พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. ลำดับและอนุกรม
  4. อนุกรมโลรองต์

// บทที่ 26.7 · ลำดับและอนุกรม · Laurent Series

อนุกรมโลรองต์ (Laurent Series): บริเวณวงแหวน ภาวะเอกฐาน เรซิดิว และการแปลง Z

อนุกรมเทย์เลอร์ใช้ไม่ได้รอบจุดที่ฟังก์ชันระเบิด เช่น 1z\tfrac{1}{z} ที่ 0 ปีแยร์ อัลฟองส์ โลรองต์ (1843) แก้ด้วยการยอมให้มีกำลังลบ อนุกรมที่ได้ลู่เข้าบน “วงแหวน” ระหว่างจุดเอกฐาน และสัมประสิทธิ์ตัวเดียว a−1a_{-1} ก็พอสำหรับคำนวณอินทิกรัลรอบเส้นปิดทั้งหมด หน้านี้ใช้แค่อนุกรมเรขาคณิตเป็นเครื่องมือหลัก แล้วต่อยอดไปถึงเรซิดิว การแปลงลาปลาซผกผัน และการแปลง Z ที่วิศวกรไฟฟ้าใช้ทุกวัน

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
แล็บวงแหวนโลรองต์ สามบริเวณ ชนิดจุดเอกฐาน เรซิดิว การแปลง Z
สรุปใน 30 วินาที
  • f(z)=∑n=−∞∞an(z−c)nf(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-c)^n บนวงแหวน r1<∣z−c∣<r2r_1 < |z-c| < r_2 · กำลังลบ = ส่วนหลัก
  • เครื่องมือหลัก: 1z−p\dfrac{1}{z-p} กระจายเป็นกำลังบวกเมื่อ ∣z∣<∣p∣|z| < |p| และกำลังลบเมื่อ ∣z∣>∣p∣|z| > |p|
  • ส่วนหลัก: ไม่มี = ถอดได้ · จำกัด = โพล · อนันต์ = เอกฐานแท้
  • Res⁡z=cf=a−1\operatorname{Res}_{z=c}f = a_{-1} และ ∮Cf dz=2πi∑Res⁡\oint_C f\,dz = 2\pi i\sum\operatorname{Res} · การแปลง Z คืออนุกรมโลรองต์รอบ 0
ระดับพื้นฐาน แนวคิด · อนุกรมเรขาคณิตกลาง คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง ตัวแปรเชิงซ้อน

ทำไมต้องมีอนุกรมโลรองต์ พื้นฐาน

จากอนุกรมกำลัง เราเห็นว่าอนุกรมเทย์เลอร์ลู่เข้าในดิสก์ที่ขยายได้จนชนจุดเอกฐานแรก ถ้าจุดศูนย์กลางเป็นจุดเอกฐานเสียเอง ดิสก์มีรัศมีศูนย์ ใช้ไม่ได้เลย แต่ฟังก์ชันอย่าง ezz2\tfrac{e^z}{z^2} ก็ยังประพฤติดีในบริเวณ “รอบ ๆ” 0 แค่ไม่ใช่ที่ 0 เอง ถ้าเราตัดจุด 0 ทิ้งเหลือเป็นวงแหวนเจาะ ก็เขียนได้ว่า

ezz2=1z2(1+z+z22!+z33!+⋯ )=1z2+1z⏟ส่วนหลัก+12+z6+⋯⏟ส่วนวิเคราะห์,0<∣z∣<∞\frac{e^z}{z^2} = \frac{1}{z^2}\left(1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots\right) = \underbrace{\frac{1}{z^2} + \frac{1}{z}}_{\text{ส่วนหลัก}} + \underbrace{\frac12 + \frac{z}{6} + \cdots}_{\text{ส่วนวิเคราะห์}},\quad 0 < |z| < \infty

นี่คืออนุกรมโลรองต์: มีกำลังลบได้ ส่วนกำลังลบเรียกว่าส่วนหลัก (principal part) เพราะเป็นตัวกำหนดพฤติกรรมใกล้จุดเอกฐาน ต้องรู้พื้นฐานจำนวนเชิงซ้อนก่อน ทบทวนได้ที่ จำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันวิเคราะห์

L1 Laurent series อนุกรมโลรองต์

f(z)=∑n=−∞∞an(z−c)n=∑n=1∞a−n(z−c)n⏟ส่วนหลัก (principal part)+∑n=0∞an(z−c)n⏟ส่วนวิเคราะห์ (analytic part)f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - c)^n = \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-c)^n}}_{\text{ส่วนหลัก (principal part)}} + \underbrace{\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-c)^n}_{\text{ส่วนวิเคราะห์ (analytic part)}}

ลู่เข้าเมื่อทั้งสองส่วนลู่เข้า: ส่วนวิเคราะห์ลู่เข้าเมื่อ ∣z−c∣<r2|z - c| < r_2 ส่วนหลักลู่เข้าเมื่อ ∣z−c∣>r1|z - c| > r_1 จึงได้วงแหวน

L2 Laurent's theorem ทฤษฎีบทโลรองต์

f วิเคราะห์ใน r1<∣z−c∣<r2 ⇒ f(z)=∑n=−∞∞an(z−c)n แบบเดียว,an=12πi∮∣z−c∣=ρf(z)(z−c)n+1 dzf \text{ วิเคราะห์ใน } r_1 < |z - c| < r_2 \ \Rightarrow\ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-c)^n \text{ แบบเดียว},\quad a_n = \frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-c|=\rho}\frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}}\,dz

“แบบเดียว” สำคัญที่สุด: หาด้วยวิธีใดก็ได้ (อนุกรมเรขาคณิต แทนอนุกรมที่รู้) ไม่ต้องคำนวณอินทิกรัล · r1r_1 อาจเป็น 0, r2r_2 อาจเป็น ∞

เครื่องมือหลัก: อนุกรมเรขาคณิตสองทิศ พื้นฐาน

ฟังก์ชันตรรกยะเกือบทั้งหมดกระจายได้ด้วยเทคนิคเดียว: แยกเศษส่วนย่อย แล้วกระจาย 1z−p\tfrac{1}{z - p} แต่ละตัว ถ้าบริเวณที่สนใจอยู่ในวงกลม ∣z∣=∣p∣|z| = |p| ให้ดึง p ออก ถ้าอยู่นอก ให้ดึง z ออก เพื่อให้ได้อัตราส่วนที่ขนาดน้อยกว่า 1 เสมอ

L3 1/(z − p) inside and outside กระจาย 1/(z − p) สองแบบ

∣z∣<∣p∣: 1z−p=−1p⋅11−z/p=−∑n=0∞znpn+1;∣z∣>∣p∣: 1z−p=1z⋅11−p/z=∑n=0∞pnzn+1|z| < |p|:\ \frac{1}{z-p} = -\frac1p\cdot\frac{1}{1 - z/p} = -\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{p^{n+1}};\qquad |z| > |p|:\ \frac{1}{z-p} = \frac1z\cdot\frac{1}{1 - p/z} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{p^n}{z^{n+1}}

รอบจุดศูนย์กลาง c แทน z ด้วย z−cz - c และ p ด้วย p−cp - c · โพลซ้ำ 1(z−p)m\tfrac{1}{(z-p)^m} ใช้อนุกรมทวินาม (1−u)−m=∑(m+j−1j)uj(1-u)^{-m} = \sum\binom{m+j-1}{j}u^j

ตัวอย่างคลาสสิก: 1/((z−1)(z−2)) ทั้งสามบริเวณ กลาง

โพลที่ z=1z = 1 และ z=2z = 2 แบ่งระนาบรอบ 0 ออกเป็นสามบริเวณ แต่ละบริเวณมีอนุกรมของตัวเอง โจทย์นี้ออกข้อสอบคณิตศาสตร์วิศวกรรมแทบทุกมหาวิทยาลัย

12(ก)(ข)(ค) |z| > 2(ก) |z| < 1 เทย์เลอร์ · (ข) 1 < |z| < 2 · (ค) ภายนอกReIm
สามบริเวณรอบ 0 ของ f(z)=1(z−1)(z−2)f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)}: ดิสก์ |z| < 1 (เทย์เลอร์), วงแหวน 1 < |z| < 2 และภายนอก |z| > 2 วงกลมแบ่งเขตผ่านโพลพอดี
ตัวอย่าง L-1 · สามบริเวณ

หาอนุกรมโลรองต์ของ f(z)=1(z−1)(z−2)f(z) = \dfrac{1}{(z-1)(z-2)} ใน (ก) ∣z∣<1|z| < 1 (ข) 1<∣z∣<21 < |z| < 2 (ค) ∣z∣>2|z| > 2

  1. แยกเศษส่วนย่อย: f(z)=1z−2−1z−1f(z) = \dfrac{1}{z-2} - \dfrac{1}{z-1}

  2. (ก) ∣z∣<1|z| < 1 อยู่ในทั้งสองวงกลม ใช้ L3 แบบ “ใน” ทั้งคู่: 1z−2=−∑zn2n+1\dfrac{1}{z-2} = -\sum\dfrac{z^n}{2^{n+1}}, −1z−1=∑zn-\dfrac{1}{z-1} = \sum z^n ⇒ f=∑n=0∞(1−12n+1)zn=12+34z+78z2+⋯f = \sum_{n=0}^{\infty}\left(1 - \dfrac{1}{2^{n+1}}\right)z^n = \dfrac12 + \dfrac34 z + \dfrac78 z^2 + \cdots (เป็นเทย์เลอร์)

  3. (ข) 1<∣z∣<21 < |z| < 2: นอกวงกลมของ 1 ใน 2 · −1z−1=−∑n=0∞1zn+1-\dfrac{1}{z-1} = -\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{z^{n+1}} (แบบ “นอก”) ⇒ f=−∑n=1∞1zn−∑n=0∞zn2n+1=⋯−1z2−1z−12−z4−z28−⋯f = -\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{z^n} - \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{2^{n+1}} = \cdots - \dfrac{1}{z^2} - \dfrac1z - \dfrac12 - \dfrac{z}{4} - \dfrac{z^2}{8} - \cdots

  4. (ค) ∣z∣>2|z| > 2: “นอก” ทั้งคู่: 1z−2=∑2nzn+1\dfrac{1}{z-2} = \sum\dfrac{2^n}{z^{n+1}} ⇒ f=∑n=0∞2n−1zn+1=1z2+3z3+7z4+⋯f = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{2^n - 1}{z^{n+1}} = \dfrac{1}{z^2} + \dfrac{3}{z^3} + \dfrac{7}{z^4} + \cdots

(ก) ∑(1−2−n−1)zn\sum(1 - 2^{-n-1})z^n · (ข) −∑n≥1z−n−∑n≥02−n−1zn-\sum_{n\ge1}z^{-n} - \sum_{n\ge0}2^{-n-1}z^n · (ค) ∑n≥2(2n−1−1)z−n\sum_{n\ge2}(2^{n-1} - 1)z^{-n} — สามอนุกรม ฟังก์ชันเดียว

ตัวอย่าง L-2 · รอบโพล

ฟังก์ชันเดิม กระจายรอบ z=1z = 1 ในวงแหวนเจาะ 0<∣z−1∣<10 < |z - 1| < 1 แล้วหาเรซิดิวที่ z = 1

  1. ให้ w=z−1w = z - 1: f=1w(w−1)=−1w⋅11−wf = \dfrac{1}{w(w - 1)} = -\dfrac1w\cdot\dfrac{1}{1 - w}

  2. ∣w∣<1|w| < 1: 11−w=1+w+w2+⋯\dfrac{1}{1-w} = 1 + w + w^2 + \cdots ⇒ f=−1w−1−w−w2−⋯f = -\dfrac1w - 1 - w - w^2 - \cdots

f=−1z−1−1−(z−1)−(z−1)2−⋯f = -\dfrac{1}{z-1} - 1 - (z-1) - (z-1)^2 - \cdots · โพลอย่างง่าย · Res⁡z=1f=−1\operatorname{Res}_{z=1} f = -1

แล็บวงแหวนโลรองต์ พื้นฐาน

เลือกฟังก์ชัน จุดศูนย์กลาง และบริเวณ แล็บแสดงอนุกรม สัมประสิทธิ์ (แท่งส้ม = ส่วนหลัก) และชนิดของจุดศูนย์กลาง ลากจุดเขียว z ในระนาบ: ในวงแหวนผลบวกย่อยลู่เข้าหา f(z) ออกนอกวงแหวนแล้วความคลาดพุ่งขึ้น แม้ f(z) เองจะมีค่าปกติ

กระจายจากอนุกรมที่รู้แล้ว กลาง

ฟังก์ชันที่ไม่ใช่ตรรกยะ ใช้ตารางอนุกรมแมคลอรินแล้วหารหรือแทนค่า ความเป็นหนึ่งเดียว (L2) รับประกันว่าคำตอบถูก

ตัวอย่าง L-3 · ใช้ตารางแมคลอริน

หาอนุกรมโลรองต์รอบ 0 และเรซิดิวของ (ก) e1/ze^{1/z} (ข) sin⁡zz4\dfrac{\sin z}{z^4} (ค) ez−1z\dfrac{e^z - 1}{z} (ง) z2e1/zz^2 e^{1/z}

  1. (ก) แทน u=1/zu = 1/z ใน eue^u: e1/z=1+1z+12! z2+13! z3+⋯e^{1/z} = 1 + \dfrac1z + \dfrac{1}{2!\,z^2} + \dfrac{1}{3!\,z^3} + \cdots (∣z∣>0|z| > 0) ส่วนหลักอนันต์พจน์ · Res⁡=1\operatorname{Res} = 1

  2. (ข) 1z4(z−z36+z5120−⋯ )=1z3−16z+z120−⋯\dfrac{1}{z^4}\left(z - \dfrac{z^3}{6} + \dfrac{z^5}{120} - \cdots\right) = \dfrac{1}{z^3} - \dfrac{1}{6z} + \dfrac{z}{120} - \cdots · โพลอันดับ 3 · Res⁡=−16\operatorname{Res} = -\tfrac16

  3. (ค) 1z(z+z22+⋯ )=1+z2+z26+⋯\dfrac1z\left(z + \dfrac{z^2}{2} + \cdots\right) = 1 + \dfrac{z}{2} + \dfrac{z^2}{6} + \cdots ไม่มีกำลังลบ · ถอดได้ (นิยาม f(0) = 1) · Res⁡=0\operatorname{Res} = 0

  4. (ง) z2∑1n! zn=z2+z+12+16z+124z2+⋯z^2\sum\dfrac{1}{n!\,z^n} = z^2 + z + \dfrac12 + \dfrac{1}{6z} + \dfrac{1}{24z^2} + \cdots · a−1a_{-1} มาจาก n = 3 · Res⁡=16\operatorname{Res} = \tfrac16

Res: (ก) 1 · (ข) −1/6 · (ค) 0 · (ง) 1/6 — ข้อ (ง) สูตรลิมิตใช้ไม่ได้เพราะเป็นเอกฐานแท้ ต้องใช้อนุกรมเท่านั้น

ชนิดของจุดเอกฐานโดดเดี่ยว กลาง

จุด c เป็นจุดเอกฐานโดดเดี่ยว (isolated singularity) ถ้า f วิเคราะห์ในวงแหวนเจาะ 0<∣z−c∣<r0 < |z - c| < r แต่ไม่วิเคราะห์ที่ c อนุกรมโลรองต์ในวงแหวนนี้บอกชนิดได้ทันทีจากจำนวนพจน์ในส่วนหลัก

ถอดได้: sin x / xx → 0โพล: 1/x²x → 0เอกฐานแท้: e^(1/x)x → 0
ขนาด |f(z)| ใกล้จุดเอกฐานสามชนิด: ถอดได้ (มีขอบเขต) · โพล (โตเป็นอนันต์ทุกทิศ) · เอกฐานแท้ (พฤติกรรมขึ้นกับทิศที่เข้าใกล้)

L4 Removable singularity จุดเอกฐานที่ถอดได้

a−n=0 ∀n≥1  ⟺  lim⁡z→cf(z) มีค่าจำกัดa_{-n} = 0\ \forall n \ge 1 \iff \lim_{z\to c} f(z) \text{ มีค่าจำกัด}

เช่น sin⁡zz\tfrac{\sin z}{z}, ez−1z\tfrac{e^z - 1}{z} ที่ 0 · “แก้” ได้ด้วยการนิยามค่าที่ c

L5 Pole of order m โพลอันดับ m

a−m≠0, a−n=0 (n>m)  ⟺  (z−c)mf(z) วิเคราะห์และไม่เป็นศูนย์ที่ ca_{-m} \ne 0,\ a_{-n} = 0\ (n > m) \iff (z-c)^m f(z) \text{ วิเคราะห์และไม่เป็นศูนย์ที่ } c

∣f∣→∞|f| \to \infty เมื่อ z→cz \to c · m = 1 เรียกโพลอย่างง่าย (simple pole) · ศูนย์อันดับ m ของตัวส่วน ⇒ โพลอันดับ m (ถ้าตัวเศษไม่เป็นศูนย์)

L6 Essential singularity จุดเอกฐานแท้

a−n≠0 สำหรับ n จำนวนอนันต์a_{-n} \ne 0 \text{ สำหรับ } n \text{ จำนวนอนันต์}

คาโซราตี-ไวแยร์สตราส: ใกล้ c ค่าของ f เข้าใกล้ทุกจำนวนเชิงซ้อน · e1/ze^{1/z} → ∞ ตามแกนจริงบวก → 0 ตามแกนจริงลบ

วิธีบอกอันดับโพลโดยไม่กระจายอนุกรมถ้า f=g/hf = g/h, g(c)≠0g(c) \ne 0 และ h มีศูนย์อันดับ m ที่ c แล้ว f มีโพลอันดับ m เช่น 1sin⁡2z\dfrac{1}{\sin^2 z} มีโพลอันดับ 2 ที่ทุก z=kπz = k\pi · ถ้า g ก็เป็นศูนย์ที่ c ด้วย ให้หักลบอันดับ เช่น sin⁡zz4\dfrac{\sin z}{z^4}: ศูนย์อันดับ 1 บน ศูนย์อันดับ 4 ล่าง ⇒ โพลอันดับ 3

เรซิดิวและทฤษฎีบทเรซิดิว กลาง

อินทิกรัลรอบวงกลมของ (z−c)n(z - c)^n เป็นศูนย์ทุก n ยกเว้น n = −1 ซึ่งได้ 2πi2\pi i เมื่ออินทิกรัลอนุกรมโลรองต์ทีละพจน์ ทุกพจน์หายไปเหลือแค่ 2πi a−12\pi i\,a_{-1} สัมประสิทธิ์ตัวนี้จึงได้ชื่อว่า “เรซิดิว” (residue = ส่วนที่เหลือ)

L7 Residue เรซิดิว

Res⁡z=cf=a−1=12πi∮∣z−c∣=ρf(z) dz\operatorname{Res}_{z=c} f = a_{-1} = \frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-c|=\rho} f(z)\,dz

มาจาก ∮(z−c)ndz=2πi\oint (z-c)^n dz = 2\pi i ถ้า n=−1n = -1 และ 0 ถ้า n≠−1n \ne -1

L8 Residue formulas สูตรหาเรซิดิว

โพลอย่างง่าย: lim⁡z→c(z−c)f(z)=g(c)h′(c) (f=gh);อันดับ m: 1(m−1)!lim⁡z→cdm−1dzm−1[(z−c)mf(z)]\text{โพลอย่างง่าย: } \lim_{z\to c}(z-c)f(z) = \frac{g(c)}{h'(c)}\ \left(f = \tfrac{g}{h}\right);\qquad \text{อันดับ } m:\ \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to c}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\Big[(z-c)^m f(z)\Big]

เอกฐานแท้: ต้องกระจายอนุกรม · สูตร g/h′ คือสิ่งที่ใช้ในInverse Laplace แบบ Heaviside

L9 Residue theorem ทฤษฎีบทเรซิดิว

∮Cf(z) dz=2πi∑kRes⁡z=zkf(zk อยู่ภายใน C, C วนทวนเข็มนาฬิกา)\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{k}\operatorname{Res}_{z=z_k} f \qquad (z_k \text{ อยู่ภายใน } C,\ C \text{ วนทวนเข็มนาฬิกา})

เปลี่ยนอินทิกรัลเป็นการหาสัมประสิทธิ์ · ใช้หาอินทิกรัลจริงที่ยาก อินเวอร์สลาปลาซ (Bromwich) และอินเวอร์ส Z

ตัวอย่าง L-4 · อินทิกรัลเส้นปิด

คำนวณ ∮∣z∣=3ezz(z−2) dz\displaystyle\oint_{|z|=3}\frac{e^z}{z(z-2)}\,dz

  1. โพลอย่างง่ายที่ 0 และ 2 อยู่ใน ∣z∣=3|z| = 3 ทั้งคู่

  2. Res⁡0=lim⁡z→0zf=e00−2=−12\operatorname{Res}_{0} = \lim_{z\to0} z f = \dfrac{e^0}{0 - 2} = -\dfrac12 · Res⁡2=lim⁡z→2(z−2)f=e22\operatorname{Res}_{2} = \lim_{z\to2}(z-2)f = \dfrac{e^2}{2}

  3. ∮=2πi(e22−12)=πi (e2−1)\oint = 2\pi i\left(\dfrac{e^2}{2} - \dfrac12\right) = \pi i\,(e^2 - 1)

πi(e2−1)≈20.07 i\pi i(e^2 - 1) \approx 20.07\,i · ถ้าใช้วงกลม ∣z∣=1|z| = 1 จะได้เฉพาะเรซิดิวที่ 0: −πi-\pi i

ตัวอย่าง L-5 · อินทิกรัลจริงด้วยเรซิดิว

(ก) ∫−∞∞dx(x2+1)2\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+1)^2} (ข) ∫02πdθ2+cos⁡θ\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{2 + \cos\theta}

  1. (ก) ปิดเส้นทางด้วยครึ่งวงกลมบน (อินทิกรัลบนครึ่งวงกลม → 0) โพลในครึ่งบนคือ z=iz = i อันดับ 2: Res⁡=ddz[1(z+i)2]z=i=−2(2i)3=14i\operatorname{Res} = \dfrac{d}{dz}\left[\dfrac{1}{(z+i)^2}\right]_{z=i} = \dfrac{-2}{(2i)^3} = \dfrac{1}{4i}

  2. อินทิกรัล =2πi⋅14i=π2= 2\pi i\cdot\dfrac{1}{4i} = \dfrac{\pi}{2}

  3. (ข) แทน z=eiθz = e^{i\theta}: cos⁡θ=12(z+z−1), dθ=dziz\cos\theta = \tfrac12(z + z^{-1}),\ d\theta = \tfrac{dz}{iz} ได้ ∮∣z∣=12 dzi(z2+4z+1)\oint_{|z|=1}\dfrac{2\,dz}{i(z^2 + 4z + 1)} โพล z=−2±3z = -2 \pm \sqrt3 ในวงกลมหนึ่งหน่วยมีแค่ −2+3-2 + \sqrt3

  4. Res⁡=2i (2z+4)∣z=−2+3=223 i=13 i\operatorname{Res} = \dfrac{2}{i\,(2z + 4)}\Big|_{z=-2+\sqrt3} = \dfrac{2}{2\sqrt3\,i} = \dfrac{1}{\sqrt3\,i} ⇒ อินทิกรัล =2πi⋅13 i=2π3= 2\pi i\cdot\dfrac{1}{\sqrt3\,i} = \dfrac{2\pi}{\sqrt3}

(ก) π2\tfrac{\pi}{2} · (ข) 2π3≈3.628\tfrac{2\pi}{\sqrt3} \approx 3.628

การแปลง Z คืออนุกรมโลรองต์ ขั้นสูง

สำหรับวิศวกรไฟฟ้า นี่คือเหตุผลที่สำคัญที่สุดในการเรียนอนุกรมโลรองต์ การแปลง Z ของสัญญาณไม่ต่อเนื่อง x[n]x[n] นิยามเป็นอนุกรมโลรองต์รอบ 0 โดยตรง เรื่องที่ตำราระบบสัญญาณเรียกว่า “บริเวณการลู่เข้า (ROC)” คือวงแหวนของหน้านี้ และการหาการแปลงผกผันคือการเลือกวงแหวนให้ถูกแล้วกระจายด้วยอนุกรมเรขาคณิต (เทียบกับ ROC ของลาปลาซในโพล-ซีโร่และ ROC)

L10 Z-transform = Laurent series การแปลง Z คืออนุกรมโลรองต์

X(z)=∑n=−∞∞x[n] z−n,ROC={r1<∣z∣<r2},x[n]=12πi∮X(z) zn−1 dzX(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n},\qquad \text{ROC} = \{ r_1 < |z| < r_2 \},\qquad x[n] = \frac{1}{2\pi i}\oint X(z)\,z^{n-1}\,dz

ROC ∣z∣>r|z| > r ⇔ สัญญาณข้างขวา (causal ถ้าไม่มีพจน์ n < 0) · ∣z∣<r|z| < r ⇔ ข้างซ้าย · วงแหวน ⇔ สองด้าน · ระบบเสถียร ⇔ ROC มีวงกลมหนึ่งหน่วย

L11 The basic pair คู่พื้นฐาน

anu[n]⟷zz−a, ∣z∣>∣a∣;−anu[−n−1]⟷zz−a, ∣z∣<∣a∣a^n u[n] \longleftrightarrow \frac{z}{z-a},\ |z| > |a|;\qquad -a^n u[-n-1] \longleftrightarrow \frac{z}{z-a},\ |z| < |a|

X(z) เดียวกัน ROC ต่างกัน = สัญญาณต่างกัน · พิสูจน์ด้วย L3 ทั้งสองแบบ

L12 Stability = absolute convergence เสถียรภาพคือการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

BIBO เสถียร  ⟺  ∑n∣h[n]∣<∞  ⟺  ∣z∣=1⊂ROC\text{BIBO เสถียร} \iff \sum_{n}|h[n]| < \infty \iff |z| = 1 \subset \text{ROC}

แนวคิด “ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์” จากหน้าอนุกรมสลับคือเงื่อนไขเสถียรภาพของระบบดิจิทัลโดยตรง

ตัวอย่าง L-6 · อินเวอร์ส Z สาม ROC

X(z)=z(z−12)(z−2)X(z) = \dfrac{z}{(z - \frac12)(z - 2)} หา x[n]x[n] เมื่อ ROC เป็น (ก) ∣z∣>2|z| > 2 (ข) 12<∣z∣<2\tfrac12 < |z| < 2 (ค) ∣z∣<12|z| < \tfrac12

  1. แยก X(z)z=1(z−12)(z−2)=−2/3z−12+2/3z−2\dfrac{X(z)}{z} = \dfrac{1}{(z-\frac12)(z-2)} = \dfrac{-2/3}{z - \frac12} + \dfrac{2/3}{z - 2} ⇒ X(z)=−23⋅zz−12+23⋅zz−2X(z) = -\dfrac23\cdot\dfrac{z}{z - \frac12} + \dfrac23\cdot\dfrac{z}{z-2}

  2. (ก) ∣z∣>2|z| > 2 อยู่นอกทั้งสองโพล ใช้ L11 แบบข้างขวาทั้งคู่: x[n]=23(2n−(12)n)u[n]x[n] = \dfrac23\left(2^n - \left(\tfrac12\right)^n\right)u[n] (causal แต่ไม่เสถียร เพราะ ROC ไม่มี |z| = 1)

  3. (ข) 12<∣z∣<2\tfrac12 < |z| < 2: โพล ½ อยู่ข้างใน (ข้างขวา) โพล 2 อยู่ข้างนอก (ข้างซ้าย): x[n]=−23(12)nu[n]−23 2nu[−n−1]x[n] = -\dfrac23\left(\tfrac12\right)^n u[n] - \dfrac23\,2^n u[-n-1] (สองด้าน และเสถียร)

  4. (ค) ∣z∣<12|z| < \tfrac12 อยู่ในทั้งคู่ (ข้างซ้ายทั้งคู่): x[n]=23((12)n−2n)u[−n−1]x[n] = \dfrac23\left(\left(\tfrac12\right)^n - 2^n\right)u[-n-1]

X(z) เดียว สามสัญญาณ เลือกตาม ROC — ตรงกับสามบริเวณของอนุกรมโลรองต์ทุกประการ ดูการใช้ในระบบควบคุมแบบดิจิทัล

สูตรผกผันของลาปลาซ (Bromwich) เป็นอินทิกรัลเส้นในระนาบ s ซึ่งปิดเส้นทางแล้วใช้ทฤษฎีบทเรซิดิวได้: f(t)=∑Res⁡[F(s)est]f(t) = \sum \operatorname{Res}\left[F(s)e^{st}\right] ที่โพลทั้งหมดของ F(s) วิธีแยกเศษส่วนย่อยแบบ Heaviside cover-up คือสูตร L8 นั่นเอง ดูวิธีทำครบทุกกรณีที่ Inverse Laplace Transform

L13 Inverse Laplace by residues อินเวอร์สลาปลาซด้วยเรซิดิว

f(t)=12πi∫γ−i∞γ+i∞F(s)est ds=∑โพล skRes⁡s=sk[F(s) est],t>0f(t) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty}F(s)e^{st}\,ds = \sum_{\text{โพล } s_k}\operatorname{Res}_{s=s_k}\left[F(s)\,e^{st}\right],\quad t > 0

ตัวอย่าง F(s)=1s(s+2)F(s) = \tfrac{1}{s(s+2)}: Res ที่ 0 = ½ · Res ที่ −2 = −12e−2t-\tfrac12e^{-2t} ⇒ f(t)=12(1−e−2t)f(t) = \tfrac12(1 - e^{-2t})

สรุปขั้นตอนทำโจทย์อนุกรมโลรองต์ พื้นฐาน

1. หาโพลทั้งหมดวาดบนระนาบ หาระยะจากจุดศูนย์กลาง c ไปแต่ละโพล
2. ระบุวงแหวนวงกลมผ่านโพลแบ่งเขต · โจทย์บอกบริเวณมา หรือดูว่าจุดที่สนใจอยู่วงไหน
3. แยกเศษส่วนย่อยหรือดึงตัวประกอบที่รู้อนุกรม (eᶻ, sin z) ออกมา
4. กระจายแต่ละตัวโพลข้างใน ⇒ กำลังลบ · โพลข้างนอก ⇒ กำลังบวก (L3)
5. รวมและตรวจเทียบสัมประสิทธิ์สองสามตัวแรกกับแล็บ หรือแทนค่า z หนึ่งจุด
6. ตอบคำถามชนิดจุดเอกฐาน (L4–L6) · เรซิดิว a−1a_{-1} · อินทิกรัล (L9) · สัญญาณ x[n] (L10)

ต่อไป: อนุกรมในงานวิศวกรรม

เห็นแล้วว่าอนุกรมโลรองต์คือภาษาของการแปลง Z หน้าถัดไป อนุกรมในงานวิศวกรรม นำทุกเครื่องมือของบทไปใช้กับลูกตุ้ม ไดโอด ไมโครคอนโทรลเลอร์ ตัวกรองดิจิทัล และการเงินของโครงการ · อ่านบทความ อนุกรมโลรองต์ต่างจากเทย์เลอร์อย่างไร (English) · ฝึกโจทย์ แนวข้อสอบชุด C

คำถามที่พบบ่อย

อนุกรมโลรองต์ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร?

อนุกรมเทย์เลอร์มีเฉพาะกำลังไม่ลบ ∑n≥0an(z−c)n\sum_{n\ge0} a_n (z-c)^n และลู่เข้าในดิสก์ ใช้ได้เมื่อ f วิเคราะห์ที่ c อนุกรมโลรองต์ยอมให้มีกำลังลบ ∑n=−∞∞an(z−c)n\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-c)^n และลู่เข้าในวงแหวน r1<∣z−c∣<r2r_1 < |z - c| < r_2 จึงใช้รอบจุดเอกฐานได้ ถ้า f วิเคราะห์ทั้งดิสก์ อนุกรมโลรองต์จะเป็นอนุกรมเทย์เลอร์

ทำไมฟังก์ชันเดียวมีอนุกรมโลรองต์ได้หลายแบบ?

เพราะอนุกรมโลรองต์ขึ้นกับบริเวณวงแหวน ซึ่งถูกแบ่งด้วยวงกลมที่ผ่านโพล เช่น 1/((z−1)(z−2))1/((z-1)(z-2)) รอบ 0 มีสามบริเวณ |z| < 1, 1 < |z| < 2 และ |z| > 2 แต่ละบริเวณให้อนุกรมต่างกัน แต่ในแต่ละวงแหวนอนุกรมมีได้แบบเดียว (ทฤษฎีบทโลรองต์)

จำแนกจุดเอกฐานด้วยอนุกรมโลรองต์อย่างไร?

ดูส่วนหลัก (กำลังลบ) ในวงแหวนเจาะ 0<∣z−c∣<r0 < |z - c| < r: ไม่มีพจน์กำลังลบเลย = จุดเอกฐานที่ถอดได้ · มีจำนวนจำกัด กำลังลบสูงสุด m = โพลอันดับ m · มีอนันต์พจน์ = จุดเอกฐานแท้ เช่น e1/ze^{1/z} ที่ 0

เรซิดิวคืออะไร และหาอย่างไร?

เรซิดิวของ f ที่จุดเอกฐานโดดเดี่ยว c คือสัมประสิทธิ์ a−1a_{-1} ของ 1/(z−c)1/(z-c) ในอนุกรมโลรองต์บนวงแหวนเจาะรอบ c ถ้าเป็นโพลอย่างง่าย Res⁡=lim⁡z→c(z−c)f(z)\operatorname{Res} = \lim_{z\to c}(z-c)f(z) ถ้าเป็นโพลอันดับ m ใช้ 1(m−1)!lim⁡dm−1dzm−1[(z−c)mf(z)]\tfrac{1}{(m-1)!}\lim \tfrac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-c)^m f(z)] ทฤษฎีบทเรซิดิวให้ ∮f dz=2πi∑Res⁡\oint f\,dz = 2\pi i\sum \operatorname{Res}

การแปลง Z เกี่ยวกับอนุกรมโลรองต์อย่างไร?

การแปลง Z X(z)=∑x[n]z−nX(z) = \sum x[n] z^{-n} คืออนุกรมโลรองต์รอบ 0 โดยสัญญาณ x[n] คือสัมประสิทธิ์ของ z−nz^{-n} บริเวณการลู่เข้า (ROC) จึงเป็นวงแหวนเสมอ: |z| > r ให้สัญญาณข้างขวา (causal) · |z| < r ให้สัญญาณข้างซ้าย · วงแหวนระหว่างโพลให้สัญญาณสองด้าน การหา X(z) ผกผันคือการหาอนุกรมโลรองต์ในวงแหวนที่ถูกต้อง

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์