หน้าแรก คลังความรู้ ระบบควบคุม ความผิดพลาดอยู่ตัว Control Systems Engineering ดูครบทุกส่วน · 26 หน้า // บทที่ 13.5 · ระบบควบคุม · Steady-State Error
ความผิดพลาดสถานะอยู่ตัว ชนิดของระบบ และการรบกวน
เมื่อผลตอบสนองชั่วครู่หายไปแล้ว เอาต์พุตตรงกับค่าอ้างอิงหรือไม่ เครื่อง CNC ต้องตามเส้นทางได้แม่นถึงไมครอน พาวเวอร์ซัพพลายต้องได้ 5.000 V ไม่ใช่ 4.95 V หน้านี้บอกว่าความแม่นยำขึ้นกับจำนวนอินทิเกรเตอร์ในลูป และเกนที่ความถี่ต่ำ และคำนวณได้ในบรรทัดเดียวด้วยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย สูตรใช้รหัส E
สรุปใน 30 วินาที
e s s = lim s → 0 s E ( s ) e_{ss} = \lim_{s\to0}sE(s) e ss = lim s → 0 s E ( s ) ชนิด = จำนวนขั้วที่ s = 0 s = 0 s = 0 G ( s ) G(s) G ( s )
ขั้นบันได: 1 1 + K p \frac{1}{1 + K_p} 1 + K p 1 1 K v \frac{1}{K_v} K v 1 1 K a \frac{1}{K_a} K a 1
ชนิด N ติดตามอินพุต t N − 1 t^{N-1} t N − 1 t N t^N t N
ค้นหาสูตรในหน้านี้
โหมดฝึกทำ: ซ่อนวิธีทำ
ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายและชนิดของระบบ พื้นฐาน
E1 Steady-state error (unity feedback)
E ( s ) = R ( s ) 1 + G ( s ) , e s s = lim t → ∞ e ( t ) = lim s → 0 s R ( s ) 1 + G ( s ) E(s) = \frac{R(s)}{1 + G(s)}, \qquad e_{ss} = \lim_{t\to\infty}e(t) = \lim_{s\to0}\frac{sR(s)}{1 + G(s)} E ( s ) = 1 + G ( s ) R ( s ) , e ss = t → ∞ lim e ( t ) = s → 0 lim 1 + G ( s ) s R ( s ) ตรวจเสถียรภาพวงปิดก่อนทุกครั้ง · G G G C ⋅ C \cdot C ⋅
E2 System type
G ( s ) = K ∏ ( s + z i ) s N ∏ ( s + p j ) ⇒ ชนิด N G(s) = \frac{K\prod(s + z_i)}{s^N\prod(s + p_j)} \quad\Rightarrow\quad \text{ชนิด } N G ( s ) = s N ∏ ( s + p j ) K ∏ ( s + z i ) ⇒ ชนิด N มอเตอร์ควบคุมตำแหน่งเป็นชนิด 1 อยู่แล้ว (ตำแหน่ง = อินทิกรัลของความเร็ว) · PI เพิ่มชนิดหนึ่งระดับ
E3 Static error constants
K p = lim s → 0 G ( s ) , K v = lim s → 0 s G ( s ) , K a = lim s → 0 s 2 G ( s ) K_p = \lim_{s\to0}G(s), \quad K_v = \lim_{s\to0}sG(s), \quad K_a = \lim_{s\to0}s^2G(s) K p = s → 0 lim G ( s ) , K v = s → 0 lim s G ( s ) , K a = s → 0 lim s 2 G ( s ) อินพุต ชนิด 0 ชนิด 1 ชนิด 2 u ( t ) 1 1 + K p 0 0 t u ( t ) ∞ 1 K v 0 1 2 t 2 u ( t ) ∞ ∞ 1 K a \begin{array}{c|ccc} \text{อินพุต} & \text{ชนิด 0} & \text{ชนิด 1} & \text{ชนิด 2} \\ \hline u(t) & \frac{1}{1 + K_p} & 0 & 0 \\ t\,u(t) & \infty & \frac{1}{K_v} & 0 \\ \tfrac12t^2u(t) & \infty & \infty & \frac{1}{K_a} \end{array} อินพุต u ( t ) t u ( t ) 2 1 t 2 u ( t ) ชนิด 0 1 + K p 1 ∞ ∞ ชนิด 1 0 K v 1 ∞ ชนิด 2 0 0 K a 1 อินพุตขนาด A A A A A A K v K_v K v K v = 20 K_v = 20 K v = 20
ตัวอย่าง E-1 · ครบทุกอินพุต G ( s ) = 100 ( s + 2 ) s ( s + 5 ) ( s + 10 ) G(s) = \dfrac{100(s+2)}{s(s+5)(s+10)} G ( s ) = s ( s + 5 ) ( s + 10 ) 100 ( s + 2 )
ตรวจเสถียรภาพ: s 3 + 15 s 2 + 150 s + 200 s^3 + 15s^2 + 150s + 200 s 3 + 15 s 2 + 150 s + 200 15 × 150 > 200 15 \times 150 \gt 200 15 × 150 > 200
ชนิด 1 E2 · K v = lim s G = 100 × 2 5 × 10 = 4 K_v = \lim sG = \dfrac{100 \times 2}{5 \times 10} = 4 K v = lim s G = 5 × 10 100 × 2 = 4 E3
ขั้นบันได: 0 · แรมป์: 1 / 4 = 0.25 1/4 = 0.25 1/4 = 0.25
ตัวอย่าง E-2 · แม่นกับเสถียร ขัดกัน G ( s ) = K s ( s + 2 ) ( s + 4 ) G(s) = \dfrac{K}{s(s+2)(s+4)} G ( s ) = s ( s + 2 ) ( s + 4 ) K K K K
K v = K / 8 ≥ 1 / 0.05 = 20 ⇒ K ≥ 160 K_v = K/8 \ge 1/0.05 = 20 \Rightarrow K \ge 160 K v = K /8 ≥ 1/0.05 = 20 ⇒ K ≥ 160
เสถียรภาพ: s 3 + 6 s 2 + 8 s + K s^3 + 6s^2 + 8s + K s 3 + 6 s 2 + 8 s + K 48 > K 48 \gt K 48 > K R6 )
ต้องการ K ≥ 160 K \ge 160 K ≥ 160 K < 48 K \lt 48 K < 48 เป็นไปไม่ได้ด้วยเกนอย่างเดียว ต้องใช้ตัวชดเชย lag (เพิ่ม K v K_v K v β ≥ 160 / K \beta \ge 160/K β ≥ 160/ K
ความผิดพลาดจากการรบกวนและป้อนกลับไม่เป็นหนึ่งหน่วย กลาง
E4 Disturbance at the plant input
E D ( s ) = − G p ( s ) 1 + C ( s ) G p ( s ) D ( s ) , e s s , D = − lim s → 0 s G p D 1 + C G p E_D(s) = -\frac{G_p(s)}{1 + C(s)G_p(s)}D(s), \qquad e_{ss,D} = -\lim_{s\to0}\frac{sG_pD}{1 + CG_p} E D ( s ) = − 1 + C ( s ) G p ( s ) G p ( s ) D ( s ) , e ss , D = − s → 0 lim 1 + C G p s G p D กำจัดการรบกวนขั้นบันไดได้เมื่อตัวควบคุม มีอินทิเกรเตอร์ (อินทิเกรเตอร์ในพลานต์ช่วยค่าอ้างอิง แต่ไม่ช่วยการรบกวนที่เข้าก่อนมัน)
E5 Non-unity feedback
e = r − y , G e = G 1 + G H − G e = r - y, \quad G_e = \frac{G}{1 + GH - G} e = r − y , G e = 1 + G H − G G แปลงเป็นป้อนกลับหนึ่งหน่วยก่อน (B5 ) แล้วใช้ตาราง E3 กับ G e G_e G e
ตัวอย่าง E-3 · แรงบิดโหลดกับมอเตอร์ พลานต์ความเร็ว G p = 1 s + 1 G_p = \dfrac{1}{s + 1} G p = s + 1 1 K = 9 K = 9 K = 9 9 + 9 / s 9 + 9/s 9 + 9/ s
P: e s s , D = − G p ( 0 ) 1 + 9 G p ( 0 ) = − 1 10 = − 0.1 e_{ss,D} = -\dfrac{G_p(0)}{1 + 9G_p(0)} = -\dfrac{1}{10} = -0.1 e ss , D = − 1 + 9 G p ( 0 ) G p ( 0 ) = − 10 1 = − 0.1 E4
PI: C ( s ) → ∞ C(s) \to \infty C ( s ) → ∞ s → 0 s \to 0 s → 0 e s s , D = 0 e_{ss,D} = 0 e ss , D = 0
P ปล่อยให้ความเร็วตก 10% ของผลกระทบ · PI กำจัดได้หมด นี่คือเหตุที่ไดรฟ์มอเตอร์ทุกตัวใช้ PI ในลูปความเร็ว (ลองในแล็บPID ที่มีการรบกวนครึ่งทาง)
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
ใช้ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายกับระบบไม่เสถียร → ได้ตัวเลขที่ไม่มีความหมายนับชนิดจากอันดับ → ชนิดคือจำนวนขั้วที่ศูนย์เท่านั้นใช้ตาราง E3 กับ H ≠ 1 → ต้องแปลงก่อน E5 คิดว่าพลานต์ชนิด 1 ต้านการรบกวนได้ → ต้องมีอินทิเกรเตอร์ก่อนจุดที่การรบกวนเข้า E4
ต่อยอดไปหน้าถัดไป
ทุกอย่างในหน้านี้ใช้ได้เมื่อระบบเสถียร คำถามแรกของวิศวกรควบคุมจึงอยู่ที่เสถียรภาพ และเครื่องมือที่เร็วที่สุดคือเราท์–เฮอร์วิตซ์
คำถามที่พบบ่อย ใช้ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายได้ทุกครั้งไหม? ไม่ได้ ใช้ได้เฉพาะเมื่อ sE(s) มีขั้วอยู่ฝั่งซ้ายทั้งหมด คือระบบวงปิดต้องเสถียรก่อน ถ้าวงปิดไม่เสถียร ความผิดพลาดไม่มีค่าสุดท้าย แต่สูตรจะยังให้ตัวเลขออกมาซึ่งไม่มีความหมาย จึงต้องตรวจเสถียรภาพด้วยเราท์ก่อนเสมอ
ชนิดของระบบ (type) นับอย่างไร? นับจำนวนขั้วที่ s = 0 (อินทิเกรเตอร์บริสุทธิ์) ของฟังก์ชันวงเปิด G(s)H(s) ในระบบป้อนกลับหนึ่งหน่วย ไม่ใช่อันดับของระบบ เช่น K/(s(s+1)(s+2)) เป็นอันดับสาม แต่ชนิด 1
ทำไมเพิ่มเกนเพื่อลดความผิดพลาดแล้วระบบแกว่ง? เพราะเกนที่สูงขึ้นทั้งลดความผิดพลาดอยู่ตัวและผลักขั้ววงปิดเข้าหาแกน jω (ดูรูทโลคัส) ถึงจุดหนึ่งก็ไม่เสถียร ทางออกคือตัวชดเชย lag หรือ PI ที่เพิ่มเกนเฉพาะความถี่ต่ำ โดยไม่แตะช่วงความถี่ที่กำหนดเสถียรภาพ
มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ ดูโปรไฟล์
บทความอ่านง่ายเกี่ยวกับหัวข้อนี้
ดูบทความทั้งหมด →