พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. ระบบอันดับหนึ่ง

// บทที่ 9 · ระบบควบคุม · แล็บโต้ตอบ

ระบบอันดับหนึ่งและค่าคงตัวเวลา τ

ปรับค่าคงตัวเวลา หรือค่า R, C, L ของวงจรจริง แล้วดูผลตอบสนองพร้อมกันหลายมุม ทั้งกราฟเวลา สเกลลอการิทึม อัตราการเปลี่ยนแปลง ระนาบ s และ Bode plot ชี้หรือแตะที่กราฟเพื่ออ่านค่า หรือกดเล่นเพื่อดูระบบเดินผ่านทีละช่วง τ อ่านทฤษฎีด้านล่าง ↓

ฟังก์ชันถ่ายโอน
อินพุต
ผลตอบสนอง

ผลตอบสนองทางเวลา y(t)

ชี้หรือแตะที่กราฟ (หรือกดปุ่มลูกศรเมื่อกราฟถูกเลือก) เพื่ออ่านค่า เส้นสัมผัส ณ ตำแหน่งที่ชี้จะไปถึงค่าสุดท้ายหลังจากนั้น τ เสมอ

% = สัดส่วนของการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นแล้ว (ส่วนชั่วครู่ที่หายไป)

โครงสร้างเอกซ์โพเนนเชียล

ส่วนชั่วครู่บนสเกลลอการิทึมเป็นเส้นตรง ทุก ๆ τ ลดลงเหลือ 1/e

อัตราการเปลี่ยนแปลง dy/dt

จากสมการ dy/dt = (K·u − y)/τ ชันที่สุดตอนเริ่ม แล้วลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียลเช่นกัน

ตำแหน่งขั้วบนระนาบ s

ระบบมีขั้วเดียวที่ s = −1/τ ยิ่ง τ เล็ก ขั้วยิ่งอยู่ไกลไปทางซ้าย

ผลตอบสนองเชิงความถี่ (Bode)

ความถี่มุม ωc = 1/τ ขนาดลดลง 3 dB และเฟสล้าหลัง 45° พอดี

ดูค่าเป็นตาราง
t/τเวลา ty(t)ส่วนชั่วครู่ที่เหลือdy/dt

// ทฤษฎีประกอบแล็บ

ระบบอันดับหนึ่งทำงานอย่างไร

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
สรุปใน 30 วินาที
  • ระบบอันดับหนึ่ง: τ dydt+y=K u(t)\tau\,\dfrac{dy}{dt} + y = K\,u(t) หรือ G(s)=Kτs+1G(s) = \dfrac{K}{\tau s + 1}
  • ทุก ๆ τ ส่วนที่ยังไม่เปลี่ยนจะเหลือ 1/e≈36.8%1/e \approx 36.8\% จึงได้ 63.2%, 86.5%, 95.0%, 98.2%, 99.3%
  • เส้นสัมผัสจากจุดใดก็ตาม ไปถึงค่าสุดท้ายหลังจากนั้น τ เสมอ
  • วงจร RC: τ=RC\tau = RC · วงจร RL: τ=L/R\tau = L/R · ความถี่มุม ωc=1/τ\omega_c = 1/\tau

สมการและฟังก์ชันถ่ายโอน

ระบบที่มีตัวเก็บพลังงานเพียงตัวเดียว เช่น ตัวเก็บประจุหนึ่งตัวในวงจร RC หรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัวในวงจร RL อธิบายได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

τ dydt+y=K u(t)→ L G(s)=Y(s)U(s)=Kτs+1\tau\,\frac{dy}{dt} + y = K\,u(t) \quad\xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\quad G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{K}{\tau s + 1}
KK คืออัตราขยายสถานะคงตัว และ τ\tau คือค่าคงตัวเวลา มีหน่วยเป็นวินาที

เมื่อป้อนอินพุตขั้นบันไดขนาด AA และ y(0)=0y(0) = 0 จะได้ Y(s)=KAs(τs+1)Y(s) = \dfrac{KA}{s(\tau s + 1)} แยกเศษส่วนย่อยแล้วแปลงกลับ (ดูวิธีใน บทการแปลงลาปลาซ)

y(t)=KA(1−e−t/τ)และในกรณีทั่วไปy(t)=y∞+(y(0)−y∞) e−t/τy(t) = KA\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \qquad\text{และในกรณีทั่วไป}\qquad y(t) = y_\infty + \big(y(0) - y_\infty\big)\,e^{-t/\tau}
ทุกผลตอบสนองของระบบอันดับหนึ่ง = ส่วนคงตัว + ส่วนชั่วครู่ที่ลดลงแบบ e−t/τe^{-t/\tau}

ความหมายของค่าคงตัวเวลา τ

แทน t=kτt = k\tau ลงในส่วนชั่วครู่ e−t/τe^{-t/\tau} จะได้ e−ke^{-k} ซึ่งไม่ขึ้นกับ K, A หรือหน่วยใด ๆ ตัวเลขชุดนี้จึงใช้ได้กับระบบอันดับหนึ่งทุกระบบ

เวลาส่วนที่เหลือ e−ke^{-k}เปลี่ยนไปแล้วความหมายในทางปฏิบัติ
1τ36.8%63.2%นิยามของ τ
2τ13.5%86.5%
3τ5.0%95.0%เข้าที่ตามเกณฑ์ 5%
4τ1.8%98.2%เข้าที่ตามเกณฑ์ 2%
5τ0.7%99.3%ถือว่าเข้าที่สมบูรณ์

ในแล็บด้านบน การ์ด 1τ ถึง 5τ ใต้กราฟแสดงค่าชุดนี้พร้อมเวลาจริงตามค่า τ ที่ตั้ง ลองกด "เล่น" แล้วดูการ์ดสว่างขึ้นทีละใบ

เส้นช่วยวิเคราะห์โครงสร้างเอกซ์โพเนนเชียล

1. เส้นสัมผัส: ถึงค่าสุดท้ายหลังจากนั้น τ เสมอ

จัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูปอัตราการเปลี่ยนแปลง (กรณีอินพุตคงที่ ค่าสุดท้ายคือ y∞=KAy_\infty = KA)

dydt=y∞−yτ\frac{dy}{dt} = \frac{y_\infty - y}{\tau}

ถ้าลากเส้นสัมผัสจากจุด (t0,y(t0))(t_0, y(t_0)) ด้วยความชันนี้ เส้นจะไปถึงระดับ y∞y_\infty เมื่อ Δt⋅y∞−yτ=y∞−y\Delta t \cdot \dfrac{y_\infty - y}{\tau} = y_\infty - y นั่นคือ Δt=τ\Delta t = \tau พอดี ไม่ว่าเริ่มจากจุดไหนของกราฟ เปิดตัวเลือก "เส้นสัมผัสที่ตำแหน่งชี้" แล้วเลื่อนเมาส์ไปตามกราฟเพื่อดูสมบัตินี้

2. สเกลลอการิทึม: เอกซ์โพเนนเชียลกลายเป็นเส้นตรง

ln⁡∣y∞−y(t)∣=ln⁡∣y∞−y(0)∣−tτ\ln\lvert y_\infty - y(t)\rvert = \ln\lvert y_\infty - y(0)\rvert - \frac{t}{\tau}

พล็อตส่วนที่เหลือบนแกนลอการิทึมจะได้เส้นตรงที่มีความชัน −1/τ-1/\tau ถ้าข้อมูลจากการวัดจริงไม่เป็นเส้นตรงบนกราฟนี้ แปลว่าระบบไม่ใช่อันดับหนึ่งล้วน เช่น มีตัวเก็บพลังงานมากกว่าหนึ่งตัว

3. เวลาที่ใช้บ่อย

  • ครึ่งทาง 50%: t50=τln⁡2≈0.693τt_{50} = \tau\ln 2 \approx 0.693\tau
  • เวลาขึ้น 10% → 90%: tr=τln⁡9≈2.20τt_r = \tau\ln 9 \approx 2.20\tau
  • เวลาเข้าที่ 2%: ts=τln⁡50≈3.91τt_s = \tau\ln 50 \approx 3.91\tau (นิยมปัดเป็น 4τ) และ 5%: τln⁡20≈3.00τ\tau\ln 20 \approx 3.00\tau

หาค่า τ จากข้อมูลที่วัดได้

ตัวอย่างที่ 1 · วัดจากออสซิลโลสโคป

ป้อนแรงดันขั้นบันได 5 V ให้วงจร RC ที่ไม่มีประจุ วัดได้ว่าที่ t=10t = 10 ms แรงดันตัวเก็บประจุเท่ากับ 2 V จงหา τ

ดูวิธีทำ

ส่วนที่เหลือคือ 5−25=0.6\dfrac{5 - 2}{5} = 0.6 และต้องเท่ากับ e−t/τe^{-t/\tau}

e−10 ms/τ=0.6⇒τ=10 msln⁡(1/0.6)=10 ms0.511≈19.6 mse^{-10\,\text{ms}/\tau} = 0.6 \quad\Rightarrow\quad \tau = \frac{10\ \text{ms}}{\ln(1/0.6)} = \frac{10\ \text{ms}}{0.511} \approx 19.6\ \text{ms}

τ≈19.6\tau \approx 19.6 ms วิธีนี้ใช้จุดวัดเพียงจุดเดียว ถ้ามีหลายจุด ให้ใช้ความชันบนกราฟลอการิทึมจะลดผลของสัญญาณรบกวน

วงจร RC และ RL

วงจรค่าคงตัวเวลาตัวแปรที่ต่อเนื่อง
RC อนุกรมτ=RC\tau = RCแรงดันตัวเก็บประจุ vC(t)v_C(t)
RL อนุกรมτ=L/R\tau = L/Rกระแสตัวเหนี่ยวนำ iL(t)i_L(t)
ตัวอย่างที่ 2 · วงจร RL

ตัวเหนี่ยวนำ 50 mH ต่ออนุกรมกับตัวต้านทาน 10 Ω ป้อนแรงดัน 12 V จงหา τ และกระแสที่ t=τt = \tau

ดูวิธีทำ τ=LR=50×10−310=5 msI∞=VR=1210=1.2 A\tau = \frac{L}{R} = \frac{50\times10^{-3}}{10} = 5\ \text{ms} \qquad I_\infty = \frac{V}{R} = \frac{12}{10} = 1.2\ \text{A} i(τ)=1.2(1−e−1)≈0.759 Ai(\tau) = 1.2\left(1 - e^{-1}\right) \approx 0.759\ \text{A}

τ=5\tau = 5 ms กระแสถึง 0.759 A (63.2% ของ 1.2 A) ใน 5 ms และเข้าที่ 2% ภายในประมาณ 20 ms ลองตั้งค่า "วงจร RL" ในแล็บด้วย R = 10 Ω และ L = 50 mH

มุมมองเชิงความถี่

แทน s=jωs = j\omega ลงในฟังก์ชันถ่ายโอน จะได้ขนาดและเฟส

∣G(jω)∣=K1+ω2τ2∠G(jω)=−tan⁡−1(ωτ)\lvert G(j\omega)\rvert = \frac{K}{\sqrt{1 + \omega^2\tau^2}} \qquad \angle G(j\omega) = -\tan^{-1}(\omega\tau)

ที่ความถี่มุม ωc=1/τ\omega_c = 1/\tau ขนาดเหลือ K/2K/\sqrt2 (ลดลง 3 dB) และเฟสล้าหลัง 45° เหนือความถี่นี้ขนาดลดลง 20 dB ต่อทศวรรษ ระบบอันดับหนึ่งจึงเป็นวงจรกรองความถี่ต่ำผ่าน (low-pass filter) โดยธรรมชาติ

เวลาและความถี่ผูกกันด้วย τ ตัวเดียว: เวลาขึ้น tr=2.2τt_r = 2.2\tau และแบนด์วิดท์ fc=12πτf_c = \dfrac{1}{2\pi\tau} คูณกันได้ trfc≈0.35t_r f_c \approx 0.35 เสมอ ระบบที่ตอบสนองเร็วจึงต้องมีแบนด์วิดท์กว้าง ลองเลือกอินพุตแบบไซน์ในแล็บ แล้วดูจุด "ω อินพุต" บน Bode plot เทียบกับแอมพลิจูดที่ได้ในกราฟเวลา

ระบบที่มีตัวเก็บพลังงานสองตัว เช่น วงจร RLC จะแกว่งได้และมีพารามิเตอร์สองตัวคือ ζ และ ωn ศึกษาต่อได้ใน แล็บระบบอันดับสอง

ต่อยอด: ระบบอันดับหนึ่งในลูปป้อนกลับ

เมื่อนำระบบอันดับหนึ่งไปปิดวงด้วยตัวควบคุม ค่าคงตัวเวลาจะเปลี่ยนตามเกน ดูตัวอย่างมอเตอร์ในหน้าภาพรวมระบบควบคุม การกำจัดความผิดพลาดค้างด้วย PI และการจูน PID ให้ระบบอันดับหนึ่งที่มีหน่วงเวลา (เช่น เตาอบ)

คำถามที่พบบ่อย

ค่าคงตัวเวลา τ คืออะไร?

เป็นเวลาที่ระบบอันดับหนึ่งใช้ในการเปลี่ยนแปลงไปได้ 63.2% ของการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด หรือเวลาที่ส่วนชั่วครู่ลดลงเหลือ 1/e1/e ของค่าเริ่มต้น สำหรับวงจร RC มีค่าเท่ากับ RCRC และวงจร RL มีค่าเท่ากับ L/RL/R

ทำไมต้องเป็น 63.2%?

เพราะผลตอบสนองเป็นเอกซ์โพเนนเชียล ที่ t=τt = \tau ส่วนที่เหลือคือ e−1≈0.368e^{-1} \approx 0.368 ส่วนที่เปลี่ยนไปแล้วจึงเป็น 1−0.368=0.6321 - 0.368 = 0.632 หรือ 63.2% ตัวเลขนี้ไม่ขึ้นกับค่า K หรือขนาดของอินพุต

ระบบอันดับหนึ่งเข้าที่ภายในกี่ τ?

นิยมใช้ 4τ สำหรับเกณฑ์ 2% (ค่าแม่นยำคือ τln⁡50≈3.91τ\tau\ln 50 \approx 3.91\tau) และ 3τ สำหรับเกณฑ์ 5% หลังจาก 5τ ระบบเปลี่ยนไปแล้ว 99.3% ในทางปฏิบัติถือว่าเข้าที่สมบูรณ์

หาค่า τ จากกราฟที่วัดได้จริงอย่างไร?

วิธีที่ง่ายที่สุดคืออ่านเวลาที่สัญญาณไปถึง 63.2% ของการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด หรือลากเส้นสัมผัสที่จุดเริ่มต้นไปตัดเส้นค่าสุดท้าย เวลาที่ตัดคือ τ วิธีที่แม่นที่สุดคือพล็อตลอการิทึมของส่วนที่เหลือเทียบกับเวลา จะได้เส้นตรงที่มีความชัน −1/τ-1/\tau

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์