อินทิกรัลตามเส้น (Line Integrals) งานของแรง และทฤษฎีบทกรีน (Green's Theorem)

1. บนเส้นโค้ง $x^2 + y^2 + z^2 = \cos^2t + \sin^2t + t^2 = 1 + t^2$ · $|\mathbf r'| = \sqrt2$

2. $M = \displaystyle\int_0^{2\pi}(1 + t^2)\sqrt2\,dt = \sqrt2\left[t + \dfrac{t^3}{3}\right]_0^{2\pi} = \sqrt2\left(2\pi + \dfrac{8\pi^3}{3}\right)$

3. ตัวเลข: $2\pi = 6.283,\ \dfrac{8\pi^3}{3} = 82.68$ → $M = 1.4142\times88.96 = 125.8$ g

$M = \sqrt2\left(2\pi + \tfrac{8\pi^3}{3}\right) \approx 125.8$ g

1. หนึ่งรอบ: $\mathbf r(t) = \langle R\cos t, R\sin t, ct\rangle$ โดย $c = p/2\pi$ · $|\mathbf r'| = \sqrt{R^2 + c^2}$ ความยาวต่อรอบ $= \sqrt{(2\pi R)^2 + p^2}$

2. $2\pi R = 0.12566$ m · $p = 0.0005$ m → $\sqrt{0.12566^2 + 0.0005^2} = 0.125664$ m (พิตช์แทบไม่มีผล)

3. ความยาวรวม $= 200\times0.125664 = 25.13$ m

4. พื้นที่หน้าตัด $A = \pi(0.25\times10^{-3})^2 = 1.9635\times10^{-7}$ m² · $R_{wire} = \dfrac{\rho L}{A} = \dfrac{1.72\times10^{-8}\times25.13}{1.9635\times10^{-7}} = 2.20$ Ω

$L = 25.13$ m · $R_{wire} \approx 2.20$ Ω

1. (ก) $\mathbf r(t) = \langle t, t^2\rangle,\ 0 \le t \le 1$ · $\mathbf r' = \langle 1, 2t\rangle$ · $\mathbf F(\mathbf r(t)) = \langle t^2,\ t\cdot t^2\rangle = \langle t^2, t^3\rangle$

2. $\mathbf F\cdot\mathbf r' = t^2 + 2t^4$ → $W_{ก} = \displaystyle\int_0^1(t^2 + 2t^4)\,dt = \dfrac13 + \dfrac25 = \dfrac{11}{15}$

3. (ข) $\mathbf r(t) = \langle t, t\rangle$ · $\mathbf r' = \langle1, 1\rangle$ · $\mathbf F = \langle t^2, t^2\rangle$ → $\mathbf F\cdot\mathbf r' = 2t^2$ → $W_{ข} = \displaystyle\int_0^1 2t^2\,dt = \dfrac23$

4. $11/15 = 0.7333 \ne 2/3 = 0.6667$ → งานขึ้นกับเส้นทาง · ตรวจ $Q_x - P_y = y - 0 = y \ne 0$ สนามไม่อนุรักษ์ ✓

$W_{ก} = \tfrac{11}{15}$ · $W_{ข} = \tfrac{2}{3}$ · ต่างกัน เพราะ $\nabla\times\mathbf F \ne 0$

1. จากบทสนามเวกเตอร์ (ตัวอย่าง D-5) $\mathbf F$ อนุรักษ์ และ $f = x^2y + xz^3$

2. $W = f(1, 2, 1) - f(0, 0, 0) = (1\cdot2 + 1\cdot1) - 0 = 3$

3. ตรวจด้วยเส้นตรง $\mathbf r(t) = \langle t, 2t, t\rangle$: $\mathbf F = \langle 4t^2 + t^3,\ t^2,\ 3t^3\rangle$ และ $\mathbf r' = \langle 1, 2, 1\rangle$ → $\mathbf F\cdot\mathbf r' = 4t^2 + t^3 + 2t^2 + 3t^3 = 6t^2 + 4t^3$

4. $\displaystyle\int_0^1(6t^2 + 4t^3)\,dt = 2 + 1 = 3$ ✓ ตรงกัน และเส้นทางอื่นใดก็ให้ 3

$W = 3$ (ไม่ขึ้นกับเส้นทาง)

1. $P_y = 1 = Q_x$ → อนุรักษ์ · ศักย์ $f = xy$ ($f_x = y,\ f_y = x$ ✓)

2. ตามเส้นตรง $\langle 2t, 3t\rangle$: $\mathbf F = \langle 3t, 2t\rangle$, $\mathbf r' = \langle 2, 3\rangle$ → $\mathbf F\cdot\mathbf r' = 6t + 6t = 12t$ → $\int_0^1 12t\,dt = 6$

3. ตาม $\langle 2t^2, 3t\rangle$: $\mathbf F = \langle 3t, 2t^2\rangle$, $\mathbf r' = \langle 4t, 3\rangle$ → $\mathbf F\cdot\mathbf r' = 12t^2 + 6t^2 = 18t^2$ → $\int_0^1 18t^2\,dt = 6$

4. ตรวจด้วยศักย์ $f(2, 3) - f(0, 0) = 6 - 0 = 6$ ✓ ทั้งสามวิธีเท่ากัน

$W = 6$ ทุกเส้นทาง

1. อินทิกรัลเส้นตรง ๆ ทำยาก (มี $e^{\sin x}$ และ $\sqrt{y^4 + 1}$ ที่ไม่มีปฏิยานุพันธ์แบบปิด) ใช้ทฤษฎีบทกรีน

2. $P = 3y - e^{\sin x}$ → $P_y = 3$ · $Q = 7x + \sqrt{y^4 + 1}$ → $Q_x = 7$ · $Q_x - P_y = 4$ (ค่าคงที่!)

3. $\displaystyle\oint_C = \iint_R 4\,dA = 4\times\text{พื้นที่วงกลมรัศมี }3 = 4\times9\pi = 36\pi$

$36\pi \approx 113.1$ (พจน์ที่ซับซ้อนหายไปหมดเมื่ออนุพันธ์ย่อยหักล้างกัน)

1. $dx = -a\sin t\,dt$ และ $dy = b\cos t\,dt$ · $x\,dy - y\,dx = ab\cos^2t\,dt + ab\sin^2t\,dt = ab\,dt$

2. $A = \dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}ab\,dt = \dfrac12\cdot ab\cdot2\pi = \pi ab$

3. ตรงกับผลของบทอินทิกรัลหลายชั้น (เปลี่ยนตัวแปรด้วย Jacobian $ab$) ✓

$A = \pi ab$

1. คำนวณ $x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i$ ทีละด้าน: $0\cdot0 - 40\cdot0 = 0$ · $40\cdot30 - 55\cdot0 = 1200$ · $55\cdot45 - 20\cdot30 = 2475 - 600 = 1875$ · $20\cdot25 - (-5)\cdot45 = 500 + 225 = 725$ · $(-5)\cdot0 - 0\cdot25 = 0$

2. ผลรวม $= 0 + 1200 + 1875 + 725 + 0 = 3800$

3. $A = \tfrac12\times3800 = 1900$ ตารางเมตร · หน่วยไทย: 1 ตารางวา = 4 ตร.ม. ดังนั้น $1900/4 = 475$ ตารางวา = 1 ไร่ 75 ตารางวา (1 ไร่ = 400 ตร.ว. = 1600 ตร.ม.)

4. ถ้าเรียงจุดตามเข็มนาฬิกาจะได้ผลรวมเป็น $-3800$ จึงต้องใส่ค่าสัมบูรณ์ · วิธีนี้ใช้ในโปรแกรมสำรวจและ GIS ทุกชนิด

$A = 1900$ m² $\approx 1.19$ ไร่ (ใช้ทฤษฎีบทกรีนกับเส้นขอบที่เป็นเส้นตรงทีละด้าน)

1. วิธีตรง: บนวงกลม $\mathbf n = \langle x, y\rangle/R$ → $\mathbf F\cdot\mathbf n = (x^2 + y^2)/R = R$ คงที่ · $\oint\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = R\times2\pi R = 2\pi R^2$

2. วิธีกรีน: $\nabla\cdot\mathbf F = 1 + 1 = 2$ → $\iint 2\,dA = 2\times\pi R^2 = 2\pi R^2$ ✓

3. ในแล็บ: วงกลมรัศมี 1 ที่จุดกำเนิดให้ flux $= 2\pi = 6.2832$ และ flux ÷ พื้นที่ $= 2$ ตรงกับ $\nabla\cdot\mathbf F$

$\oint\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = 2\pi R^2$ ทั้งสองวิธี