พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. แคลคูลัสหลายตัวแปร
  4. สนามเวกเตอร์

// บทที่ 24.7 · แคลคูลัสเวกเตอร์ · Vector Fields

สนามเวกเตอร์ (Vector Fields): Gradient, Divergence, Curl และสนามอนุรักษ์ (Conservative Field)

สนามไฟฟ้ารอบประจุ ความเร็วของน้ำในท่อ ฟลักซ์ความร้อนในแผ่นโลหะ และแรงโน้มถ่วง ล้วนเป็นสนามเวกเตอร์ (vector field) คือการผูกลูกศรหนึ่งตัวไว้กับทุกจุดในอวกาศ คำถามพื้นฐานสองข้อที่วิศวกรถามกับสนามใดก็ตามคือ “สนามนี้แผ่ออกหรือไหลเข้าที่จุดนี้หรือไม่” และ “สนามนี้หมุนวนรอบจุดนี้หรือไม่” คำตอบคือดีเวอร์เจนซ์ (divergence) และเคิร์ล (curl) ซึ่งเป็นหัวใจของสมการแมกซ์เวลล์และกลศาสตร์ของไหล หน้านี้มีแล็บที่ให้ลากจุดแล้ววัด div กับ curl จากอินทิกรัลบนวงกลมเล็กเพื่อเห็นความหมายจริงของสองตัวนี้

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
แล็บสนามเวกเตอร์ ∇ · div · curl เอกลักษณ์ สนามอนุรักษ์ เส้นกระแส
สรุปใน 30 วินาที
  • ดีเวอร์เจนซ์ ∇⋅F=Px+Qy+Rz\nabla\cdot\mathbf F = P_x + Q_y + R_z (สเกลาร์) = การแผ่ออกต่อปริมาตร · เคิร์ล ∇×F\nabla\times\mathbf F (เวกเตอร์) = การหมุนวนต่อพื้นที่ (ใน 2D: Qx−PyQ_x - P_y)
  • ∇×(∇f)=0\nabla\times(\nabla f) = \mathbf 0 และ ∇⋅(∇×F)=0\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F) = 0 เสมอ · ∇⋅∇f=∇2f\nabla\cdot\nabla f = \nabla^2 f (ลาปลาเซียน)
  • อนุรักษ์ ⇔ ∇×F=0\nabla\times\mathbf F = \mathbf 0 (บริเวณไม่มีรู) ⇔ F=∇f\mathbf F = \nabla f ⇔ งานไม่ขึ้นกับเส้นทาง
  • ไฟฟ้าสถิต: ∇⋅E=ρ/ε0, ∇×E=0\nabla\cdot\mathbf E = \rho/\varepsilon_0,\ \nabla\times\mathbf E = \mathbf 0 · ของไหลไม่บีบอัด: ∇⋅v=0\nabla\cdot\mathbf v = 0
ระดับพื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

สนามเวกเตอร์คืออะไร พื้นฐาน

สนามเวกเตอร์ (vector field) คือฟังก์ชันที่รับจุด (x,y)(x, y) หรือ (x,y,z)(x, y, z) แล้วให้เวกเตอร์ออกมา: F(x,y)=⟨P(x,y), Q(x,y)⟩\mathbf F(x, y) = \langle P(x, y),\ Q(x, y)\rangle หรือ F=⟨P,Q,R⟩\mathbf F = \langle P, Q, R\rangle ต่างจากฟังก์ชันสเกลาร์ที่ให้ตัวเลขตัวเดียวต่อจุด (อุณหภูมิ ศักย์ไฟฟ้า ความสูง) สนามเวกเตอร์ให้ทั้งขนาดและทิศ (สนามไฟฟ้า ความเร็วของไหล ฟลักซ์ความร้อน)

D1 Vector field สนามเวกเตอร์

F(x,y,z)=P(x,y,z) i+Q(x,y,z) j+R(x,y,z) k,F:R3→R3\mathbf F(x, y, z) = P(x, y, z)\,\mathbf i + Q(x, y, z)\,\mathbf j + R(x, y, z)\,\mathbf k,\qquad \mathbf F: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3

ตัวอย่าง: F=⟨−y,x⟩\mathbf F = \langle -y, x\rangle (หมุนรอบจุดกำเนิด) · F=⟨x,y⟩\mathbf F = \langle x, y\rangle (พุ่งออก) · E=kq r/r3\mathbf E = kq\,\mathbf r/r^3 (ประจุจุด) · v=⟨x,−y⟩\mathbf v = \langle x, -y\rangle (ไหลเข้ามุม)

D2 Gradient field สนามเกรเดียนต์

f(x,y,z) ⟼ ∇f=⟨fx,fy,fz⟩,E=−∇V,q=−k∇T,v=−K∇hf(x, y, z) \ \longmapsto\ \nabla f = \langle f_x, f_y, f_z\rangle,\qquad \mathbf E = -\nabla V,\quad \mathbf q = -k\nabla T,\quad \mathbf v = -K\nabla h

ฟังก์ชันสเกลาร์ → สนามเวกเตอร์ (บทเกรเดียนต์) · สนามที่มาจากเกรเดียนต์เรียกสนามอนุรักษ์ มีฟังก์ชันศักย์ ff

วาดสนามด้วยลูกศร ณ จุดตัวอย่างบนตาราง (ความยาวหรือสีบอกขนาด) หรือด้วยเส้นกระแส (flow lines / field lines) ที่สัมผัสทิศของสนามทุกจุด เช่นเส้นแรงไฟฟ้า เส้นลมในอุโมงค์ลม เส้นไหลของน้ำรอบเสา ทั้งสองแบบมีอยู่ในแล็บด้านล่าง

ตัวดำเนินการ ∇ ดีเวอร์เจนซ์ เคิร์ล และลาปลาเซียน กลาง

ตัวดำเนินการ ∇=⟨∂∂x,∂∂y,∂∂z⟩\nabla = \left\langle\dfrac{\partial}{\partial x}, \dfrac{\partial}{\partial y}, \dfrac{\partial}{\partial z}\right\rangle (เดล) ทำหน้าที่เหมือนเวกเตอร์ที่ใส่อนุพันธ์ย่อยเป็นองค์ประกอบ ใช้ได้สามแบบ: คูณสเกลาร์ (∇f\nabla f = gradient) ดอตกับเวกเตอร์ (∇⋅F\nabla\cdot\mathbf F = divergence) และครอสกับเวกเตอร์ (∇×F\nabla\times\mathbf F = curl)

D3 Divergence ดีเวอร์เจนซ์

∇⋅F=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z=lim⁡V→01V∮ ⁣ ⁣∮SF⋅n dS\nabla\cdot\mathbf F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = \lim_{V\to0}\frac{1}{V}\oint\!\!\oint_{S}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS

ความหมาย: การไหลออกสุทธิต่อหน่วยปริมาตร · >0> 0 แหล่งกำเนิด (source) · <0< 0 ท่อรับ (sink) · =0= 0 ไม่บีบอัด (solenoidal) · ผลเป็นสเกลาร์

D4 Curl เคิร์ล

∇×F=∣ijk∂x∂y∂zPQR∣=⟨Ry−Qz, Pz−Rx, Qx−Py⟩\nabla\times\mathbf F = \begin{vmatrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\ P & Q & R\end{vmatrix} = \langle R_y - Q_z,\ P_z - R_x,\ Q_x - P_y\rangle

ความหมาย: การหมุนวนต่อหน่วยพื้นที่ · ทิศ = แกนหมุนตามกฎมือขวา · ขนาด = 2 × ความเร็วเชิงมุมของใบพัดเล็ก (paddle wheel) · =0= \mathbf 0 เรียก irrotational · ผลเป็นเวกเตอร์ · ในสองมิติ F=⟨P,Q,0⟩\mathbf F = \langle P, Q, 0\rangle ให้ curl⁡=Qx−Py\operatorname{curl} = Q_x - P_y (องค์ประกอบ zz)

D5 Laplacian ลาปลาเซียน

∇2f=∇⋅(∇f)=fxx+fyy+fzz\nabla^2 f = \nabla\cdot(\nabla f) = f_{xx} + f_{yy} + f_{zz}

ผลเป็นสเกลาร์ · ∇2f=0\nabla^2 f = 0 คือสมการลาปลาซ (สภาวะคงตัว) · ∇2V=−ρ/ε0\nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0 พัวซอง

D6 Rigid rotation การหมุนแบบวัตถุแข็ง

v=ω×r ⇒ ∇×v=2ω,∇⋅v=0\mathbf v = \boldsymbol\omega\times\mathbf r\ \Rightarrow\ \nabla\times\mathbf v = 2\boldsymbol\omega,\qquad \nabla\cdot\mathbf v = 0

เคิร์ลของความเร็วคือสองเท่าของความเร็วเชิงมุม (นี่คือที่มาของ “ความหมุนวน” ζ=∇×v\boldsymbol\zeta = \nabla\times\mathbf v ในกลศาสตร์ของไหล)

แล็บสนามเวกเตอร์: วัด div และ curl จากวงกลมเล็ก

เลือกสนามหรือพิมพ์ P(x,y)P(x, y) และ Q(x,y)Q(x, y) เองแล้วเปิดสีพื้น “ดีเวอร์เจนซ์” หรือ “เคิร์ล” (สีส้ม = บวก สีฟ้า = ลบ) ลากจุดสีส้ม วงกลมดำคือวงทดสอบรัศมี ρ\rho โปรแกรมคำนวณการไหลออกสุทธิ ∮F⋅n ds\oint\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds และการหมุนวน ∮F⋅dr\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r ตามวงกลมด้วยอินทิกรัลเชิงตัวเลข แล้วหารด้วยพื้นที่ πρ2\pi\rho^2 เทียบกับค่า div และ curl ที่ได้จากสูตร ยิ่งลดรัศมีวงกลม ตัวเลขยิ่งตรงกัน (นี่คือคำจำกัดความ “ต่อหน่วยพื้นที่” ของ div และ curl) เปิดอนุภาคไหลเพื่อดูการเคลื่อนที่

แผ่ออก (source)div F = 2, curl F = 0หมุนวน (rotation)div F = 0, curl F = 2เฉือน (shear)div F = 0, curl F = −1ใบพัดเล็ก (paddle wheel) หมุนเมื่อ curl ≠ 0 · ฟองสบู่พองเมื่อ div > 0
ดีเวอร์เจนซ์และเคิร์ลของสนามเวกเตอร์ 2 มิติ: สนามแผ่ออก (∇⋅F>0\nabla\cdot\mathbf F > 0) สนามหมุนวน (∇×F≠0\nabla\times\mathbf F \ne \mathbf 0) และสนามเฉือน (ทั้ง div และ curl ได้จากตัวเลขเดียวกัน) · ใบพัดเล็กหมุนเมื่อ curl ≠ 0
ตัวอย่าง D-1 · คำนวณ div และ curl

F=⟨x2y, y2z, z2x⟩\mathbf F = \langle x^2 y,\ y^2 z,\ z^2 x\rangle หา ∇⋅F\nabla\cdot\mathbf F และ ∇×F\nabla\times\mathbf F แล้วคำนวณที่ (1,2,3)(1, 2, 3)

  1. P=x2y, Q=y2z, R=z2xP = x^2y,\ Q = y^2z,\ R = z^2x · ∇⋅F=Px+Qy+Rz=2xy+2yz+2zx\nabla\cdot\mathbf F = P_x + Q_y + R_z = 2xy + 2yz + 2zx

  2. Ry−Qz=0−y2=−y2R_y - Q_z = 0 - y^2 = -y^2 · Pz−Rx=0−z2=−z2P_z - R_x = 0 - z^2 = -z^2 · Qx−Py=0−x2=−x2Q_x - P_y = 0 - x^2 = -x^2

  3. ∇×F=⟨−y2, −z2, −x2⟩\nabla\times\mathbf F = \langle -y^2,\ -z^2,\ -x^2\rangle

  4. ที่ (1,2,3)(1, 2, 3): div =2(2)+2(6)+2(3)=4+12+6=22= 2(2) + 2(6) + 2(3) = 4 + 12 + 6 = 22 · curl =⟨−4, −9, −1⟩= \langle -4,\ -9,\ -1\rangle

∇⋅F=2(xy+yz+zx)\nabla\cdot\mathbf F = 2(xy + yz + zx) → 22 · ∇×F=⟨−y2,−z2,−x2⟩\nabla\times\mathbf F = \langle-y^2, -z^2, -x^2\rangle → ⟨−4,−9,−1⟩\langle-4,-9,-1\rangle

ตัวอย่าง D-2 · โรเตอร์หมุน (เครื่องกล)

ความเร็วของจุดบนโรเตอร์ที่หมุนรอบแกน zz ด้วย ω=314\omega = 314 rad/s คือ v=⟨−ωy, ωx, 0⟩\mathbf v = \langle -\omega y,\ \omega x,\ 0\rangle หา div และ curl

  1. P=−ωy, Q=ωx, R=0P = -\omega y,\ Q = \omega x,\ R = 0

  2. ∇⋅v=∂x(−ωy)+∂y(ωx)+0=0\nabla\cdot\mathbf v = \partial_x(-\omega y) + \partial_y(\omega x) + 0 = 0 → วัสดุไม่ถูกบีบอัดหรือขยาย (เป็นการหมุนแบบแข็ง)

  3. ∇×v=⟨0, 0, Qx−Py⟩=⟨0,0,ω−(−ω)⟩=⟨0,0,2ω⟩\nabla\times\mathbf v = \langle 0,\ 0,\ Q_x - P_y\rangle = \langle0, 0, \omega - (-\omega)\rangle = \langle 0, 0, 2\omega\rangle = 2ω k2\omega\,\mathbf k

  4. เคิร์ลคือ 2×314=6282\times314 = 628 rad/s ชี้ตามแกน zz (กฎมือขวา) ตรงกับสูตร D6 ที่ ∇×v=2ω\nabla\times\mathbf v = 2\boldsymbol\omega

div = 0 · curl = 2ω k=628 k2\omega\,\mathbf k = 628\,\mathbf k rad/s (ในแล็บ: ทุกจุด curl เป็นค่าคงที่ = 2)

ตัวอย่าง D-3 · สนามกำลังสองผกผัน (ไฟฟ้า)

E=kq rr3\mathbf E = kq\,\dfrac{\mathbf r}{r^3} (ประจุจุด) แสดงว่า ∇⋅E=0\nabla\cdot\mathbf E = 0 และ ∇×E=0\nabla\times\mathbf E = \mathbf 0 ที่ r≠0r \ne 0

  1. องค์ประกอบ Ex=kq x (x2+y2+z2)−3/2E_x = kq\,x\,(x^2 + y^2 + z^2)^{-3/2} · ∂xEx=kq[r−3−3x2r−5]\partial_x E_x = kq\left[r^{-3} - 3x^2 r^{-5}\right]

  2. บวกกับ ∂yEy\partial_y E_y และ ∂zEz\partial_z E_z (รูปเดียวกัน): ∇⋅E=kq[3r−3−3(x2+y2+z2)r−5]=kq[3r−3−3r−3]=0\nabla\cdot\mathbf E = kq\left[3r^{-3} - 3(x^2 + y^2 + z^2)r^{-5}\right] = kq\left[3r^{-3} - 3r^{-3}\right] = 0

  3. เคิร์ล: เช่น ∂yEz−∂zEy=kq[−3yzr−5+3zyr−5]=0\partial_y E_z - \partial_z E_y = kq\left[-3yzr^{-5} + 3zyr^{-5}\right] = 0 (ทุกองค์ประกอบเป็นศูนย์) เพราะ E=−∇(kq/r)\mathbf E = -\nabla(kq/r) เป็นเกรเดียนต์

  4. แต่ฟลักซ์ผ่านทรงกลมรอบประจุเท่ากับ 4πkq=q/ε04\pi kq = q/\varepsilon_0 ไม่ใช่ศูนย์ — ที่จุดกำเนิดสนามไม่นิยามและ div เป็น “ฟังก์ชันเดลต้า” (แหล่งกำเนิดจุด) ซึ่งคือเนื้อหาของกฎของเกาส์ (ลองในแล็บ Gauss ด้วย F=r/ρ3\mathbf F = \mathbf r/\rho^3)

นอกจุดกำเนิด ∇⋅E=0\nabla\cdot\mathbf E = 0 และ ∇×E=0\nabla\times\mathbf E = \mathbf 0 · ที่จุดกำเนิดมีแหล่งกำเนิดจุด

เอกลักษณ์เวกเตอร์ที่ต้องรู้ กลาง

เอกลักษณ์สองข้อแรกมาจากข้อเท็จจริงเดียว: อนุพันธ์ย่อยผสมสลับลำดับได้ (ทฤษฎีบทของแคลโร บทอนุพันธ์ย่อย) สองข้อนี้อธิบายว่าทำไมสนามไฟฟ้าสถิตไม่หมุนวน และสนามแม่เหล็กไม่มีแหล่งกำเนิด

D7 Curl of a gradient เคิร์ลของเกรเดียนต์

∇×(∇f)=0(เช่น (fz)y−(fy)z=0 เพราะ fzy=fyz)\nabla\times(\nabla f) = \mathbf 0 \qquad\left(\text{เช่น } (f_z)_y - (f_y)_z = 0 \text{ เพราะ } f_{zy} = f_{yz}\right)

ทุกสนามที่เป็น gradient ไม่หมุนวน · ใช้ตรวจว่า F\mathbf F ไม่ใช่ gradient: ถ้า curl ≠ 0 แล้ว F≠∇f\mathbf F \ne \nabla f ทุก ff

D8 Divergence of a curl ดีเวอร์เจนซ์ของเคิร์ล

∇⋅(∇×F)=0\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F) = 0

สนามที่เป็น curl ของสนามอื่น ไม่มีแหล่งกำเนิด · B=∇×A\mathbf B = \nabla\times\mathbf A จึง ∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf B = 0 (ไม่มีประจุแม่เหล็กเดี่ยว)

D9 Product rules กฎผลคูณ

∇⋅(fF)=f ∇⋅F+∇f⋅F,∇×(fF)=f ∇×F+∇f×F,∇×(∇×F)=∇(∇⋅F)−∇2F\nabla\cdot(f\mathbf F) = f\,\nabla\cdot\mathbf F + \nabla f\cdot\mathbf F,\qquad \nabla\times(f\mathbf F) = f\,\nabla\times\mathbf F + \nabla f\times\mathbf F,\qquad \nabla\times(\nabla\times\mathbf F) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf F) - \nabla^2\mathbf F

ข้อสุดท้ายใช้ในการหาสมการคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าจากสมการแมกซ์เวลล์ (บทไฟฟ้า)

ตัวอย่าง D-4 · ตรวจเอกลักษณ์

ให้ f=x2y+xz3f = x^2y + xz^3 หา ∇f\nabla f, ตรวจ ∇×∇f=0\nabla\times\nabla f = \mathbf 0 และคำนวณ ∇2f\nabla^2 f

  1. ∇f=⟨2xy+z3, x2, 3xz2⟩\nabla f = \langle 2xy + z^3,\ x^2,\ 3xz^2\rangle

  2. curl: ⟨(3xz2)y−(x2)z, (2xy+z3)z−(3xz2)x, (x2)x−(2xy+z3)y⟩=⟨0−0, 3z2−3z2, 2x−2x⟩=0\langle (3xz^2)_y - (x^2)_z,\ (2xy + z^3)_z - (3xz^2)_x,\ (x^2)_x - (2xy + z^3)_y\rangle = \langle 0 - 0,\ 3z^2 - 3z^2,\ 2x - 2x\rangle = \mathbf 0 ✓

  3. ∇2f=∇⋅∇f=(2xy+z3)x+(x2)y+(3xz2)z=2y+0+6xz=2y+6xz\nabla^2 f = \nabla\cdot\nabla f = (2xy + z^3)_x + (x^2)_y + (3xz^2)_z = 2y + 0 + 6xz = 2y + 6xz

curl(grad f) = 0\mathbf 0 ✓ · ∇2f=2y+6xz\nabla^2 f = 2y + 6xz

สนามอนุรักษ์และฟังก์ชันศักย์ กลาง

สนามเวกเตอร์ F\mathbf F เป็นสนามอนุรักษ์ (conservative) ถ้ามีฟังก์ชันสเกลาร์ ff ที่ F=∇f\mathbf F = \nabla f (เรียก ff ว่าฟังก์ชันศักย์) ผลคืองานของสนามไม่ขึ้นกับเส้นทาง (บทอินทิกรัลตามเส้น) สนามไฟฟ้าสถิตและแรงโน้มถ่วงเป็นแบบนี้ ส่วนแรงเสียดทานและสนามไฟฟ้าเหนี่ยวนำไม่ใช่

D10 Test for a conservative field การทดสอบสนามอนุรักษ์

R2: ∂P∂y=∂Q∂x,R3: ∇×F=0(บนบริเวณเปิดที่เชื่อมต่อแบบง่าย)\mathbb R^2:\ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x},\qquad \mathbb R^3:\ \nabla\times\mathbf F = \mathbf 0\qquad(\text{บนบริเวณเปิดที่เชื่อมต่อแบบง่าย})

ต้อง “เชื่อมต่อแบบง่าย” (simply connected: ไม่มีรู) · ตัวอย่างค้านที่มีรู: F=⟨−y,x⟩x2+y2\mathbf F = \dfrac{\langle -y, x\rangle}{x^2 + y^2} มี Qx=PyQ_x = P_y ทุกจุดยกเว้นจุดกำเนิดแต่ ∮F⋅dr=2π≠0\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r = 2\pi \ne 0 รอบจุดกำเนิด → ไม่อนุรักษ์

D11 Finding the potential function วิธีหาฟังก์ชันศักย์

fx=P⇒f=∫P dx+g(y,z);  fy=Q⇒gy=Q−∂y ⁣ ⁣∫P dx;  อินทิเกรต gy แล้วทำซ้ำกับ fz=Rf_x = P \Rightarrow f = \int P\,dx + g(y,z);\ \ f_y = Q \Rightarrow g_y = Q - \partial_y\!\!\int P\,dx;\ \ \text{อินทิเกรต } g_y\text{ แล้วทำซ้ำกับ } f_z = R

ได้ ff ถึงค่าคงที่ CC · ตรวจทุกครั้งโดย ∇f=F\nabla f = \mathbf F · ในไฟฟ้ามักนิยาม E=−∇V\mathbf E = -\nabla V ดังนั้น V=−fV = -f

ตัวอย่าง D-5 · หาฟังก์ชันศักย์สามมิติ

แสดงว่า F=⟨2xy+z3, x2, 3xz2⟩\mathbf F = \langle 2xy + z^3,\ x^2,\ 3xz^2\rangle เป็นสนามอนุรักษ์ และหา ff

  1. เคิร์ล: Ry−Qz=0−0=0R_y - Q_z = 0 - 0 = 0 · Pz−Rx=3z2−3z2=0P_z - R_x = 3z^2 - 3z^2 = 0 · Qx−Py=2x−2x=0Q_x - P_y = 2x - 2x = 0 → ∇×F=0\nabla\times\mathbf F = \mathbf 0 บน R3\mathbb R^3 (ไม่มีรู) → อนุรักษ์

  2. fx=2xy+z3f_x = 2xy + z^3 → f=x2y+xz3+g(y,z)f = x^2y + xz^3 + g(y, z)

  3. fy=x2+gy=Q=x2f_y = x^2 + g_y = Q = x^2 → gy=0g_y = 0 → g=h(z)g = h(z)

  4. fz=3xz2+h′(z)=R=3xz2f_z = 3xz^2 + h'(z) = R = 3xz^2 → h′=0h' = 0 → h=Ch = C

  5. f(x,y,z)=x2y+xz3+Cf(x, y, z) = x^2y + xz^3 + C · ตรวจ: ∇f=⟨2xy+z3, x2, 3xz2⟩=F\nabla f = \langle 2xy + z^3,\ x^2,\ 3xz^2\rangle = \mathbf F ✓ (นี่คือ ff ของตัวอย่าง D-4)

f=x2y+xz3+Cf = x^2 y + x z^3 + C

ตัวอย่าง D-6 · สนามสองมิติที่ไม่อนุรักษ์

ตรวจ F1=⟨2xy, x2−3y2⟩\mathbf F_1 = \langle 2xy,\ x^2 - 3y^2\rangle และ F2=⟨y2, x⟩\mathbf F_2 = \langle y^2,\ x\rangle

  1. F1\mathbf F_1: Py=2xP_y = 2x · Qx=2xQ_x = 2x → เท่ากัน → อนุรักษ์ · ศักย์ f=x2y−y3f = x^2y - y^3 (ตรวจ fx=2xy, fy=x2−3y2f_x = 2xy,\ f_y = x^2 - 3y^2 ✓)

  2. F2\mathbf F_2: Py=2yP_y = 2y แต่ Qx=1Q_x = 1 → ไม่เท่ากัน (curl =1−2y≠0= 1 - 2y \ne 0) → ไม่อนุรักษ์

  3. ในแล็บ เปิดสีพื้นเคิร์ลของ F2\mathbf F_2: ค่าเป็นบวกใต้เส้น y=0.5y = 0.5 และลบเหนือเส้นนั้น ที่ y=0.5y = 0.5 curl หายไป · งานตามวงปิดที่ผ่านบริเวณ curl ≠ 0 จึงไม่เป็นศูนย์

F1\mathbf F_1 อนุรักษ์ (f=x2y−y3f = x^2y - y^3) · F2\mathbf F_2 ไม่อนุรักษ์ (curl = 1−2y1 - 2y)

สนามอนุรักษ์?เหตุผล / ความหมายทางฟิสิกส์
สนามไฟฟ้าสถิต E\mathbf Eใช่∇×E=0\nabla\times\mathbf E = \mathbf 0 · มีศักย์ไฟฟ้า VV · แรงดันระหว่างสองจุดไม่ขึ้นกับสายที่ใช้วัด
แรงโน้มถ่วงใช่มีพลังงานศักย์ mghmgh · งานของแรงโน้มถ่วงขึ้นกับความสูงต้น-ปลาย เท่านั้น
แรงสปริง F=−kr\mathbf F = -k\mathbf rใช่ศักย์ 12kr2\tfrac12 kr^2
แรงเสียดทานไม่ทำงานมากขึ้นถ้าเส้นทางยาวขึ้น · พลังงานสูญเป็นความร้อน
สนามไฟฟ้าเหนี่ยวนำ (ฟาราเดย์)ไม่∇×E=−∂B/∂t≠0\nabla\times\mathbf E = -\partial\mathbf B/\partial t \ne \mathbf 0 · ใช้ในหม้อแปลงและมอเตอร์
สนามแม่เหล็กรอบเส้นลวด B\mathbf Bไม่ (ในบริเวณรอบลวด)∮B⋅dl=μ0I\oint\mathbf B\cdot d\mathbf l = \mu_0 I (Ampère) ≠ 0
ความเร็วของของไหลอุดมคติ (ไม่หมุนวน)ใช่ (irrotational)มีศักย์ความเร็ว ϕ\phi และ ∇2ϕ=0\nabla^2\phi = 0 เมื่อไม่บีบอัด

เส้นกระแส (Flow Lines) กลาง

เส้นกระแสคือเส้นทาง r(t)\mathbf r(t) ที่ความเร็วเท่ากับสนาม ณ ตำแหน่งนั้นเสมอ: r′(t)=F(r(t))\mathbf r'(t) = \mathbf F(\mathbf r(t)) เป็นระบบสมการเชิงอนุพันธ์ (เป็นเส้นทางของอนุภาคเล็กที่ลอยไปกับของไหลเมื่อการไหลคงที่) ในสนามไฟฟ้า เส้นแรงออกจากประจุบวกเข้าประจุลบ และไม่ตัดกัน

ตัวอย่าง D-7 · หาเส้นกระแสด้วยการแก้ ODE

หาเส้นกระแสของ F=⟨x, −y⟩\mathbf F = \langle x,\ -y\rangle ที่ผ่านจุด (2,1)(2, 1)

  1. ตั้ง dxdt=x\dfrac{dx}{dt} = x และ dydt=−y\dfrac{dy}{dt} = -y → x=2etx = 2e^{t} และ y=e−ty = e^{-t} (เริ่มที่ t=0t = 0)

  2. กำจัด tt: xy=2ete−t=2xy = 2e^{t}e^{-t} = 2 เป็นค่าคงที่ตลอดเส้นทาง

  3. เส้นกระแสคือไฮเพอร์โบลา xy=2xy = 2 เคลื่อนเข้าหาแกน xx และออกห่างแกน yy · นี่คือการไหลเข้ามุมฉาก (stagnation flow) ที่จุดกำเนิดความเร็วเป็นศูนย์

  4. ตรวจ: ∇⋅F=1+(−1)=0\nabla\cdot\mathbf F = 1 + (-1) = 0 (ไม่บีบอัด) และ ∇×F=0\nabla\times\mathbf F = 0 → เป็นการไหลศักย์ของของไหลอุดมคติ

เส้นกระแส: xy=2xy = 2 (ไฮเพอร์โบลา) · div = 0 และ curl = 0

นำไปใช้ในงานวิศวกรรม พื้นฐาน

สาขาสมการความหมาย
ไฟฟ้า∇⋅D=ρv,  ∇×E=−∂tB\nabla\cdot\mathbf D = \rho_v,\ \ \nabla\times\mathbf E = -\partial_t\mathbf Bกฎของเกาส์และฟาราเดย์ในรูปอนุพันธ์ (บทไฟฟ้า)
ไฟฟ้า∇⋅B=0,  ∇×H=J+∂tD\nabla\cdot\mathbf B = 0,\ \ \nabla\times\mathbf H = \mathbf J + \partial_t\mathbf Dไม่มีประจุแม่เหล็ก · กฎของแอมแปร์-แมกซ์เวลล์
เครื่องกล∇⋅v=0\nabla\cdot\mathbf v = 0 (ไม่บีบอัด) · ζ=∇×v\boldsymbol\zeta = \nabla\times\mathbf vสมการความต่อเนื่องและความหมุนวนของของไหล (บทเครื่องกล)
เครื่องกล∇⋅q=q˙gen\nabla\cdot\mathbf q = \dot q_{gen}สมดุลพลังงานความร้อนที่จุดหนึ่ง
โยธาv=−K∇h,  ∇⋅v=0\mathbf v = -K\nabla h,\ \ \nabla\cdot\mathbf v = 0ดาร์ซีและความต่อเนื่อง → ∇2h=0\nabla^2h = 0 การซึมผ่านดิน (บทโยธา)
โยธา∇⋅σ+f=0\nabla\cdot\boldsymbol\sigma + \mathbf f = \mathbf 0สมดุลความเค้นภายในวัสดุ (ดีเวอร์เจนซ์ของเทนเซอร์)

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน

  1. สลับผลลัพธ์ของ div กับ curl · div ได้สเกลาร์ curl (สามมิติ) ได้เวกเตอร์ · เขียน ∇⋅F\nabla\cdot\mathbf F ผลเป็นเวกเตอร์ผิดแน่นอน
  2. ใช้ curl = 0 ตัดสินสนามอนุรักษ์ในบริเวณที่มีรู · ตัวอย่าง ⟨−y,x⟩/(x2+y2)\langle -y, x\rangle/(x^2 + y^2)
  3. เคิร์ลของสนามสองมิติ · ใช้ Qx−PyQ_x - P_y (ไม่ใช่ Py−QxP_y - Q_x) ลำดับสำคัญต่อเครื่องหมาย
  4. ลืมตัวห้อยของ PyP_y · Py=∂P/∂yP_y = \partial P/\partial y ไม่ใช่ PP คูณ yy
  5. เชื่อว่า div = 0 แปลว่าสนามเป็นศูนย์ · สนามที่มีลูกศรใหญ่ได้ แต่ไหลเข้า-ออกสมดุล (เช่นการไหลเข้ามุม)

ไปต่อที่อินทิกรัลตามเส้นและทฤษฎีบทของกรีน ที่เชื่อมการหมุนวน (curl) กับการหมุนวนบนวงปิด และสนามอนุรักษ์กับงานที่ไม่ขึ้นกับเส้นทาง

คำถามที่พบบ่อย

สนามเวกเตอร์ (vector field) คืออะไร ยกตัวอย่าง?

คือฟังก์ชันที่ผูกเวกเตอร์หนึ่งตัวกับทุกจุดในระนาบหรืออวกาศ F(x,y,z)=⟨P,Q,R⟩\mathbf F(x, y, z) = \langle P, Q, R\rangle เช่นสนามไฟฟ้ารอบประจุ E\mathbf E สนามความเร็วของน้ำในท่อ v\mathbf v ฟลักซ์ความร้อน q\mathbf q สนามแรงโน้มถ่วง และสนามแม่เหล็ก B\mathbf B ต่างจากฟังก์ชันสเกลาร์ที่ให้ตัวเลขตัวเดียวต่อจุด (อุณหภูมิ ศักย์) วาดสนามเป็นลูกศรที่ตำแหน่งต่าง ๆ หรือเป็นเส้นกระแสที่สัมผัสลูกศรทุกจุด

ดีเวอร์เจนซ์ (divergence) กับเคิร์ล (curl) ต่างกันอย่างไร?

ดีเวอร์เจนซ์ ∇⋅F=Px+Qy+Rz\nabla\cdot\mathbf F = P_x + Q_y + R_z เป็นสเกลาร์ วัดการ “แผ่ออก” ของสนามจากจุดหนึ่ง (แหล่งกำเนิดเป็นบวก ท่อรับเป็นลบ) ส่วนเคิร์ล ∇×F\nabla\times\mathbf F เป็นเวกเตอร์ วัดการ “หมุนวน” รอบจุด (ทิศคือแกนหมุนตามกฎมือขวา ขนาดคือสองเท่าของความเร็วเชิงมุมของใบพัดเล็กที่วางในสนาม) สนามที่ ∇⋅F=0\nabla\cdot\mathbf F = 0 เรียกว่า solenoidal (ไม่บีบอัด) สนามที่ ∇×F=0\nabla\times\mathbf F = \mathbf 0 เรียกว่า irrotational

สนามอนุรักษ์ (conservative field) ตรวจอย่างไร?

ในสองมิติตรวจ ∂P/∂y=∂Q/∂x\partial P/\partial y = \partial Q/\partial x ในสามมิติตรวจ ∇×F=0\nabla\times\mathbf F = \mathbf 0 บนบริเวณที่เชื่อมต่อแบบง่าย (ไม่มีรู) ถ้าผ่านการตรวจจะมีฟังก์ชันศักย์ ff ที่ F=∇f\mathbf F = \nabla f และงาน ∫F⋅dr\int\mathbf F\cdot d\mathbf r ไม่ขึ้นกับเส้นทาง ตัวอย่างคือสนามไฟฟ้าสถิตและแรงโน้มถ่วง ส่วนแรงเสียดทานไม่อนุรักษ์ ระวังกรณีมีรู เช่น ⟨−y,x⟩/(x2+y2)\langle -y, x\rangle/(x^2+y^2) มี curl เป็นศูนย์แต่ไม่อนุรักษ์เพราะวนรอบจุดกำเนิด

หาฟังก์ชันศักย์ (potential function) จากสนามอนุรักษ์อย่างไร?

อินทิเกรต fx=Pf_x = P ตาม xx ได้ f=∫P dx+g(y,z)f = \int P\,dx + g(y, z) แล้วหาอนุพันธ์ตาม yy เทียบกับ QQ เพื่อหา gyg_y อินทิเกรตหา gg แล้วทำซ้ำกับ zz ตัวอย่าง F=⟨2xy+z3, x2, 3xz2⟩\mathbf F = \langle 2xy + z^3,\ x^2,\ 3xz^2\rangle ได้ f=x2y+xz3+Cf = x^2y + xz^3 + C ตรวจโดย ∇f=F\nabla f = \mathbf F ในงานไฟฟ้า ศักย์ VV ในนิยาม E=−∇V\mathbf E = -\nabla V ต่างจาก ff แค่เครื่องหมายลบ

เอกลักษณ์ curl(grad f) = 0 และ div(curl F) = 0 บอกอะไร?

∇×(∇f)=0\nabla\times(\nabla f) = \mathbf 0 บอกว่าสนามที่มาจาก gradient (เช่นสนามไฟฟ้าสถิต E=−∇V\mathbf E = -\nabla V) ไม่มีการหมุนวน ส่วน ∇⋅(∇×F)=0\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F) = 0 บอกว่าสนามที่มาจาก curl (เช่นสนามแม่เหล็ก B=∇×A\mathbf B = \nabla\times\mathbf A) ไม่มีแหล่งกำเนิดหรือท่อรับ นั่นคือ ∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf B = 0 ไม่มีประจุแม่เหล็กเดี่ยว ทั้งสองมาจากการที่อนุพันธ์ย่อยผสมสลับลำดับได้ (ทฤษฎีบทของแคลโร)

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์