมือนบวกเวกเตอร์สองมิติ ส่วนการคูณและหารทำในรูปเชิงขั้วง่ายกว่า คือคูณขนาดและบวกมุม

เฟสเซอร์ใช้กับสัญญาณที่ความถี่ต่างกันได้ไหม?

ไม่ได้โดยตรง เฟสเซอร์ใช้ได้เมื่อทุกสัญญาณมีความถี่เดียวกันในสภาวะคงตัวของวงจรเชิงเส้น ถ้ามีหลายความถี่ ต้องแก้ทีละความถี่แล้วนำผลในเวลามาบวกกัน (superposition) เช่น การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกด้วยอนุกรมฟูเรียร์

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์