พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. แคลคูลัสหลายตัวแปร
  4. อนุพันธ์ย่อย

// บทที่ 24.2 · แคลคูลัสหลายตัวแปร · Partial Derivatives

อนุพันธ์ย่อย (Partial Derivatives): สูตร ตัวอย่าง ระนาบสัมผัส กฎลูกโซ่ และการประมาณความคลาดเคลื่อน

เมื่อปริมาณหนึ่งขึ้นกับหลายตัวแปร คำถามแรกที่วิศวกรถามคือ “ถ้าขยับตัวแปรนี้ตัวเดียว ค่าเปลี่ยนเท่าไร” คำตอบคืออนุพันธ์ย่อย (partial derivative) หน้านี้สอนตั้งแต่วิธีหา ความหมายเป็นความชันของรอยตัด อนุพันธ์อันดับสูง ระนาบสัมผัส ไปจนถึงกฎลูกโซ่และการประมาณความคลาดเคลื่อนของสูตรที่ใช้ค่าที่วัดมาหลายตัว (error propagation) ซึ่งเป็นเรื่องที่ใช้จริงทุกครั้งที่อ่านเครื่องมือวัด

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
แล็บความชันของรอยตัด อันดับสูง · Clairaut ระนาบสัมผัส ผลต่างรวม · error กฎลูกโซ่
สรุปใน 30 วินาที
  • วิธีหา: ตรึงตัวแปรอื่นเป็นค่าคงที่ แล้วหาอนุพันธ์ตามตัวที่สนใจด้วยกฎเดิมของตัวแปรเดียว
  • ความหมาย: fxf_x คือความชันของผิวตามแนวแกน xx (ตัดด้วยระนาบ y=y = ค่าคงที่) · fyf_y ตามแนวแกน yy
  • ระนาบสัมผัส: L(x,y)=f(a,b)+fx(x−a)+fy(y−b)L(x,y) = f(a,b) + f_x(x-a) + f_y(y-b) · ผลต่างรวม: df=fx dx+fy dydf = f_x\,dx + f_y\,dy
  • กฎลูกโซ่: dzdt=fxdxdt+fydydt\dfrac{dz}{dt} = f_x \dfrac{dx}{dt} + f_y \dfrac{dy}{dt} · โดยปริยาย: dydx=−FxFy\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y}
ระดับพื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

อนุพันธ์ย่อยคืออะไร และหาอย่างไร พื้นฐาน

จากแคลคูลัสตัวแปรเดียว อนุพันธ์ f′(x)f'(x) บอกอัตราเปลี่ยนของ ff เมื่อ xx เปลี่ยน แต่ f(x,y)f(x, y) มีสองตัวแปร จึงมี “ทิศ” ให้ขยับได้หลายทิศ ทิศที่ง่ายที่สุดคือขยับตัวแปรเดียวโดยอีกตัวไม่ขยับ นั่นคืออนุพันธ์ย่อย เหมือนอ่านค่ากำลังไฟ P=V2/RP = V^2/R ว่าเปลี่ยนเท่าไรเมื่อปรับ VV โดยไม่แตะ RR

P1 Partial derivative (definition) อนุพันธ์ย่อย (นิยาม)

fx(a,b)=∂f∂x(a,b)=lim⁡h→0f(a+h, b)−f(a, b)h,fy(a,b)=lim⁡h→0f(a, b+h)−f(a, b)hf_x(a, b) = \frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h,\, b) - f(a,\, b)}{h},\qquad f_y(a, b) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a,\, b+h) - f(a,\, b)}{h}

ตัวแปรที่ไม่ได้ขยับ (bb ใน fxf_x) ถูกตรึงไว้ · ถ้าลิมิตมีที่ทุกจุดของบริเวณ จะได้ฟังก์ชัน fx(x,y)f_x(x, y) และ fy(x,y)f_y(x, y)

P2 Notation สัญกรณ์ที่เจอบ่อย

fx=∂f∂x=∂xf=Dxf=(∂f∂x)yf_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \partial_x f = D_x f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y

เครื่องหมาย ∂\partial อ่านว่า “พาร์เชียล” · ในเทอร์โมไดนามิกส์เขียนตัวห้อยบอกตัวแปรที่ตรึง เช่น (∂P/∂V)T(\partial P/\partial V)_T

P3 Working rule วิธีทำในทางปฏิบัติ

∂∂x[ นิพจน์ใน x,y ] : y เป็นค่าคงที่\frac{\partial}{\partial x}\big[\,\text{นิพจน์ใน } x, y\,\big]\ :\ y \text{ เป็นค่าคงที่}

กฎยกกำลัง ผลคูณ ผลหาร และลูกโซ่ใช้ได้ทั้งหมดเหมือนเดิม · ตรวจ: ถ้านิพจน์ไม่มี xx เลย fx=0f_x = 0

ตัวอย่าง P-1 · พหุนามกับตรีโกณ

หา fxf_x และ fyf_y ของ f(x,y)=x2y+sin⁡(xy)f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)

  1. หา fxf_x: ถือ yy เป็นค่าคงที่ · พจน์แรก ∂∂x(x2y)=2xy\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy

  2. พจน์ที่สอง ใช้กฎลูกโซ่: ∂∂xsin⁡(xy)=cos⁡(xy)⋅∂(xy)∂x=ycos⁡(xy)\dfrac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = \cos(xy) \cdot \dfrac{\partial (xy)}{\partial x} = y\cos(xy)

  3. รวม fx=2xy+ycos⁡(xy)f_x = 2xy + y\cos(xy)

  4. หา fyf_y: ถือ xx เป็นค่าคงที่ · ∂∂y(x2y)=x2\dfrac{\partial}{\partial y}(x^2 y) = x^2 และ ∂∂ysin⁡(xy)=xcos⁡(xy)\dfrac{\partial}{\partial y}\sin(xy) = x\cos(xy)

  5. ได้ fy=x2+xcos⁡(xy)f_y = x^2 + x\cos(xy)

fx=2xy+ycos⁡(xy)f_x = 2xy + y\cos(xy) · fy=x2+xcos⁡(xy)f_y = x^2 + x\cos(xy)

ตัวอย่าง P-2 · เทอร์โมไดนามิกส์ (เครื่องกล)

แก๊สอุดมคติ 1 mol: P=RTVP = \dfrac{RT}{V} หา (∂P∂T)V\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V และ (∂P∂V)T\left(\dfrac{\partial P}{\partial V}\right)_T ที่ T=300T = 300 K, V=0.0245V = 0.0245 m³ (R=8.314R = 8.314 J/mol·K)

  1. (∂P∂T)V=RV\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V = \dfrac{R}{V} (ตรึง VV) → 8.3140.0245=339.3\dfrac{8.314}{0.0245} = 339.3 Pa/K

  2. (∂P∂V)T=−RTV2\left(\dfrac{\partial P}{\partial V}\right)_T = -\dfrac{RT}{V^2} (ตรึง TT) → −8.314×3000.02452=−4.155×106-\dfrac{8.314 \times 300}{0.0245^2} = -4.155\times10^{6} Pa/m³

  3. ที่จุดนี้ P=RT/V=1.018×105P = RT/V = 1.018\times10^5 Pa (ประมาณ 1 atm) ตีความ: อุ่นขึ้น 1 K ที่ปริมาตรคงที่ ความดันเพิ่ม 339 Pa · บีบปริมาตรลง 1 ลิตร (10−310^{-3} m³) ที่อุณหภูมิคงที่ ความดันเพิ่มราว 4155 Pa

∂P/∂T=339.3\partial P/\partial T = 339.3 Pa/K · ∂P/∂V=−4.155×106\partial P/\partial V = -4.155\times10^{6} Pa/m³ (เครื่องหมายลบ: ปริมาตรมากขึ้น ความดันลดลง)

ความหมายเชิงเรขาคณิต: ความชันของรอยตัด พื้นฐาน

ตัดผิว z=f(x,y)z = f(x, y) ด้วยระนาบ y=by = b จะได้เส้นโค้งบนระนาบนั้นซึ่งเป็นฟังก์ชันของ xx ตัวเดียว ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้ที่จุด (a,b)(a, b) คือ fx(a,b)f_x(a, b) เช่นเดียวกัน ตัดด้วย x=ax = a ได้ความชัน fy(a,b)f_y(a, b) ในแล็บ เส้นประสีส้มและสีฟ้าคือเส้นสัมผัสสองเส้นนี้ ลองลากจุดไปรอบ ๆ และเปิดสวิตช์ระนาบสัมผัส ระนาบที่ถูกขึงด้วยเส้นประทั้งสองเส้น

xyzP (a, b, f(a, b))ตัดด้วยระนาบ y = b(เส้นส้ม) ความชัน = f_x(a, b)ตัดด้วยระนาบ x = a(เส้นเขียว) ความชัน = f_y(a, b)เส้นสัมผัส (น้ำเงิน) ของแต่ละรอยตัดคือเส้นที่อยู่บนระนาบสัมผัสz ≈ f + f_x dx + f_y dy
fxf_x คือความชันของรอยตัดตามแนวแกน xx (ระนาบ y=by = b) และ fyf_y คือความชันของรอยตัดตามแนวแกน yy (ระนาบ x=ax = a) ที่จุดเดียวกัน

P4 Slopes of the traces ความชันของรอยตัด

ระนาบ y=b:z=f(x,b),ความชัน=fx(a,b)ระนาบ x=a:z=f(a,y),ความชัน=fy(a,b)\begin{aligned} \text{ระนาบ } y = b:&\quad z = f(x, b),\quad \text{ความชัน} = f_x(a, b)\\ \text{ระนาบ } x = a:&\quad z = f(a, y),\quad \text{ความชัน} = f_y(a, b) \end{aligned}

อัตราเปลี่ยนตามแกนแต่ละแกน ไม่ใช่ความชันชันสุดของผิว (นั่นคือ gradient ในบทถัดไป)

P5 Rate of change and units อัตราเปลี่ยนและหน่วย

Δf≈fx Δx(Δy=0),[fx]=[f][x]\Delta f \approx f_x\,\Delta x \quad(\Delta y = 0),\qquad [f_x] = \frac{[f]}{[x]}

หน่วยของ ∂P/∂T\partial P/\partial T คือ Pa/K · ตรวจหน่วยทุกครั้งเป็นวิธีจับความผิดพลาดที่ดีที่สุด

อนุพันธ์ย่อยอันดับสูงและทฤษฎีบทของแคลโร กลาง

หาอนุพันธ์ย่อยซ้ำได้ ในสองตัวแปรมีสี่ตัวอันดับสอง: fxx, fyyf_{xx},\ f_{yy} (ตัวเดียวซ้ำ) และอนุพันธ์ผสม fxy, fyxf_{xy},\ f_{yx} สัญกรณ์ fxyf_{xy} อ่านจากซ้ายไปขวา คือหาตาม xx ก่อนแล้วตาม yy (ตรงข้ามกับ ∂2f∂y ∂x\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} ที่อ่านจากขวาไปซ้าย)

P6 Second partial derivatives อนุพันธ์ย่อยอันดับสอง

fxx=∂2f∂x2,fyy=∂2f∂y2,fxy=(fx)y=∂2f∂y ∂x,fyx=(fy)xf_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\quad f_{xy} = (f_x)_y = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x},\quad f_{yx} = (f_y)_x

fxxf_{xx} = ความโค้งของรอยตัดตามแกน xx (โค้งขึ้นถ้า >0> 0) · fxyf_{xy} = ความ “บิด” ของผิว

P7 Clairaut's theorem ทฤษฎีบทของแคลโร

fxy, fyx ต่อเนื่องบนวงกลมเปิดรอบ (a,b) ⇒ fxy(a,b)=fyx(a,b)f_{xy},\, f_{yx} \text{ ต่อเนื่องบนวงกลมเปิดรอบ } (a, b) \ \Rightarrow\ f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)

ใช้ตรวจคำตอบ และใช้เลือกลำดับการหาที่ง่ายกว่า · สนามเวกเตอร์ (P,Q)(P, Q) ที่มี Py≠QxP_y \ne Q_x ไม่อนุรักษ์ (ดูสนามเวกเตอร์)

P8 Laplace's equation สมการลาปลาซ

∇2u=uxx+uyy=0(ฟังก์ชันฮาร์มอนิก)\nabla^2 u = u_{xx} + u_{yy} = 0 \quad(\text{ฟังก์ชันฮาร์มอนิก})

อุณหภูมิสภาวะคงตัวในแผ่น (ไม่มีแหล่งความร้อน) ศักย์ไฟฟ้าในที่ว่างไม่มีประจุ ศักย์ความเร็วของของไหลอุดมคติ และระดับพีโซเมตริกของน้ำใต้ดิน ต่างเป็นคำตอบ

P9 Heat (diffusion) equation สมการความร้อน

∂u∂t=α ∂2u∂x2\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

α\alpha = การแพร่ความร้อน (m²/s) · ตัวอย่างสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE) ที่ใช้อนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งในเวลาและอันดับสองในตำแหน่ง

ตัวอย่าง P-3 · ตรวจ Clairaut

ให้ f(x,y)=x exyf(x, y) = x\,e^{xy} แสดงว่า fxy=fyxf_{xy} = f_{yx}

  1. fx=exy+x⋅y exy=(1+xy) exyf_x = e^{xy} + x\cdot y\,e^{xy} = (1 + xy)\,e^{xy}

  2. fxy=∂∂y[(1+xy)exy]=x exy+(1+xy) x exy=x(2+xy) exyf_{xy} = \dfrac{\partial}{\partial y}\big[(1 + xy)e^{xy}\big] = x\,e^{xy} + (1 + xy)\,x\,e^{xy} = x(2 + xy)\,e^{xy}

  3. อีกลำดับ: fy=x⋅x exy=x2exyf_y = x\cdot x\,e^{xy} = x^2 e^{xy} แล้ว fyx=2x exy+x2⋅y exy=x(2+xy) exyf_{yx} = 2x\,e^{xy} + x^2\cdot y\,e^{xy} = x(2 + xy)\,e^{xy}

  4. ทั้งสองเท่ากัน ตามทฤษฎีบทของแคลโร (ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและพหุนามต่อเนื่องทุกจุด)

fxy=fyx=x(2+xy) exyf_{xy} = f_{yx} = x(2 + xy)\,e^{xy}

ตัวอย่าง P-4 · ตรวจสมการลาปลาซและสมการความร้อน

(ก) u=ln⁡x2+y2u = \ln\sqrt{x^2 + y^2} เป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกหรือไม่ (ข) u=e−αtsin⁡xu = e^{-\alpha t}\sin x สอดคล้อง ut=uxxu_t = u_{xx} เมื่อ α=1\alpha = 1 หรือไม่

  1. (ก) u=12ln⁡(x2+y2)u = \tfrac12\ln(x^2 + y^2) · ux=xx2+y2u_x = \dfrac{x}{x^2+y^2} · uxx=(x2+y2)−2x2(x2+y2)2=y2−x2(x2+y2)2u_{xx} = \dfrac{(x^2+y^2) - 2x^2}{(x^2+y^2)^2} = \dfrac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}

  2. โดยสมมาตร uyy=x2−y2(x2+y2)2u_{yy} = \dfrac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2} รวมกันได้ uxx+uyy=0u_{xx} + u_{yy} = 0 ทุกจุดยกเว้นจุดกำเนิด → ฮาร์มอนิก (นี่คือศักย์ของเส้นประจุยาวอนันต์ และอุณหภูมิรอบท่อกลม)

  3. (ข) ut=−e−tsin⁡xu_t = -e^{-t}\sin x และ ux=e−tcos⁡xu_x = e^{-t}\cos x จึง uxx=−e−tsin⁡xu_{xx} = -e^{-t}\sin x

  4. ut=uxxu_t = u_{xx} เป็นจริง → สอดคล้องสมการความร้อนที่ α=1\alpha = 1 (คลื่นอุณหภูมิรูปไซน์ที่ค่อย ๆ จางลงแบบเอกซ์โพเนนเชียล)

(ก) ฮาร์มอนิก uxx+uyy=0u_{xx} + u_{yy} = 0 · (ข) สอดคล้อง ut=uxxu_t = u_{xx}

ระนาบสัมผัสและการประมาณเชิงเส้น กลาง

ตัวแปรเดียว: เส้นสัมผัส y=f(a)+f′(a)(x−a)y = f(a) + f'(a)(x - a) ประมาณเส้นโค้งใกล้ aa สองตัวแปร: ระนาบสัมผัส (tangent plane) ที่ขึงด้วยเส้นสัมผัสทั้งสองเส้นของรอยตัดประมาณผิวใกล้จุดนั้น ถ้าซูมเข้าไปที่ผิวเรียบมากพอ จะเห็นผิวแบนราบเป็นระนาบนี้ ในแล็บด้านบนเปิดสวิตช์ “ระนาบสัมผัส” แล้วย้ายจุด ระนาบกลิ้งตามผิวเสมอ

P10 Tangent plane ระนาบสัมผัส

z=f(a,b)+fx(a,b) (x−a)+fy(a,b) (y−b)z = f(a, b) + f_x(a, b)\,(x - a) + f_y(a, b)\,(y - b)

มีเมื่อ fx,fyf_x, f_y ต่อเนื่องที่จุดนั้น (เพียงพอให้ ff หาอนุพันธ์ได้) · เวกเตอร์ปกติของระนาบคือ ⟨fx,fy,−1⟩\langle f_x, f_y, -1\rangle

P11 Linearization การประมาณเชิงเส้น

f(x,y)≈L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b)f(x, y) \approx L(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b)

แม่นเมื่อ (x,y)(x, y) ใกล้ (a,b)(a, b) · ความผิดพลาดเป็นอันดับสอง (กำลังสองของระยะ) และขึ้นกับ fxx,fxy,fyyf_{xx}, f_{xy}, f_{yy}

ตัวอย่าง P-5 · ระนาบสัมผัสและประมาณค่า

หาระนาบสัมผัสของ f(x,y)=20−x2−7y2f(x, y) = \sqrt{20 - x^2 - 7y^2} ที่ (2,1)(2, 1) แล้วประมาณ f(1.95, 1.08)f(1.95,\ 1.08)

  1. f(2,1)=20−4−7=9=3f(2, 1) = \sqrt{20 - 4 - 7} = \sqrt{9} = 3

  2. fx=−x20−x2−7y2⇒fx(2,1)=−23f_x = \dfrac{-x}{\sqrt{20 - x^2 - 7y^2}} \Rightarrow f_x(2,1) = -\dfrac{2}{3} · fy=−7y20−x2−7y2⇒fy(2,1)=−73f_y = \dfrac{-7y}{\sqrt{20 - x^2 - 7y^2}} \Rightarrow f_y(2,1) = -\dfrac{7}{3}

  3. ระนาบสัมผัส: z=3−23(x−2)−73(y−1)z = 3 - \dfrac{2}{3}(x - 2) - \dfrac{7}{3}(y - 1)

  4. ประมาณ: L(1.95,1.08)=3−23(−0.05)−73(0.08)=3+0.0333−0.1867=2.8467L(1.95, 1.08) = 3 - \tfrac23(-0.05) - \tfrac73(0.08) = 3 + 0.0333 - 0.1867 = 2.8467

  5. ค่าจริง f(1.95,1.08)=20−3.8025−8.1648=8.0327=2.8342f(1.95, 1.08) = \sqrt{20 - 3.8025 - 8.1648} = \sqrt{8.0327} = 2.8342 · คลาดเคลื่อน 0.0125 หรือ 0.44%

L(x,y)=3−23(x−2)−73(y−1)L(x,y) = 3 - \tfrac23(x-2) - \tfrac73(y-1) · f(1.95,1.08)≈2.847f(1.95, 1.08) \approx 2.847 (จริง 2.834)

ผลต่างรวม (Total Differential) และการแพร่ความคลาดเคลื่อน กลาง

เปลี่ยน xx เล็กน้อย dxdx และ yy เล็กน้อย dydy พร้อมกัน ค่า ff เปลี่ยนโดยประมาณเท่ากับผลรวมของการเปลี่ยนจากแต่ละตัวแปร นี่คือสูตรของผลต่างรวม (total differential) และเป็นฐานของการแพร่ความคลาดเคลื่อน (error propagation) ที่ช่าง วิศวกร และนักวิทยาศาสตร์ใช้ประเมินว่าสูตรซึ่งใช้ค่าที่วัดมาหลายค่าจะคลาดเคลื่อนเท่าไร

P12 Total differential ผลต่างรวม

df=∂f∂x dx+∂f∂y dy,Δf≈df(เมื่อ Δx,Δy เล็ก)df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy,\qquad \Delta f \approx df \quad(\text{เมื่อ } \Delta x, \Delta y \text{ เล็ก})

สามตัวแปร: df=fx dx+fy dy+fz dzdf = f_x\,dx + f_y\,dy + f_z\,dz · เป็นการประมาณเชิงเส้นในรูปการเปลี่ยนแปลง

P13 Worst-case error ความคลาดเคลื่อนสูงสุด

∣Δf∣≲∣∂f∂x∣Δx+∣∂f∂y∣Δy|\Delta f| \lesssim \left|\frac{\partial f}{\partial x}\right|\Delta x + \left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|\Delta y

ใช้เมื่อต้องการ “รับประกัน” ขอบเขต (เช่นพิกัดความเผื่อทางกล)

P14 RSS (quadrature) error ความคลาดเคลื่อนแบบ RSS

Δf≈(fx Δx)2+(fy Δy)2\Delta f \approx \sqrt{\left(f_x\,\Delta x\right)^2 + \left(f_y\,\Delta y\right)^2}

เมื่อความคลาดเคลื่อนของตัวแปรเป็นอิสระต่อกัน (วัดคนละเครื่อง) · เล็กกว่าค่าแย่สุดเสมอ

ตัวอย่าง P-6 · ความต้านทานจากแรงดันและกระแส (ไฟฟ้า)

วัด V=12.0±0.1V = 12.0 \pm 0.1 V และ I=2.00±0.02I = 2.00 \pm 0.02 A คำนวณ R=V/IR = V/I พร้อมความคลาดเคลื่อน

  1. R=V/I=12.0/2.00=6.00R = V/I = 12.0/2.00 = 6.00 Ω

  2. ∂R∂V=1I=0.5\dfrac{\partial R}{\partial V} = \dfrac1I = 0.5 Ω/V · ∂R∂I=−VI2=−124=−3\dfrac{\partial R}{\partial I} = -\dfrac{V}{I^2} = -\dfrac{12}{4} = -3 Ω/A

  3. แย่สุด: ΔR≤0.5(0.1)+3(0.02)=0.05+0.06=0.11\Delta R \le 0.5(0.1) + 3(0.02) = 0.05 + 0.06 = 0.11 Ω (1.83%)

  4. RSS: ΔR≈0.052+0.062=0.0061=0.078\Delta R \approx \sqrt{0.05^2 + 0.06^2} = \sqrt{0.0061} = 0.078 Ω (1.30%)

  5. สังเกต: ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ของ VV คือ 0.83% ของ II คือ 1.0% — กระแสมีน้ำหนักมากกว่า จึงปรับปรุงด้วยการใช้แอมมิเตอร์ที่ละเอียดขึ้นจะได้ผลมากสุด

R=6.00±0.11R = 6.00 \pm 0.11 Ω (แย่สุด) หรือ ±0.08\pm 0.08 Ω (RSS)

ตัวอย่าง P-7 · ปริมาตรจากการวัดขนาด (เครื่องกล)

กระบอกสูบวัดได้ r=5.00±0.05r = 5.00 \pm 0.05 cm และ h=12.0±0.1h = 12.0 \pm 0.1 cm ปริมาตร V=πr2hV = \pi r^2 h คลาดเคลื่อนเท่าไร

  1. V=π(5)2(12)=300π=942.5V = \pi (5)^2 (12) = 300\pi = 942.5 cm³

  2. ∂V∂r=2πrh=2π(5)(12)=376.99\dfrac{\partial V}{\partial r} = 2\pi r h = 2\pi(5)(12) = 376.99 cm² · ∂V∂h=πr2=78.54\dfrac{\partial V}{\partial h} = \pi r^2 = 78.54 cm²

  3. dV=376.99(0.05)+78.54(0.1)=18.85+7.85=26.70dV = 376.99(0.05) + 78.54(0.1) = 18.85 + 7.85 = 26.70 cm³ → 2.83%

  4. รัศมีมีผลมากกว่าความสูง 2.4 เท่า (18.85 เทียบ 7.85) เพราะ rr มีความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ 1% และยังถูกยกกำลังสองจึงนับเป็นสองเท่า ส่วน hh มี 0.83% ได้ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ของ VV ≈ 2(1%)+0.83%=2.83%2(1\%) + 0.83\% = 2.83\%

V=942.5±26.7V = 942.5 \pm 26.7 cm³ (≈ 2.8%)

เครื่องคิดเลขแพร่ความคลาดเคลื่อน

ใส่สูตรของคุณพร้อมค่าที่วัดและความไม่แน่นอน ตารางจะแสดงว่าตัวแปรใดทำให้ผลคลาดเคลื่อนมากที่สุด ซึ่งบอกว่าควรลงทุนปรับปรุงการวัดตัวไหน ตัวอย่างสุดท้ายคือการโก่งตัวของคานรับน้ำหนักแผ่ (โยธา)

กฎลูกโซ่และอนุพันธ์โดยปริยาย กลาง

ตัวแปรของ ff เองอาจขึ้นกับตัวแปรอื่น เช่นตำแหน่ง (x,y)(x, y) ของอนุภาคที่เคลื่อนที่ตามเวลา tt กฎลูกโซ่หลายตัวแปรบอกว่า ff เปลี่ยนตามเวลาเท่าไร วิธีจำที่ง่ายที่สุดคือแผนภาพต้นไม้ (tree diagram): ลากกิ่งจาก ff ไปหาตัวแปรกลาง แล้วไปหาตัวแปรต้นทาง คูณตามกิ่ง บวกทุกเส้นทางที่ไปถึงตัวแปรปลาย

∂z/∂x∂z/∂y∂x/∂s∂x/∂t∂y/∂s∂y/∂tzxystst∂z/∂s = ∂z/∂x · ∂x/∂s+ ∂z/∂y · ∂y/∂s∂z/∂t = ∂z/∂x · ∂x/∂t+ ∂z/∂y · ∂y/∂tเดินจาก z ลงถึง s ทุกเส้นทางคูณตามกิ่ง แล้วรวมทุกเส้นทาง
แผนภาพต้นไม้ของกฎลูกโซ่: z=f(x,y)z = f(x, y) โดย x=x(s,t)x = x(s, t) และ y=y(s,t)y = y(s, t) · ∂z/∂s\partial z/\partial s = ผลรวมของผลคูณตามกิ่งจาก zz ถึง ss ทุกเส้นทาง

P15 Chain rule (one parameter) กฎลูกโซ่ (พารามิเตอร์เดียว)

z=f(x(t), y(t)) ⇒ dzdt=∂f∂xdxdt+∂f∂ydydt=∇f⋅r′(t)z = f(x(t),\, y(t)) \ \Rightarrow\ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} = \nabla f \cdot \mathbf r'(t)

เขียนแบบเวกเตอร์ได้เป็น gradient จุดดอตกับความเร็ว (ดูบทเกรเดียนต์) · เป็น “อนุพันธ์รวม” ตามเวลา

P16 Chain rule (two parameters) กฎลูกโซ่ (สองพารามิเตอร์)

∂z∂s=∂z∂x∂x∂s+∂z∂y∂y∂s,∂z∂t=∂z∂x∂x∂t+∂z∂y∂y∂t\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s},\qquad \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}

ในรูปเมทริกซ์: (zszt)=(zxzy)(xsxtysyt)\begin{pmatrix} z_s & z_t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z_x & z_y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_s & x_t \\ y_s & y_t \end{pmatrix} (คูณด้วยเมทริกซ์จาโคเบียน)

P17 Implicit differentiation (2 variables) อนุพันธ์โดยปริยาย

F(x,y)=0 ⇒ dydx=−FxFy(Fy≠0)F(x, y) = 0 \ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}\quad (F_y \ne 0)

ได้จากกฎลูกโซ่ Fx+Fy dydx=0F_x + F_y\,\dfrac{dy}{dx} = 0 · ไม่ต้องแก้หา yy ก่อน

P18 Implicit differentiation (3 variables) อนุพันธ์โดยปริยาย (สามตัวแปร)

F(x,y,z)=0 ⇒ ∂z∂x=−FxFz,∂z∂y=−FyFz(Fz≠0)F(x, y, z) = 0 \ \Rightarrow\ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z},\quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} \quad (F_z \ne 0)

zz เป็นฟังก์ชันของ x,yx, y โดยปริยาย · เช่นสมการสถานะ F(P,V,T)=0F(P, V, T) = 0

ตัวอย่าง P-8 · กฎลูกโซ่พารามิเตอร์เดียว

z=x2y+3xy4z = x^2 y + 3xy^4 เมื่อ x=sin⁡2t, y=cos⁡tx = \sin 2t,\ y = \cos t หา dz/dtdz/dt ที่ t=0t = 0

  1. ∂z∂x=2xy+3y4\dfrac{\partial z}{\partial x} = 2xy + 3y^4 · ∂z∂y=x2+12xy3\dfrac{\partial z}{\partial y} = x^2 + 12xy^3

  2. dxdt=2cos⁡2t\dfrac{dx}{dt} = 2\cos 2t · dydt=−sin⁡t\dfrac{dy}{dt} = -\sin t

  3. ที่ t=0t = 0: x=0, y=1x = 0,\ y = 1 · zx=0+3=3z_x = 0 + 3 = 3 · zy=0+0=0z_y = 0 + 0 = 0 · x′=2x' = 2 · y′=0y' = 0

  4. dzdt=3⋅2+0⋅0=6\dfrac{dz}{dt} = 3 \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 6

dzdt∣t=0=6\left.\dfrac{dz}{dt}\right|_{t=0} = 6

ตัวอย่าง P-9 · กำลังไฟฟ้าที่เปลี่ยนตามเวลา (ไฟฟ้า)

แรงดัน V(t)=12+0.5tV(t) = 12 + 0.5t V และความต้านทาน R(t)=8+0.1tR(t) = 8 + 0.1t Ω (ร้อนขึ้นจึงเพิ่ม) กำลัง P=V2/RP = V^2/R เปลี่ยนด้วยอัตราเท่าไรที่ t=0t = 0

  1. PV=2VR=248=3P_V = \dfrac{2V}{R} = \dfrac{24}{8} = 3 W/V · PR=−V2R2=−14464=−2.25P_R = -\dfrac{V^2}{R^2} = -\dfrac{144}{64} = -2.25 W/Ω

  2. V′=0.5V' = 0.5 V/s · R′=0.1R' = 0.1 Ω/s

  3. dPdt=3(0.5)+(−2.25)(0.1)=1.5−0.225=1.275\dfrac{dP}{dt} = 3(0.5) + (-2.25)(0.1) = 1.5 - 0.225 = 1.275 W/s

  4. ตีความ: แรงดันที่เพิ่มดันกำลังขึ้น (+1.5 W/s) ส่วนความต้านทานที่เพิ่มดึงลง (−0.225 W/s)

dP/dt=1.275dP/dt = 1.275 W/s ที่ t=0t = 0 (ที่ P=18P = 18 W)

ตัวอย่าง P-10 · อนุพันธ์โดยปริยาย

(ก) x3+y3=6xyx^3 + y^3 = 6xy หา dy/dxdy/dx (ข) แสดงความสัมพันธ์วัฏจักรของแก๊สอุดมคติ (∂P∂V)T(∂V∂T)P(∂T∂P)V=−1\left(\dfrac{\partial P}{\partial V}\right)_T\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P\left(\dfrac{\partial T}{\partial P}\right)_V = -1

  1. (ก) F=x3+y3−6xyF = x^3 + y^3 - 6xy · Fx=3x2−6yF_x = 3x^2 - 6y · Fy=3y2−6xF_y = 3y^2 - 6x

  2. dydx=−FxFy=−3x2−6y3y2−6x=2y−x2y2−2x\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y} = -\dfrac{3x^2 - 6y}{3y^2 - 6x} = \dfrac{2y - x^2}{y^2 - 2x}

  3. (ข) จาก PV=nRTPV = nRT: (∂P∂V)T=−nRTV2\left(\dfrac{\partial P}{\partial V}\right)_T = -\dfrac{nRT}{V^2} · (∂V∂T)P=nRP\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P = \dfrac{nR}{P} · (∂T∂P)V=VnR\left(\dfrac{\partial T}{\partial P}\right)_V = \dfrac{V}{nR}

  4. คูณกัน: −nRTV2⋅nRP⋅VnR=−nRTPV=−1-\dfrac{nRT}{V^2}\cdot\dfrac{nR}{P}\cdot\dfrac{V}{nR} = -\dfrac{nRT}{PV} = -1 (เพราะ PV=nRTPV = nRT) · ไม่ใช่ +1+1 อย่างที่เข้าใจผิดจากการ “ตัด” ∂\partial

(ก) dy/dx=2y−x2y2−2xdy/dx = \dfrac{2y - x^2}{y^2 - 2x} · (ข) ผลคูณ =−1= -1

เมทริกซ์จาโคเบียน (Jacobian Matrix)

เมื่อมีฟังก์ชันหลายตัวพร้อมกัน เช่นพิกัดใหม่ (u,v)(u, v) จากพิกัดเดิม (x,y)(x, y) หรือตำแหน่งปลายแขนกลจากมุมข้อต่อ จัดอนุพันธ์ย่อยทั้งหมดเป็นเมทริกซ์เดียว เรียกว่าเมทริกซ์จาโคเบียน (Jacobian matrix) ซึ่งเป็น “อนุพันธ์” ของการแปลง และเป็นตัวที่ปรากฏทั้งในการเปลี่ยนตัวแปรของอินทิกรัลหลายชั้นและในจลนศาสตร์ของแขนกล

P19 Jacobian matrix เมทริกซ์จาโคเบียน

F(u,v)=(x(u,v), y(u,v)) ⇒ J=∂(x,y)∂(u,v)=(xuxvyuyv),ΔF≈J Δ(u,v) ⁣⊤\mathbf F(u, v) = \big(x(u,v),\, y(u,v)\big) \ \Rightarrow\ \mathbf J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \begin{pmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{pmatrix},\qquad \Delta \mathbf F \approx \mathbf J\,\Delta(u, v)^{\!\top}

∣det⁡J∣\lvert\det\mathbf J\rvert = ตัวคูณพื้นที่ท้องถิ่น · ตัวอย่างพิกัดขั้ว x=rcos⁡θ, y=rsin⁡θx = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta: det⁡J=r\det\mathbf J = r (แล็บ Jacobian ในบทอินทิกรัล)

นำไปใช้ในงานวิศวกรรม พื้นฐาน

สาขาอนุพันธ์ย่อยที่ใช้ความหมาย
ไฟฟ้า∂P/∂V, ∂P/∂R\partial P/\partial V,\ \partial P/\partial R ของ P=V2/RP = V^2/Rความไวของกำลังต่อแรงดันและความต้านทาน (sensitivity)
ไฟฟ้าEx=−∂V/∂xE_x = -\partial V/\partial xสนามไฟฟ้าจากศักย์ (บทไฟฟ้า)
เครื่องกล(∂P/∂T)V, (∂U/∂T)V=Cv(\partial P/\partial T)_V,\ (\partial U/\partial T)_V = C_vสมบัติแก๊ส ความร้อนจำเพาะ
เครื่องกล∂T/∂x\partial T/\partial x ในกฎของฟูริเยร์ฟลักซ์ความร้อน (บทเครื่องกล)
โยธา∂h/∂x, ∂h/∂y\partial h/\partial x,\ \partial h/\partial y ของภูมิประเทศความลาดชันและทิศน้ำไหล (บทโยธา)
โยธา∂δ/∂w, ∂δ/∂L\partial\delta/\partial w,\ \partial\delta/\partial L ของการโก่งตัวตัวแปรใดต้องคุมความแม่นยำมากสุด
ทุกสาขา∂J/∂a, ∂J/∂b\partial J/\partial a,\ \partial J/\partial b ของฟังก์ชันค่าความผิดพลาดการหาพารามิเตอร์ที่พอดีที่สุด (กำลังสองน้อยสุด)

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน

  1. ลืมว่าตัวแปรอื่นเป็นค่าคงที่ เช่นหา ∂/∂x\partial/\partial x ของ xy2x y^2 แล้วได้ 2xy2xy · ที่ถูกคือ y2y^2
  2. “ตัด” ∂\partial ในสูตรวัฏจักร เช่นเขียน ∂P∂V∂V∂T∂T∂P=1\dfrac{\partial P}{\partial V}\dfrac{\partial V}{\partial T}\dfrac{\partial T}{\partial P} = 1 ซึ่งผิด (ได้ −1) เพราะตัวแปรที่ตรึงต่างกัน
  3. ใช้ประมาณเชิงเส้นไกลจากจุดสัมผัส ความผิดพลาดโตเป็นกำลังสองของระยะ ตรวจด้วยอนุพันธ์อันดับสอง
  4. รวมความคลาดเคลื่อนโดยไม่ใส่ค่าสัมบูรณ์ พจน์ลบอาจหักล้างกันได้ในสูตร จึงต้องใช้ ∣fx∣Δx|f_x|\Delta x ในกรณีแย่สุด
  5. ลืมใส่หน่วย หน่วยของ ∂f/∂x\partial f/\partial x คือหน่วยของ ff ต่อหน่วยของ xx · ใช้ตรวจคำตอบได้ทันที

ไปต่อที่เกรเดียนต์และอนุพันธ์ตามทิศ ซึ่งรวม fxf_x กับ fyf_y เป็นเวกเตอร์เดียว บอกทั้งทิศที่ชันที่สุดและความชันในทิศใดก็ได้

คำถามที่พบบ่อย

อนุพันธ์ย่อย (partial derivative) หาอย่างไร?

ในการหา ∂f/∂x\partial f/\partial x ให้มองตัวแปรอื่นทั้งหมด (เช่น yy) เป็น “ค่าคงที่” แล้วหาอนุพันธ์ตาม xx ด้วยกฎของตัวแปรเดียวตามปกติ (กฎยกกำลัง ผลคูณ ผลหาร ลูกโซ่) ทำแบบเดียวกันกับ yy ตัวอย่าง f=x2y+sin⁡(xy)f = x^2 y + \sin(xy) ได้ fx=2xy+ycos⁡(xy)f_x = 2xy + y\cos(xy) และ fy=x2+xcos⁡(xy)f_y = x^2 + x\cos(xy) เมื่อหาแล้วค่อยแทนจุดที่ต้องการ

อนุพันธ์ย่อยกับอนุพันธ์รวม (total derivative) ต่างกันอย่างไร?

อนุพันธ์ย่อยวัดการเปลี่ยนแปลงของ ff เมื่อเปลี่ยนตัวแปรเพียงตัวเดียวและตรึงตัวอื่นไว้ ส่วนอนุพันธ์รวม df/dtdf/dt วัดการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดเมื่อทุกตัวแปรเปลี่ยนไปตามเวลา คำนวณด้วยกฎลูกโซ่ dfdt=fxdxdt+fydydt\dfrac{df}{dt} = f_x\dfrac{dx}{dt} + f_y\dfrac{dy}{dt} เช่นกำลัง P(V,R)P(V, R) ที่แรงดันและความต้านทานต่างเปลี่ยนตามเวลา

ระนาบสัมผัสของ z = f(x, y) หาอย่างไร?

ที่จุด (a,b)(a, b) ระนาบสัมผัสคือ z=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b)z = f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b) ใช้ประมาณค่า ff ใกล้จุดนั้นได้ (linearization) เช่น f=20−x2−7y2f = \sqrt{20 - x^2 - 7y^2} ที่ (2,1)(2, 1) ได้ L=3−23(x−2)−73(y−1)L = 3 - \tfrac23(x-2) - \tfrac73(y-1) และ f(1.95,1.08)≈2.847f(1.95, 1.08) \approx 2.847 (ค่าจริง 2.834)

ทำไม f_xy = f_yx ? ต้องมีเงื่อนไขอะไร?

ทฤษฎีบทของแคลโร (Clairaut) บอกว่าถ้า fxyf_{xy} และ fyxf_{yx} ต่อเนื่องบนบริเวณเปิดที่ครอบจุดนั้น แล้วสองอนุพันธ์ผสมเท่ากัน ฟังก์ชันที่ใช้ในงานวิศวกรรมแทบทั้งหมดเรียบพอ จึงเลือกหาลำดับใดก่อนก็ได้ ใช้เป็นเครื่องมือตรวจคำตอบ และเป็นเกณฑ์ว่าสนามเวกเตอร์ P i+Q jP\,\mathbf i + Q\,\mathbf j อนุรักษ์หรือไม่ (Py=QxP_y = Q_x)

หา error propagation ของสูตรที่วัดหลายค่าอย่างไร?

ใช้ผลต่างรวม Δf≈∣fx∣Δx+∣fy∣Δy\Delta f \approx |f_x|\Delta x + |f_y|\Delta y (ค่าแย่สุด) หรือ Δf≈(fxΔx)2+(fyΔy)2\Delta f \approx \sqrt{(f_x\Delta x)^2 + (f_y\Delta y)^2} (RSS เมื่อความคลาดเคลื่อนอิสระกัน) เช่น R=V/IR = V/I เมื่อ V=12.0±0.1V = 12.0 \pm 0.1 V และ I=2.00±0.02I = 2.00 \pm 0.02 A ได้ R=6.00R = 6.00 Ω และ ΔR≈0.05+0.06=0.11\Delta R \approx 0.05 + 0.06 = 0.11 Ω แบบแย่สุด หรือ 0.078 Ω แบบ RSS

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์