พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. แคลคูลัสหลายตัวแปร
  4. ฟังก์ชันเวกเตอร์

// บทที่ 24.6 · แคลคูลัสเวกเตอร์ · Vector-Valued Functions

ฟังก์ชันเวกเตอร์ (Vector-Valued Functions): เส้นโค้งในอวกาศ ความเร็ว ความเร่ง ความยาวส่วนโค้ง และความโค้ง

ลูกบอลที่ถูกโยน อนุภาคที่ลอยในสนามแม่เหล็ก หัวจับของแขนกลที่ลากเส้นทางหนึ่ง ทางลาดเกลียวของลานจอดรถ ทั้งหมดเคลื่อนที่ในอวกาศ ตำแหน่งของมันคือเวกเตอร์ที่เปลี่ยนตามเวลา เรียกว่าฟังก์ชันเวกเตอร์ (vector-valued function) r(t)\mathbf r(t) เมื่อหาอนุพันธ์ได้ความเร็วและความเร่ง เมื่ออินทิเกรตได้ระยะทาง และเมื่อวิเคราะห์รูปร่างของเส้นทางได้ความโค้งและกรอบ Frenet–Serret ที่บอกว่า “เลี้ยวแรงแค่ไหน” หน้านี้มีแล็บที่วาดเส้นโค้ง 3 มิติ พร้อมเวกเตอร์ T N B วงกลมออสคิวเลติง และค่า κ τ แบบเรียลไทม์

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
แล็บเส้นโค้ง 3 มิติ อนุพันธ์ r′(t) ความเร็ว · ความเร่ง ความยาวส่วนโค้ง ความโค้ง · Frenet
สรุปใน 30 วินาที
  • r(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩\mathbf r(t) = \langle x(t), y(t), z(t)\rangle · ลิมิต อนุพันธ์ อินทิกรัล ทำทีละองค์ประกอบ · v=r′\mathbf v = \mathbf r' (สัมผัสเส้นโค้ง) · a=r′′\mathbf a = \mathbf r''
  • ความยาวส่วนโค้ง L=∫ab∣r′(t)∣ dtL = \int_a^b |\mathbf r'(t)|\,dt · ความโค้ง κ=∣r′×r′′∣∣r′∣3\kappa = \dfrac{|\mathbf r'\times\mathbf r''|}{|\mathbf r'|^3} · รัศมี R=1/κR = 1/\kappa
  • กรอบ Frenet: T=r′/∣r′∣\mathbf T = \mathbf r'/|\mathbf r'| · N=T′/∣T′∣\mathbf N = \mathbf T'/|\mathbf T'| · B=T×N\mathbf B = \mathbf T\times\mathbf N · a=aTT+aNN\mathbf a = a_T\mathbf T + a_N\mathbf N, aN=κ∣v∣2a_N = \kappa|\mathbf v|^2
  • ความเร่งทิศ N\mathbf N เกิดจากการเลี้ยว แม้อัตราเร็วคงที่ · ตัวอย่าง: โรเตอร์ 3000 rpm รัศมี 15 cm มี aN=14 800a_N = 14\,800 m/s² ≈ 1510 g
ระดับพื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

ฟังก์ชันเวกเตอร์และเส้นโค้งในอวกาศ พื้นฐาน

ฟังก์ชันเวกเตอร์รับตัวเลขหนึ่งตัวและให้เวกเตอร์ออกมา ถ้า tt คือเวลา r(t)\mathbf r(t) คือเวกเตอร์ตำแหน่ง ปลายของมันลากเป็นเส้นโค้งในอวกาศ (space curve) สมการ x(t), y(t), z(t)x(t),\ y(t),\ z(t) เรียกว่าสมการพารามิเตอร์ (parametric equations) เส้นโค้งเดียวกันเขียนด้วยพารามิเตอร์ได้หลายแบบ แต่ทิศการเคลื่อนที่และความเร็วที่ผ่านแต่ละจุดต่างกัน

R1 Vector-valued function ฟังก์ชันเวกเตอร์

r(t)=x(t) i+y(t) j+z(t) k=⟨x(t), y(t), z(t)⟩,t∈[a,b]\mathbf r(t) = x(t)\,\mathbf i + y(t)\,\mathbf j + z(t)\,\mathbf k = \langle x(t),\, y(t),\, z(t)\rangle,\qquad t \in [a, b]

ตัวอย่าง: เส้นตรง r0+td\mathbf r_0 + t\mathbf d · วงกลม ⟨Rcos⁡t,Rsin⁡t,0⟩\langle R\cos t, R\sin t, 0\rangle · เกลียว ⟨Rcos⁡t,Rsin⁡t,ct⟩\langle R\cos t, R\sin t, ct\rangle · ลูกกระสุน ⟨vxt, 0, vzt−12gt2⟩\langle v_x t,\ 0,\ v_z t - \tfrac12 gt^2\rangle

R2 Calculus componentwise แคลคูลัสทำทีละองค์ประกอบ

lim⁡t→ar(t)=⟨lim⁡x,lim⁡y,lim⁡z⟩,r′(t)=⟨x′,y′,z′⟩,∫abr(t) dt=⟨∫abx dt, ∫aby dt, ∫abz dt⟩\lim_{t\to a}\mathbf r(t) = \langle \lim x, \lim y, \lim z\rangle,\quad \mathbf r'(t) = \langle x', y', z'\rangle,\quad \int_a^b \mathbf r(t)\,dt = \left\langle \int_a^b x\,dt,\ \int_a^b y\,dt,\ \int_a^b z\,dt\right\rangle

ใช้ได้เพราะเวกเตอร์ประกอบด้วยสามองค์ประกอบอิสระ · r\mathbf r ต่อเนื่องก็ต่อเมื่อทุกองค์ประกอบต่อเนื่อง · ทฤษฎีบทมูลฐาน: ∫abr′ dt=r(b)−r(a)\int_a^b \mathbf r'\,dt = \mathbf r(b) - \mathbf r(a)

แล็บเส้นโค้งในอวกาศ

เลือกเส้นโค้งหรือพิมพ์ x(t), y(t), z(t)x(t),\ y(t),\ z(t) เอง เลื่อนแถบเพื่อเดินไปตามเส้นโค้ง ลูกศรสีส้ม T\mathbf T ชี้ทิศเคลื่อนที่ สีฟ้า N\mathbf N ชี้เข้าหาศูนย์กลางความโค้ง สีเขียว B\mathbf B ตั้งฉากทั้งคู่ วงกลมประสีฟ้าคือวงกลมออสคิวเลติงที่ “แนบ” เส้นโค้งที่สุด ตารางด้านข้างแสดง v\mathbf v, a\mathbf a, κ\kappa, τ\tau, aTa_T, aNa_N และความยาวส่วนโค้ง ส่วนต่าง ๆ ของบทนี้ใช้แล็บเดียวกันนี้อ้างอิง

TNBr(t) = ⟨cos t, sin t, 0.2t⟩T = r′/|r′| (สัมผัส)N = T′/|T′| (ชี้เข้าหาโค้ง)B = T × N (ตั้งฉากระนาบ)κ = |T′|/|r′| ความโค้งR = 1/κ รัศมีออสคิวเลติงวงกลมประ = osculating circle
กรอบ Frenet–Serret (Frenet frame) บนเส้นโค้งในอวกาศ: T\mathbf T สัมผัส N\mathbf N ชี้เข้าหาจุดศูนย์กลางความโค้ง B\mathbf B ตั้งฉากกับระนาบออสคิวเลติง (osculating plane) และวงกลมออสคิวเลติงรัศมี R=1/κR = 1/\kappa

อนุพันธ์ของ r(t): เวกเตอร์สัมผัส พื้นฐาน

อนุพันธ์ r′(t)=lim⁡h→0r(t+h)−r(t)h\mathbf r'(t) = \lim_{h\to0}\dfrac{\mathbf r(t + h) - \mathbf r(t)}{h} คืออัตราเปลี่ยนของตำแหน่ง ทางเรขาคณิต r(t+h)−r(t)\mathbf r(t + h) - \mathbf r(t) คือเวกเตอร์ที่ลากจากจุดหนึ่งไปจุดถัดไปบนเส้นโค้ง เมื่อ h→0h \to 0 เวกเตอร์นี้เข้าหาทิศสัมผัส จึงได้ว่า r′(t)\mathbf r'(t) สัมผัสเส้นโค้งเสมอ และชี้ไปทางที่ tt เพิ่ม

R3 Tangent vector and tangent line เวกเตอร์สัมผัสและเส้นสัมผัส

T(t)=r′(t)∣r′(t)∣,เส้นสัมผัสที่ t0: L(s)=r(t0)+s r′(t0)\mathbf T(t) = \frac{\mathbf r'(t)}{|\mathbf r'(t)|},\qquad \text{เส้นสัมผัสที่ } t_0:\ \mathbf L(s) = \mathbf r(t_0) + s\,\mathbf r'(t_0)

ต้องมี r′(t0)≠0\mathbf r'(t_0) \ne \mathbf 0 (เส้นโค้งเรียบ ณ จุดนั้น) · T\mathbf T ไม่ขึ้นกับว่าใช้พารามิเตอร์ใด (แต่ทิศอาจกลับ)

R4 Differentiation rules กฎอนุพันธ์ของเวกเตอร์

(u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′,(u×v)′=u′×v+u×v′,(fu)′=f′u+fu′(\mathbf u\cdot\mathbf v)' = \mathbf u'\cdot\mathbf v + \mathbf u\cdot\mathbf v',\qquad (\mathbf u\times\mathbf v)' = \mathbf u'\times\mathbf v + \mathbf u\times\mathbf v',\qquad (f\mathbf u)' = f'\mathbf u + f\mathbf u'

ลำดับในผลคูณไขว้ต้องคงเดิม (u′×v\mathbf u'\times\mathbf v ไม่ใช่ v×u′\mathbf v\times\mathbf u') · ผลสำคัญ: ถ้า ∣r(t)∣|\mathbf r(t)| คงที่ แล้ว r⋅r′=0\mathbf r\cdot\mathbf r' = 0 (เวกเตอร์ขนาดคงที่ตั้งฉากกับอนุพันธ์ของมัน) ซึ่งทำให้ T⊥T′\mathbf T \perp \mathbf T'

ตัวอย่าง R-1 · เส้นสัมผัสของ twisted cubic

r(t)=⟨t, t2, t3⟩\mathbf r(t) = \langle t,\ t^2,\ t^3\rangle หา r′(t)\mathbf r'(t), T(1)\mathbf T(1) และเส้นสัมผัสที่ t=1t = 1

  1. r′(t)=⟨1, 2t, 3t2⟩\mathbf r'(t) = \langle 1,\ 2t,\ 3t^2\rangle · ที่ t=1t = 1: r(1)=⟨1,1,1⟩\mathbf r(1) = \langle 1,1,1\rangle และ r′(1)=⟨1,2,3⟩\mathbf r'(1) = \langle 1, 2, 3\rangle

  2. ∣r′(1)∣=1+4+9=14≈3.742|\mathbf r'(1)| = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \approx 3.742 · T(1)=114⟨1,2,3⟩≈⟨0.267,0.535,0.802⟩\mathbf T(1) = \dfrac{1}{\sqrt{14}}\langle 1, 2, 3\rangle \approx \langle 0.267, 0.535, 0.802\rangle

  3. เส้นสัมผัส: L(s)=⟨1,1,1⟩+s⟨1,2,3⟩\mathbf L(s) = \langle 1, 1, 1\rangle + s\langle 1, 2, 3\rangle หรือ x=1+s, y=1+2s, z=1+3sx = 1 + s,\ y = 1 + 2s,\ z = 1 + 3s

r′(t)=⟨1,2t,3t2⟩\mathbf r'(t) = \langle 1, 2t, 3t^2\rangle · T(1)=⟨1,2,3⟩/14\mathbf T(1) = \langle 1,2,3\rangle/\sqrt{14}

ความเร็ว ความเร่ง และการเคลื่อนที่ในอวกาศ พื้นฐาน

ถ้า r(t)\mathbf r(t) คือตำแหน่ง ความเร็วคืออนุพันธ์ตำแหน่ง และความเร่งคืออนุพันธ์ความเร็ว ตรงกับฟิสิกส์ แต่ในรูปเวกเตอร์ทั้งหมด การเคลื่อนที่ในอวกาศจึงเป็นการวิเคราะห์สามแกนพร้อมกัน และถ้ารู้ความเร่ง (จากแรง F=ma\mathbf F = m\mathbf a) ก็อินทิเกรตย้อนกลับเพื่อหาความเร็วและตำแหน่งได้

R5 Velocity, speed, acceleration ความเร็ว อัตราเร็ว ความเร่ง

v(t)=r′(t),v=∣v(t)∣=x′2+y′2+z′2,a(t)=v′(t)=r′′(t)\mathbf v(t) = \mathbf r'(t),\qquad v = |\mathbf v(t)| = \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2},\qquad \mathbf a(t) = \mathbf v'(t) = \mathbf r''(t)

ความเร็ว = เวกเตอร์ (สัมผัสเส้นทาง) · อัตราเร็ว = สเกลาร์ ≥ 0 · ย้อนกลับ: v(t)=v0+∫a dt\mathbf v(t) = \mathbf v_0 + \int\mathbf a\,dt และ r(t)=r0+∫v dt\mathbf r(t) = \mathbf r_0 + \int\mathbf v\,dt

R6 Projectile motion (no drag) การเคลื่อนที่แบบกระสุน (ไม่คิดแรงต้าน)

r(t)=⟨v0cos⁡α t,  0,  v0sin⁡α t−12gt2⟩,tf=2v0sin⁡αg,R=v02sin⁡2αg,H=v02sin⁡2α2g\mathbf r(t) = \big\langle v_0\cos\alpha\ t,\ \ 0,\ \ v_0\sin\alpha\ t - \tfrac12 gt^2\big\rangle,\quad t_f = \frac{2v_0\sin\alpha}{g},\quad R = \frac{v_0^2\sin2\alpha}{g},\quad H = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}

a=⟨0,0,−g⟩\mathbf a = \langle 0, 0, -g\rangle คงที่ · พิสัยสูงสุดที่ α=45∘\alpha = 45^\circ · ถ้ามีแรงต้านอากาศต้องแก้เชิงตัวเลข

R7 Uniform circular motion การเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ

r=⟨Rcos⁡ωt, Rsin⁡ωt⟩,v=Rω⟨−sin⁡ωt, cos⁡ωt⟩,a=−ω2r,∣a∣=Rω2=v2R\mathbf r = \langle R\cos\omega t,\ R\sin\omega t\rangle,\quad \mathbf v = R\omega\langle-\sin\omega t,\ \cos\omega t\rangle,\quad \mathbf a = -\omega^2\mathbf r,\quad |\mathbf a| = R\omega^2 = \frac{v^2}{R}

a\mathbf a ชี้เข้าศูนย์กลาง (−r-\mathbf r) แม้อัตราเร็ว ∣v∣=Rω|\mathbf v| = R\omega คงที่ · ω\omega (rad/s) = 2πn/602\pi n/60 เมื่อ nn = rpm

ตัวอย่าง R-2 · ลูกกระสุน (เครื่องกล)

ขว้างวัตถุด้วยอัตราเร็ว v0=20v_0 = 20 m/s ทำมุม 60∘60^\circ กับแนวราบ (g=9.8g = 9.8 m/s²) หาเวลาตกพื้น พิสัย และความสูงสูงสุด

  1. vx=20cos⁡60∘=10v_x = 20\cos60^\circ = 10 m/s · vz=20sin⁡60∘=17.32v_z = 20\sin60^\circ = 17.32 m/s · r(t)=⟨10t, 0, 17.32t−4.9t2⟩\mathbf r(t) = \langle 10t,\ 0,\ 17.32t - 4.9t^2\rangle

  2. ตกพื้นเมื่อ z=0z = 0: t(17.32−4.9t)=0t(17.32 - 4.9t) = 0 → tf=17.32/4.9=3.535t_f = 17.32/4.9 = 3.535 s

  3. พิสัย R=x(tf)=10(3.535)=35.35R = x(t_f) = 10(3.535) = 35.35 m (ตรงกับ v02sin⁡120∘/g=400(0.866)/9.8v_0^2\sin120^\circ/g = 400(0.866)/9.8)

  4. สูงสุดเมื่อ vz=0v_z = 0: t=17.32/9.8=1.767t = 17.32/9.8 = 1.767 s · H=17.32(1.767)−4.9(1.767)2=15.31H = 17.32(1.767) - 4.9(1.767)^2 = 15.31 m

  5. ตรวจ: ความเร็วตอนตกพื้น v(tf)=⟨10, 0, −17.32⟩\mathbf v(t_f) = \langle 10,\ 0,\ -17.32\rangle อัตราเร็ว =20= 20 m/s เท่าตอนปล่อย (พลังงานคงตัว) ✓

tf=3.535t_f = 3.535 s · พิสัย 35.3535.35 m · H=15.31H = 15.31 m

ตัวอย่าง R-3 · โรเตอร์หมุน (ไฟฟ้า/เครื่องกล)

โรเตอร์มอเตอร์รัศมี 15 cm หมุน 3000 rpm หาอัตราเร็วที่ผิวและความเร่งสู่ศูนย์กลาง

  1. ω=3000×2π/60=314.16\omega = 3000\times 2\pi/60 = 314.16 rad/s

  2. อัตราเร็วที่ผิว v=Rω=0.15×314.16=47.12v = R\omega = 0.15\times314.16 = 47.12 m/s (≈ 170 km/h)

  3. ความเร่งสู่ศูนย์กลาง a=Rω2=0.15×314.162=14 804a = R\omega^2 = 0.15\times314.16^2 = 14\,804 m/s² หรือเทียบกับแรงโน้มถ่วง 14 804/9.81=1509 g14\,804/9.81 = 1509\,g

  4. แรงสู่ศูนย์กลางต่อมวล 1 กรัมของลวดทองแดงที่ปลายโรเตอร์ =0.001×14 804=14.8= 0.001\times14\,804 = 14.8 N จึงต้องมีลิ่มและแถบรัดยึดขดลวดกับโรเตอร์ (ความเค้นแปรผันตาม ω2\omega^2 ทำให้ความเร็วรอบสูงสุดถูกจำกัดโดยวัสดุ)

v=47.1v = 47.1 m/s · a=1.48×104a = 1.48\times10^4 m/s² ≈ 1509 g

ความยาวส่วนโค้ง (Arc Length) กลาง

ระยะทางที่เดินตามเส้นโค้ง คืออินทิกรัลของอัตราเร็วตามเวลา เพราะในช่วงเวลา dtdt วัตถุเดินได้ ∣r′∣ dt|\mathbf r'|\,dt ผลนี้ไม่ขึ้นกับพารามิเตอร์ที่เลือก ถ้าใช้ความยาวส่วนโค้ง ss เป็นพารามิเตอร์เอง (arc-length parametrization) จะได้ ∣dr/ds∣=1|d\mathbf r/ds| = 1 พอดี ซึ่งเป็นรากฐานของนิยามความโค้ง

R8 Arc length ความยาวส่วนโค้ง

L=∫ab∣r′(t)∣ dt=∫abx′(t)2+y′(t)2+z′(t)2 dt,s(t)=∫at∣r′(u)∣ du,  dsdt=∣r′(t)∣L = \int_a^b |\mathbf r'(t)|\,dt = \int_a^b\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2}\,dt,\qquad s(t) = \int_a^t|\mathbf r'(u)|\,du,\ \ \frac{ds}{dt} = |\mathbf r'(t)|

เส้นโค้ง y=f(x)y = f(x): L=∫ab1+f′(x)2 dxL = \int_a^b\sqrt{1 + f'(x)^2}\,dx · อินทิกรัลมักไม่มีรูปปิด ใช้วิธีเชิงตัวเลข (แล็บใช้ Gauss–Legendre) · พารามิเตอร์ด้วย ss: r(s)\mathbf r(s) มีอัตราเร็ว 1 เสมอ

ตัวอย่าง R-4 · ความยาวเกลียว

หาความยาวของ r(t)=⟨cos⁡t, sin⁡t, t⟩\mathbf r(t) = \langle\cos t,\ \sin t,\ t\rangle สำหรับ 0≤t≤2π0 \le t \le 2\pi (หนึ่งรอบ)

  1. r′=⟨−sin⁡t, cos⁡t, 1⟩\mathbf r' = \langle-\sin t,\ \cos t,\ 1\rangle · ∣r′∣=sin⁡2t+cos⁡2t+1=2|\mathbf r'| = \sqrt{\sin^2t + \cos^2t + 1} = \sqrt2 (คงที่ทั้งเส้น)

  2. L=∫02π2 dt=2π2≈8.886L = \displaystyle\int_0^{2\pi}\sqrt2\,dt = 2\pi\sqrt2 \approx 8.886

  3. ตรวจด้วยเรขาคณิต: คลี่ผิวทรงกระบอกออกเป็นแผ่นราบ เกลียวเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมกว้าง 2π2\pi (เส้นรอบวง) สูง 2π2\pi (ระยะยก) → (2π)2+(2π)2=2π2\sqrt{(2\pi)^2 + (2\pi)^2} = 2\pi\sqrt2 ✓

L=2π2≈8.886L = 2\pi\sqrt2 \approx 8.886

ตัวอย่าง R-5 · ทางลาดเกลียวของลานจอดรถ (โยธา)

ทางลาดวนรัศมี 15 m ขึ้นสูง 4 m ต่อหนึ่งรอบ หาความยาวทางลาดต่อรอบและความชัน

  1. r(t)=⟨15cos⁡t, 15sin⁡t, ct⟩\mathbf r(t) = \langle 15\cos t,\ 15\sin t,\ ct\rangle โดยยก 4 m ใน 2π2\pi: c=4/(2π)=0.6366c = 4/(2\pi) = 0.6366 m/rad

  2. ∣r′∣=152+c2=225.405=15.0135|\mathbf r'| = \sqrt{15^2 + c^2} = \sqrt{225.405} = 15.0135 m/rad

  3. L=2π×15.0135=94.33L = 2\pi\times15.0135 = 94.33 m ต่อรอบ

  4. ความชัน (grade) = ระยะยกต่อระยะทางราบ = 4/(2π⋅15)=4/94.25=4.24%4/(2\pi\cdot15) = 4/94.25 = 4.24\% (ตามแนวรัศมี 15 m) · ที่ขอบในรัศมีเล็กกว่า ความชันจะมากกว่า (รัศมี 6 m ได้ 10.6%) จึงต้องตรวจเกณฑ์ความชันสูงสุดของทางลาด (มักไม่เกิน 12–15%)

L=94.33L = 94.33 m ต่อรอบ · ความชัน 4.24%4.24\% ที่รัศมี 15 m

ความโค้งและกรอบ Frenet–Serret ขั้นสูง

เส้นตรงไม่โค้ง วงกลมรัศมีเล็กโค้งมากกว่าวงกลมรัศมีใหญ่ ความโค้ง (curvature) κ\kappa วัดว่าทิศสัมผัส T\mathbf T หมุนเร็วเท่าไรต่อระยะทางที่เดิน: κ=∣dT/ds∣\kappa = |d\mathbf T/ds| รัศมีความโค้ง R=1/κR = 1/\kappa คือรัศมีของวงกลมที่แนบกับเส้นโค้งที่สุดที่จุดนั้น (วงกลมออสคิวเลติง) ดังนั้นโค้งแหลม = κ\kappa มาก = RR เล็ก

R9 Curvature ความโค้ง

κ=∣dTds∣=∣T′(t)∣∣r′(t)∣=∣r′(t)×r′′(t)∣∣r′(t)∣3,R=1κ\kappa = \left|\frac{d\mathbf T}{ds}\right| = \frac{|\mathbf T'(t)|}{|\mathbf r'(t)|} = \frac{|\mathbf r'(t)\times\mathbf r''(t)|}{|\mathbf r'(t)|^3},\qquad R = \frac1\kappa

สูตรขวาสุดใช้ง่ายที่สุดในทางปฏิบัติ · วงกลมรัศมี RR: κ=1/R\kappa = 1/R · เส้นตรง: κ=0\kappa = 0 · เกลียว ⟨acos⁡t,asin⁡t,bt⟩\langle a\cos t, a\sin t, bt\rangle: κ=aa2+b2\kappa = \dfrac{a}{a^2 + b^2}

R10 Curvature of a plane curve ความโค้งของเส้นโค้งในระนาบ

y=f(x):κ=∣f′′(x)∣(1+f′(x)2)3/2;r=⟨x(t),y(t)⟩:κ=∣x′y′′−y′x′′∣(x′2+y′2)3/2y = f(x):\quad \kappa = \frac{|f''(x)|}{\big(1 + f'(x)^2\big)^{3/2}};\qquad \mathbf r = \langle x(t), y(t)\rangle:\quad \kappa = \frac{|x'y'' - y'x''|}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}

ใช้กับการโก่งตัวของคาน (κ≈f′′\kappa \approx f'' เมื่อลาดน้อย) และทางโค้งแนวดิ่งของถนน

R11 Frenet–Serret frame กรอบ Frenet–Serret

T=r′∣r′∣,N=T′∣T′∣,B=T×N;dTds=κN,dNds=−κT+τB,dBds=−τN\mathbf T = \frac{\mathbf r'}{|\mathbf r'|},\quad \mathbf N = \frac{\mathbf T'}{|\mathbf T'|},\quad \mathbf B = \mathbf T\times\mathbf N;\qquad \frac{d\mathbf T}{ds} = \kappa\mathbf N,\quad \frac{d\mathbf N}{ds} = -\kappa\mathbf T + \tau\mathbf B,\quad \frac{d\mathbf B}{ds} = -\tau\mathbf N

T,N,B\mathbf T, \mathbf N, \mathbf B เป็นหนึ่งหน่วยและตั้งฉากกันเป็นระบบมือขวา · ระนาบที่ขึงด้วย T,N\mathbf T, \mathbf N คือระนาบออสคิวเลติง · ในเส้นโค้งระนาบ B\mathbf B คงที่ และ τ=0\tau = 0

R12 Torsion ทอร์ชัน (การบิดของเส้นโค้ง)

τ=(r′×r′′)⋅r′′′∣r′×r′′∣2\tau = \frac{(\mathbf r'\times\mathbf r'')\cdot\mathbf r'''}{|\mathbf r'\times\mathbf r''|^2}

τ=0\tau = 0 ทุกจุด ↔ เส้นโค้งอยู่ในระนาบเดียว · τ\tau เป็นบวกเมื่อบิดแบบมือขวา (เหมือนสกรูมาตรฐาน) · เกลียวมือขวา ⟨acos⁡t,asin⁡t,bt⟩\langle a\cos t, a\sin t, bt\rangle: τ=ba2+b2\tau = \dfrac{b}{a^2 + b^2}

R13 Tangential and normal acceleration ความเร่งสัมผัสและความเร่งตั้งฉาก

a=aT T+aN N,aT=d∣v∣dt=r′⋅r′′∣r′∣,aN=κ∣v∣2=∣r′×r′′∣∣r′∣,∣a∣2=aT2+aN2\mathbf a = a_T\,\mathbf T + a_N\,\mathbf N,\quad a_T = \frac{d|\mathbf v|}{dt} = \frac{\mathbf r'\cdot\mathbf r''}{|\mathbf r'|},\quad a_N = \kappa|\mathbf v|^2 = \frac{|\mathbf r'\times\mathbf r''|}{|\mathbf r'|},\quad |\mathbf a|^2 = a_T^2 + a_N^2

aTa_T เปลี่ยนอัตราเร็ว · aNa_N เปลี่ยนทิศ (มี v2/Rv^2/R เสมอ) · ความเร่งไม่มีองค์ประกอบตามแนว B\mathbf B

ตัวอย่าง R-6 · κ และ τ ของเกลียว

หา κ\kappa และ τ\tau ของ r(t)=⟨cos⁡t, sin⁡t, t⟩\mathbf r(t) = \langle\cos t,\ \sin t,\ t\rangle

  1. r′=⟨−sin⁡t, cos⁡t, 1⟩\mathbf r' = \langle-\sin t,\ \cos t,\ 1\rangle · r′′=⟨−cos⁡t, −sin⁡t, 0⟩\mathbf r'' = \langle-\cos t,\ -\sin t,\ 0\rangle · r′′′=⟨sin⁡t, −cos⁡t, 0⟩\mathbf r''' = \langle\sin t,\ -\cos t,\ 0\rangle

  2. r′×r′′=⟨sin⁡t, −cos⁡t, 1⟩\mathbf r'\times\mathbf r'' = \langle\sin t,\ -\cos t,\ 1\rangle · ∣r′×r′′∣=2|\mathbf r'\times\mathbf r''| = \sqrt2 · ∣r′∣=2|\mathbf r'| = \sqrt2

  3. κ=2(2)3=222=12\kappa = \dfrac{\sqrt2}{(\sqrt2)^3} = \dfrac{\sqrt2}{2\sqrt2} = \dfrac12 → รัศมีความโค้ง R=2R = 2 (ใหญ่กว่ารัศมีของกระบอก 1 เพราะเกลียวเอียงขึ้น)

  4. τ=(r′×r′′)⋅r′′′2=sin⁡2t+cos⁡2t+02=12\tau = \dfrac{(\mathbf r'\times\mathbf r'')\cdot\mathbf r'''}{2} = \dfrac{\sin^2t + \cos^2t + 0}{2} = \dfrac12 (บวก = เกลียวมือขวา)

  5. ตรวจด้วยสูตรทั่วไป a=1, b=1a = 1,\ b = 1: κ=aa2+b2=12\kappa = \dfrac{a}{a^2+b^2} = \dfrac12 และ τ=ba2+b2=12\tau = \dfrac{b}{a^2 + b^2} = \dfrac12 ✓ (ทั้งคู่คงที่ทุกจุด)

κ=12\kappa = \tfrac12 · R=2R = 2 · τ=12\tau = \tfrac12 (ค่าคงที่ตลอดเส้นโค้ง)

ตัวอย่าง R-7 · ความเร่งสัมผัสและตั้งฉาก

r(t)=⟨t,t2,t3⟩\mathbf r(t) = \langle t, t^2, t^3\rangle ที่ t=1t = 1 หา aT, aN, κ, τa_T,\ a_N,\ \kappa,\ \tau

  1. จาก R-1: r′(1)=⟨1,2,3⟩\mathbf r'(1) = \langle1, 2, 3\rangle · r′′(t)=⟨0,2,6t⟩\mathbf r''(t) = \langle0, 2, 6t\rangle → r′′(1)=⟨0,2,6⟩\mathbf r''(1) = \langle0, 2, 6\rangle · r′′′=⟨0,0,6⟩\mathbf r'''= \langle0, 0, 6\rangle

  2. r′⋅r′′=0+4+18=22\mathbf r'\cdot\mathbf r'' = 0 + 4 + 18 = 22 · ∣r′∣=14|\mathbf r'| = \sqrt{14} → aT=22/14=5.880a_T = 22/\sqrt{14} = 5.880

  3. r′×r′′=⟨2⋅6−3⋅2, 3⋅0−1⋅6, 1⋅2−0⟩=⟨6,−6,2⟩\mathbf r'\times\mathbf r'' = \langle 2\cdot6 - 3\cdot2,\ 3\cdot0 - 1\cdot6,\ 1\cdot2 - 0\rangle = \langle6, -6, 2\rangle · ∣ ⋅ ∣=76=8.718|\,\cdot\,| = \sqrt{76} = 8.718 → aN=8.718/3.742=2.330a_N = 8.718/3.742 = 2.330

  4. ตรวจ: aT2+aN2=34.57+5.43=40.0=∣r′′∣2=4+36a_T^2 + a_N^2 = 34.57 + 5.43 = 40.0 = |\mathbf r''|^2 = 4 + 36 ✓

  5. κ=8.718143/2=8.71852.38=0.1664\kappa = \dfrac{8.718}{14^{3/2}} = \dfrac{8.718}{52.38} = 0.1664 (R=6.01R = 6.01) · τ=(6,−6,2)⋅(0,0,6)76=1276=0.1579\tau = \dfrac{(6, -6, 2)\cdot(0, 0, 6)}{76} = \dfrac{12}{76} = 0.1579

aT=5.880, aN=2.330, κ=0.1664, τ=0.1579a_T = 5.880,\ a_N = 2.330,\ \kappa = 0.1664,\ \tau = 0.1579 (ผลของแล็บตรงกันทุกค่า)

ตัวอย่าง R-8 · ทางโค้งถนน (โยธา)

รถวิ่ง 100 km/h ผ่านทางโค้งราบรัศมี 300 m ความเร่งด้านข้างเท่าไร และต้องการแรงเสียดทานข้างเท่าไรถ้าไม่มี superelevation

  1. อัตราเร็ว v=100/3.6=27.78v = 100/3.6 = 27.78 m/s · วิ่งคงที่ จึง aT=0a_T = 0 และ a=aNN\mathbf a = a_N\mathbf N

  2. κ=1/300=0.00333\kappa = 1/300 = 0.00333 m⁻¹ · aN=κv2=v2/R=27.782300=2.572a_N = \kappa v^2 = v^2/R = \dfrac{27.78^2}{300} = 2.572 m/s² (=0.262 g= 0.262\,g)

  3. ถ้าถนนราบ แรงเสียดทานข้างต่อน้ำหนักต้อง f=aN/g=0.262f = a_N/g = 0.262 (ใกล้ขีดจำกัดของผิวถนนเปียก 0.3–0.4) ในการออกแบบจริงจึงยกขอบนอกทางโค้ง (superelevation ee) ให้ e+f=v2/(gR)e + f = v^2/(gR)

  4. ความโค้งของถนน κ\kappa คือสิ่งที่ผู้ออกแบบกำหนดจากรัศมีต่ำสุดที่ยอมรับได้สำหรับความเร็วออกแบบ (Rmin⁡=v2/(g(e+f))R_{\min} = v^2/(g(e + f)))

aN=2.57a_N = 2.57 m/s² ≈0.26 g\approx 0.26\,g · ถ้าไม่ยกขอบ ต้องมีสัมประสิทธิ์เสียดทานข้าง ≥0.26\ge 0.26

ตัวอย่าง R-9 · อิเล็กตรอนในสนามแม่เหล็ก (ไฟฟ้า)

อิเล็กตรอนมี v⊥=2×106v_\perp = 2\times10^6 m/s (ตั้งฉากสนาม) และ v∥=106v_\parallel = 10^6 m/s (ขนานสนาม) ในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอ B=1B = 1 mT จงหาวิถี รัศมี คาบ และพิตช์

  1. แรงลอเรนซ์ F=qv×B\mathbf F = q\mathbf v\times\mathbf B ตั้งฉากกับ v\mathbf v จึงไม่ทำงาน อัตราเร็วคงที่ · ในระนาบตั้งฉากสนามเคลื่อนที่เป็นวงกลม ส่วนตามสนามเคลื่อนที่สม่ำเสมอ → วิถีเป็นเกลียว r(t)=⟨Rcos⁡ωt, Rsin⁡ωt, v∥t⟩\mathbf r(t) = \langle R\cos\omega t,\ R\sin\omega t,\ v_\parallel t\rangle

  2. จาก mv⊥2R=ev⊥Bm\dfrac{v_\perp^2}{R} = ev_\perp B: R=mv⊥eB=9.109×10−31×2×1061.602×10−19×10−3=1.137×10−2R = \dfrac{mv_\perp}{eB} = \dfrac{9.109\times10^{-31}\times2\times10^6}{1.602\times10^{-19}\times10^{-3}} = 1.137\times10^{-2} m = 11.4 mm

  3. ความถี่ไซโคลตรอน ω=eBm=1.759×108\omega = \dfrac{eB}{m} = 1.759\times10^{8} rad/s · คาบ T=2πmeB=3.572×10−8T = \dfrac{2\pi m}{eB} = 3.572\times10^{-8} s (f≈28.0f \approx 28.0 MHz) ไม่ขึ้นกับ v⊥v_\perp

  4. พิตช์ (ระยะตามสนามต่อหนึ่งรอบ) p=v∥T=106×3.572×10−8=0.0357p = v_\parallel T = 10^6\times3.572\times10^{-8} = 0.0357 m = 35.7 mm

  5. ความโค้งของเกลียวนี้ κ=RR2+(p/2π)2\kappa = \dfrac{R}{R^2 + (p/2\pi)^2} ซึ่งเป็นเรื่องเดียวกับเกลียวใน R-6 ที่ a=R, b=v∥/ωa = R,\ b = v_\parallel/\omega

เกลียวรัศมี R=11.4R = 11.4 mm · คาบ 35.735.7 ns (28.0 MHz) · พิตช์ 35.735.7 mm

นำไปใช้ในงานวิศวกรรม พื้นฐาน

สาขาฟังก์ชันเวกเตอร์ / ปริมาณใช้ทำอะไร
ไฟฟ้าr(t)\mathbf r(t) ของอนุภาคมีประจุ · F=qv×B\mathbf F = q\mathbf v\times\mathbf Bวิถีเกลียวในสนามแม่เหล็ก มวลสเปกโตรมิเตอร์ ไซโคลตรอน (ตัวอย่าง R-9)
ไฟฟ้าr(t)\mathbf r(t) ของลวดขดโซลินอยด์ความยาวลวดทั้งหมดจากเกลียว (R8) สำหรับคำนวณความต้านทาน
เครื่องกลr(t)\mathbf r(t) ของปลายแขนกล / หัวเลเซอร์ความเร็ว v\mathbf v และความเร่ง a\mathbf a ที่ต้องการจากมอเตอร์ (แขนกล)
เครื่องกลaN=κv2a_N = \kappa v^2แรงสู่ศูนย์กลางของโรเตอร์ (ตัวอย่าง R-3) และรางลูกเบี้ยว
เครื่องกลเส้นทาง CNC r(s)\mathbf r(s)ความเร็วป้อนต้องลดที่ความโค้งสูงเพื่อจำกัด aNa_N
โยธาแนวเส้นทางถนน/ทางรถไฟ r(s)\mathbf r(s)รัศมีโค้งต่ำสุด superelevation ความยาวทางลาด (ตัวอย่าง R-5, R-8)
โยธาเส้นโค้งสายเคเบิล/ซุ้มประตูความยาวส่วนโค้ง ความโค้งของคานที่โก่ง κ≈M/EI\kappa \approx M/EI (แล็บคาน)

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน

  1. สับสนความเร็วกับอัตราเร็ว · v\mathbf v เป็นเวกเตอร์ ส่วน ∣v∣|\mathbf v| เป็นสเกลาร์ และอัตราเร็วคงที่ไม่ได้แปลว่าความเร่งเป็นศูนย์
  2. ลืมหารด้วย ∣r′∣3|\mathbf r'|^3 ในสูตร κ\kappa · ผิดบ่อยกว่าที่คิด ตรวจกับวงกลมรัศมี RR ต้องได้ 1/R1/R
  3. ลืมว่า N\mathbf N ไม่ใช่ r′′/∣r′′∣\mathbf r''/|\mathbf r''| · r′′\mathbf r'' มีองค์ประกอบตาม T\mathbf T ด้วย (aTa_T) ต้องทำ T′\mathbf T' หรือ B×T\mathbf B\times\mathbf T
  4. หา T\mathbf T ที่จุดที่ r′=0\mathbf r' = \mathbf 0 · เส้นโค้งไม่เรียบที่จุดนั้น (เช่นยอดแหลม) ทิศสัมผัสไม่นิยาม
  5. พารามิเตอร์ต่างกัน เข้าใจว่าเส้นโค้งต่างกัน · ⟨t,t2⟩\langle t, t^2\rangle กับ ⟨2t,4t2⟩\langle 2t, 4t^2\rangle เป็นพาราโบลาเดียวกัน ต่างที่ความเร็ว (ความยาวส่วนโค้งและ κ\kappa เป็นสมบัติของเส้นทาง ไม่ใช่ของพารามิเตอร์)

ไปต่อที่สนามเวกเตอร์ (Divergence และ Curl) ซึ่งแต่ละจุดในอวกาศมีเวกเตอร์ผูกอยู่ แล้วค่อยรวมสนามตามเส้นทางในบทอินทิกรัลตามเส้น

คำถามที่พบบ่อย

ฟังก์ชันเวกเตอร์ (vector-valued function) คืออะไร?

คือฟังก์ชันที่รับตัวเลขหนึ่งตัว (มักเป็นเวลา tt) แล้วให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ เช่น r(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩\mathbf r(t) = \langle x(t), y(t), z(t)\rangle ซึ่งแทนตำแหน่งของวัตถุที่เคลื่อนที่ในอวกาศ ปลายเวกเตอร์ตำแหน่งวาดเป็นเส้นโค้งเมื่อ tt เปลี่ยน ลิมิต อนุพันธ์ และอินทิกรัลทำทีละองค์ประกอบ เช่น r′(t)=⟨x′(t),y′(t),z′(t)⟩\mathbf r'(t) = \langle x'(t), y'(t), z'(t)\rangle คือเวกเตอร์ความเร็ว

ความเร็วกับอัตราเร็ว (velocity vs speed) ต่างกันอย่างไร?

ความเร็ว (velocity) v=r′(t)\mathbf v = \mathbf r'(t) เป็นเวกเตอร์ มีทั้งขนาดและทิศ (สัมผัสเส้นทาง) ส่วนอัตราเร็ว (speed) ∣v∣=∣r′(t)∣|\mathbf v| = |\mathbf r'(t)| เป็นสเกลาร์ คือขนาดของความเร็ว ความเร่ง a=r′′(t)\mathbf a = \mathbf r''(t) เป็นเวกเตอร์เช่นกัน ถ้าเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงที่แต่เส้นทางโค้ง ความเร็วยังเปลี่ยนทิศจึงยังมีความเร่ง (ความเร่งสู่ศูนย์กลาง)

คำนวณความยาวส่วนโค้ง (arc length) ของเส้นโค้งอย่างไร?

ใช้ L=∫ab∣r′(t)∣ dt=∫abx′2+y′2+z′2 dtL = \int_a^b |\mathbf r'(t)|\,dt = \int_a^b \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2}\,dt คืออินทิกรัลของอัตราเร็วตามเวลา ตัวอย่างเกลียว ⟨cos⁡t,sin⁡t,t⟩\langle\cos t, \sin t, t\rangle มี ∣r′∣=2|\mathbf r'| = \sqrt2 หนึ่งรอบ (0≤t≤2π0 \le t \le 2\pi) ยาว 2π2≈8.8862\pi\sqrt2 \approx 8.886 ทางลาดเกลียวรัศมี 15 ม. ขึ้น 4 ม. ต่อรอบยาว 94.33 ม. สูตรนี้ไม่ขึ้นกับวิธีเลือกพารามิเตอร์

ความโค้ง (curvature) κ หาอย่างไร มีความหมายอย่างไร?

ความโค้งคืออัตราที่ทิศทางสัมผัสหมุนต่อความยาวส่วนโค้ง κ=∣dT/ds∣\kappa = |d\mathbf T/ds| คำนวณได้จาก κ=∣r′×r′′∣∣r′∣3\kappa = \dfrac{|\mathbf r' \times \mathbf r''|}{|\mathbf r'|^3} สำหรับเส้นโค้ง y=f(x)y = f(x) ในระนาบใช้ κ=∣f′′∣(1+f′2)3/2\kappa = \dfrac{|f''|}{(1 + f'^2)^{3/2}} รัศมีความโค้ง R=1/κR = 1/\kappa คือรัศมีวงกลมที่แนบกับเส้นโค้งที่สุด ในงานถนนความโค้งกำหนดความเร่งด้านข้าง aN=v2/Ra_N = v^2/R ที่ผู้โดยสารรู้สึก

กรอบ Frenet–Serret (T, N, B) คืออะไร?

เป็นระบบแกนที่เคลื่อนไปกับเส้นโค้ง ประกอบด้วยเวกเตอร์หนึ่งหน่วยสามตัวตั้งฉากกัน: T\mathbf T สัมผัสเส้นโค้ง (ทิศเคลื่อนที่) N=T′/∣T′∣\mathbf N = \mathbf T'/|\mathbf T'| ชี้เข้าหาจุดศูนย์กลางความโค้ง และ B=T×N\mathbf B = \mathbf T \times \mathbf N ตั้งฉากกับระนาบออสคิวเลติง ความเร่งแตกเป็น a=aTT+aNN\mathbf a = a_T\mathbf T + a_N\mathbf N โดย aT=d∣v∣dta_T = \tfrac{d|\mathbf v|}{dt} (เปลี่ยนอัตราเร็ว) และ aN=κ∣v∣2a_N = \kappa|\mathbf v|^2 (เปลี่ยนทิศ) ส่วน torsion τ\tau วัดการบิดออกจากระนาบ

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์