พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. เวกเตอร์
  4. ประยุกต์ทางวิศวกรรม

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 3 · Engineering applications

การประยุกต์เวกเตอร์ทางวิศวกรรม — จากรูปโจทย์สู่คำตอบที่ตรวจได้

การจำสูตรอย่างเดียวไม่พอ ต้องรู้ว่าเวกเตอร์เริ่มจากไหน ชี้ไปไหน ใช้หน่วยอะไร และสูตรสมมติอะไรไว้ หน้านี้เดินจากการรวมแรงในสองมิติไปสู่สายเคเบิลสามมิติ งาน โมเมนต์ สนามแม่เหล็ก และการเคลื่อนที่ของหุ่นยนต์ ทุกตัวอย่างมีขั้นตอนแทนค่าจริงและจุดตรวจคำตอบ

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
สายเคเบิล 3Dงานโมเมนต์แม่เหล็กสรุปสูตร
สรุปใน 30 วินาที
  • รวมแรงด้วยการบวกองค์ประกอบในระบบพิกัดเดียวกัน
  • แรงดึงสายเคเบิล = ขนาดแรงดึง × เวกเตอร์หนึ่งหน่วยจากวัตถุไปปลายสาย
  • Dot product ใช้กับงานและการฉาย ส่วน Cross product ใช้กับโมเมนต์ แม่เหล็ก และการหมุน
  • คำตอบต้องมีหน่วย ทิศ จุดอ้างอิง และเงื่อนไขของแบบจำลอง สมดุลของวัตถุแข็งเกร็งต้องตรวจทั้งแรงและโมเมนต์

1. ตั้งแบบจำลองก่อนคำนวณ: รูปแรง แกน หน่วย และข้อสมมติ

เริ่มจากแยกวัตถุที่สนใจแล้ววาด Free-body diagram ใส่แรงภายนอกทุกตัว ระบุตำแหน่งที่แรงกระทำ เลือกแกน x,y,zx,y,z แบบมือขวาและเขียนหน่วยไว้ พิกัดและแรงทั้งหมดต้องอ้างอิงกรอบเดียวกัน จากนั้นจึงเลือกการดำเนินการของเวกเตอร์

คำถามของโจทย์การดำเนินการสิ่งที่ต้องรู้เพิ่ม
แรงรวมเท่าไร?บวกเวกเตอร์ ∑F\sum\mathbf Fองค์ประกอบหรือขนาดและทิศของแรงทุกตัว
แรงตามแนวรางเท่าไร?Dot กับเวกเตอร์หนึ่งหน่วยทิศบวกของราง
งานของแรงเท่าไร?Dot หรืออินทิกรัลเส้นแรงคงที่หรือเปลี่ยนตามเส้นทาง
แรงทำให้หมุนรอบไหน?r×F\mathbf r\times\mathbf Fจุดหรือแกนอ้างอิงและจุดออกแรง
แรงแม่เหล็กชี้ไปไหน?Cross และเครื่องหมายประจุสนาม ทิศกระแสหรือความเร็ว และส่วนที่อยู่ในสนาม
ขอบเขตของตัวอย่าง: ตัวเลขต่อไปนี้เป็นโจทย์สาธิต ไม่ใช่การรับรองความปลอดภัยของโครงสร้างหรืออุปกรณ์จริง โดยถือว่าพิกัดและแรงเป็นค่าที่ทราบแน่นอน การออกแบบจริงต้องใช้ข้อมูลวัสดุ ภาระโหลด ข้อจำกัด และมาตรฐานที่เกี่ยวข้องเพิ่มเติม

2. แรงลัพธ์ 2 มิติ: รวมองค์ประกอบก่อนหาขนาด

เมื่อแรงหลายตัวกระทำที่จุดเดียวกัน ให้บวกองค์ประกอบตามแกนเดียวกัน ห้ามบวกขนาดแรงตรง ๆ เว้นแต่ทุกแรงขนานทิศเดียวกัน มุมที่วัดทวนเข็มจากแกน +x+x ให้ Fx=Fcos⁡θF_x=F\cos\theta, Fy=Fsin⁡θF_y=F\sin\theta แต่ถ้าโจทย์วัดจากแกนอื่นต้องอ่านรูปก่อน ไม่ใช้สูตรนี้โดยอัตโนมัติ

E1 Force resultant รวมแรงและอ่านมุมให้ถูกควอดแรนต์

R=∑iFi,Rx=∑iFix,Ry=∑iFiy,∥R∥=Rx2+Ry2,θR=atan2⁡(Ry,Rx)\mathbf R=\sum_i\mathbf F_i,\quad R_x=\sum_iF_{ix},\quad R_y=\sum_iF_{iy},\quad\|\mathbf R\|=\sqrt{R_x^2+R_y^2},\quad\theta_R=\operatorname{atan2}(R_y,R_x)

atan2⁡\operatorname{atan2} ใช้เครื่องหมายของสององค์ประกอบเพื่อเลือกควอดแรนต์ ต่างจาก tan⁡−1(Ry/Rx)\tan^{-1}(R_y/R_x) ที่ต้องแก้มุมเอง หาก R=0\mathbf R=\mathbf0 ไม่มีทิศของแรงลัพธ์ที่กำหนดได้

แรงสองตัวและแรงลัพธ์บนพิกัด xyแรง F1 ชี้ขึ้นขวาทำมุม 30 องศา แรง F2 ชี้ขึ้นซ้าย แรงลัพธ์เป็นเส้นทแยงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ชี้ขึ้นขวาด้วยมุมที่มากกว่าแรง F1+x+yF₁ = 500 NF₂ = (−100, 200) NR30°R = (333.01, 450) N
ภาพวาดใช้สเกลองค์ประกอบเดียวกัน แรงลัพธ์เป็นเส้นทแยง ไม่ใช่ผลบวกของความยาวลูกศร
ตัวอย่าง E-1 · แรงจากอุปกรณ์สองตัว

แรง F1\mathbf F_1 ขนาด 500 N500\,\mathrm N ทำมุม 30∘30^\circ จาก +x+x และ F2=(−100,200) N\mathbf F_2=(-100,200)\,\mathrm N กระทำที่จุดเดียวกัน

  1. แตกแรงแรก: F1=(500cos⁡30∘,500sin⁡30∘)=(433.0127,250) N\mathbf F_1=(500\cos30^\circ,500\sin30^\circ)=(433.0127,250)\,\mathrm N

  2. รวมองค์ประกอบ: R=(433.0127−100,250+200)=(333.0127,450) N\mathbf R=(433.0127-100,250+200)=(333.0127,450)\,\mathrm N

  3. หาขนาด ∥R∥=333.01272+4502≈559.819 N\|\mathbf R\|=\sqrt{333.0127^2+450^2}\approx559.819\,\mathrm N

  4. มุม θR=atan2⁡(450,333.0127)≈53.50∘\theta_R=\operatorname{atan2}(450,333.0127)\approx53.50^\circ อยู่ควอดแรนต์ที่ 1 เพราะทั้งสององค์ประกอบบวก

แรงลัพธ์ประมาณ 559.82 N559.82\,\mathrm N ทำมุม 53.50∘53.50^\circ ทวนเข็มจากแกน +x+x

ขนาด F2=1002+2002≈223.61 N\mathbf F_2=\sqrt{100^2+200^2}\approx223.61\,\mathrm N และ ∥R∥\|\mathbf R\| อยู่ระหว่าง ∣500−223.61∣|500-223.61| กับ 500+223.61500+223.61 ตามอสมการสามเหลี่ยม ผ่านการตรวจความสมเหตุผล

หากแรงกระทำคนละตำแหน่งบนวัตถุแข็งเกร็ง เวกเตอร์ ∑F\sum\mathbf F ยังบอกแรงรวมได้ แต่ไม่เก็บผลการหมุนครบ ต้องหาโมเมนต์รวมด้วย เช่นแรงขนาดเท่ากันสวนทางกันสองตัวอาจรวมแรงเป็นศูนย์ แต่เกิดคู่ควบแรงที่ทำให้หมุนได้

3. สายเคเบิล 3 มิติ: จากพิกัดจุดเป็นแรงดึง

สายเคเบิลอุดมคติรับแรงดึงตามแนวสาย เมื่อสนใจแรงที่สาย ABAB กระทำต่อจุด AA ทิศแรงชี้จาก AA ไป BB หาเวกเตอร์ระยะทางก่อน แล้วทำให้เป็นหนึ่งหน่วย การคูณแรงดึงกับเวกเตอร์ระยะทางโดยไม่หารความยาวทำให้ทั้งขนาดและหน่วยผิด

E2 Cable force from two points แรงจากตำแหน่งปลายสาย

dAB=rB−rA,u^AB=dAB∥dAB∥,FAB=TABu^AB,TAB≥0\mathbf d_{AB}=\mathbf r_B-\mathbf r_A,\qquad\hat{\mathbf u}_{AB}=\frac{\mathbf d_{AB}}{\|\mathbf d_{AB}\|},\qquad\mathbf F_{AB}=T_{AB}\hat{\mathbf u}_{AB},\quad T_{AB}\ge0

ต้องมี A≠BA\ne B เวกเตอร์หนึ่งหน่วยไม่มีหน่วย แรงจึงมีหน่วยนิวตัน หากผลแก้สมการได้แรงดึงติดลบ แบบจำลองสายที่ดึงอย่างเดียวไม่สอดคล้องกับสมมติฐาน อาจต้องพิจารณาว่าสายหย่อนหรือทิศแรงกำหนดผิด

จุดต่อ A รับแรงดึงตามสาย AB และ AC ในสามมิติจุด A เป็นจุดกำเนิด สาย AB ไปยังจุดสอง สาม หกเมตร สาย AC ไปยังจุดลบสี่ ศูนย์ สามเมตร มีแรงน้ำหนักลงด้านล่างและแกนมือขวาสามแกน ภาพเป็นการฉายพิกัดเพื่อแสดงทิศB = (2, 3, 6) mC = (−4, 0, 3) mT_AB = 700 NT_AC = 500 NA = (0, 0, 0)W = 1000 Nxyz
ภาพฉายสามมิติใช้แสดงทิศและจุดอ้างอิง ให้คำนวณจากพิกัดที่ระบุ ไม่อ่านความยาวหรือมุมจากภาพฉาย
ตัวอย่าง E-2 · จุดต่อรับแรงดึงสองเส้นและน้ำหนัก

ให้ A=(0,0,0)A=(0,0,0), B=(2,3,6)B=(2,3,6), C=(−4,0,3)C=(-4,0,3) หน่วยเมตร แรงดึง TAB=700 NT_{AB}=700\,\mathrm N, TAC=500 NT_{AC}=500\,\mathrm N และน้ำหนัก W=(0,0,−1000) N\mathbf W=(0,0,-1000)\,\mathrm N

  1. สาย ABAB: dAB=(2,3,6) m\mathbf d_{AB}=(2,3,6)\,\mathrm m, ความยาว 22+32+62=7 m\sqrt{2^2+3^2+6^2}=7\,\mathrm m จึง u^AB=(2/7,3/7,6/7)\hat{\mathbf u}_{AB}=(2/7,3/7,6/7)

  2. แรง FAB=700(2/7,3/7,6/7)=(200,300,600) N\mathbf F_{AB}=700(2/7,3/7,6/7)=(200,300,600)\,\mathrm N ตรวจขนาดได้ 700 N700\,\mathrm N

  3. สาย ACAC: ความยาว (−4)2+32=5 m\sqrt{(-4)^2+3^2}=5\,\mathrm m จึง FAC=500(−4/5,0,3/5)=(−400,0,300) N\mathbf F_{AC}=500(-4/5,0,3/5)=(-400,0,300)\,\mathrm N

  4. แรงรวมที่ยังไม่รวมแรงรองรับ: R=FAB+FAC+W=(−200,300,−100) N\mathbf R=\mathbf F_{AB}+\mathbf F_{AC}+\mathbf W=(-200,300,-100)\,\mathrm N ไม่เป็นศูนย์ จึงยังไม่สมดุล

  5. ถ้ามีจุดรองรับอุดมคติที่ AA สามารถให้แรงปฏิกิริยาสามองค์ประกอบและต้องการสมดุลจุดต่อ ต้องมี Fsupport=−R=(200,−300,100) N\mathbf F_{\rm support}=-\mathbf R=(200,-300,100)\,\mathrm N

แรงรองรับที่ต้องการ (200,−300,100) N(200,-300,100)\,\mathrm N มีขนาด 140000≈374.17 N\sqrt{140000}\approx374.17\,\mathrm N

นี่เป็นการหาแรงรองรับเมื่อกำหนดแรงดึงมาแล้ว ไม่ใช่การพิสูจน์ว่าโครงสร้างที่มีเพียงสองสายกับน้ำหนักสมดุลได้เอง และไม่ได้ตรวจความแข็งแรงของสาย

ถ้าแรงดึงยังไม่ทราบ ใช้ ∑Fx=0\sum F_x=0, ∑Fy=0\sum F_y=0, ∑Fz=0\sum F_z=0 ตั้งระบบสมการจากเวกเตอร์หนึ่งหน่วย การมีสามสมการไม่ได้รับประกันว่าจะหาคำตอบได้เสมอ ต้องตรวจจำนวนตัวไม่ทราบค่าและความเป็นอิสระของทิศแรงด้วย ดูวิธีแก้ระบบที่ ระบบสมการเชิงเส้น

เจาะลึก

แรงตามแนวเส้นและทิศทางโคไซน์แบบครบอยู่ใน ทิศทางโคไซน์ (ตัวอย่างเสาไฟฟ้ากับสายยึด K-4)

4. แรงตามรางและแรงตั้งฉาก: ใช้ Projection ให้ถูกชนิด

ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ได้เฉพาะตามแนวราง ต้องแยกแรงเป็นส่วนตามรางและส่วนตั้งฉาก แรงตามรางมีทั้งแบบ “สเกลาร์มีเครื่องหมาย” กับ “เวกเตอร์” ซึ่งไม่ใช่คำตอบชนิดเดียวกัน กำหนด u^\hat{\mathbf u} เป็นทิศบวกหนึ่งหน่วยของรางก่อน

E3 Resolve force along a direction แยกแรงขนานและตั้งฉาก

F∥=F⋅u^,F∥=(F⋅u^)u^,F⊥=F−F∥F_{\parallel}=\mathbf F\cdot\hat{\mathbf u},\qquad\mathbf F_{\parallel}=(\mathbf F\cdot\hat{\mathbf u})\hat{\mathbf u},\qquad\mathbf F_{\perp}=\mathbf F-\mathbf F_{\parallel}

F∥F_{\parallel} มีหน่วยนิวตันและอาจติดลบ ส่วน F∥\mathbf F_{\parallel} มีองค์ประกอบเวกเตอร์ หากฉายลงบน d\mathbf d ที่ไม่เป็นหนึ่งหน่วย ใช้ F∥=(F⋅d)d/(d⋅d)\mathbf F_{\parallel}=(\mathbf F\cdot\mathbf d)\mathbf d/(\mathbf d\cdot\mathbf d)

ตัวอย่าง E-3 · รางเอียงในระนาบ

แรง F=(80,20) N\mathbf F=(80,20)\,\mathrm N กระทำกับชิ้นส่วนที่รางมีทิศ d=(3,4)\mathbf d=(3,4) หาแรงตามราง

  1. ความยาว ∥d∥=5\|\mathbf d\|=5 จึง u^=(3/5,4/5)=(0.6,0.8)\hat{\mathbf u}=(3/5,4/5)=(0.6,0.8)

  2. สเกลาร์ตามราง F∥=80(0.6)+20(0.8)=64 NF_{\parallel}=80(0.6)+20(0.8)=64\,\mathrm N

  3. เวกเตอร์ตามราง F∥=64(0.6,0.8)=(38.4,51.2) N\mathbf F_{\parallel}=64(0.6,0.8)=(38.4,51.2)\,\mathrm N

  4. เวกเตอร์ตั้งฉาก F⊥=(80,20)−(38.4,51.2)=(41.6,−31.2) N\mathbf F_\perp=(80,20)-(38.4,51.2)=(41.6,-31.2)\,\mathrm N ตรวจ Dot กับรางได้ 41.6(0.6)−31.2(0.8)=041.6(0.6)-31.2(0.8)=0

แรงตามทิศบวกราง 64 N64\,\mathrm N · ส่วนตั้งฉากมีขนาด 41.62+31.22=52 N\sqrt{41.6^2+31.2^2}=52\,\mathrm N

ตรวจพีทาโกรัส 642+522=6800=802+20264^2+52^2=6800=80^2+20^2 แต่จะสรุปแรงปฏิกิริยาของรางเท่ากับ −F⊥-\mathbf F_\perp ได้ต่อเมื่อรวมแรงอื่นและเงื่อนไขการเคลื่อนที่ตามแนวตั้งฉากครบแล้ว

ดูนิยาม แผนภาพ และการฉายลงบนระนาบเพิ่มเติมที่ Component และ Projection

5. งานของแรง: Dot product สำหรับแรงคงที่ อินทิกรัลสำหรับแรงเปลี่ยน

งานเป็นพลังงานที่แรงถ่ายโอนผ่านการเคลื่อนที่ตามแนวแรง จึงเป็นสเกลาร์ที่อาจบวก ลบ หรือศูนย์ การที่แรงมีขนาดมากไม่ได้แปลว่าทำงานมาก ถ้าแรงตั้งฉากกับการกระจัดตลอดทาง งานของแรงนั้นเป็นศูนย์

E4 Work by a constant force งานของเวกเตอร์แรงคงที่

W=F⋅Δr=∥F∥∥Δr∥cos⁡θ,Δr=r2−r1W=\mathbf F\cdot\Delta\mathbf r=\|\mathbf F\|\|\Delta\mathbf r\|\cos\theta,\qquad\Delta\mathbf r=\mathbf r_2-\mathbf r_1

แรงต้องคงที่ทั้งขนาดและทิศ ใช้การกระจัดจากต้นทางถึงปลายทาง ไม่ใช่ระยะทางรวมโดยอัตโนมัติ หน่วย N m=J\mathrm{N\,m}=\mathrm J

E5 Work along a path งานเมื่อแรงเปลี่ยนตามเส้นทาง

W=∫CF⋅dr=∫t1t2F(r(t),t)⋅drdt dtW=\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_{t_1}^{t_2}\mathbf F(\mathbf r(t),t)\cdot\frac{d\mathbf r}{dt}\,dt

r(t)\mathbf r(t) ระบุเส้นทางและทิศการเคลื่อนที่ ถ้าเคลื่อนตามแกน xx เพียงแกนเดียว สูตรลดเป็น W=∫x1x2Fx(x) dxW=\int_{x_1}^{x_2}F_x(x)\,dx ความเป็นอิสระจากเส้นทางต้องมีเงื่อนไขของแรงอนุรักษ์ ไม่ใช่สมบัติของแรงทั่วไป

ตัวอย่าง E-4 · แรงเอียงดึงชิ้นส่วนตามแนวนอน

แรงคงที่ F=(30,40,0) N\mathbf F=(30,40,0)\,\mathrm N ทำให้ชิ้นส่วนกระจัด Δr=(6,0,0) m\Delta\mathbf r=(6,0,0)\,\mathrm m หางานของแรงนี้

  1. Dot โดยองค์ประกอบ: W=30(6)+40(0)+0(0)=180 JW=30(6)+40(0)+0(0)=180\,\mathrm J

  2. ตรวจแบบเรขาคณิต: ∥F∥=50 N\|\mathbf F\|=50\,\mathrm N, cos⁡θ=30/50=0.6\cos\theta=30/50=0.6 จึง W=50⋅6⋅0.6=180 JW=50\cdot6\cdot0.6=180\,\mathrm J

  3. แรง 40 N40\,\mathrm N ตามแกน yy ไม่ทำงานในการเคลื่อนที่นี้ เพราะไม่มีการกระจัดตามแกน yy

งานของแรงที่กำหนด 180 J180\,\mathrm J เป็นบวก · ไม่ใช่ 50⋅6=300 J50\cdot6=300\,\mathrm J

เป็นงานของแรงนี้เพียงตัวเดียว หากมีแรงเสียดทานหรือแรงอื่น ต้องรวมงานทุกแรงก่อนใช้ทฤษฎีงาน–พลังงาน Wnet=ΔKW_{\rm net}=\Delta K

ตัวอย่าง E-5 · แอคชูเอเตอร์ที่แรงเพิ่มตามตำแหน่ง

แรงตามแกน xx เป็น Fx(x)=kxF_x(x)=kx, k=2 N/mk=2\,\mathrm{N/m} เคลื่อนจาก x=0x=0 ถึง 3 m3\,\mathrm m

  1. แรงไม่คงที่: ที่ต้นทาง 0 นิวตัน ที่ปลายทาง 6 นิวตัน จึงใช้ค่า 6 นิวตันคูณระยะทั้งหมดไม่ได้

  2. อินทิเกรต W=∫03 mkx dx=12k[(3 m)2−02]=12(2 N/m)(9 m2)=9 JW=\int_0^{3\,\mathrm m}kx\,dx=\tfrac12k[(3\,\mathrm m)^2-0^2]=\tfrac12(2\,\mathrm{N/m})(9\,\mathrm{m^2})=9\,\mathrm J

  3. ตรวจจากกราฟแรง–ตำแหน่ง: พื้นที่สามเหลี่ยมฐาน 3 m3\,\mathrm m สูง 6 N6\,\mathrm N เท่ากับ 12(3)(6)=9 J\tfrac12(3)(6)=9\,\mathrm J

งาน 9 J9\,\mathrm J · หากใช้แรงปลายทางจะได้ 18 จูล ซึ่งมากเกินจริงสองเท่า

หากโจทย์เป็นแรงสปริงคืนสู่สมดุล Fx=−kxF_x=-kx ในช่วงเดียวกัน งานของสปริงเป็น −9 J-9\,\mathrm J ส่วนงานจากแรงภายนอกเพื่อยืดอย่างช้า ๆ โดยไม่มีการสูญเสียเป็น +9 J+9\,\mathrm J

6. โมเมนต์แรง: ตำแหน่งอ้างอิงต้องมาก่อน Cross product

กำหนดจุดอ้างอิง OO และจุดออกแรง PP เวกเตอร์ rOP\mathbf r_{OP} ต้องชี้จาก OO ไป PP แล้วคำนวณ rOP×F\mathbf r_{OP}\times\mathbf F ตามลำดับนี้ โมเมนต์บอกแนวโน้มการหมุนรอบจุด ไม่ใช่แรงอีกตัวที่กระทำตามทิศเดียวกับแรงเดิม

E6 Moment about a point โมเมนต์รอบจุด

τO=rOP×F,∥τO∥=rFsin⁡θ=Fd⊥\boldsymbol\tau_O=\mathbf r_{OP}\times\mathbf F,\qquad\|\boldsymbol\tau_O\|=rF\sin\theta=F d_\perp

d⊥d_\perp คือระยะตั้งฉากจากจุด OO ถึงแนวแรง ไม่ใช่ความยาว rr เสมอ หน่วยรายงานเป็น N m\mathrm{N\,m} แม้มิติเท่าจูล แต่โมเมนต์เป็นเวกเตอร์ส่วนงานเป็นสเกลาร์ จึงไม่เรียกโมเมนต์ว่าพลังงาน

แรงเอียงบนประแจและแขนโมเมนต์ตั้งฉากประแจยาว 0.25 เมตรชี้ขวาจากจุดหมุน O ไป P แรง 100 นิวตันเอียงขึ้นขวา 60 องศา เส้นประจาก O ถึงแนวแรงเป็นแขนโมเมนต์ 0.25 sin60 เมตร ทำให้โมเมนต์ชี้ออกจากจอOPr = 0.25 mF = 100 N60°d⊥ = 0.25 sin 60°τ = +21.65 k N·mout of page
ประแจยาว 0.25 m0.25\,\mathrm m ออกแรง 100 N100\,\mathrm N ที่มุม 60∘60^\circ จึงได้โมเมนต์ 0.25⋅100sin⁡60∘≈21.65 N m0.25\cdot100\sin60^\circ\approx21.65\,\mathrm{N\,m} แขนตั้งฉากยาวประมาณ 0.2165 m0.2165\,\mathrm m
ตัวอย่าง E-6 · โมเมนต์สามมิติและการแยกรอบแกน

ให้ rOP=(0.2,0.1,0) m\mathbf r_{OP}=(0.2,0.1,0)\,\mathrm m, F=(0,100,50) N\mathbf F=(0,100,50)\,\mathrm N หาโมเมนต์รอบ OO

  1. องค์ประกอบ xx: τx=0.1(50)−0(100)=5 N m\tau_x=0.1(50)-0(100)=5\,\mathrm{N\,m}

  2. องค์ประกอบ yy: τy=0(0)−0.2(50)=−10 N m\tau_y=0(0)-0.2(50)=-10\,\mathrm{N\,m}

  3. องค์ประกอบ zz: τz=0.2(100)−0.1(0)=20 N m\tau_z=0.2(100)-0.1(0)=20\,\mathrm{N\,m}

  4. ขนาดรวม ∥τO∥=52+(−10)2+202=525≈22.913 N m\|\boldsymbol\tau_O\|=\sqrt{5^2+(-10)^2+20^2}=\sqrt{525}\approx22.913\,\mathrm{N\,m}

  5. ตรวจตั้งฉาก: τO⋅rOP=5(0.2)−10(0.1)=0\boldsymbol\tau_O\cdot\mathbf r_{OP}=5(0.2)-10(0.1)=0 และ τO⋅F=−10(100)+20(50)=0\boldsymbol\tau_O\cdot\mathbf F=-10(100)+20(50)=0

τO=(5,−10,20) N m\boldsymbol\tau_O=(5,-10,20)\,\mathrm{N\,m} · ขนาดรวมประมาณ 22.91 N m22.91\,\mathrm{N\,m} · องค์ประกอบรอบ +z+z คือ +20 N m+20\,\mathrm{N\,m}

E7 Moment about an axis โมเมนต์รอบแกนเป็นสเกลาร์มีเครื่องหมาย

τu^=u^⋅τO=u^⋅(rOP×F),∥u^∥=1\tau_{\hat{\mathbf u}}=\hat{\mathbf u}\cdot\boldsymbol\tau_O=\hat{\mathbf u}\cdot(\mathbf r_{OP}\times\mathbf F),\qquad\|\hat{\mathbf u}\|=1

เลือก OO บนแกนที่สนใจ และ u^\hat{\mathbf u} ชี้ทิศบวกของแกนนั้น เปลี่ยน OO เป็นจุดอื่นบนแกนเดียวกันไม่เปลี่ยนสเกลาร์นี้ เพราะการเปลี่ยน r\mathbf r เป็นพจน์ตาม u^\hat{\mathbf u} ให้ Dot ของ u^\hat{\mathbf u} กับ u^×F\hat{\mathbf u}\times\mathbf F เป็นศูนย์

จากตัวอย่าง E-6 ถ้าแกนมีทิศ u^=(1,1,0)/2\hat{\mathbf u}=(1,1,0)/\sqrt2 จะได้ τu^=(5−10)/2=−5/2≈−3.536 N m\tau_{\hat{\mathbf u}}=(5-10)/\sqrt2=-5/\sqrt2\approx-3.536\,\mathrm{N\,m} เครื่องหมายลบหมายถึงสวนกับทิศบวกที่ตั้งไว้ ไม่ใช่ขนาดโมเมนต์ติดลบ

ย้ายแรงตามแนวแรงได้เมื่อใด? สำหรับผลแรงภายนอกต่อวัตถุแข็งเกร็ง การย้ายจุดออกแรงตามแนวแรงเดียวกันไม่เปลี่ยนโมเมนต์ เพราะเวกเตอร์ระยะที่เพิ่มขนานกับ F\mathbf F มี Cross เป็นศูนย์ แต่การย้ายแรงขนานไปอีกแนวต้องเพิ่มคู่ควบแรง และการวิเคราะห์ความเค้นภายในต้องพิจารณาจุดออกแรงจริงด้วย

โมเมนต์รอบแกน แรงคู่ควบ ระบบสมมูล และแรงปฏิกิริยาของคาน อยู่ใน ระบบแรง

7. แรงแม่เหล็กต่อประจุ: กฎมือขวาแล้วตรวจเครื่องหมาย q

แรงแม่เหล็กเป็นส่วนหนึ่งของแรงลอเรนซ์ F=q(E+v×B)\mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B) ในหัวข้อนี้พิจารณาเฉพาะส่วนแม่เหล็ก ทำกฎมือขวาจาก v\mathbf v ไป B\mathbf B ก่อน แล้วคูณด้วยประจุ หากประจุลบ ทิศแรงกลับจากทิศ Cross product

E8 Magnetic force on a charge แรงแม่เหล็กต่อประจุเคลื่อนที่

FB=qv×B,∥FB∥=∣q∣vBsin⁡θ,FB⋅v=0\mathbf F_B=q\mathbf v\times\mathbf B,\qquad \|\mathbf F_B\|=|q|vB\sin\theta,\qquad \mathbf F_B\cdot\mathbf v=0

qq หน่วยคูลอมบ์ v\mathbf v หน่วยเมตรต่อวินาที B\mathbf B หน่วยเทสลา ใช้ค่าขณะนั้นได้แม้สนามไม่สม่ำเสมอ แต่การทำนายวิถีต้องแก้สมการการเคลื่อนที่ตามสนาม แรงแม่เหล็กเพียงส่วนนี้ไม่ทำงานต่อประจุจุด เพราะตั้งฉากกับความเร็ว

ตัวอย่าง E-7 · อิเล็กตรอนในสนามตามแกน z

ให้ q=−e=−1.602176634×10−19 Cq=-e=-1.602176634\times10^{-19}\,\mathrm C, v=(2.0×106,0,0) m/s\mathbf v=(2.0\times10^6,0,0)\,\mathrm{m/s}, B=(0,0,0.10) T\mathbf B=(0,0,0.10)\,\mathrm T

  1. ทิศ Cross: i^×k^=−j^\hat{\mathbf i}\times\hat{\mathbf k}=-\hat{\mathbf j} จึง v×B=(0,−2.0×105,0)\mathbf v\times\mathbf B=(0,-2.0\times10^5,0)

  2. คูณประจุลบ: FB=(−1.602176634×10−19)(0,−2.0×105,0)=(0,3.204353268×10−14,0) N\mathbf F_B=(-1.602176634\times10^{-19})(0,-2.0\times10^5,0)=(0,3.204353268\times10^{-14},0)\,\mathrm N

  3. ตรวจขนาด ∣q∣vB=(1.602176634×10−19)(2.0×106)(0.10)=3.204353268×10−14 N|q|vB=(1.602176634\times10^{-19})(2.0\times10^6)(0.10)=3.204353268\times10^{-14}\,\mathrm N และ Dot กับความเร็วได้ศูนย์

แรงประมาณ 3.2×10−14 N3.2\times10^{-14}\,\mathrm N ชี้ +y+y · ถ้าเป็นประจุบวกขนาดเท่ากัน แรงจะชี้ −y-y

แสดงเลขละเอียดระหว่างคำนวณเพื่อเช็กเครื่องหมาย แต่รายงานขนาดสุดท้ายประมาณสองเลขนัยสำคัญตามข้อมูล v,Bv,B

ถ้า v∥B\mathbf v\parallel\mathbf B หรือประจุหยุดนิ่ง แรงแม่เหล็กเป็นศูนย์แม้สนามมีค่าไม่เป็นศูนย์ หากมีสนามไฟฟ้าด้วย ส่วน qEq\mathbf E สามารถทำงานและเปลี่ยนพลังงานจลน์ได้ จึงไม่ควรสรุปว่าแรงลอเรนซ์ทั้งหมดไม่ทำงาน

8. แรงแม่เหล็กต่อสายไฟ: ช่วงสายที่อยู่ในสนามและทิศกระแส

เวกเตอร์ L\mathbf L มีขนาดเท่าความยาวช่วงสายที่อยู่ในสนามและชี้ตามกระแสแบบดั้งเดิม ไม่ใช่ตามการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนในโลหะ สูตรย่อใช้เมื่อสายช่วงนั้นตรง กระแสคงที่ และสนามสม่ำเสมอ

E9 Magnetic force on a conductor สายตรงและรูปอินทิกรัล

FB=IL×B(สายตรง สนามสม่ำเสมอ),FB=I∫Cdℓ×B(r)(กระแสคงที่)\mathbf F_B=I\mathbf L\times\mathbf B\quad\text{(สายตรง สนามสม่ำเสมอ)},\qquad\mathbf F_B=I\int_Cd\boldsymbol\ell\times\mathbf B(\mathbf r)\quad\text{(กระแสคงที่)}

dℓd\boldsymbol\ell ชี้ตามกระแสตลอดเส้นทาง ต้องรวมแรงทุกช่วงที่อยู่ในสนาม โดยเฉพาะขดลวดปิด: ในสนามสม่ำเสมอแรงรวมอาจเป็นศูนย์ แต่โมเมนต์รวมอาจไม่เป็นศูนย์

ตัวอย่าง E-8 · ช่วงสายตรงในช่องสนาม

สายช่วงยาว 0.30 m0.30\,\mathrm m ตาม +x+x อยู่ในสนาม B=(0,0,0.20) T\mathbf B=(0,0,0.20)\,\mathrm T มีกระแส 5.0 A5.0\,\mathrm A ตาม +x+x

  1. กำหนด L=(0.30,0,0) m\mathbf L=(0.30,0,0)\,\mathrm m เฉพาะช่วงในสนาม

  2. Cross: L×B=(0,−0.30(0.20),0)=(0,−0.060,0)\mathbf L\times\mathbf B=(0,-0.30(0.20),0)=(0,-0.060,0)

  3. คูณกระแส FB=5.0(0,−0.060,0)=(0,−0.30,0) N\mathbf F_B=5.0(0,-0.060,0)=(0,-0.30,0)\,\mathrm N

แรง 0.30 N0.30\,\mathrm N ชี้ −y-y · กลับกระแสหรือกลับสนามอย่างใดอย่างหนึ่งแล้วทิศกลับ แต่กลับทั้งสองพร้อมกันทิศเดิม

หน่วย A⋅m⋅T=N\mathrm A\cdot\mathrm m\cdot\mathrm T=\mathrm N เพราะ 1 T=1 N/(A m)1\,\mathrm T=1\,\mathrm{N/(A\,m)}

ในมอเตอร์และแอคชูเอเตอร์ ต้องพิจารณาตำแหน่งของแต่ละช่วงสายเพื่อหาโมเมนต์ด้วย อย่าสรุปกำลังกลจากขนาดแรงเพียงอย่างเดียว กำลังขึ้นกับความเร็วตามทิศแรง และพลังงานมาจากระบบวงจรไฟฟ้าที่จ่ายให้เครื่อง

9. หุ่นยนต์: ความเร็วปลายแขนเกิดจาก Cross product

สำหรับวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม ω\boldsymbol\omega ความเร็วสัมพัทธ์ของจุดที่มีเวกเตอร์ตำแหน่ง r\mathbf r จากจุดอ้างอิงบนวัตถุคือ ω×r\boldsymbol\omega\times\mathbf r หากจุดอ้างอิงเคลื่อนที่ด้วย ต้องบวกความเร็วของจุดอ้างอิง ไม่ใช่ใช้สูตรหมุนอย่างเดียว

E10 Rotation and revolute-joint Jacobian ความเร็วจากข้อต่อหมุน

vP=vO+ω×rOP,Jv,i=z^i×(p−oi),vP,i=Jv,iq˙i\mathbf v_P=\mathbf v_O+\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{OP},\qquad\mathbf J_{v,i}=\hat{\mathbf z}_i\times(\mathbf p-\mathbf o_i),\qquad\mathbf v_{P,i}=\mathbf J_{v,i}\dot q_i

สูตร Jacobian ใช้กับข้อต่อหมุนที่แกนทิศหนึ่งหน่วย z^i\hat{\mathbf z}_i ผ่าน oi\mathbf o_i โดยทุกเวกเตอร์แสดงในกรอบเดียวกัน q˙i\dot q_i เป็นความเร็วเชิงมุมเป็นเรเดียนต่อวินาที สำหรับหลายข้อต่อ รวมผล v=∑iJv,iq˙i\mathbf v=\sum_i\mathbf J_{v,i}\dot q_i ตามแบบจำลองคิเนแมติกส์ ส่วนข้อต่อเลื่อนมีคอลัมน์ความเร็วเป็นทิศแกนเลื่อน

ตัวอย่าง E-9 · ปลายแขนหมุนรอบแกน z

จุด OO อยู่กับที่ ω=(0,0,2) rad/s\boldsymbol\omega=(0,0,2)\,\mathrm{rad/s}, rOP=(0.30,0.40,0) m\mathbf r_{OP}=(0.30,0.40,0)\,\mathrm m

  1. Cross ตามลำดับ ω×r\boldsymbol\omega\times\mathbf r: vP=(0(0)−2(0.40),2(0.30)−0(0),0)=(−0.80,0.60,0) m/s\mathbf v_P=(0(0)-2(0.40),2(0.30)-0(0),0)=(-0.80,0.60,0)\,\mathrm{m/s}

  2. ตรวจความเร็วสัมผัส: vP⋅rOP=−0.80(0.30)+0.60(0.40)=0\mathbf v_P\cdot\mathbf r_{OP}=-0.80(0.30)+0.60(0.40)=0

  3. ระยะถึงแกน r⊥=0.302+0.402=0.50 mr_\perp=\sqrt{0.30^2+0.40^2}=0.50\,\mathrm m จึงอัตราเร็ว ωr⊥=2(0.50)=1.0 m/s\omega r_\perp=2(0.50)=1.0\,\mathrm{m/s} ตรงกับ 0.802+0.602=1.0\sqrt{0.80^2+0.60^2}=1.0

ความเร็ว (−0.80,0.60,0) m/s(-0.80,0.60,0)\,\mathrm{m/s} · อัตราเร็ว 1.0 m/s1.0\,\mathrm{m/s}

ความเร็วนี้เป็นค่าขณะหนึ่ง ไม่ใช่การกระจัดเมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งวินาที เพราะทิศ r\mathbf r และทิศความเร็วเปลี่ยนระหว่างการหมุน

ศึกษาความเร็วหุ่นยนต์เพิ่มเติมได้จาก Modern Robotics — §5.1.1 Space Jacobian ซึ่งใช้ทวิสต์และ Space Jacobian การจัดองค์ประกอบของทวิสต์ต่างจากคอลัมน์ความเร็วตำแหน่ง Jv,i\mathbf J_{v,i} ที่ใช้ด้านบน จึงต้องตรวจนิยามกรอบพิกัดและแปลงความเร็วของจุดให้ตรงกันก่อนเทียบสูตร

FK/IK, Jacobian, ภาวะเอกฐาน และการเลือกมอเตอร์จาก τ = JᵀF อยู่ในบท เวกเตอร์ในแขนกล

10. สมดุล: รวมแรงเป็นศูนย์แล้วต้องตรวจโมเมนต์อีกหรือไม่?

E11 Static equilibrium เงื่อนไขสมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง

∑F=0,∑τO=0\sum\mathbf F=\mathbf0,\qquad\sum\boldsymbol\tau_O=\mathbf0

ในสามมิติเป็นสมการสเกลาร์ถึง 6 สมการ ในปัญหาระนาบทั่วไปใช้ ∑Fx=0\sum F_x=0, ∑Fy=0\sum F_y=0, ∑τz=0\sum\tau_z=0 สำหรับจุดมวลหรือจุดต่อที่แรงทุกตัวผ่านจุดเดียวกัน การตรวจแรงเป็นศูนย์เพียงพอสำหรับสมดุลการเลื่อนของแบบจำลองนั้น

ตัวอย่าง E-10 · คู่ควบแรงที่แรงรวมเป็นศูนย์

ที่ P1=(0.20,0,0) mP_1=(0.20,0,0)\,\mathrm m มีแรง F1=(0,100,0) N\mathbf F_1=(0,100,0)\,\mathrm N และที่ P2=(−0.20,0,0) mP_2=(-0.20,0,0)\,\mathrm m มีแรง F2=(0,−100,0) N\mathbf F_2=(0,-100,0)\,\mathrm N

  1. แรงรวม F1+F2=0\mathbf F_1+\mathbf F_2=\mathbf0

  2. โมเมนต์รอบจุดกำเนิดของแรงแรก (0.20,0,0)×(0,100,0)=(0,0,20) N m(0.20,0,0)\times(0,100,0)=(0,0,20)\,\mathrm{N\,m}

  3. โมเมนต์ของแรงที่สอง (−0.20,0,0)×(0,−100,0)=(0,0,20) N m(-0.20,0,0)\times(0,-100,0)=(0,0,20)\,\mathrm{N\,m}

โมเมนต์รวม (0,0,40) N m(0,0,40)\,\mathrm{N\,m} จึงไม่สมดุลการหมุน แม้แรงรวมเป็นศูนย์

ตรวจจากระยะระหว่างแนวแรง 0.40 m0.40\,\mathrm m: คู่ควบแรงมีขนาด 100(0.40)=40 N m100(0.40)=40\,\mathrm{N\,m}

11. ข้อผิดพลาดที่ทำให้คำตอบวิศวกรรมผิดทั้งทิศและหน่วย

  • ใช้มิลลิเมตรร่วมกับเมตร: แปลง 200 mm=0.200 m200\,\mathrm{mm}=0.200\,\mathrm m ก่อนคูณแรง เพื่อให้โมเมนต์ออกมาเป็น N m\mathrm{N\,m}
  • คูณแรงดึงกับเวกเตอร์ระยะทางทันที: ต้องหารความยาวให้เป็นหนึ่งหน่วยก่อน มิฉะนั้นหน่วยกลายเป็น N m\mathrm{N\,m} แทน N\mathrm N
  • ใช้ระยะทางแทนการกระจัดในงานของแรงคงที่: เลือกเวกเตอร์จากต้นทางถึงปลายทาง แล้ว Dot กับแรง
  • ใช้แรงปลายทางคูณระยะเมื่อแรงเปลี่ยน: ใช้อินทิกรัลหรือวิธีเฉลี่ยที่มีเหตุผลจากฟังก์ชันแรง ไม่เดาค่าเฉลี่ย
  • โมเมนต์ใช้ F×r\mathbf F\times\mathbf r: ลำดับกลับทำให้เครื่องหมายทุกแกนกลับ ต้องเป็น r×F\mathbf r\times\mathbf F
  • แทนโมเมนต์รอบแกนด้วยขนาดรวม: ต้อง Dot เวกเตอร์โมเมนต์กับทิศแกนหนึ่งหน่วย
  • อ่านแรงประจุลบจากมือขวาอย่างเดียว: กฎมือขวาให้ทิศ v×B\mathbf v\times\mathbf B แล้วต้องคูณเครื่องหมาย qq
  • ใช้ความยาวสายทั้งหมดในสนามเฉพาะบางช่วง: ใช้เฉพาะช่วงที่มีสนามตามแบบจำลอง และอินทิเกรตถ้าทิศสายหรือสนามเปลี่ยน
  • เชื่อมเฟสเซอร์กับเวกเตอร์อวกาศโดยไม่กำหนดความหมาย: เฟสเซอร์ V‾=Vrms∠ϕ\underline V=V_{\rm rms}\angle\phi ใช้มุมแทนเฟสเวลา กำลังเชิงซ้อนของวงจรใช้ S=V‾I‾∗S=\underline V\underline I^* ตามข้อตกลง RMS ไม่ใช่ F⋅v\mathbf F\cdot\mathbf v หรือ Cross ของเวกเตอร์ตำแหน่ง

12. แบบฝึกหัด: ฝึกเลือกสูตรก่อนแทนค่า

  1. แรง (120,−40,30) N(120,-40,30)\,\mathrm N กับ (−20,90,−10) N(-20,90,-10)\,\mathrm N กระทำที่จุดเดียวกัน หาแรงลัพธ์และขนาด
  2. จุด A=(1,0,0)A=(1,0,0), B=(3,3,6)B=(3,3,6) หน่วยเมตร สายมีแรงดึง 350 นิวตัน หาแรงที่สายกระทำต่อ AA
  3. แรงคงที่ (10,−5,2) N(10,-5,2)\,\mathrm N กระจัด (3,4,−1) m(3,4,-1)\,\mathrm m หางาน
  4. แรง Fx=3x2F_x=3x^2 โดยสัมประสิทธิ์มีหน่วย N/m2\mathrm{N/m^2} เคลื่อนจาก 0 ถึง 2 เมตร หางาน
  5. ให้ r=(0.4,0,0) m\mathbf r=(0.4,0,0)\,\mathrm m, F=(0,−30,10) N\mathbf F=(0,-30,10)\,\mathrm N หาโมเมนต์และองค์ประกอบรอบ +z+z
  6. สายตรง I=2 AI=2\,\mathrm A, L=(0,0.5,0) m\mathbf L=(0,0.5,0)\,\mathrm m, B=(0.3,0,0) T\mathbf B=(0.3,0,0)\,\mathrm T หาแรงแม่เหล็ก
  7. ข้อต่อหมุน ω=(0,0,−3) rad/s\boldsymbol\omega=(0,0,-3)\,\mathrm{rad/s}, r=(0.2,0,0) m\mathbf r=(0.2,0,0)\,\mathrm m และจุดอ้างอิงอยู่กับที่ หาเวกเตอร์ความเร็ว
เปิดเฉลยพร้อมเหตุผล
  1. R=(100,50,20) N\mathbf R=(100,50,20)\,\mathrm N, ∥R∥=10000+2500+400=12900≈113.58 N\|\mathbf R\|=\sqrt{10000+2500+400}=\sqrt{12900}\approx113.58\,\mathrm N
  2. dAB=(2,3,6) m\mathbf d_{AB}=(2,3,6)\,\mathrm m ความยาว 7 เมตร จึง F=350(2,3,6)/7=(100,150,300) N\mathbf F=350(2,3,6)/7=(100,150,300)\,\mathrm N
  3. W=10(3)−5(4)+2(−1)=8 JW=10(3)-5(4)+2(-1)=8\,\mathrm J เป็นบวก
  4. ให้ k=3 N/m2k=3\,\mathrm{N/m^2} แล้ว W=∫02 mkx2dx=(k/3)(2 m)3=8 JW=\int_0^{2\,\mathrm m}kx^2dx=(k/3)(2\,\mathrm m)^3=8\,\mathrm J
  5. τ=(0,−4,−12) N m\boldsymbol\tau=(0,-4,-12)\,\mathrm{N\,m}; รอบ +z+z คือ −12 N m-12\,\mathrm{N\,m} ส่วนขนาดรวม 160≈12.65 N m\sqrt{160}\approx12.65\,\mathrm{N\,m}
  6. L×B=(0,0,−0.15)\mathbf L\times\mathbf B=(0,0,-0.15) จึง F=(0,0,−0.30) N\mathbf F=(0,0,-0.30)\,\mathrm N เพราะ j^×i^=−k^\hat{\mathbf j}\times\hat{\mathbf i}=-\hat{\mathbf k}
  7. v=ω×r=(0,−0.6,0) m/s\mathbf v=\boldsymbol\omega\times\mathbf r=(0,-0.6,0)\,\mathrm{m/s} สวนทิศตัวอย่างการหมุนด้วย +ωz+\omega_z

13. สรุปสูตรและเงื่อนไขใช้งาน

ปริมาณสูตรเงื่อนไขที่ต้องตรวจรหัส
แรงลัพธ์R=∑Fi\mathbf R=\sum\mathbf F_iระบบพิกัดเดียวกัน; วัตถุแข็งเกร็งต้องเก็บโมเมนต์ด้วยE1
แรงสายเคเบิลT(rB−rA)/∥rB−rA∥T(\mathbf r_B-\mathbf r_A)/\|\mathbf r_B-\mathbf r_A\|สายดึงจาก A ไป B; A และ B ไม่ตรงกันE2
แรงตามแนวF∥=F⋅u^F_\parallel=\mathbf F\cdot\hat{\mathbf u}ทิศ u^\hat{\mathbf u} ต้องเป็นหนึ่งหน่วยE3
งานแรงคงที่W=F⋅ΔrW=\mathbf F\cdot\Delta\mathbf rแรงคงที่ทั้งขนาดและทิศE4
งานทั่วไปW=∫CF⋅drW=\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf rระบุเส้นทางและทิศให้ครบE5
โมเมนต์รอบจุดτO=rOP×F\boldsymbol\tau_O=\mathbf r_{OP}\times\mathbf Fตำแหน่งเริ่มจาก O ไปจุดออกแรง PE6
โมเมนต์รอบแกนτu=u^⋅τO\tau_u=\hat{\mathbf u}\cdot\boldsymbol\tau_Oแกนผ่าน O; u^\hat{\mathbf u} เป็นหนึ่งหน่วยE7
แรงต่อประจุFB=qv×B\mathbf F_B=q\mathbf v\times\mathbf Bแยกจากแรงไฟฟ้า; ตรวจเครื่องหมายประจุE8
แรงสายตรงFB=IL×B\mathbf F_B=I\mathbf L\times\mathbf Bสายตรง สนามสม่ำเสมอ กระแสคงที่E9
ความเร็วจากการหมุนvP=vO+ω×rOP\mathbf v_P=\mathbf v_O+\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{OP}วัตถุแข็งเกร็ง; หน่วยมุม rad/sE10
สมดุลวัตถุแข็งเกร็ง∑F=0, ∑τO=0\sum\mathbf F=\mathbf0,\ \sum\boldsymbol\tau_O=\mathbf0ตรวจแรงภายนอกและโมเมนต์ภายนอกครบE11

14. แหล่งอ่านต่อและเส้นทางค้นคว้า

ใช้ตำราเปิดต่อไปนี้เพื่ออ่านนิยาม เงื่อนไขทางฟิสิกส์ และตัวอย่างเพิ่มเติม แยกหลักคณิตศาสตร์ออกจากข้อสมมติของอุปกรณ์จริงเสมอ

ย้อนทบทวน พื้นฐานเวกเตอร์, การบวก ลบ และคูณสเกลาร์, Component และ Projection, Dot product, Cross product หรือทดลองตัวเลขของตนเองใน Vector Lab

คำถามที่พบบ่อย

เมื่อไรใช้ Dot product และเมื่อไรใช้ Cross product ในงานวิศวกรรม?

ใช้ Dot เมื่อหาส่วนตามทิศ เช่น งาน F·Δr หรือองค์ประกอบแรงตามแกน ใช้ Cross เมื่อต้องการทิศตั้งฉาก เช่น โมเมนต์ r×F แรงแม่เหล็ก qv×B หรือความเร็วจากการหมุน ω×r

ทราบจุดปลายสายเคเบิลแล้วหาแรงเวกเตอร์ได้อย่างไร?

ลบตำแหน่งปลายสายกับจุดที่แรงกระทำเพื่อได้เวกเตอร์ทิศ หารด้วยความยาวให้เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย แล้วคูณขนาดแรงดึง สายดึงวัตถุเข้าหาปลายสาย ไม่ผลักออกจากปลายสาย

ใช้ W=F·Δr ได้ทุกกรณีหรือไม่?

สูตรนี้ใช้เมื่อแรงเป็นเวกเตอร์คงที่ตลอดการเคลื่อนที่ ถ้าแรงเปลี่ยนตามตำแหน่งหรือทิศ ต้องคำนวณ W=∫F·dr ตามเส้นทาง หรืออินทิเกรตตามพารามิเตอร์ที่ระบุ

โมเมนต์รอบจุดกับโมเมนต์รอบแกนต่างกันอย่างไร?

โมเมนต์รอบจุดเป็นเวกเตอร์ τO=r×F ส่วนโมเมนต์รอบแกนเป็นสเกลาร์มีเครื่องหมาย τu=û·τO เมื่อ û เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยตามแกนที่ผ่าน O ขนาดโมเมนต์รวมไม่ได้เท่ากับองค์ประกอบรอบแกนเสมอ

สูตรแรงแม่เหล็กของสายไฟ IL×B มีเงื่อนไขอะไร?

ใช้กับช่วงสายตรงที่อยู่ในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอและมีกระแสคงที่ โดย L ชี้ตามกระแสแบบดั้งเดิม ถ้าสายโค้งหรือสนามเปลี่ยนตามตำแหน่ง ให้ใช้ dF=I dl×B แล้วอินทิเกรตตลอดช่วงสาย

เวกเตอร์ในอวกาศเหมือนเฟสเซอร์วงจร AC หรือไม่?

ไม่เหมือนกันโดยอัตโนมัติ เวกเตอร์ตำแหน่งและแรงมีแกนเชิงพื้นที่ ส่วนเฟสเซอร์ใช้ระนาบเชิงซ้อนแทนขนาดและเฟสของสัญญาณไซน์ตามเวลา การคำนวณกำลังเชิงซ้อนจึงมีข้อตกลง RMS และคอนจูเกตของตัวเอง

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์