อนุกรมกำลัง (Power Series): รัศมีและช่วงการลู่เข้า อนุพันธ์-อินทิกรัลทีละพจน์ และการแทนฟังก์ชัน

1. อัตราส่วน: $\left|\dfrac{(x-3)^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}\cdot\dfrac{n\,2^n}{(x-3)^n}\right| = \dfrac{|x-3|}{2}\cdot\dfrac{n}{n+1} \to \dfrac{|x-3|}{2}$

2. ลู่เข้าเมื่อ $\dfrac{|x-3|}{2} < 1 \iff |x - 3| < 2$ ⇒ $R = 2$, ช่วงเปิด $(1, 5)$

3. ปลายซ้าย $x = 1$: $\sum\dfrac{(-2)^n}{n2^n} = \sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ ลู่เข้า (ไลบ์นิซ) · ปลายขวา $x = 5$: $\sum\dfrac{2^n}{n2^n} = \sum\dfrac1n$ ลู่ออก

$R = 2$ · ช่วงการลู่เข้า $[1, 5)$ (ในแล็บพิมพ์ cₙ แล้วตั้ง a = 3)

1. (ก) $\left|\dfrac{c_{n+1}}{c_n}\right| = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \to \dfrac1e$ ⇒ $R = e$ · ที่ $x = \pm e$: $|a_n| = \dfrac{n!\,e^n}{n^n} \sim \sqrt{2\pi n} \to \infty$ ลู่ออกทั้งสองปลาย ⇒ $(-e, e)$

2. (ข) มีแต่กำลังคู่ (ช่องว่าง) มองเป็นเรขาคณิตของ $u = x^2/4$: ลู่เข้า ⇔ $x^2/4 < 1 \iff |x| < 2$ · ที่ $x = \pm2$ ได้ $\sum 1$ ลู่ออก ⇒ $(-2, 2)$

3. (ค) อัตราส่วน $|2x - 1|\cdot\dfrac{n^2}{(n+1)^2} \to |2x-1| < 1 \iff 0 < x < 1$ ($R = \tfrac12$ รอบ $a = \tfrac12$) · ปลาย: $\sum\dfrac{(\pm1)^n}{n^2}$ ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ทั้งคู่ ⇒ $[0, 1]$

(ก) $(-e, e)$ · (ข) $(-2, 2)$ · (ค) $[0, 1]$ — ข้อ (ค) ระวัง: $(2x-1)^n = 2^n(x - \tfrac12)^n$ จึงมีจุดศูนย์กลาง ½ ไม่ใช่ 1

1. (ก) จาก $\sum x^n = \dfrac{1}{1-x}$ หาอนุพันธ์: $\sum nx^{n-1} = \dfrac{1}{(1-x)^2}$ คูณ x: $\sum nx^n = \dfrac{x}{(1-x)^2}$ · ที่ $x = \tfrac12$: $\dfrac{1/2}{1/4} = 2$

2. (ข) อินทิกรัล $\sum x^{n-1}$ ตั้งแต่ 0 ถึง x: $\sum\dfrac{x^n}{n} = -\ln(1-x)$ · ที่ $x = \tfrac12$: $-\ln\tfrac12 = \ln 2$

(ก) 2 · (ข) $\ln 2 \approx 0.6931$ (ลู่เข้าเร็วกว่า $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots$ มาก)

1. แยกเศษส่วนย่อย: $\dfrac{3}{(1-x)(1+2x)} = \dfrac{1}{1-x} + \dfrac{2}{1+2x}$ (ตรวจที่ x = 1 และ x = −½)

2. $\dfrac{1}{1-x} = \sum x^n$ ($|x| < 1$) · $\dfrac{2}{1+2x} = 2\sum(-2x)^n$ ($|x| < \tfrac12$)

3. รวม: $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\left[1 + 2(-2)^n\right]x^n = 3 - 3x + 9x^2 - 15x^3 + 33x^4 - \cdots$

4. ต้องลู่เข้าทั้งสองตัว ⇒ $R = \tfrac12$ ตรงกับระยะจาก 0 ถึงโพล $x = -\tfrac12$

$c_n = 1 + 2(-2)^n,\ R = \tfrac12$

1. แทน $y = \sum c_n x^n$: $\sum\left[(n+2)(n+1)c_{n+2} + c_n\right]x^n = 0$ ⇒ $c_{n+2} = -\dfrac{c_n}{(n+2)(n+1)}$

2. เริ่มจาก $c_0$: $c_2 = -\tfrac{c_0}{2!},\ c_4 = \tfrac{c_0}{4!}, \dots$ · เริ่มจาก $c_1$: $c_3 = -\tfrac{c_1}{3!},\ c_5 = \tfrac{c_1}{5!}, \dots$

3. $y = c_0\left(1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \cdots\right) + c_1\left(x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \cdots\right) = c_0\cos x + c_1\sin x$

$y = c_0\cos x + c_1\sin x$ — นิยามของ sin และ cos ผ่านอนุกรมคือคำตอบของสมการการสั่นอย่างง่าย (วงจร LC, สปริง-มวล)

1. $y(0) = 0$ ⇒ $c_0 = 0$ · $y'(0) = 1 + 0 = 1$ ⇒ $c_1 = 1$

2. หาอนุพันธ์ต่อ: $y'' = 2yy'$ ⇒ $y''(0) = 0$ · $y''' = 2(y')^2 + 2yy''$ ⇒ $y'''(0) = 2$ ⇒ $c_3 = \tfrac{2}{3!} = \tfrac13$

3. ต่อไปจะได้ $c_5 = \tfrac{2}{15}$ ตรงกับอนุกรมของ $\tan x$ ซึ่งคือคำตอบแม่นตรง

$y = x + \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{2x^5}{15} + \cdots = \tan x$ · R = π/2 (จุดเอกฐานที่ x = ±π/2 ทำให้คำตอบระเบิด)