หน้าแรก
คลังความรู้
วงจรไฟฟ้ากระแสตรง

// บทที่ 25 · วงจรไฟฟ้า · DC Circuit Analysis

วงจรไฟฟ้ากระแสตรง (DC Circuit Analysis): จากกฎของโอห์มถึงวิธีโหนด เมช MNA ทฤษฎีบทวงจร และทรานเซียนต์ RLC

Q: สูตรวงจรไฟฟ้ากระแสตรงที่ต้องจำมีอะไรบ้าง?

หลัก ๆ คือกฎของโอห์ม V = IR และกำลัง P = VI = I^2R = V^2/R, ความต้านทานรวมแบบอนุกรม R_1 + R_2 + cdots และแบบขนาน 1/R_{eq} = sum 1/R_k, วงจรแบ่งแรงดันและแบ่งกระแส, KCL และ KVL, วงจรสมมูลเทวินิน และค่าคงตัวเวลา tau = RC หรือ L/R ตารางสรุปสูตรอยู่ต้นหน้านี้ แต่ละสูตรลิงก์ไปการ์ดที่มีที่มาและตัวอย่าง

Q: วงจรไฟฟ้ากระแสตรงวิเคราะห์ด้วยหลักอะไรบ้าง?

ใช้สามอย่างเสมอ คือความสัมพันธ์แรงดัน-กระแสขององค์ประกอบ (เช่น v = Ri) กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ (ผลรวมกระแสที่โหนดเป็นศูนย์) และกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์ (ผลรวมแรงดันรอบลูปเป็นศูนย์) วิธีโหนด วิธีเมช และทฤษฎีบททั้งหมดเป็นการจัดสามข้อนี้ให้เป็นระบบ

Q: ควรเลือกวิธีโหนดหรือวิธีเมช?

นับจำนวนสมการก่อน วิธีโหนดใช้ n-1 สมการ วิธีเมชใช้ b-n+1 สมการ เลือกวิธีที่สมการน้อยกว่า วงจรที่มีแหล่งจ่ายกระแสมากมักง่ายด้วยวิธีโหนด วงจรที่วาดบนระนาบไม่ได้ต้องใช้วิธีโหนดเท่านั้น

Q: ในสภาวะคงตัวกระแสตรง ตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำทำตัวอย่างไร?

ตัวเก็บประจุเปิดวงจร (กระแสเป็นศูนย์) เพราะ i = C dv/dt = 0 ส่วนตัวเหนี่ยวนำลัดวงจร (แรงดันเป็นศูนย์) เพราะ v = L di/dt = 0 แต่ทั้งสองยังสะสมพลังงาน tfrac12 Cv^2 และ tfrac12 Li^2 อยู่

Q: กำลังสูงสุดที่ส่งให้โหลดได้คือเท่าใด?

เมื่อความต้านทานโหลดเท่ากับความต้านทานเทวินิน R_L = R_{th} โหลดได้กำลัง P_{max} = V_{th}^2/(4R_{th}) และประสิทธิภาพที่จุดนี้เป็นเพียง 50%

Q: แล็บในหน้านี้คำนวณวงจรอย่างไร?

ใช้ Modified Nodal Analysis (MNA) แบบเดียวกับ SPICE สร้างเมทริกซ์จากองค์ประกอบทุกตัวแล้วแก้ระบบสมการเชิงเส้น โหมดทรานเซียนต์ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมู ซึ่งเปลี่ยน C และ L ให้เป็นความนำขนานกับแหล่งจ่ายกระแสในทุกก้าวเวลา

เริ่มจากประจุ กระแส และแรงดัน ไล่ไปถึงการวิเคราะห์แบบเป็นระบบที่โปรแกรม SPICE ใช้ ทฤษฎีบทวงจร และพฤติกรรมชั่วขณะของ RLC แล้วลงมือต่อวงจรเองในแล็บจำลอง ซึ่งแก้สมการ MNA จริงทุกครั้งที่แก้วงจร ก่อนวัดฝีมือกับโจทย์ 4 ระดับ ตั้งแต่พื้นฐานจนถึงระดับโอลิมปิก

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต 26 ต.ค. 2569

สรุปใน 30 วินาที

ทุกวงจรวิเคราะห์ได้จากสามอย่าง: ความสัมพันธ์ v–i ขององค์ประกอบ, KCL $\sum i = 0$ และ KVL $\sum v = 0$
ในสภาวะคงตัว DC ตัวเก็บประจุเปิดวงจร ตัวเหนี่ยวนำลัดวงจร
วิธีโหนดใช้ $n-1$ สมการ วิธีเมชใช้ $b-n+1$ สมการ ส่วน MNA คือวิธีที่ SPICE ใช้แก้วงจรทุกแบบ
เครือข่ายเชิงเส้นสองขั้วใดก็ได้ = $V_{th}$ อนุกรม $R_{th}$ และโหลดได้กำลังสูงสุดเมื่อ $R_L = R_{th}$ (ประสิทธิภาพ 50%)
วงจรอันดับหนึ่ง $x(t) = x(\infty) + [x(0^+) - x(\infty)]e^{-t/\tau}$ ส่วน RLC มีรูปร่างผลตอบสนองขึ้นกับ $\zeta$ ตัวเดียว
ต้องการแค่สูตร ดูตารางสรุปสูตรวงจรไฟฟ้ากระแสตรง ด้านล่าง
ส่งกำลังเท่ากันที่แรงดันสูงขึ้น $k$ เท่า กำลังสูญเสียในสายลดลง $k^2$ เท่า เป็นเหตุผลของ HVDC และระบบ 800 VDC

1ปริมาณพื้นฐาน
2R L C และแหล่งจ่าย
3กฎของเคอร์ชอฟฟ์
4อนุกรม ขนาน Δ–Y
5โหนด เมช MNA
6ทฤษฎีบทวงจร
7ทรานเซียนต์
8เทคโนโลยี DC
9แล็บจำลอง
10คลังโจทย์

8 บทเรียน6 เครื่องมือในบทเรียนแล็บวงจร R L C + แหล่งจ่ายไม่อิสระทำได้ 0 / 26 ข้อ

สรุปสูตรวงจรไฟฟ้ากระแสตรง (DC Circuit Formulas)

ตารางนี้รวมสูตรที่ใช้บ่อยที่สุดในหน้าเดียว รหัสใต้ชื่อเรื่อง (เช่น E1) ลิงก์ไปการ์ดสูตรในบทเรียน ซึ่งมีที่มาของสูตร เงื่อนไขการใช้ และตัวอย่างพร้อมวิธีทำ

เรื่อง · การ์ดสูตร	สูตร
กฎของโอห์มและกำลัง E1 B1	$V = IR \qquad P = VI = I^2R = \dfrac{V^2}{R}$
ความต้านทานจากวัสดุและอุณหภูมิ E1	$R = \dfrac{\rho\,\ell}{A} \qquad R(T) = R_0\left[1 + \alpha(T - T_0)\right]$
ตัวต้านทานอนุกรม หัวข้อ 4	$R_{eq} = R_1 + R_2 + \cdots + R_N$
ตัวต้านทานขนาน S2	$\dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \cdots \qquad R_1\parallel R_2 = \dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$
วงจรแบ่งแรงดัน S1	$V_k = \dfrac{R_k}{R_1 + R_2 + \cdots + R_N}\,V$
วงจรแบ่งกระแส (สองกิ่ง) S2	$I_1 = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\,I$
กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ (KCL) K1	$\sum I_{\text{เข้า}} = \sum I_{\text{ออก}}$
กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์ (KVL) K2	$\sum_{\text{รอบลูป}} V = 0$
แปลงสามเหลี่ยมเป็นดาว (Δ → Y) S3 S4	$R_1 = \dfrac{R_bR_c}{R_a + R_b + R_c}$ (สลับตัวห้อยวนสำหรับ $R_2, R_3$ )
บริดจ์วีตสโตนสมดุล S5	$R_x = \dfrac{R_2R_3}{R_1}$
วงจรสมมูลเทวินิน / นอร์ตัน T2	$V_{th} = V_{oc} \qquad I_N = I_{sc} \qquad R_{th} = \dfrac{V_{oc}}{I_{sc}}$
การถ่ายโอนกำลังสูงสุด T3	$R_L = R_{th} \;\Rightarrow\; P_{max} = \dfrac{V_{th}^2}{4R_{th}}$
C และ L ในสภาวะคงตัว DC E2 E3	$i_C = C\dfrac{dv}{dt} = 0$ (เปิดวงจร) $\qquad v_L = L\dfrac{di}{dt} = 0$ (ลัดวงจร)
วงจร RC / RL อันดับหนึ่ง R1	$x(t) = x(\infty) + \left[x(0^+) - x(\infty)\right]e^{-t/\tau} \qquad \tau = RC \ \text{หรือ}\ \dfrac{L}{R}$
วงจร RLC อนุกรม R2	$\alpha = \dfrac{R}{2L} \qquad \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} \qquad \zeta = \dfrac{R}{2}\sqrt{\dfrac{C}{L}}$

ต้องการค้นสูตรเฉพาะเรื่อง พิมพ์คำในช่อง “ค้นหาสูตรในหน้านี้” ด้านบน เช่น divider, thevenin หรือ tau

1. ปริมาณพื้นฐานทางไฟฟ้า พื้นฐาน

วงจรกระแสตรง (DC) คือวงจรที่แหล่งจ่ายมีค่าคงที่ไม่เปลี่ยนตามเวลา ก่อนจะวิเคราะห์วงจรได้ ต้องนิยามปริมาณให้ชัด และตกลงเรื่องทิศกับขั้วให้ตรงกันก่อน

ปริมาณ	นิยาม	หน่วย SI	หมายเหตุ
ประจุ $q$	สมบัติพื้นฐานของอนุภาค	คูลอมบ์ (C)	$e = 1.602\,176\,634\times10^{-19}$ C เป็นค่าแน่นอนตาม SI ปี 2019
กระแส $i$	$i = \dfrac{dq}{dt}$	แอมแปร์ (A = C/s)	ทิศกระแสสมมติตรงข้ามกับทิศการไหลของอิเล็กตรอน
แรงดัน $v$	$v = \dfrac{dw}{dq}$	โวลต์ (V = J/C)	วัดระหว่างสองจุดเสมอ แรงดันโหนดคือแรงดันเทียบกับกราวด์
กำลัง $p$	$p = \dfrac{dw}{dt}$	วัตต์ (W = J/s)	อัตราการถ่ายโอนพลังงาน
พลังงาน $w$	$w = \int p\,dt$	จูล (J)	1 kWh = 3.6 MJ (หน่วยบนบิลค่าไฟ)
ความต้านทาน $R$	$R = v/i$	โอห์ม (Ω)	ความนำ $G = 1/R$ มีหน่วยซีเมนส์ (S)

ข้อตกลงเครื่องหมายแบบพาสซีฟ

ถ้ากระแส $i$ ไหลเข้าทางขั้ว + ของแรงดัน $v$ ขององค์ประกอบ กำลัง $p = vi$ คือกำลังที่องค์ประกอบนั้นดูดกลืน ถ้าได้ $p < 0$ แปลว่าองค์ประกอบนั้นจ่ายกำลังออกไป เช่น แบตเตอรี่ที่กำลังจ่ายไฟ

B1 Power and energy กำลังและพลังงาน (ข้อตกลงพาสซีฟ)

p = v\,i \qquad w = \int_{t_0}^{t} p\,dt

B2 Power balance ผลรวมกำลังของทุกองค์ประกอบเป็นศูนย์

\sum_{k=1}^{b} p_k = \sum_{k=1}^{b} v_k\, i_k = 0

หลักคิด: กำหนดทิศกระแสและขั้วแรงดันก่อนเขียนสมการทุกครั้ง ทิศที่สมมติผิดไม่ได้ทำให้คำตอบผิด แค่ทำให้ได้ตัวเลขติดลบ ซึ่งบอกว่าทิศจริงตรงข้ามกับที่สมมติ แล็บในหน้านี้ตรวจสมดุลกำลัง B2 ให้ทุกครั้งที่แก้วงจร

คำนำหน้าหน่วย

p10⁻¹²n10⁻⁹µ10⁻⁶m10⁻³k10³M10⁶G10⁹

ในแล็บพิมพ์ค่าได้ทั้ง 4.7k, 4k7, 10u (= 10 µ), 2m และ 1e-3 ระวังว่า m (มิลลิ) ต่างจาก M (เมกะ)

เครื่องมือ · ถอดรหัสแถบสีตัวต้านทานตัวต้านทาน 4 แถบ

แถบ 1 (หลักแรก) แถบ 2 (หลักที่สอง) แถบ 3 (ตัวคูณ) แถบ 4 (ความคลาดเคลื่อน)

ค่าความต้านทาน—

ช่วงที่ยอมรับได้—

อนุกรม E—

2. องค์ประกอบวงจร: R, L, C และแหล่งจ่าย พื้นฐาน

ทุกองค์ประกอบนิยามด้วยความสัมพันธ์ระหว่างแรงดันกับกระแส เมื่อรู้ความสัมพันธ์นี้ครบ บวกกับกฎของเคอร์ชอฟฟ์ ก็วิเคราะห์วงจรได้ทุกวงจร

E1 Ohm's law · resistivity · temperature กฎของโอห์ม ความต้านทานจำเพาะ และผลของอุณหภูมิ

v = Ri \qquad p = i^2R = \frac{v^2}{R} \qquad R = \frac{\rho\,\ell}{A} \qquad R(T) = R_0\left[1 + \alpha\,(T - T_0)\right]

E2 Capacitor ตัวเก็บประจุ: แรงดันเปลี่ยนทันทีไม่ได้

i = C\,\frac{dv}{dt} \qquad w_C = \tfrac12 Cv^2 \qquad \text{DC: } i = 0 \ (\text{เปิดวงจร})

E3 Inductor ตัวเหนี่ยวนำ: กระแสเปลี่ยนทันทีไม่ได้

v = L\,\frac{di}{dt} \qquad w_L = \tfrac12 Li^2 \qquad \text{DC: } v = 0 \ (\text{ลัดวงจร})

ทองแดงมี $\rho \approx 1.7\times10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$ และ $\alpha \approx 0.00393\ /^\circ\text{C}$ ที่ 20 °C ตัวต้านทานสลายพลังงานเป็นความร้อนเสมอ ส่วน C และ L เก็บพลังงานไว้แล้วคืนกลับได้

การรวมค่า

	ต่ออนุกรม	ต่อขนาน
R	$R_{eq} = \sum R_k$	$\dfrac{1}{R_{eq}} = \sum \dfrac{1}{R_k}$
L	$L_{eq} = \sum L_k$	$\dfrac{1}{L_{eq}} = \sum \dfrac{1}{L_k}$
C	$\dfrac{1}{C_{eq}} = \sum \dfrac{1}{C_k}$	$C_{eq} = \sum C_k$

แหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายแรงดันอุดมคติ รักษาแรงดันคงที่ไม่ว่าจะจ่ายกระแสเท่าใด ห้ามนำสองตัวที่ค่าต่างกันมาขนานกัน
แหล่งจ่ายกระแสอุดมคติ รักษากระแสคงที่ไม่ว่าแรงดันคร่อมจะเป็นเท่าใด ห้ามนำมาอนุกรมกับวงจรเปิด
แหล่งจ่ายจริง มีความต้านทานภายใน $r$ จึงได้ $v = V_s - r\,i$ แรงดันขั้วตกลงเมื่อจ่ายกระแสมากขึ้น

แหล่งจ่ายไม่อิสระ (dependent หรือ controlled source) มีค่าขึ้นกับแรงดันหรือกระแสที่อื่นในวงจร เป็นแบบจำลองของทรานซิสเตอร์ ออปแอมป์ และวงจรขยาย ตัวอักษรในวงเล็บคือชื่อที่ SPICE ใช้

ชนิด	ความสัมพันธ์	หน่วยของอัตราขยาย
VCVS (E) แรงดันควบคุมด้วยแรงดัน	$v = \mu\, v_x$	V/V
VCCS (G) กระแสควบคุมด้วยแรงดัน	$i = g\, v_x$	A/V = S
CCVS (H) แรงดันควบคุมด้วยกระแส	$v = r\, i_x$	V/A = Ω
CCCS (F) กระแสควบคุมด้วยกระแส	$i = \beta\, i_x$	A/A

ข้อควรระวัง: เวลาใช้การซ้อนทับหรือหาความต้านทานเทวินิน ให้ดับเฉพาะแหล่งจ่ายอิสระ แหล่งจ่ายไม่อิสระต้องคงไว้เสมอ เพราะมันเป็นส่วนหนึ่งของโครงสร้างวงจร

3. กฎของเคอร์ชอฟฟ์และโครงสร้างของวงจร พื้นฐาน

กฎสองข้อนี้ไม่ขึ้นกับว่าองค์ประกอบเป็นอะไร ขึ้นกับรูปแบบการต่อเท่านั้น จึงใช้ได้กับทุกวงจรแบบก้อน (lumped circuit)

โหนด คือจุดที่องค์ประกอบตั้งแต่สองตัวขึ้นไปต่อกัน สายไฟอุดมคติที่ต่อถึงกันทั้งหมดนับเป็นโหนดเดียว
กิ่ง คือองค์ประกอบหนึ่งตัว ลูป คือเส้นทางปิด และ เมช คือลูปที่ไม่มีลูปอื่นอยู่ข้างใน (ใช้กับวงจรที่วาดบนระนาบได้)

K1 Kirchhoff's Current Law (KCL) กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ (การอนุรักษ์ประจุ)

\sum_{k} i_k^{\text{ออก}} = 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \sum i_{\text{เข้า}} = \sum i_{\text{ออก}}

K2 Kirchhoff's Voltage Law (KVL) กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์ (แรงดันไม่ขึ้นกับเส้นทาง)

\sum_{\text{รอบลูป}} v_k = 0

K3 Circuit topology จำนวนลูปอิสระและจำนวนสมการ

l = b - n + 1 \qquad \text{KCL อิสระ } n-1 \text{ สมการ} \qquad \text{KVL อิสระ } b-n+1 \text{ สมการ}

KCL ใช้ได้กับผิวปิดใด ๆ ที่ครอบหลายโหนดไว้ด้วยกัน ซึ่งเป็นที่มาของซูเปอร์โหนด ส่วน K3 บอกว่า KCL $n-1$ สมการ รวมกับ KVL $b-n+1$ สมการ และสมการขององค์ประกอบอีก $b$ สมการ ได้ $2b$ สมการพอดีกับตัวไม่ทราบค่า $2b$ ตัว (แรงดันและกระแสของทุกกิ่ง)

ตัวอย่าง 3.1

แบ่งกระแสสามทาง: หากระแสในทุกกิ่งแล้วตรวจ KCL

R2, R3, R4 ขนานกัน: $\tfrac{1}{R_p} = \tfrac{1}{2k}+\tfrac{1}{3k}+\tfrac{1}{6k} = \tfrac{1}{1k}$ ได้ $R_p = 1\ \text{k}\Omega$
กระแสรวม $I = \dfrac{9}{1k + 1k} = 4.5\ \text{mA}$ แรงดันคร่อมกลุ่มขนาน $V_p = 4.5\ \text{V}$
$I_2 = 2.25\ \text{mA},\ I_3 = 1.5\ \text{mA},\ I_4 = 0.75\ \text{mA}$ รวมกันได้ 4.5 mA ตรงตาม K1 ในแล็บอ่านค่าได้จากแอมมิเตอร์ AM1–AM3

4. อนุกรม ขนาน และการแปลงรูปเครือข่าย พื้นฐาน

ลดรูปวงจรให้เล็กลงก่อนแก้ ทำให้มองเห็นคำตอบได้เร็ว และเป็นพื้นฐานของการใช้สมมาตรในโจทย์ระดับแข่งขัน

S1 Voltage divider วงจรแบ่งแรงดัน

v_k = \frac{R_k}{R_1 + R_2 + \cdots + R_N}\,v

S2 Current divider วงจรแบ่งกระแส

i_k = \frac{G_k}{G_1 + G_2 + \cdots + G_N}\,i \qquad R_1\parallel R_2 = \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} \qquad i_1 = \frac{R_2}{R_1+R_2}\,i

เครื่องมือ · ผลของโหลดต่อวงจรแบ่งแรงดันVs = 10 V

โหลด RL

ไม่มีโหลด—

มีโหลด—

แรงดันตกลง—

RL ÷ (R1∥R2)—

เมื่อมองจากขั้วออก วงจรแบ่งแรงดันคือแหล่งเทวินินที่มี $R_{th} = R_1\parallel R_2$ ถ้า RL ใหญ่กว่า $R_{th}$ ราว 10 เท่า แรงดันจะตกจากค่าไม่มีโหลดไม่เกินประมาณ 9%

การแปลงเดลต้า–สตาร์ (Δ–Y)

เมื่อวงจรไม่ใช่อนุกรมหรือขนานล้วน เช่น บริดจ์ ให้แปลงสามเหลี่ยม $R_a, R_b, R_c$ (โดย $R_a$ อยู่ตรงข้ามขั้ว 1) เป็นดาว $R_1, R_2, R_3$ หรือกลับกัน

S3 Δ → Y แปลงสามเหลี่ยมเป็นดาว

R_1 = \frac{R_bR_c}{R_a+R_b+R_c},\quad R_2 = \frac{R_cR_a}{R_a+R_b+R_c},\quad R_3 = \frac{R_aR_b}{R_a+R_b+R_c}

S4 Y → Δ แปลงดาวเป็นสามเหลี่ยม

R_a = \frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_1},\quad R_b = \frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_2},\quad R_c = \frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_3}

จำง่าย ๆ: แขนดาวแต่ละแขน = ผลคูณของสองด้านสามเหลี่ยมที่ประกบแขนนั้น ÷ ผลรวมทั้งสามด้าน ถ้าทุกตัวเท่ากัน $R_Y = R_\Delta/3$

บริดจ์วีตสโตนและการใช้สมมาตร

S5 Wheatstone bridge balance เงื่อนไขบริดจ์สมดุล (ไม่มีกระแสในกิ่งกลาง)

\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_x} \qquad\Rightarrow\qquad R_x = \frac{R_2R_3}{R_1}

หลักการเดียวกันนี้ให้เครื่องมือทรงพลังสองอย่างสำหรับโจทย์ยาก

จุดที่มีศักย์เท่ากัน (หาได้จากสมมาตร) นำมาเชื่อมกันได้โดยไม่เปลี่ยนกระแสใด ๆ
กิ่งที่ไม่มีกระแส ตัดออกได้โดยไม่เปลี่ยนแรงดันใด ๆ

บริดจ์วีตสโตนในแล็บ: โวลต์มิเตอร์ VM1 อ่านค่า V_a − V_b

5. การวิเคราะห์แบบเป็นระบบ: โหนด เมช และ MNA กลาง

เมื่อวงจรลดรูปไม่ได้ ให้ใช้ขั้นตอนที่รับประกันว่าได้คำตอบเสมอ สองวิธีหลักนี้คือหัวใจของวิชาวงจรไฟฟ้าทุกหลักสูตร

วิธีแรงดันโหนด (Nodal Analysis)

เลือกโหนดอ้างอิง (กราวด์) มักเลือกโหนดที่มีองค์ประกอบมาต่อมากที่สุด
ตั้งชื่อแรงดันโหนดที่เหลือ $v_1, v_2, \dots, v_{n-1}$
เขียน KCL ที่แต่ละโหนด แทนกระแสในตัวต้านทานด้วย $(v_a - v_b)/R$
ถ้ามีแหล่งจ่ายแรงดันระหว่างสองโหนดที่ไม่ใช่กราวด์ ให้รวมเป็นซูเปอร์โหนด: เขียน KCL รอบทั้งสองโหนดรวมกัน แล้วเพิ่มสมการ $v_a - v_b = V_s$
แก้ระบบสมการเชิงเส้น (ดูกฎของคราเมอร์และการกำจัดเกาส์ในบทพีชคณิตเชิงเส้น)

N1 Nodal equations by inspection เมทริกซ์ความนำ (ตัวต้านทาน + แหล่งจ่ายกระแสอิสระ)

\mathbf{G}\mathbf{v} = \mathbf{i}, \qquad G_{kk} = \sum (\text{ความนำที่ต่อกับโหนด } k), \qquad G_{kj} = -(\text{ความนำระหว่าง } k \text{ กับ } j)

$i_k$ คือผลรวมกระแสจากแหล่งจ่ายที่ไหลเข้าโหนด $k$ ถ้าวงจรไม่มีแหล่งจ่ายไม่อิสระ เมทริกซ์ $\mathbf{G}$ สมมาตรเสมอ

ตัวอย่าง 5.1

วงจรสองโหนด: หา v₁ และ v₂ ด้วยเมทริกซ์ความนำ

แปลง Vs = 12 V ที่อนุกรมกับ R1 = 2 Ω เป็นแหล่งจ่ายกระแส 6 A ขนานกับ 2 Ω แล้วเขียนเมทริกซ์โดยการสังเกต
$\begin{bmatrix} \tfrac12+\tfrac18+\tfrac14 & -\tfrac14 \\[2pt] -\tfrac14 & \tfrac14+\tfrac12 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 1 \end{bmatrix} \ \Rightarrow\ \begin{bmatrix} 0.875 & -0.25 \\ -0.25 & 0.75 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 1 \end{bmatrix}$
ดีเทอร์มิแนนต์ $\Delta = 0.875(0.75) - (0.25)^2 = 0.59375$
กฎของคราเมอร์
$v_1 = \frac{6(0.75) + 0.25(1)}{0.59375} = 8\ \text{V}, \qquad v_2 = \frac{0.875(1) + 0.25(6)}{0.59375} = 4\ \text{V}$

วิธีกระแสเมช (Mesh Analysis)

ตรวจว่าวงจรวาดบนระนาบได้โดยไม่มีสายไขว้ (ถ้าไม่ได้ ใช้วิธีโหนด)
กำหนดกระแสเมช $I_1, I_2, \dots$ วนตามเข็มนาฬิกาทุกเมช
เขียน KVL ทุกเมช กระแสในองค์ประกอบที่ใช้ร่วมกันคือผลต่างของกระแสเมช
แหล่งจ่ายกระแสที่อยู่ขอบนอกเมชเดียวบอกค่ากระแสเมชนั้นทันที ถ้าอยู่ระหว่างสองเมชให้ใช้ซูเปอร์เมช

N2 Mesh equations by inspection เมทริกซ์ความต้านทาน (ตัวต้านทาน + แหล่งจ่ายแรงดันอิสระ)

\mathbf{R}\mathbf{I} = \mathbf{v}, \qquad R_{kk} = \sum (\text{R ในเมช } k), \qquad R_{kj} = -(\text{R ที่ใช้ร่วมระหว่างเมช } k \text{ กับ } j)

ตัวอย่าง 5.2

วงจรสองเมช: หากระแสที่ไหลลงผ่าน R3

เมชซ้าย: $(1+2)I_1 - 2I_2 = 7$
เมชขวา: เดินตามเข็มผ่าน V2 จากขั้ว + ไป − จึงเป็นแรงดันตก $-2I_1 + (3+2)I_2 = -1$
แก้ระบบ
$\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_1\\ I_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ -1\end{bmatrix} \ \Rightarrow\ I_1 = \frac{35-2}{11} = 3\ \text{A},\quad I_2 = \frac{-3+14}{11} = 1\ \text{A}$
กระแสลงผ่าน R3 คือ $I_1 - I_2 = 2\ \text{A}$

เลือกวิธีไหนดี

ลักษณะวงจร	วิธีที่มักสั้นกว่า
จำนวนโหนดลบหนึ่ง $(n-1)$ น้อยกว่าจำนวนเมช	โหนด
มีแหล่งจ่ายกระแสหลายตัว หรือมีองค์ประกอบขนานกันมาก	โหนด
มีแหล่งจ่ายแรงดันอนุกรมกับตัวต้านทานเป็นสาย ๆ และมีเมชน้อย	เมช
วาดบนระนาบไม่ได้	โหนดเท่านั้น
ให้คอมพิวเตอร์แก้วงจรใดก็ได้	MNA

MNA: วิธีที่โปรแกรมจำลองวงจรใช้

วิธีโหนดแบบเดิมจัดการแหล่งจ่ายแรงดันได้ไม่สะดวก Modified Nodal Analysis (Ho, Ruehli และ Brennan, 1975) แก้ปัญหานี้โดยเพิ่มกระแสที่ไหลผ่านแหล่งจ่ายแรงดันเป็นตัวไม่ทราบค่าด้วย

N3 Modified Nodal Analysis ระบบสมการแบบบล็อกที่ SPICE ใช้

\begin{bmatrix}\mathbf{G} & \mathbf{B}\\ \mathbf{C} & \mathbf{D}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{v}\\ \mathbf{j}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{i}\\ \mathbf{e}\end{bmatrix}

$\mathbf{G}$ มาจากตัวต้านทาน $\mathbf{B}$ และ $\mathbf{C}$ บอกว่าแหล่งจ่ายแรงดันต่อกับโหนดใด $\mathbf{D}$ มาจากแหล่งจ่ายไม่อิสระบางชนิด $\mathbf{j}$ คือกระแสในกิ่งแหล่งจ่ายแรงดัน และ $\mathbf{e}$ คือค่าแรงดันของแหล่งจ่าย การ "วาง" องค์ประกอบแต่ละตัวลงในเมทริกซ์ (stamping) ทำทีละตัวโดยไม่ต้องคิดรูปวงจรรวม จึงเหมาะกับคอมพิวเตอร์

ในแล็บ: แล็บในหน้านี้สร้างเมทริกซ์ MNA ใหม่ทุกครั้งที่คุณแก้วงจร เปิดแท็บ "สมการ MNA" ใต้กระดานเพื่อดูว่าแต่ละองค์ประกอบไปอยู่ตรงไหนของเมทริกซ์

6. ทฤษฎีบทวงจร กลาง

ทฤษฎีบทเหล่านี้ไม่ได้ให้ข้อมูลใหม่ที่วิธีโหนดหาไม่ได้ แต่ทำให้คิดได้สั้นลงมาก และเปลี่ยนวิธีมองวงจรจากระบบสมการชุดใหญ่เป็นกล่องที่มีสองขั้ว

การซ้อนทับ (Superposition)

ในวงจรเชิงเส้น ผลตอบสนองรวมเท่ากับผลรวมของผลตอบสนองจากแหล่งจ่ายอิสระทีละตัว โดยดับตัวอื่น: แหล่งจ่ายแรงดันแทนด้วยลัดวงจร แหล่งจ่ายกระแสแทนด้วยเปิดวงจร ใช้กับแรงดันและกระแสได้ แต่ใช้กับกำลังไม่ได้ เพราะ $p = i^2R$ ไม่เป็นเชิงเส้น

T1 Source transformation การแปลงแหล่งจ่าย

v_s \ \text{อนุกรมกับ}\ R \quad\Longleftrightarrow\quad i_s = \frac{v_s}{R}\ \text{ขนานกับ}\ R

ทฤษฎีบทเทวินินและนอร์ตัน

เครือข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ แทนได้ด้วยแหล่งจ่ายแรงดัน $V_{th}$ อนุกรมกับ $R_{th}$ หรือแหล่งจ่ายกระแส $I_N$ ขนานกับ $R_N = R_{th}$

T2 Thévenin / Norton equivalent วงจรสมมูลเทวินินและนอร์ตัน

V_{th} = v_{oc}, \qquad I_N = i_{sc}, \qquad R_{th} = R_N = \frac{v_{oc}}{i_{sc}}

หา $R_{th}$ ได้สามวิธี (1) ถ้าไม่มีแหล่งจ่ายไม่อิสระ ดับแหล่งจ่ายอิสระทั้งหมดแล้วหาความต้านทานรวมที่มองเข้าไป (2) วัด $v_{oc}$ และ $i_{sc}$ (3) วิธีแหล่งทดสอบ ป้อน $v_t$ แล้วหา $i_t$ ได้ $R_{th} = v_t/i_t$ วิธีนี้จำเป็นเมื่อมีแหล่งจ่ายไม่อิสระ ซึ่งอาจทำให้ $R_{th}$ เป็นศูนย์หรือติดลบได้

ตัวอย่าง 6.1

หาวงจรสมมูลเทวินินที่ขั้ว a–b แล้วหากำลังสูงสุด

$V_{th}$ : ขั้ว a–b เปิดอยู่ ไม่มีกระแสใน R3 จึงได้ $V_{th} = 24\cdot\dfrac{12}{4+12} = 18\ \text{V}$
$R_{th}$ : ลัดวงจร Vs แล้วมองเข้าที่ a–b $R_{th} = (4\parallel 12) + 1 = 3 + 1 = 4\ \Omega$
ต่อโหลด $R_L = R_{th} = 4\ \Omega$ จะได้กำลังสูงสุด $P_{max} = \dfrac{18^2}{4(4)} = 20.25\ \text{W}$

การถ่ายโอนกำลังสูงสุด

T3 Maximum power transfer การถ่ายโอนกำลังสูงสุด

P_L = \frac{V_{th}^2\,R_L}{(R_{th}+R_L)^2}, \qquad \frac{dP_L}{dR_L} = 0 \ \Rightarrow\ R_L = R_{th}, \qquad P_{max} = \frac{V_{th}^2}{4R_{th}}, \qquad \eta = \frac{R_L}{R_{th}+R_L}

เครื่องมือ · กำลังที่โหลดกับประสิทธิภาพแกนนอนเป็นสเกลลอการิทึม

V_th

R_th

โหลด R_L

กำลังที่โหลด P_L—

P_max ที่ R_L = R_th—

ประสิทธิภาพ η—

P_L / P_maxประสิทธิภาพ η

ที่จุดกำลังสูงสุด ประสิทธิภาพเป็นเพียง 50% ระบบส่งจ่ายกำลังจึงออกแบบให้ $R_L \gg R_{th}$ เพื่อประสิทธิภาพสูง ส่วนงานสัญญาณ เสาอากาศ และการดึงกำลังจากแผงเซลล์แสงอาทิตย์ด้วย MPPT (ดูบทโซลาร์เซลล์) ต้องการดึงกำลังให้ได้มากที่สุด

ทฤษฎีบทอื่นที่ควรรู้

T4 Millman's theorem กิ่งขนานหลายกิ่ง แต่ละกิ่งมี V_k อนุกรม R_k

v = \frac{\sum_k V_k/R_k}{\sum_k 1/R_k}

T5 Tellegen's theorem ใช้ได้กับแรงดันใดที่สอดคล้อง KVL และกระแสใดที่สอดคล้อง KCL บนกราฟเดียวกัน

\sum_k v_k\, i_k = 0

ทฤษฎีบทส่วนกลับ (Reciprocity): ในเครือข่ายตัวต้านทานล้วน สลับตำแหน่งแหล่งจ่ายแรงดันกับแอมมิเตอร์แล้วค่าที่อ่านได้เท่าเดิม แต่ไม่จริงเมื่อมีแหล่งจ่ายไม่อิสระ

7. ทรานเซียนต์: เมื่อวงจร DC เปลี่ยนสถานะ กลาง

เมื่อสับสวิตช์ ตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำเปลี่ยนพลังงานที่สะสมไว้ทันทีไม่ได้ วงจรจึงค่อย ๆ เคลื่อนเข้าสู่สภาวะคงตัวใหม่ตามฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เนื้อหาเชิงลึกพร้อมแล็บอยู่ที่ระบบอันดับหนึ่งและระบบอันดับสอง

วงจรอันดับหนึ่ง (RC และ RL)

R1 First-order response ผลตอบสนองของวงจรอันดับหนึ่ง (ทุกตัวแปรใช้สูตรเดียว)

x(t) = x(\infty) + \left[x(0^+) - x(\infty)\right]e^{-t/\tau}, \qquad \tau = R_{th}C \ \text{หรือ}\ \tau = \frac{L}{R_{th}}

$R_{th}$ คือความต้านทานเทวินินที่ C หรือ L มองเห็น ค่าเริ่มต้นหาจากความต่อเนื่อง $v_C(0^+) = v_C(0^-)$ และ $i_L(0^+) = i_L(0^-)$ ค่าสุดท้ายหาจากวงจร DC (C เปิด L ลัด)

เวลา	τ	2τ	3τ	4τ	5τ
เข้าใกล้ค่าสุดท้ายแล้ว $1 - e^{-t/\tau}$	63.2%	86.5%	95.0%	98.2%	99.3%

เครื่องมือ · ผลตอบสนองขั้นของวงจรอันดับหนึ่ง

ค่าคงตัวเวลา τ—

ถึง 99% ที่ (≈ 4.6τ)—

ค่าสุดท้าย (Vs = 10 V)—

วงจรอันดับสอง: RLC อนุกรม ขั้นสูง

LC\,\frac{d^2v_C}{dt^2} + RC\,\frac{dv_C}{dt} + v_C = V_s

R2 Series RLC parameters พารามิเตอร์ของ RLC อนุกรม

\alpha = \frac{R}{2L}, \qquad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad \zeta = \frac{\alpha}{\omega_0} = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}

$\zeta > 1$ หน่วงเกิน (overdamped) · $\zeta = 1$ หน่วงวิกฤต · $\zeta < 1$ หน่วงต่ำ (underdamped) ซึ่งให้ผลตอบสนอง

R3 Underdamped step response ผลตอบสนองขั้นแบบหน่วงต่ำ

v_C(t) = V_s\left[1 - e^{-\alpha t}\left(\cos\omega_d t + \frac{\alpha}{\omega_d}\sin\omega_d t\right)\right], \qquad \omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}

\%OS = 100\,e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}, \qquad t_p = \frac{\pi}{\omega_d}

ถ้าวัดเวลาเป็น เวลานอร์มัลไลซ์ $\tau_n = \omega_0 t$ สมการจะเหลือ $\ddot{x} + 2\zeta\dot{x} + x = 1$ แปลว่า $\omega_0$ แค่ยืดหรือหดแกนเวลา ส่วนรูปร่างของผลตอบสนองขึ้นกับ $\zeta$ เพียงตัวเดียว

เครื่องมือ · รูปร่างผลตอบสนองตามอัตราส่วนการหน่วงแกนนอน ω₀t

ลักษณะการหน่วง—

%OS—

ω₀·t_p—

v_C/V_s ที่ ζ ที่เลือกζ = 1 (หน่วงวิกฤต) สำหรับเทียบ

คอมพิวเตอร์จำลองเวลาอย่างไร

แบ่งเวลาเป็นก้าวเล็ก ๆ ขนาด $h$ แล้วประมาณอนุพันธ์ด้วยกฎสี่เหลี่ยมคางหมู ตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำจะกลายเป็นแบบจำลองคู่ขนาน (companion model) คือความนำขนานกับแหล่งจ่ายกระแสที่รู้ค่าจากก้าวก่อนหน้า

R4 Trapezoidal companion models แบบจำลองคู่ขนานของ C และ L

i_C^{(n)} = \frac{2C}{h}\,v_C^{(n)} - \left(\frac{2C}{h}v_C^{(n-1)} + i_C^{(n-1)}\right), \qquad i_L^{(n)} = \frac{h}{2L}\,v_L^{(n)} + \left(i_L^{(n-1)} + \frac{h}{2L}v_L^{(n-1)}\right)

ข้อสังเกต: ทุกก้าวเวลาจึงเป็นการแก้วงจรตัวต้านทาน DC หนึ่งวงจร ทุกอย่างในหัวข้อ 1–6 จึงเป็นฐานของการจำลองเชิงเวลาด้วย แล็บในหน้านี้ทำแบบนี้ 2,000 ก้าวต่อการจำลองหนึ่งครั้ง

8. เทคโนโลยีไฟฟ้ากระแสตรงยุคใหม่ พื้นฐาน

อิเล็กทรอนิกส์กำลังสมัยใหม่แปลงแรงดัน DC ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ไฟฟ้ากระแสตรงจึงกลับมาอยู่ในระบบใหญ่ที่สุดของโลก ตั้งแต่สายส่งข้ามประเทศไปจนถึงศูนย์ข้อมูล AI (ข้อมูล ณ ตุลาคม 2026) หลักการที่อยู่เบื้องหลังเกือบทุกเรื่องคือสมการเดียวจากหัวข้อ 1–2

H1 Conductor loss versus voltage ส่งกำลัง P ที่แรงดัน V ผ่านตัวนำความต้านทาน R

P_{loss} = I^2R = \left(\frac{P}{V}\right)^2 R \;\propto\; \frac{1}{V^2}

เครื่องมือ · ทำไมต้องแรงดันสูงตัวนำเดียวกัน ส่งกำลังเท่ากัน

กำลังที่ส่ง

R ตัวนำไป–กลับ

ตัวเลขเป็นตัวอย่างประกอบการคิด ไม่ใช่ข้อกำหนดของระบบจริงระบบใดระบบหนึ่ง ระบบจริงต้องคิดฉนวน ความปลอดภัย และประสิทธิภาพของตัวแปลงด้วย

สายส่ง UHVDC±1,100 kV

สายส่งชางจี๋–กู่เฉวียน ประเทศจีน

ส่งกำลัง 12 GW ระยะทางราว 3,300 km เริ่มใช้งานปี 2019 เป็นสายส่งแรงดันสูงที่สุดในโลก

เชื่อมกับบทเรียน: DC ไม่มีกำลังรีแอกทีฟและไม่มีผลผิว (skin effect) จึงคุ้มกว่า AC เมื่อส่งไกลมากหรือส่งผ่านสายเคเบิลใต้น้ำ อ่านต่อที่ระบบไฟฟ้ากำลัง

ศูนย์ข้อมูล AI800 VDC

จ่ายไฟ DC ตรงถึงตู้เซิร์ฟเวอร์

NVIDIA พัฒนาร่วมกับ Google และ Microsoft ผ่าน Open Compute Project ตู้จ่ายไฟ 800 VDC สำหรับอาคารเดิมมีกำหนดครึ่งหลังของปี 2026 และศูนย์จ่ายไฟระดับแถวพร้อมบัสเวย์ 800 VDC รองรับได้ถึง 2 MW ต่อแถวในปี 2027

เชื่อมกับบทเรียน: ที่กำลังเท่ากัน 800 V ใช้กระแสราว 1/15 ของระบบ 54 V และลดจำนวนขั้นการแปลงไฟ

รถยนต์ไฟฟ้า800 V · 48 V

แบตเตอรี่แรงดันสูงขึ้น ระบบไฟรองก็สูงขึ้น

แพลตฟอร์ม 800 V (เช่น Porsche Taycan และ Hyundai E-GMP) ชาร์จด้วยกำลังเท่าเดิมโดยใช้กระแสครึ่งหนึ่งของ 400 V ส่วนระบบไฟรอง 48 V (เช่น Tesla Cybertruck) เริ่มแทน 12 V

เชื่อมกับบทเรียน: 48 V แทน 12 V กระแสเหลือ 1/4 และความสูญเสียในสายไฟเส้นเดิมเหลือ 1/16 อ่านต่อที่ชาร์จรถ EV ที่บ้าน

USB Power Delivery 3.1240 W

EPR: 48 V × 5 A ผ่านสาย USB-C

Extended Power Range เพิ่มแรงดันคงที่ 28, 36 และ 48 V ที่ 5 A สาย EPR ต้องมีเครื่องหมายระบุชัดเจน

เชื่อมกับบทเรียน: สายจำกัดกระแสไว้ที่ 5 A วิธีเดียวที่จะเพิ่มกำลัง $P = VI$ คือเพิ่มแรงดัน

Power over Ethernet90 W

IEEE 802.3bt จ่ายไฟผ่านสาย LAN

จ่ายได้ถึง 90 W ที่พอร์ตสวิตช์ (อุปกรณ์ปลายทางได้รับราว 71 W) ที่แรงดันประมาณ 50–57 V DC

เชื่อมกับบทเรียน: ส่วนต่างราว 19 W คือ $I^2R$ ในสายทองแดงยาวสูงสุด 100 m เป็นโจทย์แบ่งแรงดันในชีวิตจริง

ไมโครกริด DCPV + แบตเตอรี่

แหล่งพลังงานใหม่เป็น DC อยู่แล้ว

แผงโซลาร์เซลล์และแบตเตอรี่ทำงานด้วย DC ระบบต่อร่วมทาง DC (DC-coupled) ลดการแปลง DC→AC→DC ส่วนสวิตช์ SiC และ GaN ทำให้ตัวแปลงทำงานที่ความถี่สูงขึ้น

เชื่อมกับบทเรียน: ความถี่สวิตชิงสูงขึ้น ทำให้ L และ C ที่ต้องใช้มีค่าน้อยลงตาม E2 และ E3 อ่านต่อที่อิเล็กทรอนิกส์กำลัง

มาตรวิทยาเชิงควอนตัมh/e² · 2e/h

โวลต์และโอห์มจากค่าคงตัวธรรมชาติ

ตั้งแต่ 20 พฤษภาคม 2019 ค่า $e$ และ $h$ ถูกกำหนดแน่นอน โวลต์สร้างจากปรากฏการณ์โจเซฟสัน $K_J = 2e/h \approx 483\,597.848\ \text{GHz/V}$ โอห์มสร้างจากปรากฏการณ์ฮอลล์เชิงควอนตัม $R_K = h/e^2 \approx 25\,812.807\ \Omega$

เชื่อมกับบทเรียน: มัลติมิเตอร์ที่สอบเทียบแล้วสืบย้อนค่าได้ถึงค่าคงตัวพื้นฐานเหล่านี้ อ่านต่อที่เซ็นเซอร์และมาตรวิทยา

ซอฟต์แวร์จำลองวงจรSPICE + MNA

จากเบิร์กลีย์ต้นทศวรรษ 1970 ถึงทุกวันนี้

SPICE พัฒนาที่ UC Berkeley และใช้ MNA เป็นแกน โปรแกรมปัจจุบันอย่าง LTspice และ ngspice ยังทำงานบนหลักการเดียวกัน

เชื่อมกับบทเรียน: แล็บด้านล่างคือ SPICE ขนาดเล็กที่เปิดเมทริกซ์ N3 ให้ดูได้

แหล่งข้อมูล

// แล็บจำลองวงจร · MNA solver

9. แล็บวงจรจำลอง

ต่อวงจรบนกระดานกริด แล้วแล็บจะสร้างและแก้สมการ MNA ทันที สีของสายไฟบอกแรงดันโหนด (ส้ม = บวก ม่วง = ลบ เทา = 0 V) จุดสีน้ำเงินที่เคลื่อนที่แสดงทิศกระแสในแต่ละองค์ประกอบ

แสดงค่า ชื่อและแรงดันโหนด กระแสเคลื่อนที่ สัญลักษณ์ IEC

การทดลองนำทาง

การทดลอง 1

พิสูจน์ KCL

โหลดวงจร แล้วอ่าน AM1, AM2, AM3
รวมค่าทั้งสาม เทียบกับกระแสใน R1 จากตารางผล
เปลี่ยน R4 เป็น 1k แล้วดูว่าผลรวมยังเท่ากับกระแสใน R1 หรือไม่

การทดลอง 2

โหลดทำให้แรงดันตก

อ่าน VM1 เมื่อ RL = 10k
เปลี่ยน RL เป็น 1k, 100k และ 1M บันทึกค่า
อธิบายผลด้วย R_th = R1∥R2 = 5 kΩ

การทดลอง 3

วัดเทวินินด้วยมือ

ลบ RL แล้ววางโวลต์มิเตอร์ที่ขั้ว a–b ได้ v_oc
เปลี่ยนเป็นแอมมิเตอร์ ได้ i_sc
คำนวณ R_th = v_oc/i_sc แล้วปรับ RL หาจุดที่ RL ได้กำลังมากที่สุด

การทดลอง 4

หาค่า τ จากกราฟ

โหลดวงจร RC (โหมดทรานเซียนต์)
เลื่อนเวลาจน v(C1) = 6.32 V อ่านเวลา ควรได้ τ = RC = 1 s
เพิ่ม C1 เป็นสองเท่า แล้วดูว่า τ เปลี่ยนอย่างไร

การทดลอง 5

สามโหมดการหน่วงของ RLC

R1 = 10 Ω: ดูการแกว่งเกิน (ζ ≈ 0.16)
R1 = 63.2 Ω: หน่วงวิกฤต เพราะ $R = 2\sqrt{L/C}$
R1 = 300 Ω: หน่วงเกิน ขึ้นช้าไม่มีแกว่ง

การทดลอง 6

บันไดสู่อัตราส่วนทองคำ

แหล่งจ่ายกระแส 1 A ทำให้ VM1 อ่านค่า R_in ได้ตรง ๆ
ลบสองชั้นท้ายสุดออกแล้วดูการเปลี่ยนแปลง
สังเกตว่า R_in ลู่เข้าหา $(1+\sqrt5)/2 \approx 1.618\ \Omega$ เร็วมาก

10. คลังโจทย์ 4 ระดับ ขั้นสูง

ไล่จากพื้นฐานถึงระดับโอลิมปิก แต่ละข้อมีคำใบ้และเฉลยละเอียด และหลายข้อเปิดในแล็บเพื่อตรวจคำตอบด้วยการจำลองได้ แถบสีบนป้ายระดับใช้รหัสสีตัวต้านทาน: น้ำตาล 1 แดง 2 ส้ม 3 เหลือง 4

ตอบเป็นตัวเลขในหน่วยที่กำหนด หรือเศษส่วนเช่น 7/12 คลาดเคลื่อนได้ไม่เกิน 1% · ความคืบหน้าจำไว้ในเบราว์เซอร์นี้

สนามฝึกไม่จำกัด

โจทย์ชุดนี้สุ่มค่าใหม่ทุกครั้ง แล้วให้ตัวแก้ MNA ตัวเดียวกับในแล็บคำนวณคำตอบ ฝึกจนทำถูกติดกันสิบข้อในทุกหมวด ก่อนขึ้นไปทำโจทย์ระดับ 3–4

สนามฝึก · โจทย์สุ่มถูกติดกัน 0 · สูงสุด 0

11. เส้นทางสู่ระดับประเทศและระดับโลก

ความเก่งในวิชานี้มาจากการทำซ้ำอย่างมีโครงสร้าง ไม่ใช่การจำสูตร ใช้ลำดับนี้เป็นแผนฝึก แต่ละขั้นมีเกณฑ์ผ่านที่วัดได้

รากฐาน: นิยามและกฎสองข้อ

เขียนทิศกระแสและขั้วแรงดันได้ถูกทุกครั้ง ใช้ KCL KVL และกฎของโอห์มคล่อง ลดรูปอนุกรม–ขนานได้

เกณฑ์ผ่าน: โจทย์ระดับ 1 ครบทุกข้อ และหมวดอนุกรม–ขนานในสนามฝึกถูกติดกัน 10 ข้อ

ระบบ: โหนด เมช และทฤษฎีบท

ตั้งสมการโหนดและเมชเป็นเมทริกซ์ได้โดยไม่ต้องวาดใหม่ เลือกวิธีที่สั้นที่สุดได้ หาเทวินินได้ทั้งสามวิธี วิเคราะห์ RC RL ด้วยสูตรเดียว

เกณฑ์ผ่าน: โจทย์ระดับ 2 ครบ และตรวจคำตอบของตัวเองในแล็บได้ทุกข้อที่มีวงจร

ระดับประเทศ: แหล่งจ่ายไม่อิสระ สมมาตร และอันดับสอง

ใช้วิธีแหล่งทดสอบกับวงจรที่มีแหล่งจ่ายไม่อิสระ มองหาจุดศักย์เท่ากันในบริดจ์ วิเคราะห์ RLC ด้วย ζ และ ω₀ เทียบได้กับโจทย์คัดเลือกโอลิมปิกฟิสิกส์ระดับประเทศและข้อสอบวงจรระดับมหาวิทยาลัย

เกณฑ์ผ่าน: โจทย์ระดับ 3 ถูกอย่างน้อย 5 ใน 6 ข้อโดยไม่เปิดเฉลย

ระดับโลก: โครงสร้างแทนการคำนวณ

มองเครือข่ายเป็นกราฟ ใช้ทฤษฎีบทของฟอสเตอร์ การซ้อนทับกับเครือข่ายอนันต์ และหลักพลังงาน เพื่อได้คำตอบโดยแทบไม่ต้องแก้สมการ แนวคิดแบบนี้พบในโจทย์ IPhO และ APhO

เกณฑ์ผ่าน: อธิบายเฉลยระดับ 4 ทุกข้อให้คนอื่นฟังได้ด้วยคำพูดของตัวเอง

ตำราและแหล่งฝึกเพิ่มเติม

C. K. Alexander และ M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits ตำราหลักที่ใช้ในหลักสูตรวิศวกรรมไฟฟ้าทั่วโลก
W. H. Hayt, J. E. Kemmerly และ S. M. Durbin, Engineering Circuit Analysis
I. E. Irodov, Problems in General Physics ภาคไฟฟ้ากระแสตรง โจทย์สั้นแต่ลึก เหมาะกับการเตรียมแข่งขัน
ข้อสอบย้อนหลังของการแข่งขันฟิสิกส์โอลิมปิกระหว่างประเทศ (IPhO) และเอเชีย (APhO)
บทต่อยอดในเว็บนี้: การแปลงลาปลาซ (วิเคราะห์ทรานเซียนต์ทุกอันดับ), แล็บเครื่องกำเนิดสัญญาณและออสซิลโลสโคป และอิเล็กทรอนิกส์กำลัง

คำถามที่พบบ่อย

สูตรวงจรไฟฟ้ากระแสตรงที่ต้องจำมีอะไรบ้าง?

หลัก ๆ คือกฎของโอห์ม $V = IR$ และกำลัง $P = VI = I^2R = V^2/R$ , ความต้านทานรวมแบบอนุกรม $R_1 + R_2 + \cdots$ และแบบขนาน $1/R_{eq} = \sum 1/R_k$ , วงจรแบ่งแรงดันและแบ่งกระแส, KCL และ KVL, วงจรสมมูลเทวินิน และค่าคงตัวเวลา $\tau = RC$ หรือ $L/R$ ตารางสรุปสูตรอยู่ต้นหน้านี้ แต่ละสูตรลิงก์ไปการ์ดที่มีที่มาและตัวอย่าง

วงจรไฟฟ้ากระแสตรงวิเคราะห์ด้วยหลักอะไรบ้าง?

ใช้สามอย่างเสมอ คือความสัมพันธ์แรงดัน-กระแสขององค์ประกอบ (เช่น $v = Ri$ ) กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ (ผลรวมกระแสที่โหนดเป็นศูนย์) และกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์ (ผลรวมแรงดันรอบลูปเป็นศูนย์) วิธีโหนด วิธีเมช และทฤษฎีบททั้งหมดเป็นการจัดสามข้อนี้ให้เป็นระบบ

ควรเลือกวิธีโหนดหรือวิธีเมช?

นับจำนวนสมการก่อน วิธีโหนดใช้ $n-1$ สมการ วิธีเมชใช้ $b-n+1$ สมการ เลือกวิธีที่สมการน้อยกว่า วงจรที่มีแหล่งจ่ายกระแสมากมักง่ายด้วยวิธีโหนด วงจรที่วาดบนระนาบไม่ได้ต้องใช้วิธีโหนดเท่านั้น

ในสภาวะคงตัวกระแสตรง ตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำทำตัวอย่างไร?

ตัวเก็บประจุเปิดวงจร (กระแสเป็นศูนย์) เพราะ $i = C\,dv/dt = 0$ ส่วนตัวเหนี่ยวนำลัดวงจร (แรงดันเป็นศูนย์) เพราะ $v = L\,di/dt = 0$ แต่ทั้งสองยังสะสมพลังงาน $\tfrac12 Cv^2$ และ $\tfrac12 Li^2$ อยู่

กำลังสูงสุดที่ส่งให้โหลดได้คือเท่าใด?

เมื่อความต้านทานโหลดเท่ากับความต้านทานเทวินิน $R_L = R_{th}$ โหลดได้กำลัง $P_{max} = V_{th}^2/(4R_{th})$ และประสิทธิภาพที่จุดนี้เป็นเพียง 50%

แล็บในหน้านี้คำนวณวงจรอย่างไร?

ใช้ Modified Nodal Analysis (MNA) แบบเดียวกับ SPICE สร้างเมทริกซ์จากองค์ประกอบทุกตัวแล้วแก้ระบบสมการเชิงเส้น โหมดทรานเซียนต์ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมู ซึ่งเปลี่ยน C และ L ให้เป็นความนำขนานกับแหล่งจ่ายกระแสในทุกก้าวเวลา

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์