หน้าแรก
คลังความรู้
สูตรตรีโกณมิติ

// บทที่ 2 · คณิตศาสตร์พื้นฐาน · สูตรและตาราง

สูตรตรีโกณมิติทั้งหมด และตารางค่า sin cos tan

Q: จำค่า sin cos tan ของมุม 30° 45° 60° อย่างไรให้ไม่ลืม?

เขียน sin ของ 0°, 30°, 45°, 60°, 90° เป็น tfrac{sqrt0}{2}, tfrac{sqrt1}{2}, tfrac{sqrt2}{2}, tfrac{sqrt3}{2}, tfrac{sqrt4}{2} คือ √ ของ 0 ถึง 4 หารด้วย 2 ส่วน cos คือลำดับเดียวกันแต่กลับหลัง และ tan = sin ÷ cos

Q: ทำไมในแคลคูลัสต้องใช้มุมเป็นเรเดียน?

เพราะสูตร tfrac{d}{dx}sin x = cos x มาจากลิมิต lim_{xto0}tfrac{sin x}{x} = 1 ซึ่งจริงเฉพาะเมื่อ x เป็นเรเดียน ถ้าใช้องศาจะได้ tfrac{d}{dx}sin x^circ = tfrac{pi}{180}cos x^circ มีตัวคูณเกินมา

Q: atan2 ต่างจาก arctan อย่างไร?

arctan(y/x) ให้มุมได้แค่ช่วง −90° ถึง 90° จึงแยก (1, 1) กับ (−1, −1) ไม่ออก ส่วน operatorname{atan2}(y, x) ดูเครื่องหมายของ x และ y แยกกัน จึงให้มุมถูกจตุภาคในช่วง −180° ถึง 180° ใช้หามุมเฟสของจำนวนเชิงซ้อนและเฟเซอร์

เริ่มจากวงกลมหนึ่งหน่วย แล้วไล่ไปทุกหมวดที่วิศวกรต้องใช้ ตั้งแต่มุมพิเศษ เอกลักษณ์พีทาโกรัส สูตรมุมประกอบ ไปจนถึงสูตรของออยเลอร์ ฟังก์ชันผกผัน กฎของสามเหลี่ยม แคลคูลัส และอนุกรม ทุกสูตรมีชื่อภาษาอังกฤษกำกับไว้ให้ค้นต่อได้ ท้ายหน้าเป็นตารางค่า sin cos tan ทุก 0.05° ตั้งแต่ 0° ถึง 90° รวม 1,801 แถว

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต 12 ต.ค. 2569

ไปที่ตารางค่า 0°–90° ↓ วงกลมหนึ่งหน่วยแบบโต้ตอบ ค่ามุมพิเศษ

สรุปใน 30 วินาที

จุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่มุม θ คือ $(\cos\theta,\ \sin\theta)$ และ $\tan\theta = \sin\theta/\cos\theta$
สูตรแม่บทมีสองตัว คือ $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ กับสูตรผลบวกของมุม สูตรอื่นเกือบทั้งหมดได้มาจากสองตัวนี้
มุมนอกจตุภาคที่ 1 ให้ใช้มุมอ้างอิงเปิดตาราง แล้วใส่เครื่องหมายตาม ASTC
ในแคลคูลัสและงานไฟฟ้า มุมต้องเป็นเรเดียน: $180^\circ = \pi$ rad

วงกลมหนึ่งหน่วย (Unit Circle)

วงกลมหนึ่งหน่วยคือวงกลมรัศมี 1 ที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด วางมุม θ ในตำแหน่งมาตรฐาน (standard position) คือให้แขนเริ่มต้น (initial side) ทับแกน x บวก แล้วหมุนทวนเข็มนาฬิกาเป็นมุมบวก แขนสิ้นสุด (terminal side) จะตัดวงกลมที่จุด P จุดนี้คือนิยามของ cos และ sin โดยตรง

ลากจุด P หรือแตะป้ายมุมรอบวง · ใช้ปุ่มลูกศรได้

มุม θ 30.00°

ปรับมุม (ละเอียด 0.05°)

พิมพ์ได้ทั้ง 135, −45, 400 หรือ π/6, 2pi/3 เมื่อเลือกเรเดียน

ดูดเข้ามุมพิเศษทุก 15° แสดง sec, csc, cot บนรูป แสดง tan ในกราฟคลื่น

คลื่นที่ได้จากการหมุน

เมื่อ P หมุนรอบวง ความสูงของ P วาดเป็น sin θ และระยะแนวนอนวาดเป็น cos θ

sin θcos θtan θ

คำศัพท์ที่ใช้กับวงกลมหนึ่งหน่วย

Unit-circle definition นิยามบนวงกลมหนึ่งหน่วย

\begin{gathered} P(\theta) = (\cos\theta,\ \sin\theta) \\ x^2 + y^2 = 1 \end{gathered}

วงกลมรัศมี r ใด ๆ ใช้ $(x, y) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta)$

Reference angle มุมอ้างอิง $\theta_{\text{ref}}$

\theta_{\text{ref}} = \begin{cases} \theta & \text{Q I} \\ 180^\circ - \theta & \text{Q II} \\ \theta - 180^\circ & \text{Q III} \\ 360^\circ - \theta & \text{Q IV} \end{cases}

มุมแหลมระหว่างแขนสิ้นสุดกับแกน x ค่าตรีโกณของ θ เท่ากับค่าของ $\theta_{\text{ref}}$ ต่างกันแค่เครื่องหมาย

Coterminal angles มุมที่มีแขนสิ้นสุดร่วมกัน

\begin{gathered} \theta + 360^\circ k \;=\; \theta + 2\pi k \\ (k \in \mathbb{Z}) \end{gathered}

เช่น 30°, 390°, −330° อยู่ตำแหน่งเดียวกันบนวง จึงมีค่าตรีโกณเท่ากันทุกตัว

ASTC rule เครื่องหมายในแต่ละจตุภาค

Q II · Ssin, csc บวก

Q I · Aบวกทุกตัว

Q III · Ttan, cot บวก

Q IV · Ccos, sec บวก

จำว่า “All Students Take Calculus” ไล่ทวนเข็มจากจตุภาคที่ 1

การวัดมุม องศาและเรเดียน (Angle Measure)

หนึ่งเรเดียนคือมุมที่รองรับความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมี วงกลมหนึ่งรอบยาว $2\pi r$ จึงเท่ากับ $2\pi$ เรเดียน หน่วยเรเดียนไม่มีมิติ (เป็นอัตราส่วนความยาวต่อความยาว) จึงใช้ได้ตรง ๆ ในสูตรแคลคูลัสและฟิสิกส์

Degree–radian conversion การแปลงองศาและเรเดียน

\begin{gathered} \theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180^\circ} \\ \theta_{\text{deg}} = \theta_{\text{rad}} \times \frac{180^\circ}{\pi} \end{gathered}

$1\ \text{rad} \approx 57.29578^\circ$ และ $1^\circ \approx 0.0174533$ rad

Arc length ความยาวส่วนโค้ง

s = r\theta

θ เป็นเรเดียน

Area of a sector พื้นที่เซกเตอร์

A = \tfrac12 r^2\theta = \tfrac12 r s

Chord length ความยาวคอร์ด

c = 2r\sin\frac{\theta}{2}

Angular frequency ความถี่เชิงมุม

\begin{gathered} \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} \\ \theta(t) = \omega t + \phi \end{gathered}

ไฟบ้าน 50 Hz มี $\omega = 100\pi \approx 314.16$ rad/s

Turn and gradian หน่วยอื่น

1\ \text{turn} = 360^\circ = 2\pi\ \text{rad} = 400\ \text{grad}

เครื่องคิดเลขมีโหมด DEG, RAD, GRAD ตรวจโหมดก่อนกดทุกครั้ง

ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหก (Six Trigonometric Functions)

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุม θ เรียกว่า ด้านข้าม (opposite) ด้านที่ติดกับ θ เรียกว่า ด้านชิด (adjacent) และด้านตรงข้ามมุมฉากเรียกว่า ด้านฉาก หรือ ไฮโปเทนิวส์ (hypotenuse) นิยามนี้ตรงกับวงกลมหนึ่งหน่วยเมื่อด้านฉากยาว 1

Right-triangle ratios (SOH-CAH-TOA) อัตราส่วนในสามเหลี่ยมมุมฉาก

\begin{gathered} \sin\theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}} \\ \cos\theta = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}} \\ \tan\theta = \frac{\text{opp}}{\text{adj}} \end{gathered}

ภาษาไทยจำว่า sin = ข้าม/ฉาก, cos = ชิด/ฉาก, tan = ข้าม/ชิด

Reciprocal identities เอกลักษณ์ส่วนกลับ

\begin{gathered} \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} \\ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} \\ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} \end{gathered}

cosecant, secant, cotangent · คู่ที่มี “co” จับคู่กับตัวที่ไม่มี co

Quotient identities เอกลักษณ์ผลหาร

\begin{gathered} \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \end{gathered}

Slope interpretation tan คือความชัน

m = \tan\theta

เส้นตรงที่ทำมุม θ กับแกน x มีความชัน tan θ และ tan θ ยังเป็นความยาวเส้นสัมผัสวงกลมที่ x = 1 (ดูเส้นสีเขียวในรูปวงกลม)

โดเมน เรนจ์ และคาบ (Domain, Range, Period)

ฟังก์ชัน	โดเมน	เรนจ์	คาบ	คู่/คี่
$\sin\theta$	$\mathbb{R}$	$[-1, 1]$	$2\pi$	คี่ (odd)
$\cos\theta$	$\mathbb{R}$	$[-1, 1]$	$2\pi$	คู่ (even)
$\tan\theta$	$\theta \ne \tfrac{\pi}{2} + k\pi$	$\mathbb{R}$	$\pi$	คี่
$\csc\theta$	$\theta \ne k\pi$	$(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$	$2\pi$	คี่
$\sec\theta$	$\theta \ne \tfrac{\pi}{2} + k\pi$	$(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$	$2\pi$	คู่
$\cot\theta$	$\theta \ne k\pi$	$\mathbb{R}$	$\pi$	คี่

ค่าตรีโกณมิติของมุมพิเศษ (Exact Values of Special Angles)

The √n / 2 pattern เทคนิคจำมุม 0° 30° 45° 60° 90°

\begin{gathered} \sin\theta:\ \frac{\sqrt0}{2},\ \frac{\sqrt1}{2},\ \frac{\sqrt2}{2},\ \frac{\sqrt3}{2},\ \frac{\sqrt4}{2} \\ \cos\theta:\ \text{ลำดับเดียวกันแต่กลับหลัง} \end{gathered}

มาจากสามเหลี่ยมมุมฉากสองแบบ คือ 45-45-90 ด้าน $1 : 1 : \sqrt2$ และ 30-60-90 ด้าน $1 : \sqrt3 : 2$

θ	เรเดียน	sin θ	cos θ	tan θ
0°	$0$	$0$	$1$	$0$
15°	$\tfrac{\pi}{12}$	$\tfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$	$\tfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$	$2-\sqrt3$
18°	$\tfrac{\pi}{10}$	$\tfrac{\sqrt5-1}{4}$	$\tfrac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}$	$\tfrac{\sqrt{25-10\sqrt5}}{5}$
22.5°	$\tfrac{\pi}{8}$	$\tfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$	$\sqrt2-1$
30°	$\tfrac{\pi}{6}$	$\tfrac12$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$	$\tfrac{\sqrt3}{3}$
36°	$\tfrac{\pi}{5}$	$\tfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4}$	$\tfrac{1+\sqrt5}{4}$	$\sqrt{5-2\sqrt5}$
45°	$\tfrac{\pi}{4}$	$\tfrac{\sqrt2}{2}$	$\tfrac{\sqrt2}{2}$	$1$
54°	$\tfrac{3\pi}{10}$	$\tfrac{1+\sqrt5}{4}$	$\tfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4}$	$\tfrac{\sqrt{25+10\sqrt5}}{5}$
60°	$\tfrac{\pi}{3}$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$	$\tfrac12$	$\sqrt3$
67.5°	$\tfrac{3\pi}{8}$	$\tfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}$	$\sqrt2+1$
72°	$\tfrac{2\pi}{5}$	$\tfrac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}$	$\tfrac{\sqrt5-1}{4}$	$\sqrt{5+2\sqrt5}$
75°	$\tfrac{5\pi}{12}$	$\tfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$	$\tfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$	$2+\sqrt3$
90°	$\tfrac{\pi}{2}$	$1$	$0$	ไม่นิยาม

ค่า $\cos 36^\circ = \tfrac{1+\sqrt5}{4} = \tfrac{\varphi}{2}$ เมื่อ $\varphi$ คืออัตราส่วนทองคำ (golden ratio) มุม 18°, 36°, 54°, 72° จึงพบในรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า

ส่วนกลับของมุมหลัก (csc, sec, cot)

θ	csc θ	sec θ	cot θ
0°	ไม่นิยาม	$1$	ไม่นิยาม
30°	$2$	$\tfrac{2\sqrt3}{3}$	$\sqrt3$
45°	$\sqrt2$	$\sqrt2$	$1$
60°	$\tfrac{2\sqrt3}{3}$	$2$	$\tfrac{\sqrt3}{3}$
90°	$1$	ไม่นิยาม	$0$

รอบวงกลม 0° ถึง 360°

θ	rad	จตุภาค	sin θ	cos θ	tan θ
0°	$0$	แกน +x	$0$	$1$	$0$
30°	$\tfrac{\pi}{6}$	I	$\tfrac12$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$	$\tfrac{\sqrt3}{3}$
45°	$\tfrac{\pi}{4}$	I	$\tfrac{\sqrt2}{2}$	$\tfrac{\sqrt2}{2}$	$1$
60°	$\tfrac{\pi}{3}$	I	$\tfrac{\sqrt3}{2}$	$\tfrac12$	$\sqrt3$
90°	$\tfrac{\pi}{2}$	แกน +y	$1$	$0$	ไม่นิยาม
120°	$\tfrac{2\pi}{3}$	II	$\tfrac{\sqrt3}{2}$	$-\tfrac12$	$-\sqrt3$
135°	$\tfrac{3\pi}{4}$	II	$\tfrac{\sqrt2}{2}$	$-\tfrac{\sqrt2}{2}$	$-1$
150°	$\tfrac{5\pi}{6}$	II	$\tfrac12$	$-\tfrac{\sqrt3}{2}$	$-\tfrac{\sqrt3}{3}$
180°	$\pi$	แกน −x	$0$	$-1$	$0$
210°	$\tfrac{7\pi}{6}$	III	$-\tfrac12$	$-\tfrac{\sqrt3}{2}$	$\tfrac{\sqrt3}{3}$
225°	$\tfrac{5\pi}{4}$	III	$-\tfrac{\sqrt2}{2}$	$-\tfrac{\sqrt2}{2}$	$1$
240°	$\tfrac{4\pi}{3}$	III	$-\tfrac{\sqrt3}{2}$	$-\tfrac12$	$\sqrt3$
270°	$\tfrac{3\pi}{2}$	แกน −y	$-1$	$0$	ไม่นิยาม
300°	$\tfrac{5\pi}{3}$	IV	$-\tfrac{\sqrt3}{2}$	$\tfrac12$	$-\sqrt3$
315°	$\tfrac{7\pi}{4}$	IV	$-\tfrac{\sqrt2}{2}$	$\tfrac{\sqrt2}{2}$	$-1$
330°	$\tfrac{11\pi}{6}$	IV	$-\tfrac12$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$	$-\tfrac{\sqrt3}{3}$
360°	$2\pi$	แกน +x	$0$	$1$	$0$

เอกลักษณ์พีทาโกรัส (Pythagorean Identities)

จุด $(\cos\theta, \sin\theta)$ อยู่บนวงกลม $x^2 + y^2 = 1$ เสมอ จึงได้เอกลักษณ์ตัวแรกทันที อีกสองตัวได้จากการหารด้วย $\cos^2\theta$ และ $\sin^2\theta$

Pythagorean identity เอกลักษณ์พีทาโกรัส

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

Tangent–secant form รูป tan กับ sec

1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta

Cotangent–cosecant form รูป cot กับ csc

1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta

Expressing one function by another เขียนฟังก์ชันหนึ่งด้วยอีกฟังก์ชัน

\begin{gathered} \sin\theta = \pm\sqrt{1-\cos^2\theta} = \pm\frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta}} \\ \cos\theta = \pm\sqrt{1-\sin^2\theta} = \pm\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\theta}} \end{gathered}

เลือกเครื่องหมายตามจตุภาคของ θ

สมมาตร คาบ และโคฟังก์ชัน (Symmetry, Periodicity, Cofunctions)

Even–odd identities เอกลักษณ์ฟังก์ชันคู่-คี่

\begin{gathered} \sin(-\theta) = -\sin\theta \\ \cos(-\theta) = \cos\theta \\ \tan(-\theta) = -\tan\theta \end{gathered}

cos และ sec เป็นฟังก์ชันคู่ ที่เหลือเป็นฟังก์ชันคี่

Periodicity identities เอกลักษณ์คาบ

\begin{gathered} \sin(\theta + 2\pi k) = \sin\theta \\ \cos(\theta + 2\pi k) = \cos\theta \\ \tan(\theta + \pi k) = \tan\theta \end{gathered}

Cofunction identities เอกลักษณ์โคฟังก์ชัน (มุมประกอบสองมุมฉาก)

\begin{gathered} \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta \\ \tan\!\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot\theta \\ \sec\!\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \csc\theta \end{gathered}

คำว่า co-sine มาจาก complement’s sine คือ sine ของมุมที่เหลือ เช่น cos 70° = sin 20°

Supplementary-angle identities มุมรวมกันได้ 180°

\begin{gathered} \sin(\pi - \theta) = \sin\theta \\ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \\ \tan(\pi - \theta) = -\tan\theta \end{gathered}

Quarter-period shifts การเลื่อนเฟส 90° และ 180°

\begin{gathered} \sin\!\left(\theta + \tfrac{\pi}{2}\right) = \cos\theta \\ \cos\!\left(\theta + \tfrac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta \\ \sin(\theta + \pi) = -\sin\theta \\ \cos(\theta + \pi) = -\cos\theta \end{gathered}

ในวงจรไฟฟ้า cos นำหน้า (lead) sin อยู่ 90° กระแสในตัวเก็บประจุจึงนำแรงดัน 90° เพราะ $\tfrac{d}{dt}\sin\omega t = \omega\cos\omega t$

ตารางลดมุม (Reduction Formulas)

กฎจำ: มุม $\pi \pm \theta$ และ $2\pi - \theta$ ชื่อฟังก์ชันคงเดิม ส่วนมุม $\tfrac{\pi}{2} \pm \theta$ และ $\tfrac{3\pi}{2} \pm \theta$ เปลี่ยนเป็นโคฟังก์ชัน แล้วใส่เครื่องหมายตามจตุภาคของมุมเดิมโดยถือว่า θ เป็นมุมแหลม

มุม	sin	cos	tan
$-\theta$	$-\sin\theta$	$\cos\theta$	$-\tan\theta$
$\tfrac{\pi}{2} - \theta$	$\cos\theta$	$\sin\theta$	$\cot\theta$
$\tfrac{\pi}{2} + \theta$	$\cos\theta$	$-\sin\theta$	$-\cot\theta$
$\pi - \theta$	$\sin\theta$	$-\cos\theta$	$-\tan\theta$
$\pi + \theta$	$-\sin\theta$	$-\cos\theta$	$\tan\theta$
$\tfrac{3\pi}{2} - \theta$	$-\cos\theta$	$-\sin\theta$	$\cot\theta$
$\tfrac{3\pi}{2} + \theta$	$-\cos\theta$	$\sin\theta$	$-\cot\theta$
$2\pi - \theta$	$-\sin\theta$	$\cos\theta$	$-\tan\theta$

สูตรผลบวกและผลต่างของมุม (Angle Sum and Difference)

สูตรกลุ่มนี้เป็นแม่บทของสูตรมุมสองเท่า ครึ่งมุม และผลคูณเป็นผลบวก จำสูตร sin กับ cos ให้ได้ก่อน สูตรอื่นแปลงตามมาได้

Sine of a sum / difference sin ของผลบวกและผลต่าง

\sin(A \pm B) = \sin A\cos B \pm \cos A\sin B

Cosine of a sum / difference cos ของผลบวกและผลต่าง

\cos(A \pm B) = \cos A\cos B \mp \sin A\sin B

สังเกตเครื่องหมายกลับ: cos ของผลบวกได้ “ลบ”

Tangent of a sum / difference tan ของผลบวกและผลต่าง

\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A\tan B}

Cotangent of a sum / difference cot ของผลบวกและผลต่าง

\cot(A \pm B) = \frac{\cot A\cot B \mp 1}{\cot B \pm \cot A}

Difference-of-squares forms รูปผลต่างกำลังสอง

\begin{gathered} \sin(A+B)\sin(A-B) = \sin^2 A - \sin^2 B \\ \cos(A+B)\cos(A-B) = \cos^2 A - \sin^2 B \end{gathered}

มาจากไหน: หมุนเวกเตอร์

(\cos B, \sin B)

ไปอีกมุม A ด้วยเมทริกซ์การหมุน

\begin{bmatrix} \cos A & -\sin A \\ \sin A & \cos A \end{bmatrix}

จะได้จุด

(\cos(A+B), \sin(A+B))

คูณเมทริกซ์ออกมาก็ได้สองสูตรแรกพร้อมกัน หรือใช้

e^{j(A+B)} = e^{jA}e^{jB}

ในหัวข้อสูตรของออยเลอร์

ตัวอย่างที่ 1

หาค่าแม่นตรงของ $\sin 75^\circ$

ดูวิธีทำ

\begin{aligned} \sin 75^\circ &= \sin(45^\circ + 30^\circ) \\ &= \sin45^\circ\cos30^\circ + \cos45^\circ\sin30^\circ \\ &= \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \end{aligned}

$\sin 75^\circ = \tfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4} \approx 0.965926$ ตรงกับแถว 75.00° ในตารางท้ายหน้า

สูตรมุมสองเท่า (Double-Angle Formulas)

แทน $B = A$ ในสูตรผลบวกของมุม

Sine double-angle sin มุมสองเท่า

\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}

Tangent double-angle tan มุมสองเท่า

\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}

Cosine double-angle (three forms) cos มุมสองเท่า มีสามรูป

\begin{aligned} \cos 2\theta &= \cos^2\theta - \sin^2\theta \\ &= 2\cos^2\theta - 1 \\ &= 1 - 2\sin^2\theta \\ &= \frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta} \end{aligned}

เลือกรูปที่ทำให้เหลือฟังก์ชันเดียว จะช่วยให้แก้สมการหรืออินทิเกรตง่ายขึ้น

สูตรมุมสามเท่าและมุมหลายเท่า (Triple- and Multiple-Angle)

Sine triple-angle sin มุมสามเท่า

\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta

Cosine triple-angle cos มุมสามเท่า

\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta

Tangent triple-angle tan มุมสามเท่า

\tan 3\theta = \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}

Chebyshev recurrence สูตรเวียนเกิดของมุมหลายเท่า

\cos(n+1)\theta = 2\cos\theta\,\cos n\theta - \cos(n-1)\theta

$\cos n\theta = T_n(\cos\theta)$ เป็นพหุนามเชบีเชฟ ใช้ออกแบบวงกรองแบบเชบีเชฟ

สูตรครึ่งมุม (Half-Angle Formulas)

แก้สูตร $\cos 2x$ กลับหา $\sin x$ และ $\cos x$ แล้วแทน $x = \theta/2$ เครื่องหมาย ± ให้เลือกตามจตุภาคของ $\theta/2$ ไม่ใช่ของ θ

Sine half-angle sin ครึ่งมุม

\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}

Cosine half-angle cos ครึ่งมุม

\cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}

Tangent half-angle tan ครึ่งมุม

\begin{aligned} \tan\frac{\theta}{2} &= \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}} \\ &= \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta} \end{aligned}

สองรูปหลังไม่มี ± ให้กังวล ใช้สะดวกกว่า

ตัวอย่างที่ 2

หา $\cos 22.5^\circ$ จากสูตรครึ่งมุม

ดูวิธีทำ

\cos 22.5^\circ = \cos\frac{45^\circ}{2} = +\sqrt{\frac{1 + \tfrac{\sqrt2}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}

22.5° อยู่จตุภาคที่ 1 จึงเลือกเครื่องหมายบวก ได้ $\approx 0.923880$

สูตรลดกำลัง (Power-Reduction Formulas)

เปลี่ยนกำลังสองหรือกำลังสูงให้เป็นผลบวกของ cos มุมหลายเท่าที่มีกำลังหนึ่ง จำเป็นมากเวลาอินทิเกรต หาค่า RMS และหาส่วนประกอบฮาร์มอนิก (ดูการใช้งานจริงใน อ่านสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์จาก sin³ และ cos²)

Square of sine sin กำลังสอง

\sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}

Square of cosine cos กำลังสอง

\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}

Square of tangent tan กำลังสอง

\tan^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}

Product of squares ผลคูณกำลังสอง

\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac{1-\cos 4\theta}{8}

Cube of sine sin กำลังสาม

\sin^3\theta = \frac{3\sin\theta - \sin 3\theta}{4}

Cube of cosine cos กำลังสาม

\cos^3\theta = \frac{3\cos\theta + \cos 3\theta}{4}

Fourth power of sine sin กำลังสี่

\sin^4\theta = \frac{3 - 4\cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}

Fourth power of cosine cos กำลังสี่

\cos^4\theta = \frac{3 + 4\cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}

มุมมองวิศวกร:

\cos^3\omega t = \tfrac34\cos\omega t + \tfrac14\cos 3\omega t

บอกว่าอุปกรณ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นแบบกำลังสาม สร้างฮาร์มอนิกที่ 3 ออกมาด้วยแอมพลิจูดหนึ่งในสี่ (ดู สมมาตรของความไม่เป็นเชิงเส้น)

ผลคูณเป็นผลบวก (Product-to-Sum Formulas)

ได้จากการบวกหรือลบสูตรผลบวกและผลต่างของมุม หลักการของวงจรผสมสัญญาณ (mixer) และการมอดูเลตแอมพลิจูด (AM)

Product of cosines ผลคูณ cos กับ cos

\cos A\cos B = \tfrac12\left[\cos(A-B) + \cos(A+B)\right]

Product of sines ผลคูณ sin กับ sin

\sin A\sin B = \tfrac12\left[\cos(A-B) - \cos(A+B)\right]

Sine–cosine product ผลคูณ sin กับ cos

\sin A\cos B = \tfrac12\left[\sin(A+B) + \sin(A-B)\right]

Cosine–sine product ผลคูณ cos กับ sin

\cos A\sin B = \tfrac12\left[\sin(A+B) - \sin(A-B)\right]

ตัวอย่างที่ 3

มิกเซอร์คูณสัญญาณ 1000 Hz กับ 100 Hz ได้ความถี่อะไร

ดูวิธีทำ

\begin{aligned} &\cos(2\pi\cdot1000t)\cos(2\pi\cdot100t) \\ &\quad = \tfrac12\cos(2\pi\cdot900t) + \tfrac12\cos(2\pi\cdot1100t) \end{aligned}

ได้ความถี่ผลต่าง 900 Hz และผลบวก 1100 Hz แอมพลิจูดตัวละครึ่งหนึ่ง เรียกว่าแถบข้าง (sidebands) ไม่มี 1000 Hz หรือ 100 Hz เหลืออยู่เลย

ผลบวกเป็นผลคูณ (Sum-to-Product Formulas)

ทิศกลับของหัวข้อก่อน ใช้แยกตัวประกอบสมการตรีโกณ และอธิบายปรากฏการณ์บีต (beats) เมื่อคลื่นสองความถี่ใกล้กันรวมกัน

Sum of sines ผลบวกของ sin

\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}

Difference of sines ผลต่างของ sin

\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}

Sum of cosines ผลบวกของ cos (ใช้อธิบายบีต)

\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}

Difference of cosines ผลต่างของ cos

\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}

Sum of tangents ผลบวกของ tan

\tan A \pm \tan B = \frac{\sin(A \pm B)}{\cos A\cos B}

การรวมไซน์และโคไซน์เป็นคลื่นเดียว (Harmonic Addition)

ไซน์และโคไซน์ความถี่เดียวกันรวมกันได้คลื่นไซน์ตัวเดียวเสมอ ในตำราบางเล่มเรียกว่า R-formula หรือ auxiliary angle method เป็นพื้นฐานของเฟเซอร์ (phasor) ในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ

Harmonic addition theorem รวมเป็นไซน์ตัวเดียว

\begin{gathered} a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \varphi) \\ R = \sqrt{a^2 + b^2} \\ \varphi = \operatorname{atan2}(b, a) \end{gathered}

นั่นคือ $\cos\varphi = a/R$ และ $\sin\varphi = b/R$ ค่ามากสุดของนิพจน์คือ R และน้อยสุดคือ −R

Cosine form เขียนเป็น cos

\begin{gathered} a\cos\theta + b\sin\theta = R\cos(\theta - \varphi) \\ R = \sqrt{a^2 + b^2} \\ \varphi = \operatorname{atan2}(b, a) \end{gathered}

ตัวอย่างที่ 4

เขียน $3\sin\omega t + 4\cos\omega t$ เป็นคลื่นไซน์ตัวเดียว

ดูวิธีทำ

\begin{gathered} R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \\ \varphi = \operatorname{atan2}(4, 3) = \arctan\tfrac43 \approx 53.13^\circ \end{gathered}

$3\sin\omega t + 4\cos\omega t = 5\sin(\omega t + 53.13^\circ)$ ค่ายอด 5 นำหน้า sin อยู่ 53.13° เทียบกับเฟเซอร์ $3 + j4 = 5\angle 53.13^\circ$

การแทนค่า t = tan(θ/2) (Weierstrass Substitution)

เปลี่ยนฟังก์ชันตรีโกณทุกตัวเป็นฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปรเดียว จึงอินทิเกรตด้วยเศษส่วนย่อยได้ เรียกอีกชื่อว่า tangent half-angle substitution

Weierstrass substitution แทนค่าด้วย t = tan(θ/2)

\begin{gathered} \sin\theta = \frac{2t}{1+t^2} \\ \cos\theta = \frac{1-t^2}{1+t^2} \\ \tan\theta = \frac{2t}{1-t^2} \\ d\theta = \frac{2\,dt}{1+t^2} \end{gathered}

ใช้กับปริพันธ์อย่าง $\int \frac{d\theta}{a + b\cos\theta}$ และเป็นที่มาของการแปลงไบลิเนียร์ (bilinear / Tustin) ในการออกแบบตัวกรองดิจิทัล ซึ่งมีการบิดความถี่ $\omega_a = \tfrac{2}{T}\tan\tfrac{\omega_d T}{2}$

สูตรของออยเลอร์และจำนวนเชิงซ้อน (Euler’s Formula)

สะพานเชื่อมตรีโกณมิติกับเลขชี้กำลัง วิศวกรไฟฟ้าใช้ $j = \sqrt{-1}$ แทน i เพราะ i ใช้แทนกระแสไฟฟ้า สูตรเกือบทุกตัวในหน้านี้พิสูจน์ได้ในบรรทัดเดียวด้วยสูตรนี้

Euler’s formula สูตรของออยเลอร์

\begin{gathered} e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta \\ e^{j\pi} + 1 = 0 \end{gathered}

Exponential forms รูปเลขชี้กำลังของ sin และ cos

\begin{gathered} \cos\theta = \frac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2} \\ \sin\theta = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j} \end{gathered}

De Moivre’s theorem ทฤษฎีบทของเดอมัวฟร์

(\cos\theta + j\sin\theta)^n = \cos n\theta + j\sin n\theta

Polar form รูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน

\begin{gathered} x + jy = r e^{j\theta} = r\angle\theta \\ r = \sqrt{x^2+y^2} \\ \theta = \operatorname{atan2}(y, x) \end{gathered}

Link to hyperbolic functions เชื่อมกับฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก

\begin{gathered} \cos(jx) = \cosh x \\ \sin(jx) = j\sinh x \\ \cosh^2x - \sinh^2x = 1 \end{gathered}

พิสูจน์สูตรผลบวกในบรรทัดเดียว:

e^{j(A+B)} = e^{jA}e^{jB} = (\cos A + j\sin A)(\cos B + j\sin B)

กระจายแล้วเทียบส่วนจริงได้

\cos(A+B)

เทียบส่วนจินตภาพได้

\sin(A+B)

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน (Inverse Trigonometric Functions)

ฟังก์ชันตรีโกณไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จึงต้องจำกัดช่วงก่อนหาตัวผกผัน ช่วงที่เลือกนี้เรียกว่า ค่าหลัก (principal value) เครื่องคิดเลขตอบค่าหลักเสมอ

ฟังก์ชัน	ชื่ออังกฤษ	โดเมน	เรนจ์ (ค่าหลัก)
$\arcsin x = \sin^{-1}x$	arcsine	$[-1, 1]$	$[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$
$\arccos x = \cos^{-1}x$	arccosine	$[-1, 1]$	$[0, \pi]$
$\arctan x = \tan^{-1}x$	arctangent	$\mathbb{R}$	$(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2})$
$\operatorname{arccot} x$	arccotangent	$\mathbb{R}$	$(0, \pi)$
$\operatorname{arcsec} x$	arcsecant	$\|x\| \ge 1$	$[0, \pi],\ \ne \tfrac{\pi}{2}$
$\operatorname{arccsc} x$	arccosecant	$\|x\| \ge 1$	$[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}],\ \ne 0$

ระวัง: $\sin^{-1}x$ คือ arcsin ไม่ใช่ $1/\sin x$ ซึ่งคือ csc x

Complementary identities ผลบวกเป็นมุมฉาก

\begin{gathered} \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} \\ \arctan x + \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} \end{gathered}

Reciprocal argument อาร์กิวเมนต์ส่วนกลับ

\arctan x + \arctan\frac1x = \begin{cases} \tfrac{\pi}{2} & x \gt 0 \\ -\tfrac{\pi}{2} & x \lt 0 \end{cases}

Negative arguments อาร์กิวเมนต์ติดลบ

\begin{gathered} \arcsin(-x) = -\arcsin x \\ \arctan(-x) = -\arctan x \\ \arccos(-x) = \pi - \arccos x \end{gathered}

Arctangent addition ผลบวกของ arctan

\begin{gathered} \arctan a + \arctan b = \arctan\frac{a+b}{1-ab} \\ (ab \lt 1) \end{gathered}

Compositions ฟังก์ชันประกอบ (วาดสามเหลี่ยมมุมฉากช่วยคิด)

\begin{gathered} \sin(\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2} \\ \tan(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\ \sin(\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \\ \cos(\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \end{gathered}

Two-argument arctangent (atan2) arctan สองอาร์กิวเมนต์

\operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases} \arctan\frac{y}{x} & x \gt 0 \\ \arctan\frac{y}{x} + \pi & x \lt 0,\ y \ge 0 \\ \arctan\frac{y}{x} - \pi & x \lt 0,\ y \lt 0 \\ \pm\frac{\pi}{2} & x = 0,\ y \gtrless 0 \end{cases}

มุมเฟสของ $-1 - j$ คือ $\operatorname{atan2}(-1, -1) = -135^\circ$ ไม่ใช่ $\arctan(1) = 45^\circ$ ที่เครื่องคิดเลขตอบ

ผลเฉลยทั่วไปของสมการตรีโกณ (General Solutions)

General solutions ผลเฉลยทุกค่า ( $n \in \mathbb{Z}$ )

\begin{gathered} \sin\theta = \sin\alpha \Rightarrow \theta = n\pi + (-1)^n\alpha \\ \cos\theta = \cos\alpha \Rightarrow \theta = 2n\pi \pm \alpha \\ \tan\theta = \tan\alpha \Rightarrow \theta = n\pi + \alpha \end{gathered}

ตัวอย่างที่ 5

หา θ ทั้งหมดใน $[0, 2\pi)$ ที่ทำให้ $\sin\theta = -\tfrac12$

ดูวิธีทำ

มุมอ้างอิงคือ $\arcsin\tfrac12 = \tfrac{\pi}{6}$ และ sin ติดลบในจตุภาคที่ 3 กับ 4

\begin{gathered} \theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \\ \theta = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \end{gathered}

$\theta = \tfrac{7\pi}{6}$ (210°) และ $\tfrac{11\pi}{6}$ (330°) ส่วนเครื่องคิดเลขตอบ $\arcsin(-\tfrac12) = -30^\circ$ ซึ่งเป็นมุมร่วมแขนกับ 330°

กฎของสามเหลี่ยมใด ๆ (Laws for Any Triangle)

ใช้กับสามเหลี่ยมทั่วไปที่ไม่จำเป็นต้องมีมุมฉาก ให้ด้าน a, b, c อยู่ตรงข้ามมุม A, B, C ตามลำดับ

Law of sines กฎของไซน์

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

R คือรัศมีวงกลมล้อมรอบ (circumradius)

Law of cosines กฎของโคไซน์

\begin{gathered} c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \\ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \end{gathered}

เมื่อ C = 90° จะลดเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส

Law of tangents กฎของแทนเจนต์

\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}}

Projection formula สูตรภาพฉาย

a = b\cos C + c\cos B

Area (SAS) พื้นที่จากสองด้านกับมุมระหว่าง

\text{Area} = \tfrac12 ab\sin C

Heron’s formula สูตรของเฮรอน

\begin{gathered} \text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ s = \tfrac{a+b+c}{2} \end{gathered}

Triangle identities เมื่อ $A + B + C = \pi$

\begin{gathered} \tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C \\ \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin C \end{gathered}

ตัวอย่างที่ 6

สามเหลี่ยมมี a = 7, b = 8 และมุมระหว่างสองด้าน C = 60° หาด้าน c

ดูวิธีทำ

\begin{aligned} c^2 &= 7^2 + 8^2 - 2(7)(8)\cos60^\circ \\ &= 49 + 64 - 56 = 57 \end{aligned}

$c = \sqrt{57} \approx 7.550$ หน่วย ใช้แบบเดียวกันรวมแรงหรือเฟเซอร์สองตัวที่ทำมุมกัน

อนุพันธ์ ปริพันธ์ และลิมิต (Calculus of Trigonometric Functions)

ทุกสูตรในหัวข้อนี้ใช้ได้เมื่อ x เป็นเรเดียนเท่านั้น ถ้าใช้องศาต้องคูณ $\tfrac{\pi}{180}$ เพิ่ม ดูต่อได้ในบทแคลคูลัสเบื้องต้น และวิธีอินทิเกรตทีละขั้นอยู่ในบทอินทิกรัล

Fundamental trigonometric limits ลิมิตพื้นฐาน

\begin{gathered} \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1 \\ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x} = 0 \\ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac12 \end{gathered}

Derivatives อนุพันธ์

\begin{aligned} (\sin x)' &= \cos x & (\cos x)' &= -\sin x \\ (\tan x)' &= \sec^2 x & (\cot x)' &= -\csc^2 x \\ (\sec x)' &= \sec x\tan x & (\csc x)' &= -\csc x\cot x \end{aligned}

Derivatives of inverse functions อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน

\begin{gathered} (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2} \end{gathered}

Basic integrals ปริพันธ์พื้นฐาน (ละ + C)

\begin{aligned} \int\sin x\,dx &= -\cos x \\ \int\cos x\,dx &= \sin x \\ \int\tan x\,dx &= \ln|\sec x| \\ \int\cot x\,dx &= \ln|\sin x| \\ \int\sec x\,dx &= \ln|\sec x + \tan x| \\ \int\csc x\,dx &= -\ln|\csc x + \cot x| \\ \int\sec^2 x\,dx &= \tan x \\ \int\csc^2 x\,dx &= -\cot x \end{aligned}

Integrals of squares ปริพันธ์ของกำลังสอง

\begin{gathered} \int\sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \\ \int\cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \end{gathered}

Integrals giving inverse functions ปริพันธ์ที่ได้ฟังก์ชันผกผัน

\begin{gathered} \int\frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} \\ \int\frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac1a\arctan\frac{x}{a} \end{gathered}

อนุกรมเทย์เลอร์และการประมาณมุมเล็ก (Taylor Series, Small-Angle Approximation)

Maclaurin series อนุกรมแมคลอริน

\begin{gathered} \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \\ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \end{gathered}

Series for tan and arctan อนุกรมของ tan และ arctan

\begin{gathered} \tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \cdots \\ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots\ (|x| \le 1) \end{gathered}

Small-angle approximation การประมาณมุมเล็ก

\begin{gathered} \sin\theta \approx \theta \\ \tan\theta \approx \theta \\ \cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2} \end{gathered}

ใช้ทำให้สมการลูกตุ้ม $\ddot\theta + \tfrac{g}{L}\sin\theta = 0$ เป็นเชิงเส้น และใช้วิเคราะห์ระบบรอบจุดทำงาน

มุม	θ (rad)	ผิดพลาดของ sin θ ≈ θ	ผิดพลาดของ tan θ ≈ θ	ผิดพลาดของ cos θ ≈ 1 − θ²/2
5°	0.087266	0.127%	0.254%	0.0002%
10°	0.174533	0.510%	1.017%	0.0039%
15°	0.261799	1.152%	2.295%	0.0202%
20°	0.349066	2.060%	4.095%	0.0656%
30°	0.523599	4.720%	9.310%	0.3583%

กฎง่าย ๆ: ถ้ายอมผิดได้ 1% ใช้ sin θ ≈ θ ได้ถึงราว 14° และ tan θ ≈ θ ได้ถึงราว 10°

ที่มาของอนุกรมเหล่านี้ รัศมีการลู่เข้า ขอบเขตความคลาดเคลื่อนลากรองจ์ และแล็บเลือกดีกรีเอง อยู่ที่ อนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอริน (Taylor Series)

ค่าเฉลี่ย RMS และความตั้งฉาก (Averages, RMS, Orthogonality)

สูตรกลุ่มนี้เป็นฐานของค่า RMS กำลังไฟฟ้าเฉลี่ย และอนุกรมฟูริเยร์ ทุกปริพันธ์คิดตลอดหนึ่งคาบ เรียนต่อเป็นขั้นตอนที่ ความตั้งฉากและสูตรออยเลอร์–ฟูเรียร์ และ กำลังไฟฟ้าเมื่อมีฮาร์มอนิก

Mean over a period ค่าเฉลี่ยในหนึ่งคาบ

\begin{gathered} \overline{\sin\theta} = \overline{\cos\theta} = 0 \\ \overline{\sin^2\theta} = \overline{\cos^2\theta} = \frac12 \end{gathered}

RMS of a sinusoid ค่า RMS ของคลื่นไซน์

V_{\text{rms}} = \sqrt{\overline{V_m^2\sin^2\omega t}} = \frac{V_m}{\sqrt2} \approx 0.7071\,V_m

ไฟบ้าน 230 V rms มีค่ายอดราว 325 V

Orthogonality relations ความตั้งฉากของไซน์ (m, n เป็นจำนวนเต็มบวก)

\begin{gathered} \int_0^{2\pi}\sin mx\,\sin nx\,dx = \int_0^{2\pi}\cos mx\,\cos nx\,dx \\ = \begin{cases} \pi & m = n \\ 0 & m \ne n \end{cases} \\ \int_0^{2\pi}\sin mx\,\cos nx\,dx = 0 \end{gathered}

Average AC power กำลังไฟฟ้าเฉลี่ย

\begin{gathered} v = V_m\cos\omega t,\quad i = I_m\cos(\omega t - \phi) \\ P = \overline{vi} = \frac{V_m I_m}{2}\cos\phi = V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}\cos\phi \end{gathered}

ใช้สูตรผลคูณเป็นผลบวก แล้วพจน์ที่ความถี่ 2ω เฉลี่ยได้ศูนย์ เหลือ cos φ คือตัวประกอบกำลัง (power factor)

ตารางค่า sin cos tan ทุก 0.05° ตั้งแต่ 0° ถึง 90°

ทั้งหมด 1,801 แถว คอลัมน์ซ้ายเป็นองศา ถัดมาเป็นเรเดียน แถวที่เป็นมุมพิเศษทำตัวเน้นและบอกค่าในรูป π ไว้ใต้ค่าเรเดียน ค่าทุกช่องปัดเป็นทศนิยม 6 ตำแหน่ง ส่วน tan ของมุมใกล้ 90° แสดงเลขนัยสำคัญ 7 หลัก

มุมเกิน 90° ให้หามุมอ้างอิงก่อน แล้วใส่เครื่องหมายตาม ASTC เช่น $\sin 143.13^\circ = +\sin 36.87^\circ$
csc, sec, cot ใช้ส่วนกลับของค่าในตาราง
อ่านตารางกลับหัว ได้ด้วยโคฟังก์ชัน: $\cos\theta = \sin(90^\circ - \theta)$ ค่า cos ของแถว 20° จึงเท่ากับค่า sin ของแถว 70°

ค้นจากมุม คำนวณค่าจริงของมุมใดก็ได้

หามุมจากค่า ฟังก์ชันผกผัน arcsin, arccos, arctan

แตะตัวเลขในตารางเพื่อคัดลอก · ใช้ Ctrl+F ค้นเลขมุม เช่น “37.25°” ก็ได้

ค่า sin, cos และ tan ของมุม 0° ถึง 90° ทุก 0.05° (1,801 แถว) ค่าปัดเป็นทศนิยม 6 ตำแหน่ง tan มีเลขนัยสำคัญ 7 หลัก
องศาθ (°)	เรเดียนθ (rad)	sin θ	cos θ	tan θ
0.00°	0.0000000	0.000000	1.000000	0.000000
0.05°	0.000873	0.000873	1.000000	0.000873
0.10°	0.001745	0.001745	0.999998	0.001745
0.15°	0.002618	0.002618	0.999997	0.002618
0.20°	0.003491	0.003491	0.999994	0.003491
0.25°	0.004363	0.004363	0.999990	0.004363
0.30°	0.005236	0.005236	0.999986	0.005236
0.35°	0.006109	0.006109	0.999981	0.006109
0.40°	0.006981	0.006981	0.999976	0.006981
0.45°	0.007854	0.007854	0.999969	0.007854
0.50°	0.008727	0.008727	0.999962	0.008727
0.55°	0.009599	0.009599	0.999954	0.009600
0.60°	0.010472	0.010472	0.999945	0.010472
0.65°	0.011345	0.011344	0.999936	0.011345
0.70°	0.012217	0.012217	0.999925	0.012218
0.75°	0.013090	0.013090	0.999914	0.013091
0.80°	0.013963	0.013962	0.999903	0.013964
0.85°	0.014835	0.014835	0.999890	0.014836
0.90°	0.015708	0.015707	0.999877	0.015709
0.95°	0.016581	0.016580	0.999863	0.016582
1.00°	0.017453	0.017452	0.999848	0.017455
1.05°	0.018326	0.018325	0.999832	0.018328
1.10°	0.019199	0.019197	0.999816	0.019201
1.15°	0.020071	0.020070	0.999799	0.020074
1.20°	0.020944	0.020942	0.999781	0.020947
1.25°	0.021817	0.021815	0.999762	0.021820
1.30°	0.022689	0.022687	0.999743	0.022693
1.35°	0.023562	0.023560	0.999722	0.023566
1.40°	0.024435	0.024432	0.999701	0.024439
1.45°	0.025307	0.025305	0.999680	0.025313
1.50°	0.026180	0.026177	0.999657	0.026186
1.55°	0.027053	0.027049	0.999634	0.027059
1.60°	0.027925	0.027922	0.999610	0.027933
1.65°	0.028798	0.028794	0.999585	0.028806
1.70°	0.029671	0.029666	0.999560	0.029679
1.75°	0.030543	0.030539	0.999534	0.030553
1.80°	0.031416	0.031411	0.999507	0.031426
1.85°	0.032289	0.032283	0.999479	0.032300
1.90°	0.033161	0.033155	0.999450	0.033173
1.95°	0.034034	0.034027	0.999421	0.034047
2.00°	0.034907	0.034899	0.999391	0.034921
2.05°	0.035779	0.035772	0.999360	0.035795
2.10°	0.036652	0.036644	0.999328	0.036668
2.15°	0.037525	0.037516	0.999296	0.037542
2.20°	0.038397	0.038388	0.999263	0.038416
2.25°	0.039270	0.039260	0.999229	0.039290
2.30°	0.040143	0.040132	0.999194	0.040164
2.35°	0.041015	0.041004	0.999159	0.041038
2.40°	0.041888	0.041876	0.999123	0.041912
2.45°	0.042761	0.042748	0.999086	0.042787
2.50°	0.043633	0.043619	0.999048	0.043661
2.55°	0.044506	0.044491	0.999010	0.044535
2.60°	0.045379	0.045363	0.998971	0.045410
2.65°	0.046251	0.046235	0.998931	0.046284
2.70°	0.047124	0.047106	0.998890	0.047159
2.75°	0.047997	0.047978	0.998848	0.048033
2.80°	0.048869	0.048850	0.998806	0.048908
2.85°	0.049742	0.049721	0.998763	0.049783
2.90°	0.050615	0.050593	0.998719	0.050658
2.95°	0.051487	0.051464	0.998675	0.051533
3.00°	0.052360	0.052336	0.998630	0.052408
3.05°	0.053233	0.053207	0.998583	0.053283
3.10°	0.054105	0.054079	0.998537	0.054158
3.15°	0.054978	0.054950	0.998489	0.055033
3.20°	0.055851	0.055822	0.998441	0.055909
3.25°	0.056723	0.056693	0.998392	0.056784
3.30°	0.057596	0.057564	0.998342	0.057660
3.35°	0.058469	0.058435	0.998291	0.058535
3.40°	0.059341	0.059306	0.998240	0.059411
3.45°	0.060214	0.060177	0.998188	0.060287
3.50°	0.061087	0.061049	0.998135	0.061163
3.55°	0.061959	0.061920	0.998081	0.062039
3.60°	0.062832	0.062791	0.998027	0.062915
3.65°	0.063705	0.063661	0.997972	0.063791
3.70°	0.064577	0.064532	0.997916	0.064667
3.75°	0.065450	0.065403	0.997859	0.065543
3.80°	0.066323	0.066274	0.997801	0.066420
3.85°	0.067195	0.067145	0.997743	0.067296
3.90°	0.068068	0.068015	0.997684	0.068173
3.95°	0.068941	0.068886	0.997625	0.069050
4.00°	0.069813	0.069756	0.997564	0.069927
4.05°	0.070686	0.070627	0.997503	0.070804
4.10°	0.071558	0.071497	0.997441	0.071681
4.15°	0.072431	0.072368	0.997378	0.072558
4.20°	0.073304	0.073238	0.997314	0.073435
4.25°	0.074176	0.074108	0.997250	0.074313
4.30°	0.075049	0.074979	0.997185	0.075190
4.35°	0.075922	0.075849	0.997119	0.076068
4.40°	0.076794	0.076719	0.997053	0.076946
4.45°	0.077667	0.077589	0.996985	0.077824
4.50°	0.078540	0.078459	0.996917	0.078702
4.55°	0.079412	0.079329	0.996848	0.079580
4.60°	0.080285	0.080199	0.996779	0.080458
4.65°	0.081158	0.081069	0.996709	0.081336
4.70°	0.082030	0.081939	0.996637	0.082215
4.75°	0.082903	0.082808	0.996566	0.083094
4.80°	0.083776	0.083678	0.996493	0.083972
4.85°	0.084648	0.084547	0.996419	0.084851
4.90°	0.085521	0.085417	0.996345	0.085730
4.95°	0.086394	0.086286	0.996270	0.086609
5.00°	0.087266	0.087156	0.996195	0.087489
5.05°	0.088139	0.088025	0.996118	0.088368
5.10°	0.089012	0.088894	0.996041	0.089248
5.15°	0.089884	0.089763	0.995963	0.090127
5.20°	0.090757	0.090633	0.995884	0.091007
5.25°	0.091630	0.091502	0.995805	0.091887
5.30°	0.092502	0.092371	0.995725	0.092767
5.35°	0.093375	0.093239	0.995644	0.093647
5.40°	0.094248	0.094108	0.995562	0.094528
5.45°	0.095120	0.094977	0.995479	0.095408
5.50°	0.095993	0.095846	0.995396	0.096289
5.55°	0.096866	0.096714	0.995312	0.097170
5.60°	0.097738	0.097583	0.995227	0.098051
5.65°	0.098611	0.098451	0.995142	0.098932
5.70°	0.099484	0.099320	0.995056	0.099813
5.75°	0.100356	0.100188	0.994969	0.100695
5.80°	0.101229	0.101056	0.994881	0.101576
5.85°	0.102102	0.101924	0.994792	0.102458
5.90°	0.102974	0.102793	0.994703	0.103340
5.95°	0.103847	0.103661	0.994613	0.104222
6.00°	0.104720	0.104528	0.994522	0.105104
6.05°	0.105592	0.105396	0.994430	0.105987
6.10°	0.106465	0.106264	0.994338	0.106869
6.15°	0.107338	0.107132	0.994245	0.107752
6.20°	0.108210	0.107999	0.994151	0.108635
6.25°	0.109083	0.108867	0.994056	0.109518
6.30°	0.109956	0.109734	0.993961	0.110401
6.35°	0.110828	0.110602	0.993865	0.111284
6.40°	0.111701	0.111469	0.993768	0.112168
6.45°	0.112574	0.112336	0.993670	0.113052
6.50°	0.113446	0.113203	0.993572	0.113936
6.55°	0.114319	0.114070	0.993473	0.114820
6.60°	0.115192	0.114937	0.993373	0.115704
6.65°	0.116064	0.115804	0.993272	0.116588
6.70°	0.116937	0.116671	0.993171	0.117473
6.75°	0.117810	0.117537	0.993068	0.118358
6.80°	0.118682	0.118404	0.992966	0.119243
6.85°	0.119555	0.119270	0.992862	0.120128
6.90°	0.120428	0.120137	0.992757	0.121013
6.95°	0.121300	0.121003	0.992652	0.121899
7.00°	0.122173	0.121869	0.992546	0.122785
7.05°	0.123046	0.122735	0.992439	0.123670
7.10°	0.123918	0.123601	0.992332	0.124557
7.15°	0.124791	0.124467	0.992224	0.125443
7.20°	0.125664	0.125333	0.992115	0.126329
7.25°	0.126536	0.126199	0.992005	0.127216
7.30°	0.127409	0.127065	0.991894	0.128103
7.35°	0.128282	0.127930	0.991783	0.128990
7.40°	0.129154	0.128796	0.991671	0.129877
7.45°	0.130027	0.129661	0.991558	0.130765
7.50°	0.130900	0.130526	0.991445	0.131652
7.55°	0.131772	0.131391	0.991331	0.132540
7.60°	0.132645	0.132256	0.991216	0.133428
7.65°	0.133518	0.133121	0.991100	0.134317
7.70°	0.134390	0.133986	0.990983	0.135205
7.75°	0.135263	0.134851	0.990866	0.136094
7.80°	0.136136	0.135716	0.990748	0.136983
7.85°	0.137008	0.136580	0.990629	0.137872
7.90°	0.137881	0.137445	0.990509	0.138761
7.95°	0.138754	0.138309	0.990389	0.139651
8.00°	0.139626	0.139173	0.990268	0.140541
8.05°	0.140499	0.140037	0.990146	0.141431
8.10°	0.141372	0.140901	0.990024	0.142321
8.15°	0.142244	0.141765	0.989900	0.143212
8.20°	0.143117	0.142629	0.989776	0.144102
8.25°	0.143990	0.143493	0.989651	0.144993
8.30°	0.144862	0.144356	0.989526	0.145884
8.35°	0.145735	0.145220	0.989399	0.146776
8.40°	0.146608	0.146083	0.989272	0.147667
8.45°	0.147480	0.146946	0.989144	0.148559
8.50°	0.148353	0.147809	0.989016	0.149451
8.55°	0.149226	0.148672	0.988886	0.150343
8.60°	0.150098	0.149535	0.988756	0.151236
8.65°	0.150971	0.150398	0.988626	0.152129
8.70°	0.151844	0.151261	0.988494	0.153022
8.75°	0.152716	0.152123	0.988362	0.153915
8.80°	0.153589	0.152986	0.988228	0.154808
8.85°	0.154462	0.153848	0.988094	0.155702
8.90°	0.155334	0.154710	0.987960	0.156596
8.95°	0.156207	0.155572	0.987824	0.157490
9.00°	0.157080	0.156434	0.987688	0.158384
9.05°	0.157952	0.157296	0.987551	0.159279
9.10°	0.158825	0.158158	0.987414	0.160174
9.15°	0.159698	0.159020	0.987275	0.161069
9.20°	0.160570	0.159881	0.987136	0.161965
9.25°	0.161443	0.160743	0.986996	0.162860
9.30°	0.162316	0.161604	0.986856	0.163756
9.35°	0.163188	0.162465	0.986714	0.164652
9.40°	0.164061	0.163326	0.986572	0.165549
9.45°	0.164934	0.164187	0.986429	0.166446
9.50°	0.165806	0.165048	0.986286	0.167343
9.55°	0.166679	0.165908	0.986141	0.168240
9.60°	0.167552	0.166769	0.985996	0.169137
9.65°	0.168424	0.167629	0.985850	0.170035
9.70°	0.169297	0.168489	0.985703	0.170933
9.75°	0.170170	0.169350	0.985556	0.171831
9.80°	0.171042	0.170209	0.985408	0.172730
9.85°	0.171915	0.171069	0.985259	0.173629
9.90°	0.172788	0.171929	0.985109	0.174528
9.95°	0.173660	0.172789	0.984959	0.175427
10.00°	0.174533	0.173648	0.984808	0.176327
10.05°	0.175406	0.174508	0.984656	0.177227
10.10°	0.176278	0.175367	0.984503	0.178127
10.15°	0.177151	0.176226	0.984350	0.179028
10.20°	0.178024	0.177085	0.984196	0.179928
10.25°	0.178896	0.177944	0.984041	0.180829
10.30°	0.179769	0.178802	0.983885	0.181731
10.35°	0.180642	0.179661	0.983729	0.182632
10.40°	0.181514	0.180519	0.983571	0.183534
10.45°	0.182387	0.181377	0.983414	0.184437
10.50°	0.183260	0.182236	0.983255	0.185339
10.55°	0.184132	0.183094	0.983096	0.186242
10.60°	0.185005	0.183951	0.982935	0.187145
10.65°	0.185878	0.184809	0.982774	0.188048
10.70°	0.186750	0.185667	0.982613	0.188952
10.75°	0.187623	0.186524	0.982450	0.189856
10.80°	0.188496	0.187381	0.982287	0.190760
10.85°	0.189368	0.188238	0.982123	0.191665
10.90°	0.190241	0.189095	0.981959	0.192570
10.95°	0.191114	0.189952	0.981793	0.193475
11.00°	0.191986	0.190809	0.981627	0.194380
11.05°	0.192859	0.191666	0.981460	0.195286
11.10°	0.193732	0.192522	0.981293	0.196192
11.15°	0.194604	0.193378	0.981124	0.197099
11.20°	0.195477	0.194234	0.980955	0.198005
11.25°	0.196350	0.195090	0.980785	0.198912
11.30°	0.197222	0.195946	0.980615	0.199820
11.35°	0.198095	0.196802	0.980443	0.200727
11.40°	0.198968	0.197657	0.980271	0.201635
11.45°	0.199840	0.198513	0.980098	0.202544
11.50°	0.200713	0.199368	0.979925	0.203452
11.55°	0.201586	0.200223	0.979750	0.204361
11.60°	0.202458	0.201078	0.979575	0.205271
11.65°	0.203331	0.201933	0.979399	0.206180
11.70°	0.204204	0.202787	0.979223	0.207090
11.75°	0.205076	0.203642	0.979045	0.208000
11.80°	0.205949	0.204496	0.978867	0.208911
11.85°	0.206822	0.205350	0.978689	0.209822
11.90°	0.207694	0.206204	0.978509	0.210733
11.95°	0.208567	0.207058	0.978329	0.211645
12.00°	0.209440	0.207912	0.978148	0.212557
12.05°	0.210312	0.208765	0.977966	0.213469
12.10°	0.211185	0.209619	0.977783	0.214381
12.15°	0.212058	0.210472	0.977600	0.215294
12.20°	0.212930	0.211325	0.977416	0.216208
12.25°	0.213803	0.212178	0.977231	0.217121
12.30°	0.214675	0.213030	0.977046	0.218035
12.35°	0.215548	0.213883	0.976859	0.218950
12.40°	0.216421	0.214735	0.976672	0.219864
12.45°	0.217293	0.215588	0.976485	0.220779
12.50°	0.218166	0.216440	0.976296	0.221695
12.55°	0.219039	0.217292	0.976107	0.222610
12.60°	0.219911	0.218143	0.975917	0.223526
12.65°	0.220784	0.218995	0.975726	0.224443
12.70°	0.221657	0.219846	0.975535	0.225360
12.75°	0.222529	0.220697	0.975342	0.226277
12.80°	0.223402	0.221548	0.975149	0.227194
12.85°	0.224275	0.222399	0.974956	0.228112
12.90°	0.225147	0.223250	0.974761	0.229031
12.95°	0.226020	0.224101	0.974566	0.229949
13.00°	0.226893	0.224951	0.974370	0.230868
13.05°	0.227765	0.225801	0.974173	0.231788
13.10°	0.228638	0.226651	0.973976	0.232707
13.15°	0.229511	0.227501	0.973778	0.233627
13.20°	0.230383	0.228351	0.973579	0.234548
13.25°	0.231256	0.229200	0.973379	0.235469
13.30°	0.232129	0.230050	0.973179	0.236390
13.35°	0.233001	0.230899	0.972978	0.237312
13.40°	0.233874	0.231748	0.972776	0.238234
13.45°	0.234747	0.232597	0.972573	0.239156
13.50°	0.235619	0.233445	0.972370	0.240079
13.55°	0.236492	0.234294	0.972166	0.241002
13.60°	0.237365	0.235142	0.971961	0.241925
13.65°	0.238237	0.235990	0.971755	0.242849
13.70°	0.239110	0.236838	0.971549	0.243774
13.75°	0.239983	0.237686	0.971342	0.244698
13.80°	0.240855	0.238533	0.971134	0.245624
13.85°	0.241728	0.239381	0.970926	0.246549
13.90°	0.242601	0.240228	0.970716	0.247475
13.95°	0.243473	0.241075	0.970506	0.248401
14.00°	0.244346	0.241922	0.970296	0.249328
14.05°	0.245219	0.242769	0.970084	0.250255
14.10°	0.246091	0.243615	0.969872	0.251183
14.15°	0.246964	0.244461	0.969659	0.252111
14.20°	0.247837	0.245307	0.969445	0.253039
14.25°	0.248709	0.246153	0.969231	0.253968
14.30°	0.249582	0.246999	0.969016	0.254897
14.35°	0.250455	0.247845	0.968800	0.255826
14.40°	0.251327	0.248690	0.968583	0.256756
14.45°	0.252200	0.249535	0.968366	0.257687
14.50°	0.253073	0.250380	0.968148	0.258618
14.55°	0.253945	0.251225	0.967929	0.259549
14.60°	0.254818	0.252069	0.967709	0.260480
14.65°	0.255691	0.252914	0.967489	0.261413
14.70°	0.256563	0.253758	0.967268	0.262345
14.75°	0.257436	0.254602	0.967046	0.263278
14.80°	0.258309	0.255446	0.966823	0.264211
14.85°	0.259181	0.256289	0.966600	0.265145
14.90°	0.260054	0.257133	0.966376	0.266079
14.95°	0.260927	0.257976	0.966151	0.267014
15.00°	0.261799π/12	0.258819	0.965926	0.267949
15.05°	0.262672	0.259662	0.965700	0.268885
15.10°	0.263545	0.260505	0.965473	0.269821
15.15°	0.264417	0.261347	0.965245	0.270757
15.20°	0.265290	0.262189	0.965016	0.271694
15.25°	0.266163	0.263031	0.964787	0.272631
15.30°	0.267035	0.263873	0.964557	0.273569
15.35°	0.267908	0.264715	0.964327	0.274507
15.40°	0.268781	0.265556	0.964095	0.275446
15.45°	0.269653	0.266397	0.963863	0.276385
15.50°	0.270526	0.267238	0.963630	0.277325
15.55°	0.271399	0.268079	0.963397	0.278265
15.60°	0.272271	0.268920	0.963163	0.279205
15.65°	0.273144	0.269760	0.962928	0.280146
15.70°	0.274017	0.270600	0.962692	0.281087
15.75°	0.274889	0.271440	0.962455	0.282029
15.80°	0.275762	0.272280	0.962218	0.282971
15.85°	0.276635	0.273120	0.961980	0.283914
15.90°	0.277507	0.273959	0.961741	0.284857
15.95°	0.278380	0.274798	0.961502	0.285801
16.00°	0.279253	0.275637	0.961262	0.286745
16.05°	0.280125	0.276476	0.961021	0.287690
16.10°	0.280998	0.277315	0.960779	0.288635
16.15°	0.281871	0.278153	0.960537	0.289581
16.20°	0.282743	0.278991	0.960294	0.290527
16.25°	0.283616	0.279829	0.960050	0.291473
16.30°	0.284489	0.280667	0.959805	0.292420
16.35°	0.285361	0.281504	0.959560	0.293368
16.40°	0.286234	0.282341	0.959314	0.294316
16.45°	0.287107	0.283179	0.959067	0.295265
16.50°	0.287979	0.284015	0.958820	0.296213
16.55°	0.288852	0.284852	0.958572	0.297163
16.60°	0.289725	0.285688	0.958323	0.298113
16.65°	0.290597	0.286525	0.958073	0.299063
16.70°	0.291470	0.287361	0.957822	0.300014
16.75°	0.292343	0.288196	0.957571	0.300966
16.80°	0.293215	0.289032	0.957319	0.301918
16.85°	0.294088	0.289867	0.957067	0.302870
16.90°	0.294961	0.290702	0.956814	0.303823
16.95°	0.295833	0.291537	0.956560	0.304777
17.00°	0.296706	0.292372	0.956305	0.305731
17.05°	0.297579	0.293206	0.956049	0.306685
17.10°	0.298451	0.294040	0.955793	0.307640
17.15°	0.299324	0.294874	0.955536	0.308596
17.20°	0.300197	0.295708	0.955278	0.309552
17.25°	0.301069	0.296542	0.955020	0.310508
17.30°	0.301942	0.297375	0.954761	0.311465
17.35°	0.302815	0.298208	0.954501	0.312423
17.40°	0.303687	0.299041	0.954240	0.313381
17.45°	0.304560	0.299873	0.953979	0.314340
17.50°	0.305433	0.300706	0.953717	0.315299
17.55°	0.306305	0.301538	0.953454	0.316258
17.60°	0.307178	0.302370	0.953191	0.317219
17.65°	0.308051	0.303202	0.952926	0.318179
17.70°	0.308923	0.304033	0.952661	0.319141
17.75°	0.309796	0.304864	0.952396	0.320103
17.80°	0.310669	0.305695	0.952129	0.321065
17.85°	0.311541	0.306526	0.951862	0.322028
17.90°	0.312414	0.307357	0.951594	0.322991
17.95°	0.313287	0.308187	0.951326	0.323955
18.00°	0.314159π/10	0.309017	0.951057	0.324920
18.05°	0.315032	0.309847	0.950786	0.325885
18.10°	0.315905	0.310676	0.950516	0.326850
18.15°	0.316777	0.311506	0.950244	0.327817
18.20°	0.317650	0.312335	0.949972	0.328783
18.25°	0.318523	0.313164	0.949699	0.329751
18.30°	0.319395	0.313992	0.949425	0.330718
18.35°	0.320268	0.314821	0.949151	0.331687
18.40°	0.321141	0.315649	0.948876	0.332656
18.45°	0.322013	0.316477	0.948600	0.333625
18.50°	0.322886	0.317305	0.948324	0.334595
18.55°	0.323759	0.318132	0.948046	0.335566
18.60°	0.324631	0.318959	0.947768	0.336537
18.65°	0.325504	0.319786	0.947490	0.337509
18.70°	0.326377	0.320613	0.947210	0.338481
18.75°	0.327249	0.321439	0.946930	0.339454
18.80°	0.328122	0.322266	0.946649	0.340428
18.85°	0.328995	0.323092	0.946368	0.341402
18.90°	0.329867	0.323917	0.946085	0.342377
18.95°	0.330740	0.324743	0.945802	0.343352
19.00°	0.331613	0.325568	0.945519	0.344328
19.05°	0.332485	0.326393	0.945234	0.345304
19.10°	0.333358	0.327218	0.944949	0.346281
19.15°	0.334231	0.328042	0.944663	0.347259
19.20°	0.335103	0.328867	0.944376	0.348237
19.25°	0.335976	0.329691	0.944089	0.349216
19.30°	0.336849	0.330514	0.943801	0.350195
19.35°	0.337721	0.331338	0.943512	0.351175
19.40°	0.338594	0.332161	0.943223	0.352156
19.45°	0.339467	0.332984	0.942932	0.353137
19.50°	0.340339	0.333807	0.942641	0.354119
19.55°	0.341212	0.334629	0.942350	0.355101
19.60°	0.342085	0.335452	0.942057	0.356084
19.65°	0.342957	0.336274	0.941764	0.357068
19.70°	0.343830	0.337095	0.941471	0.358052
19.75°	0.344703	0.337917	0.941176	0.359037
19.80°	0.345575	0.338738	0.940881	0.360022
19.85°	0.346448	0.339559	0.940585	0.361008
19.90°	0.347321	0.340380	0.940288	0.361995
19.95°	0.348193	0.341200	0.939991	0.362982
20.00°	0.349066	0.342020	0.939693	0.363970
20.05°	0.349939	0.342840	0.939394	0.364959
20.10°	0.350811	0.343660	0.939094	0.365948
20.15°	0.351684	0.344479	0.938794	0.366938
20.20°	0.352557	0.345298	0.938493	0.367928
20.25°	0.353429	0.346117	0.938191	0.368919
20.30°	0.354302	0.346936	0.937889	0.369911
20.35°	0.355175	0.347754	0.937586	0.370904
20.40°	0.356047	0.348572	0.937282	0.371897
20.45°	0.356920	0.349390	0.936977	0.372890
20.50°	0.357792	0.350207	0.936672	0.373885
20.55°	0.358665	0.351025	0.936366	0.374880
20.60°	0.359538	0.351842	0.936060	0.375875
20.65°	0.360410	0.352658	0.935752	0.376872
20.70°	0.361283	0.353475	0.935444	0.377869
20.75°	0.362156	0.354291	0.935135	0.378866
20.80°	0.363028	0.355107	0.934826	0.379864
20.85°	0.363901	0.355923	0.934515	0.380863
20.90°	0.364774	0.356738	0.934204	0.381863
20.95°	0.365646	0.357553	0.933893	0.382863
21.00°	0.366519	0.358368	0.933580	0.383864
21.05°	0.367392	0.359183	0.933267	0.384866
21.10°	0.368264	0.359997	0.932954	0.385868
21.15°	0.369137	0.360811	0.932639	0.386871
21.20°	0.370010	0.361625	0.932324	0.387874
21.25°	0.370882	0.362438	0.932008	0.388879
21.30°	0.371755	0.363251	0.931691	0.389884
21.35°	0.372628	0.364064	0.931374	0.390889
21.40°	0.373500	0.364877	0.931056	0.391896
21.45°	0.374373	0.365689	0.930737	0.392903
21.50°	0.375246	0.366501	0.930418	0.393910
21.55°	0.376118	0.367313	0.930097	0.394919
21.60°	0.376991	0.368125	0.929776	0.395928
21.65°	0.377864	0.368936	0.929455	0.396938
21.70°	0.378736	0.369747	0.929133	0.397948
21.75°	0.379609	0.370557	0.928810	0.398960
21.80°	0.380482	0.371368	0.928486	0.399971
21.85°	0.381354	0.372178	0.928161	0.400984
21.90°	0.382227	0.372988	0.927836	0.401997
21.95°	0.383100	0.373797	0.927510	0.403011
22.00°	0.383972	0.374607	0.927184	0.404026
22.05°	0.384845	0.375416	0.926857	0.405042
22.10°	0.385718	0.376224	0.926529	0.406058
22.15°	0.386590	0.377033	0.926200	0.407075
22.20°	0.387463	0.377841	0.925871	0.408092
22.25°	0.388336	0.378649	0.925541	0.409111
22.30°	0.389208	0.379456	0.925210	0.410130
22.35°	0.390081	0.380263	0.924878	0.411150
22.40°	0.390954	0.381070	0.924546	0.412170
22.45°	0.391826	0.381877	0.924213	0.413192
22.50°	0.392699π/8	0.382683	0.923880	0.414214
22.55°	0.393572	0.383490	0.923545	0.415236
22.60°	0.394444	0.384295	0.923210	0.416260
22.65°	0.395317	0.385101	0.922875	0.417284
22.70°	0.396190	0.385906	0.922538	0.418309
22.75°	0.397062	0.386711	0.922201	0.419335
22.80°	0.397935	0.387516	0.921863	0.420361
22.85°	0.398808	0.388320	0.921525	0.421389
22.90°	0.399680	0.389124	0.921185	0.422417
22.95°	0.400553	0.389928	0.920845	0.423445
23.00°	0.401426	0.390731	0.920505	0.424475
23.05°	0.402298	0.391534	0.920164	0.425505
23.10°	0.403171	0.392337	0.919821	0.426536
23.15°	0.404044	0.393140	0.919479	0.427568
23.20°	0.404916	0.393942	0.919135	0.428601
23.25°	0.405789	0.394744	0.918791	0.429634
23.30°	0.406662	0.395546	0.918446	0.430668
23.35°	0.407534	0.396347	0.918101	0.431703
23.40°	0.408407	0.397148	0.917755	0.432739
23.45°	0.409280	0.397949	0.917408	0.433775
23.50°	0.410152	0.398749	0.917060	0.434812
23.55°	0.411025	0.399549	0.916712	0.435850
23.60°	0.411898	0.400349	0.916363	0.436889
23.65°	0.412770	0.401149	0.916013	0.437929
23.70°	0.413643	0.401948	0.915663	0.438969
23.75°	0.414516	0.402747	0.915311	0.440011
23.80°	0.415388	0.403545	0.914960	0.441053
23.85°	0.416261	0.404344	0.914607	0.442095
23.90°	0.417134	0.405142	0.914254	0.443139
23.95°	0.418006	0.405939	0.913900	0.444183
24.00°	0.418879	0.406737	0.913545	0.445229
24.05°	0.419752	0.407534	0.913190	0.446275
24.10°	0.420624	0.408330	0.912834	0.447322
24.15°	0.421497	0.409127	0.912477	0.448369
24.20°	0.422370	0.409923	0.912120	0.449418
24.25°	0.423242	0.410719	0.911762	0.450467
24.30°	0.424115	0.411514	0.911403	0.451517
24.35°	0.424988	0.412310	0.911044	0.452568
24.40°	0.425860	0.413104	0.910684	0.453620
24.45°	0.426733	0.413899	0.910323	0.454673
24.50°	0.427606	0.414693	0.909961	0.455726
24.55°	0.428478	0.415487	0.909599	0.456781
24.60°	0.429351	0.416281	0.909236	0.457836
24.65°	0.430224	0.417074	0.908872	0.458892
24.70°	0.431096	0.417867	0.908508	0.459949
24.75°	0.431969	0.418660	0.908143	0.461006
24.80°	0.432842	0.419452	0.907777	0.462065
24.85°	0.433714	0.420244	0.907411	0.463124
24.90°	0.434587	0.421036	0.907044	0.464185
24.95°	0.435460	0.421827	0.906676	0.465246
25.00°	0.436332	0.422618	0.906308	0.466308
25.05°	0.437205	0.423409	0.905939	0.467371
25.10°	0.438078	0.424199	0.905569	0.468434
25.15°	0.438950	0.424990	0.905198	0.469499
25.20°	0.439823	0.425779	0.904827	0.470564
25.25°	0.440696	0.426569	0.904455	0.471631
25.30°	0.441568	0.427358	0.904083	0.472698
25.35°	0.442441	0.428147	0.903709	0.473766
25.40°	0.443314	0.428935	0.903335	0.474835
25.45°	0.444186	0.429723	0.902961	0.475905
25.50°	0.445059	0.430511	0.902585	0.476976
25.55°	0.445932	0.431299	0.902209	0.478047
25.60°	0.446804	0.432086	0.901833	0.479120
25.65°	0.447677	0.432873	0.901455	0.480193
25.70°	0.448550	0.433659	0.901077	0.481267
25.75°	0.449422	0.434445	0.900698	0.482343
25.80°	0.450295	0.435231	0.900319	0.483419
25.85°	0.451168	0.436017	0.899939	0.484496
25.90°	0.452040	0.436802	0.899558	0.485574
25.95°	0.452913	0.437587	0.899176	0.486653
26.00°	0.453786	0.438371	0.898794	0.487733
26.05°	0.454658	0.439155	0.898411	0.488813
26.10°	0.455531	0.439939	0.898028	0.489895
26.15°	0.456404	0.440723	0.897643	0.490978
26.20°	0.457276	0.441506	0.897258	0.492061
26.25°	0.458149	0.442289	0.896873	0.493145
26.30°	0.459022	0.443071	0.896486	0.494231
26.35°	0.459894	0.443853	0.896099	0.495317
26.40°	0.460767	0.444635	0.895712	0.496404
26.45°	0.461640	0.445417	0.895323	0.497492
26.50°	0.462512	0.446198	0.894934	0.498582
26.55°	0.463385	0.446979	0.894545	0.499672
26.60°	0.464258	0.447759	0.894154	0.500763
26.65°	0.465130	0.448539	0.893763	0.501855
26.70°	0.466003	0.449319	0.893371	0.502948
26.75°	0.466876	0.450098	0.892979	0.504041
26.80°	0.467748	0.450878	0.892586	0.505136
26.85°	0.468621	0.451656	0.892192	0.506232
26.90°	0.469494	0.452435	0.891798	0.507329
26.95°	0.470366	0.453213	0.891402	0.508427
27.00°	0.471239	0.453990	0.891007	0.509525
27.05°	0.472112	0.454768	0.890610	0.510625
27.10°	0.472984	0.455545	0.890213	0.511726
27.15°	0.473857	0.456322	0.889815	0.512828
27.20°	0.474730	0.457098	0.889416	0.513930
27.25°	0.475602	0.457874	0.889017	0.515034
27.30°	0.476475	0.458650	0.888617	0.516138
27.35°	0.477348	0.459425	0.888217	0.517244
27.40°	0.478220	0.460200	0.887815	0.518351
27.45°	0.479093	0.460974	0.887413	0.519458
27.50°	0.479966	0.461749	0.887011	0.520567
27.55°	0.480838	0.462523	0.886608	0.521677
27.60°	0.481711	0.463296	0.886204	0.522787
27.65°	0.482584	0.464069	0.885799	0.523899
27.70°	0.483456	0.464842	0.885394	0.525012
27.75°	0.484329	0.465615	0.884988	0.526125
27.80°	0.485202	0.466387	0.884581	0.527240
27.85°	0.486074	0.467158	0.884174	0.528356
27.90°	0.486947	0.467930	0.883766	0.529473
27.95°	0.487820	0.468701	0.883357	0.530591
28.00°	0.488692	0.469472	0.882948	0.531709
28.05°	0.489565	0.470242	0.882538	0.532829
28.10°	0.490438	0.471012	0.882127	0.533950
28.15°	0.491310	0.471782	0.881715	0.535072
28.20°	0.492183	0.472551	0.881303	0.536195
28.25°	0.493056	0.473320	0.880891	0.537319
28.30°	0.493928	0.474088	0.880477	0.538445
28.35°	0.494801	0.474856	0.880063	0.539571
28.40°	0.495674	0.475624	0.879649	0.540698
28.45°	0.496546	0.476392	0.879233	0.541826
28.50°	0.497419	0.477159	0.878817	0.542956
28.55°	0.498292	0.477925	0.878400	0.544086
28.60°	0.499164	0.478692	0.877983	0.545218
28.65°	0.500037	0.479458	0.877565	0.546350
28.70°	0.500909	0.480223	0.877146	0.547484
28.75°	0.501782	0.480989	0.876727	0.548619
28.80°	0.502655	0.481754	0.876307	0.549755
28.85°	0.503527	0.482518	0.875886	0.550892
28.90°	0.504400	0.483282	0.875465	0.552030
28.95°	0.505273	0.484046	0.875042	0.553169
29.00°	0.506145	0.484810	0.874620	0.554309
29.05°	0.507018	0.485573	0.874196	0.555450
29.10°	0.507891	0.486335	0.873772	0.556593
29.15°	0.508763	0.487098	0.873347	0.557736
29.20°	0.509636	0.487860	0.872922	0.558881
29.25°	0.510509	0.488621	0.872496	0.560027
29.30°	0.511381	0.489382	0.872069	0.561174
29.35°	0.512254	0.490143	0.871642	0.562322
29.40°	0.513127	0.490904	0.871214	0.563471
29.45°	0.513999	0.491664	0.870785	0.564621
29.50°	0.514872	0.492424	0.870356	0.565773
29.55°	0.515745	0.493183	0.869926	0.566925
29.60°	0.516617	0.493942	0.869495	0.568079
29.65°	0.517490	0.494700	0.869064	0.569234
29.70°	0.518363	0.495459	0.868632	0.570390
29.75°	0.519235	0.496217	0.868199	0.571547
29.80°	0.520108	0.496974	0.867765	0.572705
29.85°	0.520981	0.497731	0.867331	0.573865
29.90°	0.521853	0.498488	0.866897	0.575026
29.95°	0.522726	0.499244	0.866461	0.576187
30.00°	0.523599π/6	0.500000	0.866025	0.577350
30.05°	0.524471	0.500756	0.865589	0.578514
30.10°	0.525344	0.501511	0.865151	0.579680
30.15°	0.526217	0.502266	0.864713	0.580846
30.20°	0.527089	0.503020	0.864275	0.582014
30.25°	0.527962	0.503774	0.863836	0.583183
30.30°	0.528835	0.504528	0.863396	0.584353
30.35°	0.529707	0.505281	0.862955	0.585524
30.40°	0.530580	0.506034	0.862514	0.586697
30.45°	0.531453	0.506786	0.862072	0.587870
30.50°	0.532325	0.507538	0.861629	0.589045
30.55°	0.533198	0.508290	0.861186	0.590221
30.60°	0.534071	0.509041	0.860742	0.591398
30.65°	0.534943	0.509792	0.860297	0.592577
30.70°	0.535816	0.510543	0.859852	0.593757
30.75°	0.536689	0.511293	0.859406	0.594937
30.80°	0.537561	0.512043	0.858960	0.596120
30.85°	0.538434	0.512792	0.858513	0.597303
30.90°	0.539307	0.513541	0.858065	0.598488
30.95°	0.540179	0.514290	0.857616	0.599674
31.00°	0.541052	0.515038	0.857167	0.600861
31.05°	0.541925	0.515786	0.856718	0.602049
31.10°	0.542797	0.516533	0.856267	0.603239
31.15°	0.543670	0.517280	0.855816	0.604429
31.20°	0.544543	0.518027	0.855364	0.605622
31.25°	0.545415	0.518773	0.854912	0.606815
31.30°	0.546288	0.519519	0.854459	0.608010
31.35°	0.547161	0.520265	0.854005	0.609205
31.40°	0.548033	0.521010	0.853551	0.610403
31.45°	0.548906	0.521754	0.853096	0.611601
31.50°	0.549779	0.522499	0.852640	0.612801
31.55°	0.550651	0.523242	0.852184	0.614002
31.60°	0.551524	0.523986	0.851727	0.615204
31.65°	0.552397	0.524729	0.851269	0.616408
31.70°	0.553269	0.525472	0.850811	0.617613
31.75°	0.554142	0.526214	0.850352	0.618819
31.80°	0.555015	0.526956	0.849893	0.620026
31.85°	0.555887	0.527697	0.849433	0.621235
31.90°	0.556760	0.528438	0.848972	0.622445
31.95°	0.557633	0.529179	0.848510	0.623657
32.00°	0.558505	0.529919	0.848048	0.624869
32.05°	0.559378	0.530659	0.847585	0.626083
32.10°	0.560251	0.531399	0.847122	0.627299
32.15°	0.561123	0.532138	0.846658	0.628516
32.20°	0.561996	0.532876	0.846193	0.629734
32.25°	0.562869	0.533615	0.845728	0.630953
32.30°	0.563741	0.534352	0.845262	0.632174
32.35°	0.564614	0.535090	0.844795	0.633396
32.40°	0.565487	0.535827	0.844328	0.634619
32.45°	0.566359	0.536563	0.843860	0.635844
32.50°	0.567232	0.537300	0.843391	0.637070
32.55°	0.568105	0.538035	0.842922	0.638298
32.60°	0.568977	0.538771	0.842452	0.639527
32.65°	0.569850	0.539506	0.841982	0.640757
32.70°	0.570723	0.540240	0.841511	0.641989
32.75°	0.571595	0.540974	0.841039	0.643222
32.80°	0.572468	0.541708	0.840567	0.644456
32.85°	0.573341	0.542442	0.840094	0.645692
32.90°	0.574213	0.543174	0.839620	0.646929
32.95°	0.575086	0.543907	0.839146	0.648168
33.00°	0.575959	0.544639	0.838671	0.649408
33.05°	0.576831	0.545371	0.838195	0.650649
33.10°	0.577704	0.546102	0.837719	0.651892
33.15°	0.578577	0.546833	0.837242	0.653136
33.20°	0.579449	0.547563	0.836764	0.654382
33.25°	0.580322	0.548293	0.836286	0.655629
33.30°	0.581195	0.549023	0.835807	0.656877
33.35°	0.582067	0.549752	0.835328	0.658127
33.40°	0.582940	0.550481	0.834848	0.659379
33.45°	0.583813	0.551209	0.834367	0.660631
33.50°	0.584685	0.551937	0.833886	0.661886
33.55°	0.585558	0.552664	0.833404	0.663141
33.60°	0.586431	0.553392	0.832921	0.664398
33.65°	0.587303	0.554118	0.832438	0.665657
33.70°	0.588176	0.554844	0.831954	0.666917
33.75°	0.589049	0.555570	0.831470	0.668179
33.80°	0.589921	0.556296	0.830984	0.669442
33.85°	0.590794	0.557021	0.830499	0.670706
33.90°	0.591667	0.557745	0.830012	0.671972
33.95°	0.592539	0.558469	0.829525	0.673240
34.00°	0.593412	0.559193	0.829038	0.674509
34.05°	0.594285	0.559916	0.828549	0.675779
34.10°	0.595157	0.560639	0.828060	0.677051
34.15°	0.596030	0.561361	0.827571	0.678324
34.20°	0.596903	0.562083	0.827081	0.679599
34.25°	0.597775	0.562805	0.826590	0.680876
34.30°	0.598648	0.563526	0.826098	0.682154
34.35°	0.599521	0.564247	0.825606	0.683433
34.40°	0.600393	0.564967	0.825113	0.684714
34.45°	0.601266	0.565687	0.824620	0.685997
34.50°	0.602139	0.566406	0.824126	0.687281
34.55°	0.603011	0.567125	0.823632	0.688567
34.60°	0.603884	0.567844	0.823136	0.689854
34.65°	0.604757	0.568562	0.822641	0.691143
34.70°	0.605629	0.569280	0.822144	0.692433
34.75°	0.606502	0.569997	0.821647	0.693725
34.80°	0.607375	0.570714	0.821149	0.695018
34.85°	0.608247	0.571430	0.820651	0.696313
34.90°	0.609120	0.572146	0.820152	0.697610
34.95°	0.609993	0.572861	0.819652	0.698908
35.00°	0.610865	0.573576	0.819152	0.700208
35.05°	0.611738	0.574291	0.818651	0.701509
35.10°	0.612611	0.575005	0.818150	0.702812
35.15°	0.613483	0.575719	0.817648	0.704116
35.20°	0.614356	0.576432	0.817145	0.705422
35.25°	0.615229	0.577145	0.816642	0.706730
35.30°	0.616101	0.577858	0.816138	0.708039
35.35°	0.616974	0.578570	0.815633	0.709350
35.40°	0.617847	0.579281	0.815128	0.710663
35.45°	0.618719	0.579992	0.814622	0.711977
35.50°	0.619592	0.580703	0.814116	0.713293
35.55°	0.620465	0.581413	0.813608	0.714611
35.60°	0.621337	0.582123	0.813101	0.715930
35.65°	0.622210	0.582832	0.812592	0.717250
35.70°	0.623083	0.583541	0.812084	0.718573
35.75°	0.623955	0.584250	0.811574	0.719897
35.80°	0.624828	0.584958	0.811064	0.721223
35.85°	0.625701	0.585665	0.810553	0.722550
35.90°	0.626573	0.586372	0.810042	0.723879
35.95°	0.627446	0.587079	0.809530	0.725210
36.00°	0.628319π/5	0.587785	0.809017	0.726543
36.05°	0.629191	0.588491	0.808504	0.727877
36.10°	0.630064	0.589196	0.807990	0.729213
36.15°	0.630937	0.589901	0.807475	0.730550
36.20°	0.631809	0.590606	0.806960	0.731889
36.25°	0.632682	0.591310	0.806445	0.733230
36.30°	0.633555	0.592013	0.805928	0.734573
36.35°	0.634427	0.592716	0.805411	0.735917
36.40°	0.635300	0.593419	0.804894	0.737264
36.45°	0.636173	0.594121	0.804376	0.738611
36.50°	0.637045	0.594823	0.803857	0.739961
36.55°	0.637918	0.595524	0.803337	0.741312
36.60°	0.638791	0.596225	0.802817	0.742666
36.65°	0.639663	0.596925	0.802297	0.744020
36.70°	0.640536	0.597625	0.801776	0.745377
36.75°	0.641409	0.598325	0.801254	0.746735
36.80°	0.642281	0.599024	0.800731	0.748096
36.85°	0.643154	0.599722	0.800208	0.749458
36.90°	0.644026	0.600420	0.799685	0.750821
36.95°	0.644899	0.601118	0.799160	0.752187
37.00°	0.645772	0.601815	0.798636	0.753554
37.05°	0.646644	0.602512	0.798110	0.754923
37.10°	0.647517	0.603208	0.797584	0.756294
37.15°	0.648390	0.603904	0.797057	0.757667
37.20°	0.649262	0.604599	0.796530	0.759041
37.25°	0.650135	0.605294	0.796002	0.760418
37.30°	0.651008	0.605988	0.795473	0.761796
37.35°	0.651880	0.606682	0.794944	0.763176
37.40°	0.652753	0.607376	0.794415	0.764558
37.45°	0.653626	0.608069	0.793884	0.765941
37.50°	0.654498	0.608761	0.793353	0.767327
37.55°	0.655371	0.609454	0.792822	0.768714
37.60°	0.656244	0.610145	0.792290	0.770104
37.65°	0.657116	0.610836	0.791757	0.771495
37.70°	0.657989	0.611527	0.791224	0.772888
37.75°	0.658862	0.612217	0.790690	0.774283
37.80°	0.659734	0.612907	0.790155	0.775680
37.85°	0.660607	0.613596	0.789620	0.777078
37.90°	0.661480	0.614285	0.789084	0.778479
37.95°	0.662352	0.614974	0.788548	0.779881
38.00°	0.663225	0.615661	0.788011	0.781286
38.05°	0.664098	0.616349	0.787473	0.782692
38.10°	0.664970	0.617036	0.786935	0.784100
38.15°	0.665843	0.617722	0.786396	0.785510
38.20°	0.666716	0.618408	0.785857	0.786922
38.25°	0.667588	0.619094	0.785317	0.788336
38.30°	0.668461	0.619779	0.784776	0.789752
38.35°	0.669334	0.620464	0.784235	0.791170
38.40°	0.670206	0.621148	0.783693	0.792590
38.45°	0.671079	0.621831	0.783151	0.794012
38.50°	0.671952	0.622515	0.782608	0.795436
38.55°	0.672824	0.623197	0.782065	0.796862
38.60°	0.673697	0.623880	0.781520	0.798290
38.65°	0.674570	0.624561	0.780976	0.799719
38.70°	0.675442	0.625243	0.780430	0.801151
38.75°	0.676315	0.625923	0.779884	0.802585
38.80°	0.677188	0.626604	0.779338	0.804021
38.85°	0.678060	0.627284	0.778791	0.805458
38.90°	0.678933	0.627963	0.778243	0.806898
38.95°	0.679806	0.628642	0.777695	0.808340
39.00°	0.680678	0.629320	0.777146	0.809784
39.05°	0.681551	0.629998	0.776596	0.811230
39.10°	0.682424	0.630676	0.776046	0.812678
39.15°	0.683296	0.631353	0.775496	0.814128
39.20°	0.684169	0.632029	0.774944	0.815580
39.25°	0.685042	0.632705	0.774393	0.817034
39.30°	0.685914	0.633381	0.773840	0.818491
39.35°	0.686787	0.634056	0.773287	0.819949
39.40°	0.687660	0.634731	0.772734	0.821409
39.45°	0.688532	0.635405	0.772179	0.822872
39.50°	0.689405	0.636078	0.771625	0.824336
39.55°	0.690278	0.636751	0.771069	0.825803
39.60°	0.691150	0.637424	0.770513	0.827272
39.65°	0.692023	0.638096	0.769957	0.828743
39.70°	0.692896	0.638768	0.769400	0.830216
39.75°	0.693768	0.639439	0.768842	0.831691
39.80°	0.694641	0.640110	0.768284	0.833169
39.85°	0.695514	0.640780	0.767725	0.834648
39.90°	0.696386	0.641450	0.767165	0.836130
39.95°	0.697259	0.642119	0.766605	0.837614
40.00°	0.698132	0.642788	0.766044	0.839100
40.05°	0.699004	0.643456	0.765483	0.840588
40.10°	0.699877	0.644124	0.764921	0.842078
40.15°	0.700750	0.644791	0.764359	0.843571
40.20°	0.701622	0.645458	0.763796	0.845066
40.25°	0.702495	0.646124	0.763232	0.846562
40.30°	0.703368	0.646790	0.762668	0.848062
40.35°	0.704240	0.647455	0.762104	0.849563
40.40°	0.705113	0.648120	0.761538	0.851067
40.45°	0.705986	0.648784	0.760972	0.852573
40.50°	0.706858	0.649448	0.760406	0.854081
40.55°	0.707731	0.650111	0.759839	0.855591
40.60°	0.708604	0.650774	0.759271	0.857104
40.65°	0.709476	0.651437	0.758703	0.858619
40.70°	0.710349	0.652098	0.758134	0.860136
40.75°	0.711222	0.652760	0.757565	0.861655
40.80°	0.712094	0.653421	0.756995	0.863177
40.85°	0.712967	0.654081	0.756425	0.864701
40.90°	0.713840	0.654741	0.755853	0.866227
40.95°	0.714712	0.655400	0.755282	0.867756
41.00°	0.715585	0.656059	0.754710	0.869287
41.05°	0.716458	0.656717	0.754137	0.870820
41.10°	0.717330	0.657375	0.753563	0.872356
41.15°	0.718203	0.658033	0.752989	0.873894
41.20°	0.719076	0.658689	0.752415	0.875434
41.25°	0.719948	0.659346	0.751840	0.876976
41.30°	0.720821	0.660002	0.751264	0.878521
41.35°	0.721694	0.660657	0.750688	0.880069
41.40°	0.722566	0.661312	0.750111	0.881619
41.45°	0.723439	0.661966	0.749534	0.883171
41.50°	0.724312	0.662620	0.748956	0.884725
41.55°	0.725184	0.663273	0.748377	0.886282
41.60°	0.726057	0.663926	0.747798	0.887842
41.65°	0.726930	0.664579	0.747218	0.889403
41.70°	0.727802	0.665230	0.746638	0.890967
41.75°	0.728675	0.665882	0.746057	0.892534
41.80°	0.729548	0.666532	0.745476	0.894103
41.85°	0.730420	0.667183	0.744894	0.895675
41.90°	0.731293	0.667833	0.744312	0.897249
41.95°	0.732166	0.668482	0.743728	0.898825
42.00°	0.733038	0.669131	0.743145	0.900404
42.05°	0.733911	0.669779	0.742561	0.901985
42.10°	0.734784	0.670427	0.741976	0.903569
42.15°	0.735656	0.671074	0.741391	0.905156
42.20°	0.736529	0.671721	0.740805	0.906745
42.25°	0.737402	0.672367	0.740218	0.908336
42.30°	0.738274	0.673013	0.739631	0.909930
42.35°	0.739147	0.673658	0.739043	0.911526
42.40°	0.740020	0.674302	0.738455	0.913125
42.45°	0.740892	0.674947	0.737867	0.914727
42.50°	0.741765	0.675590	0.737277	0.916331
42.55°	0.742638	0.676233	0.736687	0.917938
42.60°	0.743510	0.676876	0.736097	0.919547
42.65°	0.744383	0.677518	0.735506	0.921159
42.70°	0.745256	0.678160	0.734915	0.922773
42.75°	0.746128	0.678801	0.734323	0.924390
42.80°	0.747001	0.679441	0.733730	0.926010
42.85°	0.747874	0.680081	0.733137	0.927632
42.90°	0.748746	0.680721	0.732543	0.929257
42.95°	0.749619	0.681360	0.731949	0.930885
43.00°	0.750492	0.681998	0.731354	0.932515
43.05°	0.751364	0.682636	0.730758	0.934148
43.10°	0.752237	0.683274	0.730162	0.935783
43.15°	0.753110	0.683911	0.729566	0.937422
43.20°	0.753982	0.684547	0.728969	0.939063
43.25°	0.754855	0.685183	0.728371	0.940706
43.30°	0.755728	0.685818	0.727773	0.942352
43.35°	0.756600	0.686453	0.727174	0.944001
43.40°	0.757473	0.687088	0.726575	0.945653
43.45°	0.758346	0.687721	0.725975	0.947307
43.50°	0.759218	0.688355	0.725374	0.948965
43.55°	0.760091	0.688987	0.724773	0.950624
43.60°	0.760964	0.689620	0.724172	0.952287
43.65°	0.761836	0.690251	0.723570	0.953953
43.70°	0.762709	0.690882	0.722967	0.955621
43.75°	0.763582	0.691513	0.722364	0.957292
43.80°	0.764454	0.692143	0.721760	0.958966
43.85°	0.765327	0.692773	0.721156	0.960642
43.90°	0.766200	0.693402	0.720551	0.962322
43.95°	0.767072	0.694030	0.719946	0.964004
44.00°	0.767945	0.694658	0.719340	0.965689
44.05°	0.768818	0.695286	0.718733	0.967377
44.10°	0.769690	0.695913	0.718126	0.969067
44.15°	0.770563	0.696539	0.717519	0.970761
44.20°	0.771436	0.697165	0.716911	0.972458
44.25°	0.772308	0.697790	0.716302	0.974157
44.30°	0.773181	0.698415	0.715693	0.975859
44.35°	0.774054	0.699040	0.715083	0.977564
44.40°	0.774926	0.699663	0.714473	0.979272
44.45°	0.775799	0.700287	0.713862	0.980983
44.50°	0.776672	0.700909	0.713250	0.982697
44.55°	0.777544	0.701531	0.712639	0.984414
44.60°	0.778417	0.702153	0.712026	0.986134
44.65°	0.779290	0.702774	0.711413	0.987857
44.70°	0.780162	0.703395	0.710799	0.989582
44.75°	0.781035	0.704015	0.710185	0.991311
44.80°	0.781908	0.704634	0.709571	0.993043
44.85°	0.782780	0.705253	0.708956	0.994778
44.90°	0.783653	0.705872	0.708340	0.996515
44.95°	0.784525	0.706489	0.707724	0.998256
45.00°	0.785398π/4	0.707107	0.707107	1.000000
45.05°	0.786271	0.707724	0.706489	1.001747
45.10°	0.787143	0.708340	0.705872	1.003497
45.15°	0.788016	0.708956	0.705253	1.005250
45.20°	0.788889	0.709571	0.704634	1.007006
45.25°	0.789761	0.710185	0.704015	1.008765
45.30°	0.790634	0.710799	0.703395	1.010527
45.35°	0.791507	0.711413	0.702774	1.012293
45.40°	0.792379	0.712026	0.702153	1.014061
45.45°	0.793252	0.712639	0.701531	1.015833
45.50°	0.794125	0.713250	0.700909	1.017607
45.55°	0.794997	0.713862	0.700287	1.019385
45.60°	0.795870	0.714473	0.699663	1.021166
45.65°	0.796743	0.715083	0.699040	1.022951
45.70°	0.797615	0.715693	0.698415	1.024738
45.75°	0.798488	0.716302	0.697790	1.026529
45.80°	0.799361	0.716911	0.697165	1.028323
45.85°	0.800233	0.717519	0.696539	1.030120
45.90°	0.801106	0.718126	0.695913	1.031920
45.95°	0.801979	0.718733	0.695286	1.033724
46.00°	0.802851	0.719340	0.694658	1.035530
46.05°	0.803724	0.719946	0.694030	1.037340
46.10°	0.804597	0.720551	0.693402	1.039154
46.15°	0.805469	0.721156	0.692773	1.040970
46.20°	0.806342	0.721760	0.692143	1.042790
46.25°	0.807215	0.722364	0.691513	1.044614
46.30°	0.808087	0.722967	0.690882	1.046440
46.35°	0.808960	0.723570	0.690251	1.048270
46.40°	0.809833	0.724172	0.689620	1.050103
46.45°	0.810705	0.724773	0.688987	1.051940
46.50°	0.811578	0.725374	0.688355	1.053780
46.55°	0.812451	0.725975	0.687721	1.055624
46.60°	0.813323	0.726575	0.687088	1.057470
46.65°	0.814196	0.727174	0.686453	1.059321
46.70°	0.815069	0.727773	0.685818	1.061174
46.75°	0.815941	0.728371	0.685183	1.063031
46.80°	0.816814	0.728969	0.684547	1.064892
46.85°	0.817687	0.729566	0.683911	1.066756
46.90°	0.818559	0.730162	0.683274	1.068623
46.95°	0.819432	0.730758	0.682636	1.070494
47.00°	0.820305	0.731354	0.681998	1.072369
47.05°	0.821177	0.731949	0.681360	1.074247
47.10°	0.822050	0.732543	0.680721	1.076128
47.15°	0.822923	0.733137	0.680081	1.078013
47.20°	0.823795	0.733730	0.679441	1.079902
47.25°	0.824668	0.734323	0.678801	1.081794
47.30°	0.825541	0.734915	0.678160	1.083690
47.35°	0.826413	0.735506	0.677518	1.085589
47.40°	0.827286	0.736097	0.676876	1.087492
47.45°	0.828159	0.736687	0.676233	1.089398
47.50°	0.829031	0.737277	0.675590	1.091309
47.55°	0.829904	0.737867	0.674947	1.093222
47.60°	0.830777	0.738455	0.674302	1.095140
47.65°	0.831649	0.739043	0.673658	1.097061
47.70°	0.832522	0.739631	0.673013	1.098986
47.75°	0.833395	0.740218	0.672367	1.100914
47.80°	0.834267	0.740805	0.671721	1.102846
47.85°	0.835140	0.741391	0.671074	1.104782
47.90°	0.836013	0.741976	0.670427	1.106722
47.95°	0.836885	0.742561	0.669779	1.108665
48.00°	0.837758	0.743145	0.669131	1.110613
48.05°	0.838631	0.743728	0.668482	1.112563
48.10°	0.839503	0.744312	0.667833	1.114518
48.15°	0.840376	0.744894	0.667183	1.116477
48.20°	0.841249	0.745476	0.666532	1.118439
48.25°	0.842121	0.746057	0.665882	1.120405
48.30°	0.842994	0.746638	0.665230	1.122375
48.35°	0.843867	0.747218	0.664579	1.124349
48.40°	0.844739	0.747798	0.663926	1.126327
48.45°	0.845612	0.748377	0.663273	1.128309
48.50°	0.846485	0.748956	0.662620	1.130294
48.55°	0.847357	0.749534	0.661966	1.132284
48.60°	0.848230	0.750111	0.661312	1.134277
48.65°	0.849103	0.750688	0.660657	1.136275
48.70°	0.849975	0.751264	0.660002	1.138276
48.75°	0.850848	0.751840	0.659346	1.140281
48.80°	0.851721	0.752415	0.658689	1.142291
48.85°	0.852593	0.752989	0.658033	1.144304
48.90°	0.853466	0.753563	0.657375	1.146322
48.95°	0.854339	0.754137	0.656717	1.148343
49.00°	0.855211	0.754710	0.656059	1.150368
49.05°	0.856084	0.755282	0.655400	1.152398
49.10°	0.856957	0.755853	0.654741	1.154432
49.15°	0.857829	0.756425	0.654081	1.156469
49.20°	0.858702	0.756995	0.653421	1.158511
49.25°	0.859575	0.757565	0.652760	1.160557
49.30°	0.860447	0.758134	0.652098	1.162607
49.35°	0.861320	0.758703	0.651437	1.164662
49.40°	0.862193	0.759271	0.650774	1.166720
49.45°	0.863065	0.759839	0.650111	1.168783
49.50°	0.863938	0.760406	0.649448	1.170850
49.55°	0.864811	0.760972	0.648784	1.172921
49.60°	0.865683	0.761538	0.648120	1.174996
49.65°	0.866556	0.762104	0.647455	1.177076
49.70°	0.867429	0.762668	0.646790	1.179160
49.75°	0.868301	0.763232	0.646124	1.181248
49.80°	0.869174	0.763796	0.645458	1.183340
49.85°	0.870047	0.764359	0.644791	1.185437
49.90°	0.870919	0.764921	0.644124	1.187538
49.95°	0.871792	0.765483	0.643456	1.189644
50.00°	0.872665	0.766044	0.642788	1.191754
50.05°	0.873537	0.766605	0.642119	1.193868
50.10°	0.874410	0.767165	0.641450	1.195987
50.15°	0.875283	0.767725	0.640780	1.198110
50.20°	0.876155	0.768284	0.640110	1.200237
50.25°	0.877028	0.768842	0.639439	1.202369
50.30°	0.877901	0.769400	0.638768	1.204506
50.35°	0.878773	0.769957	0.638096	1.206647
50.40°	0.879646	0.770513	0.637424	1.208792
50.45°	0.880519	0.771069	0.636751	1.210942
50.50°	0.881391	0.771625	0.636078	1.213097
50.55°	0.882264	0.772179	0.635405	1.215256
50.60°	0.883137	0.772734	0.634731	1.217420
50.65°	0.884009	0.773287	0.634056	1.219588
50.70°	0.884882	0.773840	0.633381	1.221761
50.75°	0.885755	0.774393	0.632705	1.223939
50.80°	0.886627	0.774944	0.632029	1.226121
50.85°	0.887500	0.775496	0.631353	1.228308
50.90°	0.888373	0.776046	0.630676	1.230500
50.95°	0.889245	0.776596	0.629998	1.232696
51.00°	0.890118	0.777146	0.629320	1.234897
51.05°	0.890991	0.777695	0.628642	1.237103
51.10°	0.891863	0.778243	0.627963	1.239314
51.15°	0.892736	0.778791	0.627284	1.241529
51.20°	0.893609	0.779338	0.626604	1.243749
51.25°	0.894481	0.779884	0.625923	1.245974
51.30°	0.895354	0.780430	0.625243	1.248204
51.35°	0.896227	0.780976	0.624561	1.250439
51.40°	0.897099	0.781520	0.623880	1.252678
51.45°	0.897972	0.782065	0.623197	1.254923
51.50°	0.898845	0.782608	0.622515	1.257172
51.55°	0.899717	0.783151	0.621831	1.259427
51.60°	0.900590	0.783693	0.621148	1.261686
51.65°	0.901463	0.784235	0.620464	1.263950
51.70°	0.902335	0.784776	0.619779	1.266220
51.75°	0.903208	0.785317	0.619094	1.268494
51.80°	0.904081	0.785857	0.618408	1.270773
51.85°	0.904953	0.786396	0.617722	1.273058
51.90°	0.905826	0.786935	0.617036	1.275347
51.95°	0.906699	0.787473	0.616349	1.277642
52.00°	0.907571	0.788011	0.615661	1.279942
52.05°	0.908444	0.788548	0.614974	1.282247
52.10°	0.909317	0.789084	0.614285	1.284557
52.15°	0.910189	0.789620	0.613596	1.286872
52.20°	0.911062	0.790155	0.612907	1.289192
52.25°	0.911935	0.790690	0.612217	1.291518
52.30°	0.912807	0.791224	0.611527	1.293849
52.35°	0.913680	0.791757	0.610836	1.296185
52.40°	0.914553	0.792290	0.610145	1.298526
52.45°	0.915425	0.792822	0.609454	1.300873
52.50°	0.916298	0.793353	0.608761	1.303225
52.55°	0.917171	0.793884	0.608069	1.305583
52.60°	0.918043	0.794415	0.607376	1.307946
52.65°	0.918916	0.794944	0.606682	1.310314
52.70°	0.919789	0.795473	0.605988	1.312688
52.75°	0.920661	0.796002	0.605294	1.315067
52.80°	0.921534	0.796530	0.604599	1.317451
52.85°	0.922407	0.797057	0.603904	1.319841
52.90°	0.923279	0.797584	0.603208	1.322237
52.95°	0.924152	0.798110	0.602512	1.324638
53.00°	0.925025	0.798636	0.601815	1.327045
53.05°	0.925897	0.799160	0.601118	1.329457
53.10°	0.926770	0.799685	0.600420	1.331875
53.15°	0.927642	0.800208	0.599722	1.334298
53.20°	0.928515	0.800731	0.599024	1.336728
53.25°	0.929388	0.801254	0.598325	1.339162
53.30°	0.930260	0.801776	0.597625	1.341603
53.35°	0.931133	0.802297	0.596925	1.344049
53.40°	0.932006	0.802817	0.596225	1.346501
53.45°	0.932878	0.803337	0.595524	1.348959
53.50°	0.933751	0.803857	0.594823	1.351422
53.55°	0.934624	0.804376	0.594121	1.353892
53.60°	0.935496	0.804894	0.593419	1.356367
53.65°	0.936369	0.805411	0.592716	1.358848
53.70°	0.937242	0.805928	0.592013	1.361335
53.75°	0.938114	0.806445	0.591310	1.363828
53.80°	0.938987	0.806960	0.590606	1.366327
53.85°	0.939860	0.807475	0.589901	1.368832
53.90°	0.940732	0.807990	0.589196	1.371342
53.95°	0.941605	0.808504	0.588491	1.373859
54.00°	0.9424783π/10	0.809017	0.587785	1.376382
54.05°	0.943350	0.809530	0.587079	1.378911
54.10°	0.944223	0.810042	0.586372	1.381446
54.15°	0.945096	0.810553	0.585665	1.383987
54.20°	0.945968	0.811064	0.584958	1.386534
54.25°	0.946841	0.811574	0.584250	1.389088
54.30°	0.947714	0.812084	0.583541	1.391647
54.35°	0.948586	0.812592	0.582832	1.394213
54.40°	0.949459	0.813101	0.582123	1.396785
54.45°	0.950332	0.813608	0.581413	1.399364
54.50°	0.951204	0.814116	0.580703	1.401948
54.55°	0.952077	0.814622	0.579992	1.404539
54.60°	0.952950	0.815128	0.579281	1.407137
54.65°	0.953822	0.815633	0.578570	1.409740
54.70°	0.954695	0.816138	0.577858	1.412351
54.75°	0.955568	0.816642	0.577145	1.414967
54.80°	0.956440	0.817145	0.576432	1.417590
54.85°	0.957313	0.817648	0.575719	1.420220
54.90°	0.958186	0.818150	0.575005	1.422856
54.95°	0.959058	0.818651	0.574291	1.425499
55.00°	0.959931	0.819152	0.573576	1.428148
55.05°	0.960804	0.819652	0.572861	1.430804
55.10°	0.961676	0.820152	0.572146	1.433466
55.15°	0.962549	0.820651	0.571430	1.436136
55.20°	0.963422	0.821149	0.570714	1.438811
55.25°	0.964294	0.821647	0.569997	1.441494
55.30°	0.965167	0.822144	0.569280	1.444183
55.35°	0.966040	0.822641	0.568562	1.446880
55.40°	0.966912	0.823136	0.567844	1.449583
55.45°	0.967785	0.823632	0.567125	1.452292
55.50°	0.968658	0.824126	0.566406	1.455009
55.55°	0.969530	0.824620	0.565687	1.457733
55.60°	0.970403	0.825113	0.564967	1.460463
55.65°	0.971276	0.825606	0.564247	1.463201
55.70°	0.972148	0.826098	0.563526	1.465945
55.75°	0.973021	0.826590	0.562805	1.468697
55.80°	0.973894	0.827081	0.562083	1.471455
55.85°	0.974766	0.827571	0.561361	1.474221
55.90°	0.975639	0.828060	0.560639	1.476994
55.95°	0.976512	0.828549	0.559916	1.479774
56.00°	0.977384	0.829038	0.559193	1.482561
56.05°	0.978257	0.829525	0.558469	1.485355
56.10°	0.979130	0.830012	0.557745	1.488157
56.15°	0.980002	0.830499	0.557021	1.490966
56.20°	0.980875	0.830984	0.556296	1.493782
56.25°	0.981748	0.831470	0.555570	1.496606
56.30°	0.982620	0.831954	0.554844	1.499437
56.35°	0.983493	0.832438	0.554118	1.502275
56.40°	0.984366	0.832921	0.553392	1.505121
56.45°	0.985238	0.833404	0.552664	1.507974
56.50°	0.986111	0.833886	0.551937	1.510835
56.55°	0.986984	0.834367	0.551209	1.513704
56.60°	0.987856	0.834848	0.550481	1.516580
56.65°	0.988729	0.835328	0.549752	1.519463
56.70°	0.989602	0.835807	0.549023	1.522355
56.75°	0.990474	0.836286	0.548293	1.525253
56.80°	0.991347	0.836764	0.547563	1.528160
56.85°	0.992220	0.837242	0.546833	1.531075
56.90°	0.993092	0.837719	0.546102	1.533997
56.95°	0.993965	0.838195	0.545371	1.536927
57.00°	0.994838	0.838671	0.544639	1.539865
57.05°	0.995710	0.839146	0.543907	1.542811
57.10°	0.996583	0.839620	0.543174	1.545765
57.15°	0.997456	0.840094	0.542442	1.548726
57.20°	0.998328	0.840567	0.541708	1.551696
57.25°	0.999201	0.841039	0.540974	1.554674
57.30°	1.000074	0.841511	0.540240	1.557660
57.35°	1.000946	0.841982	0.539506	1.560654
57.40°	1.001819	0.842452	0.538771	1.563656
57.45°	1.002692	0.842922	0.538035	1.566667
57.50°	1.003564	0.843391	0.537300	1.569686
57.55°	1.004437	0.843860	0.536563	1.572713
57.60°	1.005310	0.844328	0.535827	1.575748
57.65°	1.006182	0.844795	0.535090	1.578792
57.70°	1.007055	0.845262	0.534352	1.581844
57.75°	1.007928	0.845728	0.533615	1.584904
57.80°	1.008800	0.846193	0.532876	1.587973
57.85°	1.009673	0.846658	0.532138	1.591051
57.90°	1.010546	0.847122	0.531399	1.594137
57.95°	1.011418	0.847585	0.530659	1.597231
58.00°	1.012291	0.848048	0.529919	1.600335
58.05°	1.013164	0.848510	0.529179	1.603446
58.10°	1.014036	0.848972	0.528438	1.606567
58.15°	1.014909	0.849433	0.527697	1.609697
58.20°	1.015782	0.849893	0.526956	1.612835
58.25°	1.016654	0.850352	0.526214	1.615982
58.30°	1.017527	0.850811	0.525472	1.619138
58.35°	1.018400	0.851269	0.524729	1.622303
58.40°	1.019272	0.851727	0.523986	1.625477
58.45°	1.020145	0.852184	0.523242	1.628660
58.50°	1.021018	0.852640	0.522499	1.631852
58.55°	1.021890	0.853096	0.521754	1.635053
58.60°	1.022763	0.853551	0.521010	1.638263
58.65°	1.023636	0.854005	0.520265	1.641482
58.70°	1.024508	0.854459	0.519519	1.644711
58.75°	1.025381	0.854912	0.518773	1.647949
58.80°	1.026254	0.855364	0.518027	1.651196
58.85°	1.027126	0.855816	0.517280	1.654453
58.90°	1.027999	0.856267	0.516533	1.657719
58.95°	1.028872	0.856718	0.515786	1.660994
59.00°	1.029744	0.857167	0.515038	1.664279
59.05°	1.030617	0.857616	0.514290	1.667574
59.10°	1.031490	0.858065	0.513541	1.670878
59.15°	1.032362	0.858513	0.512792	1.674192
59.20°	1.033235	0.858960	0.512043	1.677516
59.25°	1.034108	0.859406	0.511293	1.680849
59.30°	1.034980	0.859852	0.510543	1.684192
59.35°	1.035853	0.860297	0.509792	1.687545
59.40°	1.036726	0.860742	0.509041	1.690908
59.45°	1.037598	0.861186	0.508290	1.694280
59.50°	1.038471	0.861629	0.507538	1.697663
59.55°	1.039344	0.862072	0.506786	1.701056
59.60°	1.040216	0.862514	0.506034	1.704459
59.65°	1.041089	0.862955	0.505281	1.707872
59.70°	1.041962	0.863396	0.504528	1.711295
59.75°	1.042834	0.863836	0.503774	1.714728
59.80°	1.043707	0.864275	0.503020	1.718172
59.85°	1.044580	0.864713	0.502266	1.721626
59.90°	1.045452	0.865151	0.501511	1.725091
59.95°	1.046325	0.865589	0.500756	1.728565
60.00°	1.047198π/3	0.866025	0.500000	1.732051
60.05°	1.048070	0.866461	0.499244	1.735547
60.10°	1.048943	0.866897	0.498488	1.739053
60.15°	1.049816	0.867331	0.497731	1.742571
60.20°	1.050688	0.867765	0.496974	1.746098
60.25°	1.051561	0.868199	0.496217	1.749637
60.30°	1.052434	0.868632	0.495459	1.753187
60.35°	1.053306	0.869064	0.494700	1.756747
60.40°	1.054179	0.869495	0.493942	1.760318
60.45°	1.055052	0.869926	0.493183	1.763901
60.50°	1.055924	0.870356	0.492424	1.767494
60.55°	1.056797	0.870785	0.491664	1.771098
60.60°	1.057670	0.871214	0.490904	1.774714
60.65°	1.058542	0.871642	0.490143	1.778341
60.70°	1.059415	0.872069	0.489382	1.781979
60.75°	1.060288	0.872496	0.488621	1.785628
60.80°	1.061160	0.872922	0.487860	1.789289
60.85°	1.062033	0.873347	0.487098	1.792962
60.90°	1.062906	0.873772	0.486335	1.796645
60.95°	1.063778	0.874196	0.485573	1.800341
61.00°	1.064651	0.874620	0.484810	1.804048
61.05°	1.065524	0.875042	0.484046	1.807766
61.10°	1.066396	0.875465	0.483282	1.811497
61.15°	1.067269	0.875886	0.482518	1.815239
61.20°	1.068142	0.876307	0.481754	1.818993
61.25°	1.069014	0.876727	0.480989	1.822759
61.30°	1.069887	0.877146	0.480223	1.826537
61.35°	1.070759	0.877565	0.479458	1.830327
61.40°	1.071632	0.877983	0.478692	1.834130
61.45°	1.072505	0.878400	0.477925	1.837944
61.50°	1.073377	0.878817	0.477159	1.841771
61.55°	1.074250	0.879233	0.476392	1.845610
61.60°	1.075123	0.879649	0.475624	1.849461
61.65°	1.075995	0.880063	0.474856	1.853325
61.70°	1.076868	0.880477	0.474088	1.857202
61.75°	1.077741	0.880891	0.473320	1.861091
61.80°	1.078613	0.881303	0.472551	1.864992
61.85°	1.079486	0.881715	0.471782	1.868906
61.90°	1.080359	0.882127	0.471012	1.872834
61.95°	1.081231	0.882538	0.470242	1.876774
62.00°	1.082104	0.882948	0.469472	1.880726
62.05°	1.082977	0.883357	0.468701	1.884692
62.10°	1.083849	0.883766	0.467930	1.888671
62.15°	1.084722	0.884174	0.467158	1.892663
62.20°	1.085595	0.884581	0.466387	1.896669
62.25°	1.086467	0.884988	0.465615	1.900687
62.30°	1.087340	0.885394	0.464842	1.904719
62.35°	1.088213	0.885799	0.464069	1.908765
62.40°	1.089085	0.886204	0.463296	1.912824
62.45°	1.089958	0.886608	0.462523	1.916896
62.50°	1.090831	0.887011	0.461749	1.920982
62.55°	1.091703	0.887413	0.460974	1.925082
62.60°	1.092576	0.887815	0.460200	1.929196
62.65°	1.093449	0.888217	0.459425	1.933323
62.70°	1.094321	0.888617	0.458650	1.937465
62.75°	1.095194	0.889017	0.457874	1.941620
62.80°	1.096067	0.889416	0.457098	1.945790
62.85°	1.096939	0.889815	0.456322	1.949973
62.90°	1.097812	0.890213	0.455545	1.954171
62.95°	1.098685	0.890610	0.454768	1.958384
63.00°	1.099557	0.891007	0.453990	1.962611
63.05°	1.100430	0.891402	0.453213	1.966852
63.10°	1.101303	0.891798	0.452435	1.971108
63.15°	1.102175	0.892192	0.451656	1.975378
63.20°	1.103048	0.892586	0.450878	1.979664
63.25°	1.103921	0.892979	0.450098	1.983964
63.30°	1.104793	0.893371	0.449319	1.988279
63.35°	1.105666	0.893763	0.448539	1.992609
63.40°	1.106539	0.894154	0.447759	1.996954
63.45°	1.107411	0.894545	0.446979	2.001314
63.50°	1.108284	0.894934	0.446198	2.005690
63.55°	1.109157	0.895323	0.445417	2.010081
63.60°	1.110029	0.895712	0.444635	2.014487
63.65°	1.110902	0.896099	0.443853	2.018909
63.70°	1.111775	0.896486	0.443071	2.023346
63.75°	1.112647	0.896873	0.442289	2.027799
63.80°	1.113520	0.897258	0.441506	2.032268
63.85°	1.114393	0.897643	0.440723	2.036753
63.90°	1.115265	0.898028	0.439939	2.041254
63.95°	1.116138	0.898411	0.439155	2.045771
64.00°	1.117011	0.898794	0.438371	2.050304
64.05°	1.117883	0.899176	0.437587	2.054853
64.10°	1.118756	0.899558	0.436802	2.059419
64.15°	1.119629	0.899939	0.436017	2.064001
64.20°	1.120501	0.900319	0.435231	2.068599
64.25°	1.121374	0.900698	0.434445	2.073215
64.30°	1.122247	0.901077	0.433659	2.077847
64.35°	1.123119	0.901455	0.432873	2.082495
64.40°	1.123992	0.901833	0.432086	2.087161
64.45°	1.124865	0.902209	0.431299	2.091844
64.50°	1.125737	0.902585	0.430511	2.096544
64.55°	1.126610	0.902961	0.429723	2.101261
64.60°	1.127483	0.903335	0.428935	2.105995
64.65°	1.128355	0.903709	0.428147	2.110747
64.70°	1.129228	0.904083	0.427358	2.115516
64.75°	1.130101	0.904455	0.426569	2.120303
64.80°	1.130973	0.904827	0.425779	2.125108
64.85°	1.131846	0.905198	0.424990	2.129931
64.90°	1.132719	0.905569	0.424199	2.134771
64.95°	1.133591	0.905939	0.423409	2.139630
65.00°	1.134464	0.906308	0.422618	2.144507
65.05°	1.135337	0.906676	0.421827	2.149402
65.10°	1.136209	0.907044	0.421036	2.154316
65.15°	1.137082	0.907411	0.420244	2.159248
65.20°	1.137955	0.907777	0.419452	2.164198
65.25°	1.138827	0.908143	0.418660	2.169168
65.30°	1.139700	0.908508	0.417867	2.174156
65.35°	1.140573	0.908872	0.417074	2.179163
65.40°	1.141445	0.909236	0.416281	2.184189
65.45°	1.142318	0.909599	0.415487	2.189235
65.50°	1.143191	0.909961	0.414693	2.194300
65.55°	1.144063	0.910323	0.413899	2.199384
65.60°	1.144936	0.910684	0.413104	2.204488
65.65°	1.145809	0.911044	0.412310	2.209611
65.70°	1.146681	0.911403	0.411514	2.214754
65.75°	1.147554	0.911762	0.410719	2.219918
65.80°	1.148427	0.912120	0.409923	2.225101
65.85°	1.149299	0.912477	0.409127	2.230304
65.90°	1.150172	0.912834	0.408330	2.235528
65.95°	1.151045	0.913190	0.407534	2.240772
66.00°	1.151917	0.913545	0.406737	2.246037
66.05°	1.152790	0.913900	0.405939	2.251322
66.10°	1.153663	0.914254	0.405142	2.256628
66.15°	1.154535	0.914607	0.404344	2.261955
66.20°	1.155408	0.914960	0.403545	2.267304
66.25°	1.156281	0.915311	0.402747	2.272673
66.30°	1.157153	0.915663	0.401948	2.278064
66.35°	1.158026	0.916013	0.401149	2.283476
66.40°	1.158899	0.916363	0.400349	2.288910
66.45°	1.159771	0.916712	0.399549	2.294365
66.50°	1.160644	0.917060	0.398749	2.299843
66.55°	1.161517	0.917408	0.397949	2.305342
66.60°	1.162389	0.917755	0.397148	2.310864
66.65°	1.163262	0.918101	0.396347	2.316408
66.70°	1.164135	0.918446	0.395546	2.321974
66.75°	1.165007	0.918791	0.394744	2.327563
66.80°	1.165880	0.919135	0.393942	2.333175
66.85°	1.166753	0.919479	0.393140	2.338809
66.90°	1.167625	0.919821	0.392337	2.344467
66.95°	1.168498	0.920164	0.391534	2.350148
67.00°	1.169371	0.920505	0.390731	2.355852
67.05°	1.170243	0.920845	0.389928	2.361580
67.10°	1.171116	0.921185	0.389124	2.367332
67.15°	1.171989	0.921525	0.388320	2.373107
67.20°	1.172861	0.921863	0.387516	2.378906
67.25°	1.173734	0.922201	0.386711	2.384729
67.30°	1.174607	0.922538	0.385906	2.390577
67.35°	1.175479	0.922875	0.385101	2.396449
67.40°	1.176352	0.923210	0.384295	2.402346
67.45°	1.177225	0.923545	0.383490	2.408267
67.50°	1.1780973π/8	0.923880	0.382683	2.414214
67.55°	1.178970	0.924213	0.381877	2.420185
67.60°	1.179843	0.924546	0.381070	2.426182
67.65°	1.180715	0.924878	0.380263	2.432204
67.70°	1.181588	0.925210	0.379456	2.438252
67.75°	1.182461	0.925541	0.378649	2.444326
67.80°	1.183333	0.925871	0.377841	2.450425
67.85°	1.184206	0.926200	0.377033	2.456551
67.90°	1.185079	0.926529	0.376224	2.462703
67.95°	1.185951	0.926857	0.375416	2.468882
68.00°	1.186824	0.927184	0.374607	2.475087
68.05°	1.187697	0.927510	0.373797	2.481319
68.10°	1.188569	0.927836	0.372988	2.487578
68.15°	1.189442	0.928161	0.372178	2.493865
68.20°	1.190315	0.928486	0.371368	2.500178
68.25°	1.191187	0.928810	0.370557	2.506520
68.30°	1.192060	0.929133	0.369747	2.512889
68.35°	1.192933	0.929455	0.368936	2.519286
68.40°	1.193805	0.929776	0.368125	2.525712
68.45°	1.194678	0.930097	0.367313	2.532165
68.50°	1.195551	0.930418	0.366501	2.538648
68.55°	1.196423	0.930737	0.365689	2.545159
68.60°	1.197296	0.931056	0.364877	2.551699
68.65°	1.198169	0.931374	0.364064	2.558269
68.70°	1.199041	0.931691	0.363251	2.564867
68.75°	1.199914	0.932008	0.362438	2.571496
68.80°	1.200787	0.932324	0.361625	2.578154
68.85°	1.201659	0.932639	0.360811	2.584842
68.90°	1.202532	0.932954	0.359997	2.591561
68.95°	1.203405	0.933267	0.359183	2.598309
69.00°	1.204277	0.933580	0.358368	2.605089
69.05°	1.205150	0.933893	0.357553	2.611900
69.10°	1.206023	0.934204	0.356738	2.618741
69.15°	1.206895	0.934515	0.355923	2.625614
69.20°	1.207768	0.934826	0.355107	2.632519
69.25°	1.208641	0.935135	0.354291	2.639455
69.30°	1.209513	0.935444	0.353475	2.646423
69.35°	1.210386	0.935752	0.352658	2.653424
69.40°	1.211259	0.936060	0.351842	2.660457
69.45°	1.212131	0.936366	0.351025	2.667523
69.50°	1.213004	0.936672	0.350207	2.674621
69.55°	1.213876	0.936977	0.349390	2.681754
69.60°	1.214749	0.937282	0.348572	2.688919
69.65°	1.215622	0.937586	0.347754	2.696118
69.70°	1.216494	0.937889	0.346936	2.703351
69.75°	1.217367	0.938191	0.346117	2.710619
69.80°	1.218240	0.938493	0.345298	2.717920
69.85°	1.219112	0.938794	0.344479	2.725257
69.90°	1.219985	0.939094	0.343660	2.732628
69.95°	1.220858	0.939394	0.342840	2.740035
70.00°	1.221730	0.939693	0.342020	2.747477
70.05°	1.222603	0.939991	0.341200	2.754955
70.10°	1.223476	0.940288	0.340380	2.762470
70.15°	1.224348	0.940585	0.339559	2.770020
70.20°	1.225221	0.940881	0.338738	2.777607
70.25°	1.226094	0.941176	0.337917	2.785231
70.30°	1.226966	0.941471	0.337095	2.792892
70.35°	1.227839	0.941764	0.336274	2.800590
70.40°	1.228712	0.942057	0.335452	2.808326
70.45°	1.229584	0.942350	0.334629	2.816100
70.50°	1.230457	0.942641	0.333807	2.823913
70.55°	1.231330	0.942932	0.332984	2.831764
70.60°	1.232202	0.943223	0.332161	2.839654
70.65°	1.233075	0.943512	0.331338	2.847583
70.70°	1.233948	0.943801	0.330514	2.855552
70.75°	1.234820	0.944089	0.329691	2.863560
70.80°	1.235693	0.944376	0.328867	2.871609
70.85°	1.236566	0.944663	0.328042	2.879698
70.90°	1.237438	0.944949	0.327218	2.887828
70.95°	1.238311	0.945234	0.326393	2.895999
71.00°	1.239184	0.945519	0.325568	2.904211
71.05°	1.240056	0.945802	0.324743	2.912465
71.10°	1.240929	0.946085	0.323917	2.920761
71.15°	1.241802	0.946368	0.323092	2.929099
71.20°	1.242674	0.946649	0.322266	2.937481
71.25°	1.243547	0.946930	0.321439	2.945905
71.30°	1.244420	0.947210	0.320613	2.954373
71.35°	1.245292	0.947490	0.319786	2.962884
71.40°	1.246165	0.947768	0.318959	2.971440
71.45°	1.247038	0.948046	0.318132	2.980040
71.50°	1.247910	0.948324	0.317305	2.988685
71.55°	1.248783	0.948600	0.316477	2.997375
71.60°	1.249656	0.948876	0.315649	3.006111
71.65°	1.250528	0.949151	0.314821	3.014893
71.70°	1.251401	0.949425	0.313992	3.023721
71.75°	1.252274	0.949699	0.313164	3.032595
71.80°	1.253146	0.949972	0.312335	3.041517
71.85°	1.254019	0.950244	0.311506	3.050487
71.90°	1.254892	0.950516	0.310676	3.059504
71.95°	1.255764	0.950786	0.309847	3.068569
72.00°	1.2566372π/5	0.951057	0.309017	3.077684
72.05°	1.257510	0.951326	0.308187	3.086847
72.10°	1.258382	0.951594	0.307357	3.096060
72.15°	1.259255	0.951862	0.306526	3.105322
72.20°	1.260128	0.952129	0.305695	3.114635
72.25°	1.261000	0.952396	0.304864	3.123999
72.30°	1.261873	0.952661	0.304033	3.133414
72.35°	1.262746	0.952926	0.303202	3.142881
72.40°	1.263618	0.953191	0.302370	3.152399
72.45°	1.264491	0.953454	0.301538	3.161971
72.50°	1.265364	0.953717	0.300706	3.171595
72.55°	1.266236	0.953979	0.299873	3.181272
72.60°	1.267109	0.954240	0.299041	3.191004
72.65°	1.267982	0.954501	0.298208	3.200790
72.70°	1.268854	0.954761	0.297375	3.210630
72.75°	1.269727	0.955020	0.296542	3.220526
72.80°	1.270600	0.955278	0.295708	3.230478
72.85°	1.271472	0.955536	0.294874	3.240486
72.90°	1.272345	0.955793	0.294040	3.250551
72.95°	1.273218	0.956049	0.293206	3.260673
73.00°	1.274090	0.956305	0.292372	3.270853
73.05°	1.274963	0.956560	0.291537	3.281091
73.10°	1.275836	0.956814	0.290702	3.291388
73.15°	1.276708	0.957067	0.289867	3.301744
73.20°	1.277581	0.957319	0.289032	3.312160
73.25°	1.278454	0.957571	0.288196	3.322636
73.30°	1.279326	0.957822	0.287361	3.333174
73.35°	1.280199	0.958073	0.286525	3.343772
73.40°	1.281072	0.958323	0.285688	3.354433
73.45°	1.281944	0.958572	0.284852	3.365157
73.50°	1.282817	0.958820	0.284015	3.375943
73.55°	1.283690	0.959067	0.283179	3.386794
73.60°	1.284562	0.959314	0.282341	3.397709
73.65°	1.285435	0.959560	0.281504	3.408688
73.70°	1.286308	0.959805	0.280667	3.419733
73.75°	1.287180	0.960050	0.279829	3.430845
73.80°	1.288053	0.960294	0.278991	3.442023
73.85°	1.288926	0.960537	0.278153	3.453268
73.90°	1.289798	0.960779	0.277315	3.464581
73.95°	1.290671	0.961021	0.276476	3.475963
74.00°	1.291544	0.961262	0.275637	3.487414
74.05°	1.292416	0.961502	0.274798	3.498936
74.10°	1.293289	0.961741	0.273959	3.510527
74.15°	1.294162	0.961980	0.273120	3.522190
74.20°	1.295034	0.962218	0.272280	3.533925
74.25°	1.295907	0.962455	0.271440	3.545733
74.30°	1.296780	0.962692	0.270600	3.557613
74.35°	1.297652	0.962928	0.269760	3.569568
74.40°	1.298525	0.963163	0.268920	3.581598
74.45°	1.299398	0.963397	0.268079	3.593702
74.50°	1.300270	0.963630	0.267238	3.605884
74.55°	1.301143	0.963863	0.266397	3.618141
74.60°	1.302016	0.964095	0.265556	3.630477
74.65°	1.302888	0.964327	0.264715	3.642891
74.70°	1.303761	0.964557	0.263873	3.655384
74.75°	1.304634	0.964787	0.263031	3.667958
74.80°	1.305506	0.965016	0.262189	3.680611
74.85°	1.306379	0.965245	0.261347	3.693347
74.90°	1.307252	0.965473	0.260505	3.706165
74.95°	1.308124	0.965700	0.259662	3.719066
75.00°	1.3089975π/12	0.965926	0.258819	3.732051
75.05°	1.309870	0.966151	0.257976	3.745121
75.10°	1.310742	0.966376	0.257133	3.758276
75.15°	1.311615	0.966600	0.256289	3.771518
75.20°	1.312488	0.966823	0.255446	3.784848
75.25°	1.313360	0.967046	0.254602	3.798266
75.30°	1.314233	0.967268	0.253758	3.811773
75.35°	1.315106	0.967489	0.252914	3.825371
75.40°	1.315978	0.967709	0.252069	3.839059
75.45°	1.316851	0.967929	0.251225	3.852840
75.50°	1.317724	0.968148	0.250380	3.866713
75.55°	1.318596	0.968366	0.249535	3.880681
75.60°	1.319469	0.968583	0.248690	3.894743
75.65°	1.320342	0.968800	0.247845	3.908901
75.70°	1.321214	0.969016	0.246999	3.923156
75.75°	1.322087	0.969231	0.246153	3.937509
75.80°	1.322960	0.969445	0.245307	3.951962
75.85°	1.323832	0.969659	0.244461	3.966514
75.90°	1.324705	0.969872	0.243615	3.981167
75.95°	1.325578	0.970084	0.242769	3.995922
76.00°	1.326450	0.970296	0.241922	4.010781
76.05°	1.327323	0.970506	0.241075	4.025744
76.10°	1.328196	0.970716	0.240228	4.040813
76.15°	1.329068	0.970926	0.239381	4.055988
76.20°	1.329941	0.971134	0.238533	4.071271
76.25°	1.330814	0.971342	0.237686	4.086663
76.30°	1.331686	0.971549	0.236838	4.102165
76.35°	1.332559	0.971755	0.235990	4.117778
76.40°	1.333432	0.971961	0.235142	4.133505
76.45°	1.334304	0.972166	0.234294	4.149345
76.50°	1.335177	0.972370	0.233445	4.165300
76.55°	1.336050	0.972573	0.232597	4.181371
76.60°	1.336922	0.972776	0.231748	4.197561
76.65°	1.337795	0.972978	0.230899	4.213869
76.70°	1.338668	0.973179	0.230050	4.230298
76.75°	1.339540	0.973379	0.229200	4.246848
76.80°	1.340413	0.973579	0.228351	4.263522
76.85°	1.341286	0.973778	0.227501	4.280320
76.90°	1.342158	0.973976	0.226651	4.297244
76.95°	1.343031	0.974173	0.225801	4.314295
77.00°	1.343904	0.974370	0.224951	4.331476
77.05°	1.344776	0.974566	0.224101	4.348787
77.10°	1.345649	0.974761	0.223250	4.366229
77.15°	1.346522	0.974956	0.222399	4.383805
77.20°	1.347394	0.975149	0.221548	4.401516
77.25°	1.348267	0.975342	0.220697	4.419364
77.30°	1.349140	0.975535	0.219846	4.437350
77.35°	1.350012	0.975726	0.218995	4.455476
77.40°	1.350885	0.975917	0.218143	4.473743
77.45°	1.351758	0.976107	0.217292	4.492153
77.50°	1.352630	0.976296	0.216440	4.510709
77.55°	1.353503	0.976485	0.215588	4.529410
77.60°	1.354375	0.976672	0.214735	4.548261
77.65°	1.355248	0.976859	0.213883	4.567261
77.70°	1.356121	0.977046	0.213030	4.586414
77.75°	1.356993	0.977231	0.212178	4.605721
77.80°	1.357866	0.977416	0.211325	4.625183
77.85°	1.358739	0.977600	0.210472	4.644803
77.90°	1.359611	0.977783	0.209619	4.664583
77.95°	1.360484	0.977966	0.208765	4.684525
78.00°	1.361357	0.978148	0.207912	4.704630
78.05°	1.362229	0.978329	0.207058	4.724901
78.10°	1.363102	0.978509	0.206204	4.745340
78.15°	1.363975	0.978689	0.205350	4.765949
78.20°	1.364847	0.978867	0.204496	4.786730
78.25°	1.365720	0.979045	0.203642	4.807685
78.30°	1.366593	0.979223	0.202787	4.828817
78.35°	1.367465	0.979399	0.201933	4.850128
78.40°	1.368338	0.979575	0.201078	4.871620
78.45°	1.369211	0.979750	0.200223	4.893296
78.50°	1.370083	0.979925	0.199368	4.915157
78.55°	1.370956	0.980098	0.198513	4.937207
78.60°	1.371829	0.980271	0.197657	4.959447
78.65°	1.372701	0.980443	0.196802	4.981881
78.70°	1.373574	0.980615	0.195946	5.004511
78.75°	1.374447	0.980785	0.195090	5.027339
78.80°	1.375319	0.980955	0.194234	5.050369
78.85°	1.376192	0.981124	0.193378	5.073602
78.90°	1.377065	0.981293	0.192522	5.097043
78.95°	1.377937	0.981460	0.191666	5.120692
79.00°	1.378810	0.981627	0.190809	5.144554
79.05°	1.379683	0.981793	0.189952	5.168631
79.10°	1.380555	0.981959	0.189095	5.192926
79.15°	1.381428	0.982123	0.188238	5.217443
79.20°	1.382301	0.982287	0.187381	5.242184
79.25°	1.383173	0.982450	0.186524	5.267152
79.30°	1.384046	0.982613	0.185667	5.292350
79.35°	1.384919	0.982774	0.184809	5.317783
79.40°	1.385791	0.982935	0.183951	5.343453
79.45°	1.386664	0.983096	0.183094	5.369363
79.50°	1.387537	0.983255	0.182236	5.395517
79.55°	1.388409	0.983414	0.181377	5.421919
79.60°	1.389282	0.983571	0.180519	5.448572
79.65°	1.390155	0.983729	0.179661	5.475479
79.70°	1.391027	0.983885	0.178802	5.502645
79.75°	1.391900	0.984041	0.177944	5.530072
79.80°	1.392773	0.984196	0.177085	5.557766
79.85°	1.393645	0.984350	0.176226	5.585730
79.90°	1.394518	0.984503	0.175367	5.613968
79.95°	1.395391	0.984656	0.174508	5.642484
80.00°	1.396263	0.984808	0.173648	5.671282
80.05°	1.397136	0.984959	0.172789	5.700366
80.10°	1.398009	0.985109	0.171929	5.729742
80.15°	1.398881	0.985259	0.171069	5.759412
80.20°	1.399754	0.985408	0.170209	5.789383
80.25°	1.400627	0.985556	0.169350	5.819657
80.30°	1.401499	0.985703	0.168489	5.850241
80.35°	1.402372	0.985850	0.167629	5.881139
80.40°	1.403245	0.985996	0.166769	5.912355
80.45°	1.404117	0.986141	0.165908	5.943895
80.50°	1.404990	0.986286	0.165048	5.975764
80.55°	1.405863	0.986429	0.164187	6.007968
80.60°	1.406735	0.986572	0.163326	6.040510
80.65°	1.407608	0.986714	0.162465	6.073398
80.70°	1.408481	0.986856	0.161604	6.106636
80.75°	1.409353	0.986996	0.160743	6.140230
80.80°	1.410226	0.987136	0.159881	6.174186
80.85°	1.411099	0.987275	0.159020	6.208511
80.90°	1.411971	0.987414	0.158158	6.243209
80.95°	1.412844	0.987551	0.157296	6.278287
81.00°	1.413717	0.987688	0.156434	6.313752
81.05°	1.414589	0.987824	0.155572	6.349609
81.10°	1.415462	0.987960	0.154710	6.385866
81.15°	1.416335	0.988094	0.153848	6.422530
81.20°	1.417207	0.988228	0.152986	6.459607
81.25°	1.418080	0.988362	0.152123	6.497104
81.30°	1.418953	0.988494	0.151261	6.535029
81.35°	1.419825	0.988626	0.150398	6.573389
81.40°	1.420698	0.988756	0.149535	6.612192
81.45°	1.421571	0.988886	0.148672	6.651445
81.50°	1.422443	0.989016	0.147809	6.691156
81.55°	1.423316	0.989144	0.146946	6.731334
81.60°	1.424189	0.989272	0.146083	6.771987
81.65°	1.425061	0.989399	0.145220	6.813123
81.70°	1.425934	0.989526	0.144356	6.854751
81.75°	1.426807	0.989651	0.143493	6.896880
81.80°	1.427679	0.989776	0.142629	6.939519
81.85°	1.428552	0.989900	0.141765	6.982678
81.90°	1.429425	0.990024	0.140901	7.026366
81.95°	1.430297	0.990146	0.140037	7.070593
82.00°	1.431170	0.990268	0.139173	7.115370
82.05°	1.432043	0.990389	0.138309	7.160706
82.10°	1.432915	0.990509	0.137445	7.206612
82.15°	1.433788	0.990629	0.136580	7.253099
82.20°	1.434661	0.990748	0.135716	7.300178
82.25°	1.435533	0.990866	0.134851	7.347861
82.30°	1.436406	0.990983	0.133986	7.396160
82.35°	1.437279	0.991100	0.133121	7.445086
82.40°	1.438151	0.991216	0.132256	7.494651
82.45°	1.439024	0.991331	0.131391	7.544870
82.50°	1.439897	0.991445	0.130526	7.595754
82.55°	1.440769	0.991558	0.129661	7.647317
82.60°	1.441642	0.991671	0.128796	7.699574
82.65°	1.442515	0.991783	0.127930	7.752537
82.70°	1.443387	0.991894	0.127065	7.806221
82.75°	1.444260	0.992005	0.126199	7.860642
82.80°	1.445133	0.992115	0.125333	7.915815
82.85°	1.446005	0.992224	0.124467	7.971755
82.90°	1.446878	0.992332	0.123601	8.028480
82.95°	1.447751	0.992439	0.122735	8.086004
83.00°	1.448623	0.992546	0.121869	8.144346
83.05°	1.449496	0.992652	0.121003	8.203524
83.10°	1.450369	0.992757	0.120137	8.263555
83.15°	1.451241	0.992862	0.119270	8.324458
83.20°	1.452114	0.992966	0.118404	8.386252
83.25°	1.452987	0.993068	0.117537	8.448957
83.30°	1.453859	0.993171	0.116671	8.512594
83.35°	1.454732	0.993272	0.115804	8.577184
83.40°	1.455605	0.993373	0.114937	8.642747
83.45°	1.456477	0.993473	0.114070	8.709308
83.50°	1.457350	0.993572	0.113203	8.776887
83.55°	1.458223	0.993670	0.112336	8.845510
83.60°	1.459095	0.993768	0.111469	8.915201
83.65°	1.459968	0.993865	0.110602	8.985984
83.70°	1.460841	0.993961	0.109734	9.057887
83.75°	1.461713	0.994056	0.108867	9.130935
83.80°	1.462586	0.994151	0.107999	9.205156
83.85°	1.463459	0.994245	0.107132	9.280580
83.90°	1.464331	0.994338	0.106264	9.357236
83.95°	1.465204	0.994430	0.105396	9.435153
84.00°	1.466077	0.994522	0.104528	9.514364
84.05°	1.466949	0.994613	0.103661	9.594902
84.10°	1.467822	0.994703	0.102793	9.676800
84.15°	1.468695	0.994792	0.101924	9.760093
84.20°	1.469567	0.994881	0.101056	9.844817
84.25°	1.470440	0.994969	0.100188	9.931009
84.30°	1.471313	0.995056	0.099320	10.01871
84.35°	1.472185	0.995142	0.098451	10.10795
84.40°	1.473058	0.995227	0.097583	10.19879
84.45°	1.473931	0.995312	0.096714	10.29126
84.50°	1.474803	0.995396	0.095846	10.38540
84.55°	1.475676	0.995479	0.094977	10.48126
84.60°	1.476549	0.995562	0.094108	10.57889
84.65°	1.477421	0.995644	0.093239	10.67835
84.70°	1.478294	0.995725	0.092371	10.77967
84.75°	1.479167	0.995805	0.091502	10.88292
84.80°	1.480039	0.995884	0.090633	10.98815
84.85°	1.480912	0.995963	0.089763	11.09542
84.90°	1.481785	0.996041	0.088894	11.20478
84.95°	1.482657	0.996118	0.088025	11.31630
85.00°	1.483530	0.996195	0.087156	11.43005
85.05°	1.484403	0.996270	0.086286	11.54609
85.10°	1.485275	0.996345	0.085417	11.66450
85.15°	1.486148	0.996419	0.084547	11.78533
85.20°	1.487021	0.996493	0.083678	11.90868
85.25°	1.487893	0.996566	0.082808	12.03462
85.30°	1.488766	0.996637	0.081939	12.16324
85.35°	1.489639	0.996709	0.081069	12.29461
85.40°	1.490511	0.996779	0.080199	12.42883
85.45°	1.491384	0.996848	0.079329	12.56600
85.50°	1.492257	0.996917	0.078459	12.70620
85.55°	1.493129	0.996985	0.077589	12.84956
85.60°	1.494002	0.997053	0.076719	12.99616
85.65°	1.494875	0.997119	0.075849	13.14613
85.70°	1.495747	0.997185	0.074979	13.29957
85.75°	1.496620	0.997250	0.074108	13.45663
85.80°	1.497492	0.997314	0.073238	13.61741
85.85°	1.498365	0.997378	0.072368	13.78206
85.90°	1.499238	0.997441	0.071497	13.95072
85.95°	1.500110	0.997503	0.070627	14.12354
86.00°	1.500983	0.997564	0.069756	14.30067
86.05°	1.501856	0.997625	0.068886	14.48227
86.10°	1.502728	0.997684	0.068015	14.66853
86.15°	1.503601	0.997743	0.067145	14.85962
86.20°	1.504474	0.997801	0.066274	15.05572
86.25°	1.505346	0.997859	0.065403	15.25705
86.30°	1.506219	0.997916	0.064532	15.46381
86.35°	1.507092	0.997972	0.063661	15.67623
86.40°	1.507964	0.998027	0.062791	15.89454
86.45°	1.508837	0.998081	0.061920	16.11900
86.50°	1.509710	0.998135	0.061049	16.34986
86.55°	1.510582	0.998188	0.060177	16.58740
86.60°	1.511455	0.998240	0.059306	16.83191
86.65°	1.512328	0.998291	0.058435	17.08372
86.70°	1.513200	0.998342	0.057564	17.34315
86.75°	1.514073	0.998392	0.056693	17.61056
86.80°	1.514946	0.998441	0.055822	17.88631
86.85°	1.515818	0.998489	0.054950	18.17081
86.90°	1.516691	0.998537	0.054079	18.46447
86.95°	1.517564	0.998583	0.053207	18.76775
87.00°	1.518436	0.998630	0.052336	19.08114
87.05°	1.519309	0.998675	0.051464	19.40513
87.10°	1.520182	0.998719	0.050593	19.74029
87.15°	1.521054	0.998763	0.049721	20.08720
87.20°	1.521927	0.998806	0.048850	20.44649
87.25°	1.522800	0.998848	0.047978	20.81883
87.30°	1.523672	0.998890	0.047106	21.20495
87.35°	1.524545	0.998931	0.046235	21.60563
87.40°	1.525418	0.998971	0.045363	22.02171
87.45°	1.526290	0.999010	0.044491	22.45410
87.50°	1.527163	0.999048	0.043619	22.90377
87.55°	1.528036	0.999086	0.042748	23.37178
87.60°	1.528908	0.999123	0.041876	23.85928
87.65°	1.529781	0.999159	0.041004	24.36751
87.70°	1.530654	0.999194	0.040132	24.89783
87.75°	1.531526	0.999229	0.039260	25.45170
87.80°	1.532399	0.999263	0.038388	26.03074
87.85°	1.533272	0.999296	0.037516	26.63669
87.90°	1.534144	0.999328	0.036644	27.27149
87.95°	1.535017	0.999360	0.035772	27.93723
88.00°	1.535890	0.999391	0.034899	28.63625
88.05°	1.536762	0.999421	0.034027	29.37111
88.10°	1.537635	0.999450	0.033155	30.14462
88.15°	1.538508	0.999479	0.032283	30.95993
88.20°	1.539380	0.999507	0.031411	31.82052
88.25°	1.540253	0.999534	0.030539	32.73026
88.30°	1.541126	0.999560	0.029666	33.69351
88.35°	1.541998	0.999585	0.028794	34.71512
88.40°	1.542871	0.999610	0.027922	35.80055
88.45°	1.543744	0.999634	0.027049	36.95600
88.50°	1.544616	0.999657	0.026177	38.18846
88.55°	1.545489	0.999680	0.025305	39.50589
88.60°	1.546362	0.999701	0.024432	40.91741
88.65°	1.547234	0.999722	0.023560	42.43346
88.70°	1.548107	0.999743	0.022687	44.06611
88.75°	1.548980	0.999762	0.021815	45.82935
88.80°	1.549852	0.999781	0.020942	47.73950
88.85°	1.550725	0.999799	0.020070	49.81573
88.90°	1.551598	0.999816	0.019197	52.08067
88.95°	1.552470	0.999832	0.018325	54.56130
89.00°	1.553343	0.999848	0.017452	57.28996
89.05°	1.554216	0.999863	0.016580	60.30582
89.10°	1.555088	0.999877	0.015707	63.65674
89.15°	1.555961	0.999890	0.014835	67.40185
89.20°	1.556834	0.999903	0.013962	71.61507
89.25°	1.557706	0.999914	0.013090	76.39001
89.30°	1.558579	0.999925	0.012217	81.84704
89.35°	1.559452	0.999936	0.011344	88.14357
89.40°	1.560324	0.999945	0.010472	95.48948
89.45°	1.561197	0.999954	0.009599	104.1709
89.50°	1.562070	0.999962	0.008727	114.5887
89.55°	1.562942	0.999969	0.007854	127.3213
89.60°	1.563815	0.999976	0.006981	143.2371
89.65°	1.564688	0.999981	0.006109	163.7002
89.70°	1.565560	0.999986	0.005236	190.9842
89.75°	1.566433	0.999990	0.004363	229.1817
89.80°	1.567306	0.999994	0.003491	286.4777
89.85°	1.568178	0.999997	0.002618	381.9710
89.90°	1.569051	0.999998	0.001745	572.9572
89.95°	1.569924	1.000000	0.000873	1145.915
90.00°	1.570796π/2	1.000000	0.000000	∞ไม่นิยาม

คำถามที่พบบ่อย

จำค่า sin cos tan ของมุม 30° 45° 60° อย่างไรให้ไม่ลืม?

เขียน sin ของ 0°, 30°, 45°, 60°, 90° เป็น $\tfrac{\sqrt0}{2}, \tfrac{\sqrt1}{2}, \tfrac{\sqrt2}{2}, \tfrac{\sqrt3}{2}, \tfrac{\sqrt4}{2}$ คือ √ ของ 0 ถึง 4 หารด้วย 2 ส่วน cos คือลำดับเดียวกันแต่กลับหลัง และ tan = sin ÷ cos

ทำไมในแคลคูลัสต้องใช้มุมเป็นเรเดียน?

เพราะสูตร $\tfrac{d}{dx}\sin x = \cos x$ มาจากลิมิต $\lim_{x\to0}\tfrac{\sin x}{x} = 1$ ซึ่งจริงเฉพาะเมื่อ x เป็นเรเดียน ถ้าใช้องศาจะได้ $\tfrac{d}{dx}\sin x^\circ = \tfrac{\pi}{180}\cos x^\circ$ มีตัวคูณเกินมา

หาค่า sin ของมุมที่มากกว่า 90° จากตาราง 0°–90° ได้อย่างไร?

หามุมอ้างอิง (reference angle) ซึ่งเป็นมุมแหลมระหว่างแขนมุมกับแกน x แล้วเปิดตาราง จากนั้นใส่เครื่องหมายตามจตุภาค ASTC เช่น $\sin 150^\circ = +\sin 30^\circ = 0.5$ และ $\cos 210^\circ = -\cos 30^\circ$

atan2 ต่างจาก arctan อย่างไร?

$\arctan(y/x)$ ให้มุมได้แค่ช่วง −90° ถึง 90° จึงแยก (1, 1) กับ (−1, −1) ไม่ออก ส่วน $\operatorname{atan2}(y, x)$ ดูเครื่องหมายของ x และ y แยกกัน จึงให้มุมถูกจตุภาคในช่วง −180° ถึง 180° ใช้หามุมเฟสของจำนวนเชิงซ้อนและเฟเซอร์

ตารางนี้ละเอียดแค่ไหน และใช้แทนเครื่องคิดเลขได้ไหม?

ตารางให้ค่าทุก 0.05° ปัดเป็นทศนิยม 6 ตำแหน่ง ถ้ามุมอยู่ระหว่างสองแถว ใช้ช่องค้นหาด้านบนตารางซึ่งคำนวณค่าจริงของมุมใดก็ได้ และหามุมจากค่า sin, cos หรือ tan ได้ด้วย

วงกลมหนึ่งหน่วย (Unit Circle)

คลื่นที่ได้จากการหมุน

คำศัพท์ที่ใช้กับวงกลมหนึ่งหน่วย

การวัดมุม องศาและเรเดียน (Angle Measure)

ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหก (Six Trigonometric Functions)

โดเมน เรนจ์ และคาบ (Domain, Range, Period)

ค่าตรีโกณมิติของมุมพิเศษ (Exact Values of Special Angles)

ส่วนกลับของมุมหลัก (csc, sec, cot)

รอบวงกลม 0° ถึง 360°

เอกลักษณ์พีทาโกรัส (Pythagorean Identities)

สมมาตร คาบ และโคฟังก์ชัน (Symmetry, Periodicity, Cofunctions)

ตารางลดมุม (Reduction Formulas)

สูตรผลบวกและผลต่างของมุม (Angle Sum and Difference)

หาค่าแม่นตรงของ sin⁡75∘\sin 75^\circsin75∘

สูตรมุมสองเท่า (Double-Angle Formulas)

สูตรมุมสามเท่าและมุมหลายเท่า (Triple- and Multiple-Angle)

สูตรครึ่งมุม (Half-Angle Formulas)

หา cos⁡22.5∘\cos 22.5^\circcos22.5∘ จากสูตรครึ่งมุม

สูตรลดกำลัง (Power-Reduction Formulas)

ผลคูณเป็นผลบวก (Product-to-Sum Formulas)

มิกเซอร์คูณสัญญาณ 1000 Hz กับ 100 Hz ได้ความถี่อะไร

ผลบวกเป็นผลคูณ (Sum-to-Product Formulas)

การรวมไซน์และโคไซน์เป็นคลื่นเดียว (Harmonic Addition)

เขียน 3sin⁡ωt+4cos⁡ωt3\sin\omega t + 4\cos\omega t3sinωt+4cosωt เป็นคลื่นไซน์ตัวเดียว

การแทนค่า t = tan(θ/2) (Weierstrass Substitution)

สูตรของออยเลอร์และจำนวนเชิงซ้อน (Euler’s Formula)

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน (Inverse Trigonometric Functions)

ผลเฉลยทั่วไปของสมการตรีโกณ (General Solutions)

หา θ ทั้งหมดใน [0,2π)[0, 2\pi)[0,2π) ที่ทำให้ sin⁡θ=−12\sin\theta = -\tfrac12sinθ=−21​

กฎของสามเหลี่ยมใด ๆ (Laws for Any Triangle)

สามเหลี่ยมมี a = 7, b = 8 และมุมระหว่างสองด้าน C = 60° หาด้าน c

อนุพันธ์ ปริพันธ์ และลิมิต (Calculus of Trigonometric Functions)

อนุกรมเทย์เลอร์และการประมาณมุมเล็ก (Taylor Series, Small-Angle Approximation)

ค่าเฉลี่ย RMS และความตั้งฉาก (Averages, RMS, Orthogonality)

ตารางค่า sin cos tan ทุก 0.05° ตั้งแต่ 0° ถึง 90°

คำถามที่พบบ่อย

หาค่าแม่นตรงของ $\sin 75^\circ$

หา $\cos 22.5^\circ$ จากสูตรครึ่งมุม

เขียน $3\sin\omega t + 4\cos\omega t$ เป็นคลื่นไซน์ตัวเดียว

หา θ ทั้งหมดใน $[0, 2\pi)$ ที่ทำให้ $\sin\theta = -\tfrac12$