พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. ลำดับและอนุกรม
  4. ลำดับ

// บทที่ 26.1 · ลำดับและอนุกรม · Sequences

ลำดับ (Sequences): เลขคณิต เรขาคณิต เวียนเกิด ลิมิตของลำดับ และทฤษฎีบทการลู่เข้า

ลำดับคือจำนวนที่เรียงเป็นแถวตามกฎ เช่น ยอดเงินฝากทุกสิ้นปี แรงดันของตัวเก็บประจุทุกตัวอย่างสัญญาณ หรือค่าประมาณที่ได้จากวิธีของนิวตันทีละรอบ คำถามสำคัญที่สุดคือ “เมื่อ n ใหญ่มาก ๆ ลำดับเข้าใกล้ค่าใดหรือไม่” หน้านี้ปูพื้นตั้งแต่สูตรลำดับระดับมัธยมปลาย จนถึงนิยาม ε–N และทฤษฎีบทที่ใช้พิสูจน์การลู่เข้า ซึ่งเป็นฐานของอนุกรมทุกชนิดในบทนี้

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
แล็บลำดับ เลขคณิต · เรขาคณิต เวียนเกิด ลิมิตของลำดับ ทางเดียวมีขอบเขต
สรุปใน 30 วินาที
  • เลขคณิต an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d · เรขาคณิต an=a1rn−1a_n = a_1 r^{n-1} · ฮาร์มอนิก: ส่วนกลับเป็นเลขคณิต
  • an→La_n \to L หมายถึง ทุก ε>0\varepsilon > 0 มี NN ที่ n>N⇒∣an−L∣<εn > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon
  • ลำดับโตเร็วเรียงจากช้าไปเร็ว: ln⁡n≪np≪an≪n!≪nn\ln n \ll n^p \ll a^n \ll n! \ll n^n · (1+xn)n→ex\left(1 + \tfrac{x}{n}\right)^n \to e^x
  • ทางเดียว + มีขอบเขต ⇒ ลู่เข้า · มีลำดับย่อยสองชุดลู่เข้าคนละค่า ⇒ ลู่ออก
ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · เตรียมสอบเข้ากลาง แคลคูลัส 1-2ขั้นสูง พิสูจน์ · คณิตวิเคราะห์

ลำดับคืออะไร: สูตรพจน์ทั่วไปและแบบเวียนเกิด พื้นฐาน

ลำดับ (sequence) คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนนับ เขียนค่าที่ตำแหน่ง n ว่า ana_n เรียกว่าพจน์ที่ n (n-th term) ลำดับกำหนดได้สองแบบ: เขียนสูตรตรง ๆ ของ ana_n เป็นฟังก์ชันของ n หรือบอกพจน์แรกแล้วบอกวิธีสร้างพจน์ถัดไปจากพจน์ก่อนหน้า (เวียนเกิด) ทั้งสองแบบพบบ่อยในงานวิศวกรรม: สูตรตรงคำนวณพจน์ไกล ๆ ได้ทันที ส่วนแบบเวียนเกิดคือสิ่งที่คอมพิวเตอร์และตัวกรองดิจิทัลทำจริง

Q1 Sequence ลำดับ

a:N→R,n↦an(an)n=1∞=a1, a2, a3, …a : \mathbb N \to \mathbb R,\quad n \mapsto a_n \qquad (a_n)_{n=1}^{\infty} = a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots

ลำดับจำกัด (finite) มีพจน์สุดท้าย ลำดับอนันต์ (infinite) ไม่มี · ดัชนีเริ่มที่ 0 หรือ 1 ก็ได้ ต้องอ่านโจทย์ให้ดี

Q2 Explicit vs recursive สูตรตรงกับเวียนเกิด

an=f(n)หรือa1 กำหนด, an+1=g(an)a_n = f(n) \qquad\text{หรือ}\qquad a_1 \text{ กำหนด},\ a_{n+1} = g(a_n)

ตัวอย่าง: an=2na_n = 2^n กับ a1=2, an+1=2ana_1 = 2,\ a_{n+1} = 2a_n คือลำดับเดียวกัน

Q3 Bounded & monotone มีขอบเขต · ทางเดียว

∣an∣≤M ∀nan+1≥an (เพิ่ม)an+1≤an (ลด)|a_n| \le M\ \forall n \qquad a_{n+1} \ge a_n\ (\text{เพิ่ม}) \quad a_{n+1} \le a_n\ (\text{ลด})

ตรวจความเป็นทางเดียวด้วย an+1−ana_{n+1} - a_n, an+1/ana_{n+1}/a_n (พจน์บวก) หรือ f′(x)f'(x) ของ f(n)=anf(n) = a_n

ตัวอย่าง Q-1 · หาสูตรพจน์ทั่วไป

เขียนสูตร ana_n ของ (ก) 12,23,34,…\tfrac12, \tfrac23, \tfrac34, \dots (ข) 1,−14,19,−116,…1, -\tfrac14, \tfrac19, -\tfrac1{16}, \dots (ค) 2,6,12,20,30,…2, 6, 12, 20, 30, \dots

  1. (ก) ตัวเศษเป็น 1, 2, 3, … และตัวส่วนมากกว่าตัวเศษ 1 ⇒ an=nn+1a_n = \dfrac{n}{n+1}

  2. (ข) ตัวส่วนเป็นกำลังสอง n2n^2 เครื่องหมายสลับเริ่มบวก ⇒ an=(−1)n+1n2a_n = \dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2}

  3. (ค) ผลต่าง 4, 6, 8, 10 เพิ่มทีละ 2 (ผลต่างอันดับสองคงที่ ⇒ พหุนามดีกรีสอง) ลองแยก 2=1⋅2, 6=2⋅3, 12=3⋅42 = 1\cdot2,\ 6 = 2\cdot3,\ 12 = 3\cdot4 ⇒ an=n(n+1)a_n = n(n+1)

(ก) nn+1\dfrac{n}{n+1} · (ข) (−1)n+1n2\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2} · (ค) n(n+1)n(n+1) — ตรวจโดยแทน n = 1, 2, 3 ทุกครั้ง

ลำดับเลขคณิต เรขาคณิต และฮาร์มอนิก พื้นฐาน

สองลำดับนี้คือแกนของข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยเรื่องลำดับ ลำดับเลขคณิต (arithmetic) เพิ่มด้วย “การบวกค่าคงที่” เหมือนเงินเดือนที่ขึ้นปีละเท่ากัน ลำดับเรขาคณิต (geometric) เพิ่มด้วย “การคูณค่าคงที่” เหมือนดอกเบี้ยทบต้นหรือแรงดันที่ลดลงในแต่ละช่วงเวลาคงที่ของวงจร RC

Q4 Arithmetic sequence ลำดับเลขคณิต

an=a1+(n−1)d,d=an+1−an,an=am+(n−m)da_n = a_1 + (n-1)d,\qquad d = a_{n+1} - a_n,\qquad a_n = a_m + (n-m)d

a,b,ca, b, c เป็นเลขคณิต ⇔ 2b=a+c2b = a + c (b คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต)

Q5 Geometric sequence ลำดับเรขาคณิต

an=a1rn−1,r=an+1an,an=amrn−ma_n = a_1 r^{n-1},\qquad r = \frac{a_{n+1}}{a_n},\qquad a_n = a_m r^{n-m}

a,b,ca, b, c (บวก) เป็นเรขาคณิต ⇔ b2=acb^2 = ac · rn→0r^n \to 0 เมื่อ ∣r∣<1|r| < 1

Q6 Harmonic sequence ลำดับฮาร์มอนิก

1a1,1a2,1a3,… เป็นเลขคณิต⇒an=11a1+(n−1)d\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \dots \text{ เป็นเลขคณิต} \quad\Rightarrow\quad a_n = \frac{1}{\frac{1}{a_1} + (n-1)d}

เช่น 1,12,13,…1, \tfrac12, \tfrac13, \dots · bb เป็นค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของ a,ca, c ⇔ b=2aca+cb = \dfrac{2ac}{a+c}

Q7 AM ≥ GM ≥ HM อสมการค่าเฉลี่ย

a+b2 ≥ ab ≥ 2aba+b(a,b>0)\frac{a+b}{2} \ \ge\ \sqrt{ab} \ \ge\ \frac{2ab}{a+b}\qquad (a, b > 0)

เท่ากันเมื่อ a=ba = b · ใช้ในโจทย์ค่าสูงสุด-ต่ำสุดระดับ ม.ปลาย บ่อยมาก

ตัวอย่าง Q-2 · เลขคณิต

ลำดับเลขคณิตมี a4=11a_4 = 11 และ a10=29a_{10} = 29 จงหา a1, da_1,\ d และ a20a_{20}

  1. ใช้ a10=a4+6da_{10} = a_4 + 6d: 29=11+6d⇒d=329 = 11 + 6d \Rightarrow d = 3

  2. a4=a1+3d⇒11=a1+9⇒a1=2a_4 = a_1 + 3d \Rightarrow 11 = a_1 + 9 \Rightarrow a_1 = 2

  3. a20=a1+19d=2+57=59a_{20} = a_1 + 19d = 2 + 57 = 59

a1=2, d=3, a20=59a_1 = 2,\ d = 3,\ a_{20} = 59 (เทคนิค: ไม่ต้องแก้ระบบสมการ ใช้ an=am+(n−m)da_n = a_m + (n - m)d ตรง ๆ)

ตัวอย่าง Q-3 · เรขาคณิต (แนวข้อสอบเข้า)

สามจำนวนเรียงเป็นลำดับเรขาคณิต ผลบวกเท่ากับ 26 และผลคูณเท่ากับ 216 จงหาสามจำนวนนั้น

  1. เขียนสามจำนวนเป็น br, b, br\dfrac{b}{r},\ b,\ br (สมมาตรรอบพจน์กลาง) ผลคูณ =b3=216⇒b=6= b^3 = 216 \Rightarrow b = 6

  2. ผลบวก: 6r+6+6r=26⇒6r2−20r+6=0⇒3r2−10r+3=0\dfrac6r + 6 + 6r = 26 \Rightarrow 6r^2 - 20r + 6 = 0 \Rightarrow 3r^2 - 10r + 3 = 0

  3. (3r−1)(r−3)=0⇒r=3(3r - 1)(r - 3) = 0 \Rightarrow r = 3 หรือ r=13r = \tfrac13

สามจำนวนคือ 2, 6, 18 (หรือเรียงกลับ 18, 6, 2) — ตรวจ: 2 + 6 + 18 = 26 และ 2 · 6 · 18 = 216

แนวข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยโจทย์ “สามจำนวนเป็นลำดับเลขคณิต/เรขาคณิต” ให้เขียนเป็น a−d, a, a+da - d,\ a,\ a + d หรือ br, b, br\tfrac{b}{r},\ b,\ br เสมอ ผลบวกหรือผลคูณจะตัดตัวแปรไปหนึ่งตัวทันที ประหยัดเวลาได้มาก

แล็บลำดับ: พจน์ ลิมิต แถบ ε และใยแมงมุม พื้นฐาน

พิมพ์สูตรพจน์ทั่วไป หรือสลับเป็นความสัมพันธ์เวียนเกิด แล้วเลื่อนค่า ε ดูว่า N ต้องใหญ่แค่ไหนจึงทำให้ทุกพจน์หลังจากนั้นอยู่ในแถบรอบลิมิต มุมมองใยแมงมุมแสดงลำดับเวียนเกิดเป็นบันไดระหว่างกราฟ y=g(x)y = g(x) กับเส้น y=xy = x

ความสัมพันธ์เวียนเกิดและสมการลักษณะเฉพาะ กลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้น (linear recurrence) เป็น “สมการเชิงอนุพันธ์ของโลกดิจิทัล” วิธีแก้มีโครงเดียวกับสมการเชิงอนุพันธ์: หาคำตอบเฉพาะ (จุดตรึง) แล้วบวกคำตอบเอกพันธ์ที่เป็นเลขยกกำลัง ทักษะนี้ใช้ต่อในตัวกรองดิจิทัล การแปลง Z และระบบควบคุมแบบดิจิทัล

Q8 First-order linear recurrence เวียนเกิดเชิงเส้นอันดับหนึ่ง

an+1=ran+c (r≠1) ⇒ an=L+(a1−L) rn−1,L=c1−ra_{n+1} = r a_n + c\ (r \ne 1)\ \Rightarrow\ a_n = L + (a_1 - L)\,r^{n-1},\quad L = \frac{c}{1-r}

LL คือจุดตรึง (L=rL+cL = rL + c) · ลู่เข้าสู่ LL ⇔ ∣r∣<1|r| < 1 (หรือ a1=La_1 = L)

Q9 Second-order: characteristic equation สมการลักษณะเฉพาะ

an+2=p an+1+q an:t2=pt+q ⇒ an={At1 n+Bt2 nt1≠t2(A+Bn) t nรากซ้ำa_{n+2} = p\,a_{n+1} + q\,a_n:\quad t^2 = pt + q\ \Rightarrow\ a_n = \begin{cases} A t_1^{\,n} + B t_2^{\,n} & t_1 \ne t_2 \\ (A + Bn)\,t^{\,n} & \text{รากซ้ำ} \end{cases}

รากเชิงซ้อน ρe±jθ\rho e^{\pm j\theta} ให้ ρn(Acos⁡nθ+Bsin⁡nθ)\rho^n(A\cos n\theta + B\sin n\theta) — ลำดับแกว่ง ลู่เข้า 0 เมื่อ ρ<1\rho < 1

Q10 Fibonacci & Binet's formula ฟีโบนัชชีและสูตรบิเนต์

Fn+2=Fn+1+Fn, F0=0, F1=1 ⇒ Fn=φn−ψn5,φ,ψ=1±52F_{n+2} = F_{n+1} + F_n,\ F_0 = 0,\ F_1 = 1 \ \Rightarrow\ F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5},\quad \varphi, \psi = \frac{1 \pm \sqrt5}{2}

Fn+1/Fn→φ≈1.618F_{n+1}/F_n \to \varphi \approx 1.618 ซึ่งเป็นค่าเดียวกับความต้านทานของบันไดตัวต้านทานอนันต์ (หน่วย R)

ตัวอย่าง Q-4 · อันดับหนึ่ง

a1=1, an+1=3an+2a_1 = 1,\ a_{n+1} = 3a_n + 2 จงหาสูตรพจน์ทั่วไป และบอกว่าลู่เข้าหรือไม่

  1. จุดตรึง: L=3L+2⇒L=−1L = 3L + 2 \Rightarrow L = -1

  2. ตั้ง bn=an−L=an+1b_n = a_n - L = a_n + 1 จะได้ bn+1=3bnb_{n+1} = 3b_n เป็นเรขาคณิต b1=2b_1 = 2 ⇒ bn=2⋅3n−1b_n = 2\cdot 3^{n-1}

  3. an=−1+2⋅3n−1a_n = -1 + 2\cdot 3^{n-1} · ตรวจ: a2=5, a3=17, a4=53a_2 = 5,\ a_3 = 17,\ a_4 = 53 ตรงกับการคำนวณทีละขั้น

  4. ∣r∣=3>1|r| = 3 > 1 ⇒ an→∞a_n \to \infty ลู่ออก (จุดตรึง −1 เป็นจุดตรึงไม่เสถียร)

an=2⋅3n−1−1a_n = 2\cdot 3^{n-1} - 1 ลู่ออก

ตัวอย่าง Q-5 · อันดับสอง

a0=2, a1=5, an+2=5an+1−6ana_0 = 2,\ a_1 = 5,\ a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n จงหา ana_n

  1. สมการลักษณะเฉพาะ t2=5t−6⇒t2−5t+6=0⇒t=2,3t^2 = 5t - 6 \Rightarrow t^2 - 5t + 6 = 0 \Rightarrow t = 2, 3

  2. an=A 2n+B 3na_n = A\,2^n + B\,3^n · n=0:A+B=2n = 0: A + B = 2 · n=1:2A+3B=5n = 1: 2A + 3B = 5 ⇒ B=1, A=1B = 1,\ A = 1

  3. ตรวจ a2=5⋅5−6⋅2=13=4+9a_2 = 5\cdot5 - 6\cdot2 = 13 = 4 + 9 ✓

an=2n+3na_n = 2^n + 3^n

ในงานไฟฟ้า สมการ y[n]=0.8 y[n−1]+0.2 x[n]y[n] = 0.8\,y[n-1] + 0.2\,x[n] ของตัวกรองดิจิทัลอันดับหนึ่งคือ Q8 พอดี โดยมี r=0.8r = 0.8 ค่าตอบสนองต่อขั้นบันไดจึงเข้าสู่ 1 แบบเรขาคณิต ดูการคำนวณเต็มในอนุกรมในงานวิศวกรรม

ลิมิตของลำดับ: ลู่เข้าและลู่ออก กลาง

ลำดับลู่เข้า (converges) สู่ LL ถ้าพจน์เข้าใกล้ LL และ “อยู่ใกล้ตลอดไป” นิยามแบบ ε–N ทำให้คำว่าใกล้ชัดเจน: ไม่ว่าจะขอความแม่นยำ ε เล็กเพียงใด ต้องมีตำแหน่ง N ที่ทุกพจน์หลังจากนั้นห่างจาก LL ไม่ถึง ε ถ้าไม่มี LL แบบนี้ ลำดับลู่ออก (diverges) ซึ่งอาจโตไม่มีขอบเขตหรือแกว่ง

051015201.522.533.5nL + εL − εN = 10aₙ = (3n+1)/(n+2), ε = 0.4
นิยาม ε–N: หลังตำแหน่ง N ทุกพจน์ต้องอยู่ในแถบ (L−ε, L+ε)(L - \varepsilon,\ L + \varepsilon) ยิ่ง ε เล็ก N ยิ่งต้องใหญ่

Q11 Limit of a sequence (ε–N) ลิมิตของลำดับ

lim⁡n→∞an=L  ⟺  ∀ε>0 ∃N: n>N⇒∣an−L∣<ε\lim_{n\to\infty} a_n = L \iff \forall \varepsilon > 0\ \exists N:\ n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon

an→∞a_n \to \infty หมายถึง ทุก MM มี NN ที่ n>N⇒an>Mn > N \Rightarrow a_n > M (ลู่ออกสู่อนันต์) · ลิมิตถ้ามีจะมีค่าเดียว

Q12 Limit laws สมบัติของลิมิต

lim⁡(an±bn)=A±B,lim⁡anbn=AB,lim⁡anbn=AB (B≠0)\lim(a_n \pm b_n) = A \pm B,\quad \lim a_n b_n = AB,\quad \lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}\ (B \ne 0)

ใช้ได้เมื่อ an→Aa_n \to A และ bn→Bb_n \to B เป็นจำนวนจริงทั้งคู่ · ∞−∞\infty - \infty, 0⋅∞0\cdot\infty, ∞/∞\infty/\infty ต้องจัดรูปก่อน

Q13 Through a function ผ่านฟังก์ชัน f(x)

lim⁡x→∞f(x)=L, an=f(n) ⇒ lim⁡n→∞an=L;g ต่อเนื่อง⇒g(an)→g(L)\lim_{x\to\infty} f(x) = L,\ a_n = f(n)\ \Rightarrow\ \lim_{n\to\infty} a_n = L;\quad g \text{ ต่อเนื่อง} \Rightarrow g(a_n) \to g(L)

จึงใช้กฎของโลปิตาลกับ f(x)f(x) ได้ (ห้ามหาอนุพันธ์เทียบ n ตรง ๆ) · บทกลับไม่จริง: sin⁡(πn)→0\sin(\pi n) \to 0 แต่ sin⁡πx\sin \pi x ไม่มีลิมิต

Q14 Standard limits ลิมิตมาตรฐานที่ต้องจำ

rn→0 (∣r∣<1),nn→1,an→1 (a>0),(1+xn)n→ex,nkan→0 (a>1),ann!→0,n!nn→0r^n \to 0\ (|r|<1),\quad \sqrt[n]{n} \to 1,\quad \sqrt[n]{a} \to 1\ (a>0),\quad \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \to e^x,\quad \frac{n^k}{a^n} \to 0\ (a>1),\quad \frac{a^n}{n!} \to 0,\quad \frac{n!}{n^n} \to 0

ลำดับความเร็วการโต: ln⁡n≪np≪an≪n!≪nn\ln n \ll n^{p} \ll a^{n} \ll n! \ll n^{n} (p>0, a>1p > 0,\ a > 1) ตัวที่โตเร็วกว่าชนะเสมอเมื่อ n ใหญ่พอ

151015200510152025nlog₁₀ln nn²2ⁿn!nⁿ
ลำดับชั้นการโตของลำดับ (สเกล log): ln n โตช้าที่สุด n! และ nⁿ แซงทุกตัวในที่สุด — นี่คือเหตุผลที่ n100/1.01n→0n^{100}/1.01^n \to 0 แม้ช่วงแรกตัวเศษจะใหญ่มหาศาล
ตัวอย่าง Q-6 · หาลิมิต

(ก) lim⁡2n2−3n5n2+1\lim \dfrac{2n^2 - 3n}{5n^2 + 1} (ข) lim⁡(n2+n−n)\lim\left(\sqrt{n^2 + n} - n\right) (ค) lim⁡(1−3n)2n\lim\left(1 - \dfrac3n\right)^{2n}

  1. (ก) หารด้วยกำลังสูงสุด n2n^2: 2−3/n5+1/n2→25\dfrac{2 - 3/n}{5 + 1/n^2} \to \dfrac25

  2. (ข) รูป ∞−∞\infty - \infty คูณด้วยคอนจูเกต: (n2+n)−n2n2+n+n=nn2+n+n=11+1/n+1→12\dfrac{(n^2 + n) - n^2}{\sqrt{n^2+n} + n} = \dfrac{n}{\sqrt{n^2+n} + n} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 1/n} + 1} \to \dfrac12

  3. (ค) (1−3n)2n=[(1+−3n)n]2→(e−3)2=e−6\left(1 - \dfrac3n\right)^{2n} = \left[\left(1 + \dfrac{-3}{n}\right)^{n}\right]^2 \to (e^{-3})^2 = e^{-6} ใช้ Q14 กับ x=−3x = -3

(ก) 25\tfrac25 · (ข) 12\tfrac12 · (ค) e−6≈0.00248e^{-6} \approx 0.00248

ตัวอย่าง Q-7 · พิสูจน์ด้วย ε–N

พิสูจน์ว่า lim⁡3n+1n+2=3\lim \dfrac{3n+1}{n+2} = 3 และหา N เมื่อ ε=0.01\varepsilon = 0.01

  1. คำนวณระยะห่าง: ∣3n+1n+2−3∣=∣3n+1−3n−6n+2∣=5n+2\left|\dfrac{3n+1}{n+2} - 3\right| = \left|\dfrac{3n + 1 - 3n - 6}{n+2}\right| = \dfrac{5}{n+2}

  2. ต้องการ 5n+2<ε  ⟺  n>5ε−2\dfrac{5}{n+2} < \varepsilon \iff n > \dfrac5\varepsilon - 2 จึงเลือก N=⌈5ε−2⌉N = \left\lceil \dfrac5\varepsilon - 2 \right\rceil แล้วทุก n>Nn > N ใช้ได้

  3. ε=0.01\varepsilon = 0.01: n>500−2=498n > 500 - 2 = 498 ⇒ N=498N = 498 (พจน์ที่ 499 เป็นต้นไปอยู่ในแถบ)

ทุก ε มี N จึงลู่เข้าสู่ 3 ตามนิยาม · ε = 0.01 ใช้ N = 498

กับดักที่พบบ่อย(1+1n)n\left(1 + \tfrac1n\right)^n ไม่ได้เข้าใกล้ 1∞=11^\infty = 1 แต่เข้าใกล้ e≈2.718e \approx 2.718 — รูป 1∞1^\infty เป็นรูปไม่กำหนด ต้องใช้ Q14 หรือเขียนเป็น enln⁡(1+1/n)e^{n\ln(1 + 1/n)} แล้วหาลิมิตของเลขชี้กำลัง

ทฤษฎีบทแซนด์วิชและลำดับสลับเครื่องหมาย กลาง

Q15 Squeeze theorem ทฤษฎีบทแซนด์วิช

bn≤an≤cn (n≥n0),  bn,cn→L ⇒ an→Lb_n \le a_n \le c_n\ (n \ge n_0),\ \ b_n, c_n \to L\ \Rightarrow\ a_n \to L

ใช้กับพจน์ที่มี sin⁡,cos⁡,(−1)n\sin, \cos, (-1)^n หรือแฟกทอเรียลที่ประมาณยาก

Q16 |aₙ| → 0 ⇒ aₙ → 0 ค่าสัมบูรณ์เข้าใกล้ศูนย์

∣an∣→0  ⟺  an→0(เฉพาะลิมิต 0)|a_n| \to 0 \iff a_n \to 0 \qquad (\text{เฉพาะลิมิต } 0)

(−1)n/n→0(-1)^n/n \to 0 แต่ (−1)n(-1)^n ลู่ออก · ∣an∣→L≠0|a_n| \to L \ne 0 ไม่ได้บอกว่า ana_n ลู่เข้า

ตัวอย่าง Q-8 · แซนด์วิช

หา (ก) lim⁡sin⁡nn\lim \dfrac{\sin n}{n} (ข) lim⁡n!nn\lim \dfrac{n!}{n^n}

  1. (ก) −1n≤sin⁡nn≤1n-\dfrac1n \le \dfrac{\sin n}{n} \le \dfrac1n และทั้งสองข้าง → 0 ⇒ ลิมิตเป็น 0

  2. (ข) n!nn=1n⋅2n⋯nn≤1n\dfrac{n!}{n^n} = \dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{2}{n}\cdots\dfrac{n}{n} \le \dfrac1n (ทุกตัวประกอบหลังตัวแรก ≤ 1) และ n!nn>0\dfrac{n!}{n^n} > 0 ⇒ ประกบระหว่าง 0 กับ 1n\tfrac1n ⇒ ลิมิต 0

ทั้งสองลิมิตเท่ากับ 0

ลำดับทางเดียวมีขอบเขต (Monotone Convergence Theorem) กลาง

ทฤษฎีบทนี้ตอบปัญหาของลำดับเวียนเกิด: เรามักหาสูตรตรงไม่ได้ แต่ถ้าพิสูจน์ได้ว่าลำดับ “ขึ้นอย่างเดียวและมีเพดาน” ลำดับต้องลู่เข้า จากนั้นจึงแทน L=g(L)L = g(L) หาค่าลิมิตได้อย่างถูกต้อง

Q17 Monotone convergence theorem ทางเดียว + มีขอบเขต ⇒ ลู่เข้า

an↑, an≤M⇒an→sup⁡an≤M;an↓, an≥m⇒an→inf⁡ana_n \uparrow,\ a_n \le M \Rightarrow a_n \to \sup a_n \le M;\qquad a_n \downarrow,\ a_n \ge m \Rightarrow a_n \to \inf a_n

พิสูจน์ความมีขอบเขตและทางเดียวของลำดับเวียนเกิดมักใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

Q18 Fixed-point iteration การวนหาจุดตรึง

an+1=g(an), g(L)=L, ∣g′(L)∣<1⇒an→L (เมื่อเริ่มใกล้ L)a_{n+1} = g(a_n),\ g(L) = L,\ |g'(L)| < 1 \Rightarrow a_n \to L \text{ (เมื่อเริ่มใกล้ } L)

∣g′(L)∣>1|g'(L)| > 1 จุดตรึงไม่เสถียร · วิธีของนิวตันคือ g(x)=x−f(x)/f′(x)g(x) = x - f(x)/f'(x) ซึ่งมี g′(L)=0g'(L) = 0 จึงลู่เข้าเร็วมาก

ตัวอย่าง Q-9 · ลำดับเวียนเกิด

a1=1, an+1=6+ana_1 = 1,\ a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n} ลู่เข้าหรือไม่ ถ้าลู่เข้า ลิมิตเท่าไร

  1. มีขอบเขตบน 3 (อุปนัย): a1=1<3a_1 = 1 < 3 · ถ้า ak<3a_k < 3 แล้ว ak+1=6+ak<9=3a_{k+1} = \sqrt{6 + a_k} < \sqrt{9} = 3

  2. เพิ่มขึ้น: ak+12−ak2=6+ak−ak2=(3−ak)(2+ak)>0a_{k+1}^2 - a_k^2 = 6 + a_k - a_k^2 = (3 - a_k)(2 + a_k) > 0 เมื่อ 0<ak<30 < a_k < 3 ⇒ ak+1>aka_{k+1} > a_k

  3. Q17 ⇒ ลู่เข้าสู่ L บางค่า ผ่านลิมิตในสมการ: L=6+L⇒L2−L−6=0⇒L=3L = \sqrt{6 + L} \Rightarrow L^2 - L - 6 = 0 \Rightarrow L = 3 (ตัด −2 เพราะพจน์เป็นบวก)

ลู่เข้าสู่ 3 · ตรวจ g′(3)=129=16g'(3) = \tfrac{1}{2\sqrt9} = \tfrac16 น้อยกว่า 1 สอดคล้องกับ Q18

กับดักที่พบบ่อยห้ามแทน L=g(L)L = g(L) ก่อนพิสูจน์ว่าลู่เข้า ตัวอย่าง a1=1, an+1=2ana_1 = 1,\ a_{n+1} = 2a_n: แทนได้ L=0L = 0 แต่ลำดับจริงคือ 1,2,4,8,⋯→∞1, 2, 4, 8, \dots \to \infty

ลำดับย่อย ลำดับโคชี และโบลซาโน-ไวแยร์สตราส ขั้นสูง

หัวข้อนี้คือเครื่องมือของคณิตวิเคราะห์ (real analysis) ที่ทำให้การพิสูจน์การลู่เข้าทำได้โดยไม่ต้องรู้ค่าลิมิตล่วงหน้า ลำดับโคชีคือรากฐานของการทดสอบอนุกรมหลายแบบในหน้าถัดไป

Q19 Subsequences ลำดับย่อย

an→L⇒ank→L ทุกลำดับย่อย;a2n→L1≠L2←a2n+1⇒ลู่ออกa_n \to L \Rightarrow a_{n_k} \to L \text{ ทุกลำดับย่อย};\quad a_{2n} \to L_1 \ne L_2 \leftarrow a_{2n+1} \Rightarrow \text{ลู่ออก}

ถ้าลำดับย่อยคู่และคี่ลู่เข้าสู่ค่าเดียวกัน ลำดับเดิมลู่เข้า (ใช้พิสูจน์การทดสอบอนุกรมสลับ)

Q20 Bolzano–Weierstrass ทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวแยร์สตราส

(an) มีขอบเขต⇒มีลำดับย่อยที่ลู่เข้า(a_n) \text{ มีขอบเขต} \Rightarrow \text{มีลำดับย่อยที่ลู่เข้า}

เช่น sin⁡n\sin n มีขอบเขต จึงมีลำดับย่อยลู่เข้า (จริง ๆ มีลำดับย่อยลู่เข้าสู่ทุกค่าใน [−1, 1])

Q21 Cauchy sequence ลำดับโคชี

∀ε>0 ∃N: m,n>N⇒∣am−an∣<ε  ⟺  (an) ลู่เข้าใน R\forall\varepsilon>0\ \exists N:\ m, n > N \Rightarrow |a_m - a_n| < \varepsilon \iff (a_n) \text{ ลู่เข้าใน } \mathbb R

พจน์เข้าใกล้กันเองโดยไม่ต้องรู้ลิมิต · ใช้พิสูจน์ว่าอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์แล้วลู่เข้า

Q22 Stolz–Cesàro โลปิตาลฉบับลำดับ

bn↑∞, lim⁡an+1−anbn+1−bn=L ⇒ lim⁡anbn=Lb_n \uparrow \infty,\ \lim \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L \ \Rightarrow\ \lim \frac{a_n}{b_n} = L

เช่น 12+22+⋯+n2n3→lim⁡(n+1)2(n+1)3−n3=13\dfrac{1^2 + 2^2 + \cdots + n^2}{n^3} \to \lim \dfrac{(n+1)^2}{(n+1)^3 - n^3} = \dfrac13

ตัวอย่าง Q-10 · ลำดับย่อย

แสดงว่า an=(−1)nnn+1a_n = (-1)^n\dfrac{n}{n+1} ลู่ออก

  1. ลำดับย่อยคู่: a2k=2k2k+1→1a_{2k} = \dfrac{2k}{2k+1} \to 1

  2. ลำดับย่อยคี่: a2k+1=−2k+12k+2→−1a_{2k+1} = -\dfrac{2k+1}{2k+2} \to -1

  3. ลิมิตของลำดับย่อยไม่เท่ากัน ⇒ ตาม Q19 ลำดับเดิมลู่ออก ทั้งที่ ∣an∣→1|a_n| \to 1

ลู่ออก (แกว่งระหว่างใกล้ 1 กับใกล้ −1)

เช็กลิสต์หาลิมิตของลำดับ พื้นฐาน

1. เศษส่วนของพหุนาม/รากหารด้วยกำลังสูงสุดของตัวส่วน · รูป ∞−∞\infty - \infty ที่มีรากใช้คอนจูเกต
2. รูป 1∞1^\inftyใช้ (1+xn)n→ex\left(1 + \tfrac{x}{n}\right)^n \to e^x หรือ elim⁡nln⁡(⋅)e^{\lim n\ln(\cdot)}
3. ยกกำลัง แฟกทอเรียล ลอการิทึมเทียบลำดับชั้นการโต Q14 หรือใช้โลปิตาลกับ f(x)
4. มี sin, cos, (−1)ⁿประกบด้วยแซนด์วิช Q15 หรือดูลำดับย่อย Q19
5. ลำดับเวียนเกิดพิสูจน์ทางเดียว + มีขอบเขต (Q17) ก่อน แล้วจึงแก้ L=g(L)L = g(L)
6. ตรวจด้วยแล็บดูค่าพจน์ที่ n ใหญ่เพื่อยืนยันคำตอบ ไม่ใช่แทนการพิสูจน์

ต่อไป: จากลำดับสู่อนุกรม

เมื่อเข้าใจลิมิตของลำดับแล้ว อนุกรมก็คือลิมิตของลำดับผลบวกย่อย Sn=a1+⋯+anS_n = a_1 + \cdots + a_n หน้าถัดไป อนุกรมอนันต์ เริ่มจากอนุกรมเรขาคณิต กล้องส่องทางไกล และอนุกรม p ถ้าต้องการทบทวนลิมิตของฟังก์ชันก่อน ดู ลิมิตและความต่อเนื่อง และสรุปทั้งบทแบบหน้าเดียวที่ ลำดับและอนุกรมฉบับสรุป · ฝึกโจทย์ที่ แนวข้อสอบชุด A

คำถามที่พบบ่อย

ลำดับกับอนุกรมต่างกันอย่างไร?

ลำดับ (sequence) คือรายการจำนวนเรียงกัน a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots เป็นฟังก์ชันจากจำนวนนับไปยังจำนวนจริง ส่วนอนุกรม (series) คือผลบวกของพจน์ในลำดับ a1+a2+a3+⋯a_1 + a_2 + a_3 + \cdots ลำดับ 1/2, 1/4, 1/8, … ลู่เข้าสู่ 0 แต่อนุกรม 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ ลู่เข้าสู่ 1

จะรู้ได้อย่างไรว่าลำดับลู่เข้าหรือลู่ออก?

หาลิมิต lim⁡n→∞an\lim_{n\to\infty} a_n ถ้าได้จำนวนจริงค่าเดียวคือลู่เข้า ถ้าเป็นอนันต์หรือไม่มีค่า (แกว่ง) คือลู่ออก เครื่องมือหลักคือหารด้วยกำลังสูงสุด ลิมิตมาตรฐาน กฎของโลปิตาลผ่านฟังก์ชัน f(x) ทฤษฎีบทแซนด์วิช และทฤษฎีบทลำดับทางเดียวมีขอบเขตสำหรับลำดับเวียนเกิด

ลำดับที่มีขอบเขตต้องลู่เข้าเสมอไหม?

ไม่ เช่น (−1)n(-1)^n มีขอบเขตแต่แกว่งระหว่าง −1 กับ 1 ลำดับที่มีขอบเขตจะลู่เข้าแน่นอนก็ต่อเมื่อเป็นลำดับทางเดียว (เพิ่มตลอดหรือลดตลอด) นี่คือทฤษฎีบทลำดับทางเดียวมีขอบเขต (Monotone Convergence Theorem)

แก้ความสัมพันธ์เวียนเกิด a(n+2) = p a(n+1) + q a(n) อย่างไร?

เขียนสมการลักษณะเฉพาะ t2=pt+qt^2 = pt + q ถ้ารากต่างกัน t1,t2t_1, t_2 ได้ an=At1n+Bt2na_n = A t_1^n + B t_2^n ถ้ารากซ้ำ tt ได้ an=(A+Bn)tna_n = (A + Bn)t^n แล้วหาค่าคงที่ A, B จากสองพจน์แรก ลำดับฟีโบนัชชีให้สูตรของบิเนต์ Fn=(φn−ψn)/5F_n = (\varphi^n - \psi^n)/\sqrt5

ทำไมหาลิมิตของลำดับเวียนเกิดด้วยการแทน L = g(L) แล้วบางครั้งได้คำตอบผิด?

การแทน L=g(L)L = g(L) ใช้ได้ก็ต่อเมื่อพิสูจน์แล้วว่าลำดับลู่เข้า เช่น an+1=2an, a1=1a_{n+1} = 2a_n,\ a_1 = 1 ให้ L=2L⇒L=0L = 2L \Rightarrow L = 0 แต่ลำดับจริงคือ 2n−1→∞2^{n-1} \to \infty ต้องพิสูจน์ความเป็นทางเดียวและมีขอบเขตก่อน หรือดูเงื่อนไข ∣g′(L)∣<1|g'(L)| < 1

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์