ความสามารถควบคุมได้และสังเกตได้ (Controllability & Observability)

1. $AB = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ ได้ $\mathcal C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$, $\det = -1 \ne 0$ ✓ O1

2. $CA = (3\ \ 1)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} = (-2\ \ 0)$ ได้ $\mathcal O = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$, $\det = 2 \ne 0$ ✓ O2

ทั้งควบคุมได้และสังเกตได้ (สอดคล้องกับ $G = \frac{s+3}{(s+1)(s+2)}$ ที่ไม่มีการหักล้าง)

1. $\mathcal C$ เหมือนเดิม: ควบคุมได้ ✓

2. $CA = (-2\ \ -2)$ ได้ $\mathcal O = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$, $\det = 0$ ✗

3. PBH ที่ $\lambda = -1$: $\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ แรงก์ 1 $\lt 2$ → โหมด $e^{-t}$ สังเกตไม่ได้ O3

ไม่สังเกตได้: โหมด −1 ถูกศูนย์ที่ −1 ซ่อนไว้ ฟังก์ชันถ่ายโอนเหลือ $\frac{1}{s+2}$ (อันดับหนึ่ง) แต่ระบบจริงยังมีอันดับสอง · ปลอดภัยเพราะโหมดนั้นเสถียร (detectable) ถ้าเป็นขั้วฝั่งขวาจะอันตรายมาก (ดูเสถียรภาพภายใน)

1. $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ · $AB = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}$

2. $\mathcal C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, $\det = 0$ ✗

ควบคุมไม่ได้: ผลต่าง $\omega_1 - \omega_2$ ลดลงเองตาม $e^{-t}$ อินพุตไปแตะไม่ได้ ถ้าต้องการให้ล้อซ้ายขวาของหุ่นยนต์หมุนต่างกัน (เลี้ยว) ต้องมีไดรเวอร์แยก ตรงตามสามัญสำนึก แต่คณิตศาสตร์บอกเราล่วงหน้าได้ในระบบที่ซับซ้อนกว่านี้มาก