พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. ระบบควบคุม
  4. ผลตอบสนองเวลา

// บทที่ 13.4 · ระบบควบคุม · Time Response & Specifications

ผลตอบสนองเวลา: ขั้ว ศูนย์ และสเปกการออกแบบ

ลูกค้าไม่ได้สั่ง “ขั้วที่ −2 ± j3.46” เขาสั่งว่า “พุ่งเกินไม่เกิน 10% และเข้าที่ภายใน 2 วินาที” หน้านี้คือพจนานุกรมแปลระหว่างสองภาษา: จากตำแหน่งขั้วบนระนาบ ss ไปเป็นรูปร่างกราฟผลตอบสนอง และกลับทาง ต่อยอดจากระบบอันดับหนึ่งและอันดับสอง ไปสู่ระบบอันดับสูงที่มีขั้วเด่น สูตรใช้รหัส T

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
สรุปใน 30 วินาที
  • ส่วนจริงของขั้ว σ=ζωn\sigma = \zeta\omega_n → ความเร็วในการเข้าที่ ts≈4/σt_s \approx 4/\sigma
  • ส่วนจินตภาพ ωd\omega_d → ความถี่การแกว่ง tp=π/ωdt_p = \pi/\omega_d
  • มุมจากแกนจริงลบ cos⁡−1ζ\cos^{-1}\zeta → overshoot Mp=e−πζ/1−ζ2M_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}
  • ขั้วอื่นห่างไป 5 เท่าขึ้นไป ใช้คู่เด่นประมาณได้ · ศูนย์ใกล้ ๆ เพิ่ม overshoot · ศูนย์ฝั่งขวาทำให้กลับทิศก่อน

ขั้วบนระนาบ s บอกรูปร่างของผลตอบสนอง พื้นฐาน

ขั้วแต่ละตัว pp ให้พจน์ epte^{pt} ในผลตอบสนอง (จากเศษส่วนย่อยของลาปลาซ) ขั้วจริงลบให้เอกซ์โพเนนเชียลลดลง คู่เชิงซ้อนให้ไซน์ที่ซองลดลง ยิ่งไกลแกน jωj\omega ยิ่งหายเร็ว

−4−3−2−101234−2j−1j1j2jσjωฝั่งซ้าย: เสถียรฝั่งขวา: ไม่เสถียร
ตำแหน่งขั้วและรูปร่างผลตอบสนองที่ตรงกัน

T1 First-order step response ระบบอันดับหนึ่ง

G(s)=Kτs+1:y(t)=K(1−e−t/τ),tr=2.2τ,  ts=4τG(s) = \frac{K}{\tau s + 1}:\quad y(t) = K\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad t_r = 2.2\tau,\ \ t_s = 4\tau

ที่ t=τt = \tau ได้ 63.2% · trt_r แบบ 10–90% · ไม่มี overshoot เลย

T2 Second-order standard form ระบบอันดับสองมาตรฐาน

G(s)=ωn2s2+2ζωns+ωn2,s=−ζωn±jωd,  ωd=ωn1−ζ2G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_ns + \omega_n^2}, \quad s = -\zeta\omega_n \pm j\omega_d,\ \ \omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \zeta^2} y(t)=1−e−ζωnt1−ζ2sin⁡(ωdt+β),β=cos⁡−1ζ(0<ζ<1)y(t) = 1 - \frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1 - \zeta^2}}\sin(\omega_dt + \beta), \qquad \beta = \cos^{-1}\zeta \quad (0 \lt \zeta \lt 1)

ζ=0\zeta = 0: แกว่งไม่หยุด · 0<ζ<10 \lt \zeta \lt 1: หน่วงน้อย · ζ=1\zeta = 1: หน่วงวิกฤต · ζ>1\zeta \gt 1: หน่วงเกิน (ขั้วจริงสองตัว)

0246810121400.20.40.60.81.01.21.41.6t (s)y(t)ζ = 0.2ζ = 0.5ζ = 0.7ζ = 1
ผลของ ζ เมื่อ ωn=1\omega_n = 1: ζ น้อยเร็วแต่แกว่ง ζ = 0.7 ใกล้เคียงอุดมคติ ζ = 1 ไม่พุ่งเกินแต่ช้ากว่า

สูตรสเปกของระบบอันดับสอง พื้นฐาน

T3 Percent overshoot เปอร์เซ็นต์พุ่งเกิน

%Mp=100 e−πζ/1−ζ2  ⟺  ζ=−ln⁡(%Mp/100)π2+ln⁡2(%Mp/100)\%M_p = 100\,e^{-\pi\zeta/\sqrt{1 - \zeta^2}} \iff \zeta = \frac{-\ln(\%M_p/100)}{\sqrt{\pi^2 + \ln^2(\%M_p/100)}}

ขึ้นกับ ζ\zeta อย่างเดียว · ζ = 0.5 → 16.3% · 0.6 → 9.5% · 0.7 → 4.6% · 0.8 → 1.5% · MpM_p ≤ 10% ต้อง ζ≥0.591\zeta \ge 0.591

T4 Peak time เวลายอด

tp=πωd=πωn1−ζ2t_p = \frac{\pi}{\omega_d} = \frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}}

ครึ่งคาบของการแกว่งหน่วง

T5 Settling time เวลาเข้าที่

ts≈4ζωn (2%),3ζωn (5%)t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n}\ (2\%), \qquad \frac{3}{\zeta\omega_n}\ (5\%)

ขึ้นกับส่วนจริงของขั้วอย่างเดียว

T6 Rise time เวลาขึ้น

tr0–100%=π−βωd,  β=cos⁡−1ζ,tr10–90%≈1−0.4167ζ+2.917ζ2ωnt_r^{0\text{–}100\%} = \frac{\pi - \beta}{\omega_d},\ \ \beta = \cos^{-1}\zeta, \qquad t_r^{10\text{–}90\%} \approx \frac{1 - 0.4167\zeta + 2.917\zeta^2}{\omega_n}

ระบบหน่วงน้อยใช้นิยาม 0–100% · หน่วงเกินใช้ 10–90% · ประมาณคร่าว ๆ tr≈1.8/ωnt_r \approx 1.8/\omega_n

ตัวอย่าง T-1 · อ่านสเปกจากฟังก์ชัน

หาสเปกผลตอบสนองขั้นบันไดของ G(s)=25s2+6s+25G(s) = \dfrac{25}{s^2 + 6s + 25}

  1. ωn=5\omega_n = 5, 2ζωn=6⇒ζ=0.62\zeta\omega_n = 6 \Rightarrow \zeta = 0.6, ωd=5(0.8)=4\omega_d = 5(0.8) = 4, ขั้ว −3±j4-3 \pm j4

  2. Mp=e−0.6π/0.8=9.48%M_p = e^{-0.6\pi/0.8} = 9.48\% T3 · tp=π/4=0.785t_p = \pi/4 = 0.785 s T4

  3. ts≈4/3=1.33t_s \approx 4/3 = 1.33 s T5 · tr0−100=π−0.9274=0.554t_r^{0-100} = \dfrac{\pi - 0.927}{4} = 0.554 s T6

Mp=9.5%, tp=0.785M_p = 9.5\%,\ t_p = 0.785 s, tr=0.554t_r = 0.554 s, ts≈1.33t_s \approx 1.33 s

python-control: overshoot 9.47%, peak 0.791 s, rise (0–100%) 0.558 s, tst_s จริง 1.21 s (สูตร 4/σ4/\sigma ให้ค่าเผื่อไว้เล็กน้อย) ✓

กลับทาง: จากสเปกเป็นบริเวณบนระนาบ s กลาง

T7 Admissible region บริเวณที่ขั้วเด่นต้องอยู่

Mp≤M⇒θ≤cos⁡−1ζmin,ts≤Ts⇒σ≥4Ts,tp≤Tp⇒ωd≥πTpM_p \le M \Rightarrow \theta \le \cos^{-1}\zeta_{min}, \qquad t_s \le T_s \Rightarrow \sigma \ge \frac{4}{T_s}, \qquad t_p \le T_p \Rightarrow \omega_d \ge \frac{\pi}{T_p}

ได้บริเวณรูปกรวยที่ถูกตัดด้วยเส้นดิ่งและเส้นนอน · ใช้คู่กับรูทโลคัสเพื่อดูว่าเกน KK ทำได้ไหม

ตัวอย่าง T-2 · สเปกเป็นตำแหน่งขั้ว

ต้องการ overshoot ≤ 10% และ tst_s ≤ 2 s ขั้วเด่นต้องอยู่ที่ไหน

  1. ζ≥0.591\zeta \ge 0.591 T3 → มุมจากแกนจริงลบไม่เกิน cos⁡−10.591=53.8∘\cos^{-1}0.591 = 53.8^\circ

  2. σ≥4/2=2\sigma \ge 4/2 = 2 T7 → อยู่ซ้ายของเส้น Re⁡s=−2\operatorname{Re}s = -2

ขั้วเด่นต้องอยู่ในกรวย ±53.8° และซ้ายของ −2 เช่น −2.5±j2.5-2.5 \pm j2.5 (ζ=0.707\zeta = 0.707) หรือ −3±j4-3 \pm j4 จากตัวอย่าง T-1

ขั้วเด่น และผลของขั้ว-ศูนย์ที่เพิ่มเข้ามา กลาง

T8 Dominant-pole approximation การประมาณด้วยขั้วเด่น

∣Re⁡ pอื่น∣≥5 ∣Re⁡ pเด่น∣ ⇒ G(s)≈G(0) ωn2s2+2ζωns+ωn2|\operatorname{Re}\,p_{\text{อื่น}}| \ge 5\,|\operatorname{Re}\,p_{\text{เด่น}}| \ \Rightarrow\ G(s) \approx \frac{G(0)\,\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_ns + \omega_n^2}

ต้องรักษาเกน DC G(0)G(0) ให้เท่าเดิมเสมอ · ศูนย์ที่อยู่ใกล้ขั้วเด่นทำลายการประมาณนี้ · ขั้วกับศูนย์ที่อยู่ใกล้กันมาก (dipole) หักล้างกันเกือบหมด

T9 Effect of a zero ผลของศูนย์

Gz(s)=(1+sa)G(s) ⇒ yz(t)=y(t)+1ay˙(t)G_z(s) = \left(1 + \frac{s}{a}\right)G(s) \ \Rightarrow\ y_z(t) = y(t) + \frac1a\dot y(t)

ศูนย์บวกอนุพันธ์ของผลตอบสนองเข้าไป ยิ่ง aa เล็ก (ศูนย์ใกล้จุดกำเนิด) ยิ่งพุ่งเกินมาก · a<0a \lt 0 (ศูนย์ฝั่งขวา) ลบอนุพันธ์ออก จึงเริ่มไปผิดทิศ (undershoot)

ตัวอย่าง T-3 · ขั้วที่สาม

เทียบ 50(s+10)(s2+2s+5)\dfrac{50}{(s+10)(s^2 + 2s + 5)} กับระบบอันดับสองที่ใช้ขั้วเด่น

  1. ขั้วเด่น −1±j2-1 \pm j2 ขั้วที่สาม −10-10 ห่าง 10 เท่า T8 · เกน DC =50/50=1= 50/50 = 1

  2. ประมาณเป็น 5s2+2s+5\dfrac{5}{s^2 + 2s + 5} (ζ=0.447\zeta = 0.447)

ระบบจริง: overshoot 20.2%, tst_s = 3.85 s · แบบประมาณ: 20.7%, 3.77 s ใกล้กันมาก

ตัวอย่าง T-4 · ศูนย์ยิ่งใกล้ยิ่งพุ่ง

ระบบ 4s2+2s+4\dfrac{4}{s^2 + 2s + 4} (ζ=0.5\zeta = 0.5, overshoot 16.3%) เพิ่มศูนย์ที่ −a-a โดยคงเกน DC = 1 overshoot เป็นเท่าไร

ศูนย์ที่ไม่มี−5−2−1−0.5
Overshoot16.3%18.0%29.8%69.9%171%

จำลองด้วย python-control · นี่คือเหตุผลที่ PD และ PID ให้ overshoot มากกว่าสูตร และเหตุผลของ setpoint weighting

แล็บ: ลากขั้วแล้วดูผลตอบสนอง

แล็บนี้ปิดวงด้วย KK ลองพิมพ์ฟังก์ชันวงเปิดต่าง ๆ แล้วดูขั้ววงปิด (จุดส้ม) คู่กับผลตอบสนองขั้นบันได ค่า ζ, ωn\zeta,\ \omega_n ของแต่ละขั้วแสดงอยู่ด้านล่าง เส้นสีม่วงคือ ζ=0.5\zeta = 0.5 และ 0.7

กำลังโหลดแล็บ (ต้องเปิด JavaScript)

ต่อยอดไปหน้าถัดไป

หน้านี้ดูช่วงชั่วครู่ ส่วนความแม่นยำเมื่อเวลาผ่านไปนาน ๆ อยู่ที่ความผิดพลาดสถานะอยู่ตัว ซึ่งบอกว่าทำไมต้องมีเทอม I

คำถามที่พบบ่อย

ทำไมเวลาเข้าที่ประมาณด้วย 4/(ζωn)?

เพราะซองของการแกว่งลดลงตาม e^{-ζωn t} จะเหลือ 2% เมื่อ ζωn t = ln 50 ≈ 3.9 จึงปัดเป็น 4 (ถ้าใช้เกณฑ์ 5% ใช้ 3) เป็นค่าประมาณที่ปลอดภัย ค่าจริงมักน้อยกว่าเล็กน้อยและกระโดดเป็นช่วงเพราะการแกว่ง

ขั้วเด่น (dominant poles) คืออะไร?

คือขั้วที่อยู่ใกล้แกน jω มากที่สุด ผลของมันลดลงช้าที่สุดจึงครอบงำผลตอบสนอง ถ้าขั้วอื่นอยู่ห่างไปทางซ้ายอย่างน้อย 5 เท่า (ส่วนจริง) และไม่มีศูนย์อยู่ใกล้ขั้วเด่น ประมาณระบบเป็นอันดับสองจากขั้วเด่นได้ดี

ศูนย์ฝั่งขวาทำให้เกิดอะไร?

ผลตอบสนองขั้นบันไดจะเริ่มไปผิดทิศก่อน (undershoot) แล้วค่อยกลับมา เช่น การบังคับเครื่องบินด้วยแพนหางระดับ ระดับน้ำในหม้อไอน้ำ และบูสต์คอนเวอร์เตอร์ในโหมดแรงดัน ระบบแบบนี้เร่งให้เร็วมากไม่ได้ เพราะแบนด์วิดท์ถูกจำกัดโดยตำแหน่งศูนย์นั้น

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์