อินทิกรัลบนผิว (Surface Integrals) ฟลักซ์ ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ (Gauss) และทฤษฎีบทสโตกส์ (Stokes)

1. $g_x = 2x,\ g_y = 2y$ → $\sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2} = \sqrt{1 + 4r^2}$ · บริเวณเงา: $r \le 2$

2. $A = \displaystyle\int_0^{2\pi}\!\int_0^2\sqrt{1 + 4r^2}\,r\,dr\,d\theta = 2\pi\left[\dfrac{(1 + 4r^2)^{3/2}}{12}\right]_0^2$

3. $= \dfrac{2\pi}{12}\left(17^{3/2} - 1\right) = \dfrac{\pi}{6}(70.093 - 1) = \dfrac{\pi}{6}(69.093) = 36.18$ (ผิวใหญ่กว่าแผ่นวงกลมเงา $\pi\cdot4 = 12.57$ เพราะชัน)

$A = \dfrac{\pi}{6}\left(17\sqrt{17} - 1\right) \approx 36.18$ หน่วยพื้นที่

1. ความลึกที่ขอบ $r = R = 0.6$: $z = \dfrac{R^2}{4f} = \dfrac{0.36}{1.8} = 0.20$ m

2. $g_x = \dfrac{x}{2f},\ g_y = \dfrac{y}{2f}$ → $\sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2} = \sqrt{1 + \dfrac{r^2}{4f^2}}$

3. $A = 2\pi\displaystyle\int_0^R\sqrt{1 + \dfrac{r^2}{4f^2}}\,r\,dr = 2\pi\cdot\dfrac{4f^2}{3}\left[\left(1 + \dfrac{R^2}{4f^2}\right)^{3/2} - 1\right]$

4. $4f^2 = 0.81$ · $R^2/4f^2 = 0.4444$ · $(1.4444)^{3/2} = 1.7359$ → $A = 2\pi(0.27)(0.7359) = 1.2486$ m² เทียบกับแผ่นเรียบ $\pi R^2 = 1.131$ m² (ใหญ่กว่า 10%)

ความลึก $0.20$ m · พื้นที่ผิว $A \approx 1.249$ m²

1. (ก) $\mathbf r_u = a\langle\cos u\cos v,\ \cos u\sin v,\ -\sin u\rangle$ · $\mathbf r_v = a\langle-\sin u\sin v,\ \sin u\cos v,\ 0\rangle$

2. $\mathbf r_u\times\mathbf r_v = a^2\sin u\,\langle\sin u\cos v,\ \sin u\sin v,\ \cos u\rangle$ (ชี้ออกนอก) · $|\,\cdot\,| = a^2\sin u$ · $A = \int_0^{2\pi}\!\int_0^\pi a^2\sin u\,du\,dv = 4\pi a^2$

3. (ข) บนทรงกลม $z = a\cos u$ ซีกบน $0 \le u \le \pi/2$: $\displaystyle\iint z\,dS = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/2}(a\cos u)\,a^2\sin u\,du\,dv = a^3\cdot2\pi\cdot\dfrac12 = \pi a^3$

4. พื้นที่ซีก $= 2\pi a^2$ → ความสูงเฉลี่ย $\bar z = \dfrac{\pi a^3}{2\pi a^2} = \dfrac{a}{2}$ (จุดศูนย์กลางมวลของเปลือกซีกอยู่ที่ครึ่งรัศมี ต่างจากซีกตัน $3a/8$)

(ก) $A = 4\pi a^2$ · (ข) $\iint z\,dS = \pi a^3$, $\bar z = a/2$

1. บนทรงกลม $\mathbf F = \mathbf r = a\hat{\mathbf r}$ และ $\mathbf n = \hat{\mathbf r}$ จึง $\mathbf F\cdot\mathbf n = a$ คงที่ทั้งผิว

2. $\Phi = a\iint dS = a\cdot4\pi a^2 = 4\pi a^3$

3. ตรวจด้วยพารามิเตอร์: บนผิว $\mathbf F = a\,\hat{\mathbf r}$ และ $\mathbf r_u\times\mathbf r_v = a^2\sin u\,\hat{\mathbf r}$ ($\hat{\mathbf r} = \langle\sin u\cos v,\ \sin u\sin v,\ \cos u\rangle$) ดอตกันได้ $a\cdot a^2\sin u$ → $\int_0^{2\pi}\!\int_0^\pi a^3\sin u\,du\,dv = 4\pi a^3$ ✓

$\Phi = 4\pi a^3$ (และจะได้ค่าเดียวกันจากทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ใน S-7)

1. เป็นกราฟ $z = g(x, y) = 1 - x - y$ · $g_x = g_y = -1$ · บริเวณเงา: สามเหลี่ยม $x, y \ge 0,\ x + y \le 1$

2. $-Pg_x - Qg_y + R = -x(-1) - y(-1) + z = x + y + (1 - x - y) = 1$

3. $\Phi = \iint_D1\,dA = \text{พื้นที่สามเหลี่ยม} = \dfrac12$

4. เหตุผลเรขาคณิต: $\mathbf F\cdot\mathbf n$ บนระนาบเท่ากับระยะจากจุดกำเนิดถึงระนาบ $= 1/\sqrt3$ คงที่ และพื้นที่ผิวของสามเหลี่ยมเอียง $= \sqrt3/2$ → $\Phi = \dfrac{1}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac12$ ✓

$\Phi = \dfrac12$

1. หน้าตัดเป็นแผ่นวงกลมตั้งฉากกับการไหล $\mathbf n = \hat{\mathbf z}$ ฟลักซ์ = $\iint v\,dA$

2. พิกัดขั้ว: $Q = \displaystyle\int_0^{2\pi}\!\int_0^R v_{\max}\left(1 - \dfrac{r^2}{R^2}\right)r\,dr\,d\theta = 2\pi v_{\max}\left[\dfrac{R^2}{2} - \dfrac{R^2}{4}\right] = \dfrac{\pi R^2v_{\max}}{2}$

3. ตัวเลข: $Q = \dfrac{\pi(0.05)^2(1.2)}{2} = 4.712\times10^{-3}$ m³/s = 4.71 L/s

4. ความเร็วเฉลี่ย $\bar v = Q/(\pi R^2) = v_{\max}/2 = 0.6$ m/s (ค่าที่มิเตอร์วัดการไหลอ่านจากอัตราไหลหารพื้นที่)

$Q = 4.71$ L/s · $\bar v = 0.6$ m/s = ครึ่งหนึ่งของ $v_{\max}$

1. (ก) $\nabla\cdot\mathbf F = 3$ · $\iiint3\,dV = 3\cdot\dfrac{4\pi a^3}{3} = 4\pi a^3$ ตรงกับ S-4 ที่คำนวณฟลักซ์บนผิวโดยตรง ✓

2. (ข) $\nabla\cdot\mathbf F = 2x + 2y + 2z$ · $\iiint_{[0,1]^3}2(x + y + z)\,dV = 2\left(\tfrac12 + \tfrac12 + \tfrac12\right) = 3$

3. ตรวจโดยตรง (ข): หน้า $x = 1$ ให้ $\iint x^2\,dy\,dz = 1$, หน้า $x = 0$ ให้ 0 · ทำนองเดียวกันสำหรับ $y$ และ $z$ → $1 + 1 + 1 = 3$ ✓ (หกหน้าต้องบวกกัน แต่ทฤษฎีบทลดเหลืออินทิกรัลเดียว)

(ก) $\Phi = 4\pi a^3$ · (ข) $\Phi = 3$

1. (ก) ผิวเกาส์: ทรงกระบอกรัศมี $r$ ยาว $L$ · ฟลักซ์ทะลุผนังข้างเท่านั้น $E\cdot2\pi rL = \dfrac{\lambda L}{\varepsilon_0}$ → $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}$

2. แทนค่า: $E = \dfrac{10\times10^{-9}}{2\pi(8.854\times10^{-12})(0.5)} = 359.5$ V/m (ชี้ออกตามรัศมี)

3. (ข) ผิวเกาส์ทรงกลมรัศมี $r < a$: $E\cdot4\pi r^2 = \dfrac{\rho\cdot\frac43\pi r^3}{\varepsilon_0}$ → $E = \dfrac{\rho r}{3\varepsilon_0}$ (เพิ่มเป็นเส้นตรงตาม $r$)

4. $r = 0.05$: $E = \dfrac{10^{-6}(0.05)}{3(8.854\times10^{-12})} = 1882$ V/m · ที่ผิว $r = a = 0.1$: $E = 3765$ V/m

5. ตรวจที่ผิวด้วยกฎของคูลอมบ์: $Q = \rho\cdot\frac43\pi a^3 = 4.189\times10^{-9}$ C → $\dfrac{kQ}{a^2} = \dfrac{8.988\times10^{9}\times4.189\times10^{-9}}{0.01} = 3765$ V/m ✓ ต่อเนื่องที่ผิว

(ก) $E = 359.5$ V/m · (ข) $E(0.05) = 1882$ V/m, $E(a) = 3765$ V/m

1. $\nabla\times\mathbf F = \langle 0 - 0,\ 0 - 0,\ 1 - (-2y)\rangle = \langle 0, 0, 1 + 2y\rangle$

2. เลือกผิว $S$ = ส่วนของระนาบ $z = 2 - y$ ภายในทรงกระบอก (เป็นวงรี) · $g_x = 0,\ g_y = -1$ · $\mathbf n\,dS = \langle -g_x, -g_y, 1\rangle\,dA = \langle 0, 1, 1\rangle\,dA$ (ชี้ขึ้น)

3. $(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS = (1 + 2y)\cdot1\,dA$ · บริเวณเงา: แผ่นวงกลมรัศมี 1

4. $\displaystyle\oint_C = \iint_{x^2+y^2\le1}(1 + 2y)\,dA = \pi + 2\iint y\,dA = \pi + 0 = \pi$ ($\iint y\,dA = 0$ โดยสมมาตร)

5. ถ้าอินทิเกรตเส้นตรง ๆ ต้องพารามิเตอร์ $\langle\cos t, \sin t, 2 - \sin t\rangle$ แล้วคำนวณ $\int(-\sin^2t)(-\sin t) + \cos t\cos t + (2-\sin t)^2(-\cos t)\,dt$ ซึ่งยาวกว่าอย่างเห็นได้ชัด — และได้ $\pi$ เช่นกัน

$\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = \pi$

1. ฟลักซ์แม่เหล็ก $\Phi_B = \iint\mathbf B\cdot\mathbf n\,dS = B(t)\cdot\pi r^2 = \pi(0.05)^2B_0\sin\omega t = 7.854\times10^{-3}\times0.2\sin\omega t = 1.571\times10^{-3}\sin\omega t$ Wb

2. กฎของฟาราเดย์ (จากสโตกส์): $\mathcal E = \oint\mathbf E\cdot d\mathbf l = -\dfrac{d\Phi_B}{dt} = -\omega\Phi_{\max}\cos\omega t$

3. $\omega = 2\pi\times50 = 314.16$ rad/s · $\mathcal E_{\max} = 314.16\times1.571\times10^{-3} = 0.4935$ V

4. ตีความ: สนามไฟฟ้า $\mathbf E$ ที่เกิดขึ้นรอบห่วงมี $\nabla\times\mathbf E \ne \mathbf 0$ จึงไม่อนุรักษ์ — นี่คือกลไกของหม้อแปลงและเครื่องกำเนิดไฟฟ้า (ค่าสูงสุด 0.49 V ต่อหนึ่งรอบ ขดลวด $N$ รอบได้ $N$ เท่า)

$\Phi_{\max} = 1.571$ mWb · $\mathcal E_{\max} \approx 0.494$ V ต่อรอบ

1. วงแอมแปร์: วงกลมรัศมี $r$ รอบสายไฟ · โดยสมมาตร $\mathbf B$ สัมผัสวงและขนาดคงที่ → $\oint\mathbf B\cdot d\mathbf l = B(2\pi r)$

2. $B(2\pi r) = \mu_0I$ → $B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$

3. $B = \dfrac{(4\pi\times10^{-7})(100)}{2\pi(2)} = 1.0\times10^{-5}$ T = 10 µT (ประมาณ 1/5 ของสนามแม่เหล็กโลกที่ ~50 µT)

4. ข้อสังเกต: ในแบบอนุพันธ์ $\nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf J$ ตรวจได้ว่า $\nabla\times\mathbf B = \mathbf 0$ นอกสายไฟ แต่ $\oint\mathbf B\cdot d\mathbf l \ne 0$ รอบสาย — ตัวอย่างของบริเวณที่มีรู (สนามนี้มีรูปแบบเดียวกับ $\langle -y, x\rangle/(x^2+y^2)$ ในบทสนามเวกเตอร์)

$B = \mu_0I/(2\pi r) = 10\ \mu\text{T}$ ที่ 2 m จากสาย 100 A