// บทที่ 14.11 · อนุกรมฟูเรียร์ · DC-DC Converters

ฟูเรียร์ในคอนเวอร์เตอร์ DC-DC: บั๊ก ริปเปิล ฟิลเตอร์ LC และ EMI

Q: ประมาณแรงดันริปเปิลของบั๊กอย่างไร?

ใช้ฮาร์มอนิกแรกของโหนดสวิตช์ frac{2V_{in}}{pi}sinpi D คูณการลดทอนของ LC (f_0/f_s)^2 ได้ค่ายอดของริปเปิล คูณสองเป็นค่ายอดถึงยอด ผลต่างจากสูตรจริง (1-D)V_o/(8LCf_s^2) เพียงราว 2–3 % เพราะฮาร์มอนิกสูงกว่าถูกลดทอนมากจนแทบไม่มีผล

Q: ESR ของตัวเก็บประจุมีผลต่อริปเปิลอย่างไร?

กระแสริปเปิลสามเหลี่ยมไหลผ่าน ESR สร้างแรงดันสามเหลี่ยม Delta I_L cdot mathrm{ESR} ซึ่งต่างเฟสกับส่วนของ C ในตัวอย่างบั๊ก 12 V → 5 V ESR 20 mΩ ทำให้ริปเปิลจาก 14.6 mV เป็น 16.9 mV ตัวเก็บประจุอิเล็กโทรไลต์ที่ ESR สูงกว่านี้ ESR มักเป็นตัวกำหนดริปเปิล

Q: เวลาขาขึ้นของสวิตช์มีผลต่อ EMI อย่างไร?

สเปกตรัมของพัลส์คางหมูมีเอนเวโลปแบนถึง 1/(pitau) ลด −20 dB/decade ถึง 1/(pi t_r) แล้วลด −40 dB/decade ขอบที่ช้าลง 5 เท่า (10 → 50 ns) ลดเอนเวโลปที่ 30 MHz ได้ราว 13 dB แลกกับความสูญเสียสวิตชิ่งที่เพิ่มขึ้น

บั๊กคอนเวอร์เตอร์ทำงานได้เพราะอนุกรมฟูเรียร์: โหนดสวิตช์เป็นพัลส์ที่มีส่วน DC เท่ากับ $DV_{in}$ และฟิลเตอร์ LC ปล่อยให้ผ่านเฉพาะส่วนนั้น มุมมองนี้ทำให้ประมาณริปเปิลได้ในบรรทัดเดียว เข้าใจว่าทำไม ESR สำคัญ และรู้ว่าสัญญาณรบกวนความถี่สูงมาจากไหน ตัวอย่างทั้งหน้าใช้บั๊ก 12 V → 5 V 2 A 50 kHz ตัวเดียวกับที่ใช้สอนในวิชาอิเล็กทรอนิกส์กำลัง

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต 12 ต.ค. 2569

ริปเปิลด้วยฮาร์มอนิกแรก โหนดสวิตช์ กระแส L ตัวเก็บประจุอินพุต EMI

สรุปใน 30 วินาที

$v_{sw} = DV_{in} + \sum_n \frac{2V_{in}}{n\pi}\sin(n\pi D)\cos(n\omega_s t - n\pi D)$
LC ที่ $f \gg f_0$ : $|H| \approx (f_0/f)^2$ → ริปเปิล ≈ $2\cdot\frac{2V_{in}}{\pi}\sin(\pi D)\cdot(f_0/f_s)^2$ (ยอดถึงยอด)
สูตรจริง $\Delta V = \frac{(1 - D)V_o}{8LCf_s^2}$ ต่างจากค่าประมาณ ~3 % · ESR เพิ่ม $\approx\Delta I_L\cdot\mathrm{ESR}$
EMI: เอนเวโลปหักที่ $1/(\pi\tau)$ และ $1/(\pi t_r)$ · ขอบช้าลง = EMI ต่ำลง

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

แรงดันโหนดสวิตช์คืออนุกรมของพัลส์ พื้นฐาน

ในโหมดกระแสต่อเนื่อง (CCM) โหนดระหว่างสวิตช์กับไดโอด (หรือสวิตช์ล่าง) สลับระหว่าง $V_{in}$ กับ 0 เป็นพัลส์ดิวตี้ D ที่ความถี่ $f_s$ ตรงกับ W3 ทุกประการ

B1 Switch-node voltage of a buck converter แรงดันโหนดสวิตช์

v_{sw}(t) = DV_{in} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2V_{in}}{n\pi}\sin(n\pi D)\cos\big(n\omega_s t - n\pi D\big)

พจน์ DC คือ $DV_{in}$ = แรงดันขาออกของบั๊กในอุดมคติ ทุกอย่างที่เหลือคือ “ขยะ” ที่ฟิลเตอร์ต้องกำจัด และ $n f_s$ คือความถี่ที่จะเห็นบนสเปกตรัม EMI

บั๊ก 12 V → 5 V: โหนดสวิตช์ (สีฟ้า) แรงดันขาออก (สีส้ม ขยาย 200 เท่ารอบ 5 V) และสเปกตรัมของโหนดสวิตช์ (ล่าง) DC 5 V ฮาร์มอนิกที่ 50 kHz 7.38 V ที่ 100 kHz 1.91 V ที่ 150 kHz 1.80 V

ฟิลเตอร์ LC: ประมาณริปเปิลด้วยฮาร์มอนิกแรก กลาง

B2 LC attenuation far above f₀ การลดทอนของ LC

f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}},\qquad |H(jn\omega_s)| \approx \Big(\frac{f_0}{nf_s}\Big)^2 \;\;(nf_s \gg f_0)

−40 dB/decade ฮาร์มอนิกที่ 2 ถูกลดทอนมากกว่าที่ 1 สี่เท่า และขนาดเริ่มต้นก็เล็กกว่า ฮาร์มอนิกแรกจึงกำหนดริปเปิลเกือบทั้งหมด

B3 Fundamental-harmonic ripple estimate ริปเปิลจากฮาร์มอนิกแรก

\Delta V_{pp} \approx 2\cdot\frac{2V_{in}}{\pi}\sin(\pi D)\cdot\Big(\frac{f_0}{f_s}\Big)^2

B4 Exact ripple (ideal C) สูตรจริงจากโดเมนเวลา

\Delta V_{pp} = \frac{(1 - D)V_o}{8LCf_s^2} = \frac{\Delta I_L}{8f_sC}

ได้จากพื้นที่สามเหลี่ยมของกระแสริปเปิลที่ไหลเข้า C · อัตราส่วน B3/B4 = $\frac{8\sin\pi D}{\pi^3D(1-D)}$ อยู่ระหว่าง 1.025–1.03 ในช่วงใช้งานปกติ

B5 ESR contribution ส่วนของ ESR

\Delta V_{ESR} \approx \Delta I_L \cdot \mathrm{ESR}

เป็นสามเหลี่ยม (ตามรูปกระแส) ต่างเฟสกับส่วนของ C 90° ที่ฮาร์มอนิกแรก ผลรวมจึงน้อยกว่าบวกตรง ๆ ใช้แล็บหรือรวมฮาร์มอนิกด้วย $Z_C = \mathrm{ESR} + 1/(j\omega C)$

ตัวอย่าง B-1 · บั๊ก 12 V → 5 V 2 A 50 kHz

L = 100 µH, C = 100 µF ประมาณริปเปิลด้วยฮาร์มอนิกแรก เทียบสูตรจริง แล้วดูผลเมื่อ C มี ESR 20 mΩ

$D = 5/12 = 0.4167$ · B1: ฮาร์มอนิกแรกของโหนดสวิตช์ $\frac{2(12)}{\pi}\sin(0.4167\pi) = 7.379$ V
B2: $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-8}}} = 1.592$ kHz · $(f_0/f_s)^2 = 1.013\times10^{-3}$
B3: ริปเปิลยอด $7.379 \times 1.013\times10^{-3} = 7.48$ mV → ยอดถึงยอด 14.96 mV
B4: $\Delta I_L = \frac{(12 - 5)(0.4167)}{100\mu \cdot 50\text{k}} = 0.583$ A · $\Delta V = \frac{0.583}{8(50\text{k})(100\mu)} = 14.58$ mV → ค่าประมาณสูงไป 2.6 %
มี ESR 20 mΩ: $\Delta I_L\cdot\mathrm{ESR}$ = 11.7 mV แต่รวมฮาร์มอนิกทั้งหมดด้วย $Z_C$ ที่มี ESR ได้ 16.9 mV (ไม่ใช่ 14.6 + 11.7)

ริปเปิล 14.6 mV (C อุดมคติ) และ 16.9 mV เมื่อ ESR 20 mΩ ฮาร์มอนิกแรกตัวเดียวทำนายได้ภายใน 3 % · เปิดแล็บด้านล่างแล้วเปลี่ยน C, L หรือความถี่ดูได้ทันที

แล็บ “บั๊ก 12 V → 5 V 50 kHz” (ไม่มี ESR): ฮาร์มอนิกหลักขาออก 7.48 mV ยอด ยอดถึงยอดจริง 14.6 mV ✓

กระแสในตัวเหนี่ยวนำ: สามเหลี่ยมไม่สมมาตร กลาง

B6 Inductor ripple current กระแสริปเปิลของตัวเหนี่ยวนำ

\Delta I_L = \frac{(V_{in} - V_o)D}{Lf_s} = \frac{V_o(1 - D)}{Lf_s}

B7 Harmonics & RMS of the inductor current ฮาร์มอนิกและ RMS

I_{L,n} = \frac{\Delta I_L\,|\sin n\pi D|}{\pi^2n^2D(1 - D)},\qquad I_{L,rms} = \sqrt{I_o^2 + \frac{\Delta I_L^2}{12}}

จาก W18 และพาร์เซวาล · ความสูญเสียทองแดงที่ความถี่สูง $\sum I_{L,n}^2R_{ac}(nf_s)$ ซึ่ง $R_{ac}$ โตขึ้นตาม skin/proximity effect

ตัวอย่าง B-2 · กระแสตัวเหนี่ยวนำของ B-1

หาฮาร์มอนิก 1–3 ของกระแสริปเปิล และกระแส RMS ของตัวเหนี่ยวนำ

B7: $\pi^2D(1 - D) = 2.399$ · $I_{L,1} = \frac{0.583(0.966)}{2.399} = 0.235$ A · $I_{L,2} = 0.030$ A · $I_{L,3} = 0.019$ A (ยอด)
RMS: $\sqrt{2^2 + 0.583^2/12} = 2.0071$ A

ริปเปิล 29 % ของกระแสโหลดเพิ่ม RMS เพียง 0.35 % แต่ฮาร์มอนิกที่ 50 kHz ยอด 0.235 A คือสิ่งที่สร้างความสูญเสียในแกนและเสียงรบกวน

กระแสด้านเข้าและตัวเก็บประจุอินพุต กลาง

ด้านเข้าของบั๊กดึงกระแสเป็นพัลส์ (≈ $I_o$ ช่วง DT และ 0 ช่วงที่เหลือ) แหล่งจ่ายควรเห็นแค่ค่าเฉลี่ย $DI_o$ ส่วนที่เหลือต้องมาจากตัวเก็บประจุอินพุตที่อยู่ใกล้สวิตช์ที่สุด

B8 Input-capacitor RMS current กระแส RMS ในตัวเก็บประจุอินพุต

I_{C_{in},rms} = I_o\sqrt{D(1 - D)},\qquad I_{in,n} = \frac{2I_o}{n\pi}|\sin n\pi D|

มาจากพาร์เซวาลของพัลส์ W3 หักส่วน DC สูงสุดที่ D = 0.5 ( $I_o/2$ ) ใช้เลือกตัวเก็บประจุตามพิกัด ripple current

ตัวอย่าง B-3 · ตัวเก็บประจุอินพุตของ B-1

หากระแส RMS ในตัวเก็บประจุอินพุตและฮาร์มอนิกที่ 50 kHz ของกระแสด้านเข้า

B8: $2\sqrt{0.4167 \times 0.5833} = 0.986$ A RMS
$I_{in,1} = \frac{2(2)}{\pi}\sin(0.4167\pi) = 1.23$ A ยอด

ต้องใช้ตัวเก็บประจุที่ทนกระแสริปเปิลอย่างน้อย 1 A RMS ที่ 50 kHz (เกือบเท่าครึ่งหนึ่งของกระแสโหลด) ถ้าตัวเก็บประจุอินพุตเล็กไป กระแส 1.23 A ที่ 50 kHz จะไหลย้อนไปในสายแหล่งจ่ายกลายเป็น EMI

ขอบสัญญาณกับ EMI: เอนเวโลปของพัลส์คางหมู ขั้นสูง

สวิตช์จริงใช้เวลาขาขึ้น $t_r$ โหนดสวิตช์จึงเป็นคางหมู (W14) ใช้ $|\mathrm{sinc}\,x| \le \min(1, 1/(\pi x))$ ได้เอนเวโลปแบบ Bode ที่วาดด้วยมือได้

B9 Trapezoid spectrum envelope เอนเวโลปสเปกตรัมของคางหมู

|V_n| \le 2AD\cdot\min\Big(1, \frac{1}{\pi f\tau}\Big)\cdot\min\Big(1, \frac{1}{\pi f t_r}\Big),\qquad f_1 = \frac{1}{\pi\tau},\quad f_2 = \frac{1}{\pi t_r}

แบนถึง $f_1$ ( $\tau = DT$ ความกว้างพัลส์) ลด −20 dB/decade ถึง $f_2$ แล้ว −40 dB/decade · เวลาขาขึ้นเป็นตัวเดียวที่ย้าย $f_2$ จึงคุม EMI ย่าน MHz ได้โดยตรง

เอนเวโลปของโหนดสวิตช์ 12 V 500 kHz D = 0.42 เป็น dBµV:

t_r

= 10 ns (สีส้ม) เทียบ 50 ns (สีฟ้า) ที่ 30 MHz ต่างกันราว 13 dB

ตัวอย่าง B-4 · ขอบเร็วกับขอบช้า

บั๊ก 12 V 500 kHz D = 0.42 เปรียบเทียบเอนเวโลปที่ 30 MHz เมื่อ $t_r$ = 10 ns และ 50 ns (เป็น dBµV)

$\tau = 0.42 \times 2\ \mu\text{s} = 0.84\ \mu\text{s}$ → $f_1 = 379$ kHz · $2AD = 10.08$ V = 140.1 dBµV
B9 $t_r$ = 10 ns: $f_2 = 31.8$ MHz (30 MHz ยังไม่ถึง) → $10.08/(\pi \cdot 30\text{M}\cdot 0.84\mu) = 0.127$ V = 102.1 dBµV
$t_r$ = 50 ns: $f_2 = 6.37$ MHz → คูณเพิ่ม $1/(\pi\cdot 30\text{M}\cdot 50\text{n}) = 0.212$ → 0.027 V = 88.6 dBµV

ขอบช้าลง 5 เท่าลดเอนเวโลปที่ 30 MHz ได้ 13.5 dB แต่ความสูญเสียสวิตชิ่ง $\propto t_r f_s$ เพิ่ม 5 เท่า วิศวกรเลือกจุดสมดุล หรือเพิ่ม snubber/ฟิลเตอร์ EMI แทน

บูสต์และการเลือกความถี่สวิตชิ่ง กลาง

B10 Boost output ripple ริปเปิลของบูสต์

\Delta V_o = \frac{DI_o}{Cf_s}

ขาออกของบูสต์รับกระแสจากไดโอดเป็นพัลส์ (เหมือนด้านเข้าของบั๊ก) ไม่มี L กั้น ริปเปิลจึงมากกว่าบั๊กที่ L, C เท่ากันมาก และตัวเก็บประจุขาออกรับ $I_o\sqrt{D/(1-D)}$ RMS

เพิ่ม $f_s$	ผลจากมุมมองฟูเรียร์
ริปเปิล	ลดตาม $1/f_s^2$ (B2, B4) ใช้ L C เล็กลงได้
ความสูญเสียสวิตชิ่ง	เพิ่มตาม $f_s$
ความสูญเสียแกนและ $R_{ac}$	ฮาร์มอนิกของกระแส L อยู่ที่ความถี่สูงขึ้น
EMI	เส้นสเปกตรัมห่างขึ้น ฮาร์มอนิกแรกอาจเลื่อนเข้าแถบ 150 kHz ของมาตรฐาน EMI
ระบบควบคุม	ครอสโอเวอร์ได้สูงขึ้น (ราว $f_s/10$ ) ดู ตัวชดเชย Type III

แล็บ: บั๊ก 12 V → 5 V ทีละฮาร์มอนิก พื้นฐาน

ค่าเริ่มต้นคือบั๊กของตัวอย่าง B-1 ดูขาออกแบบ AC (ขยายริปเปิล) และสเปกตรัมเป็น dB เปลี่ยน L หรือ C แล้วดูแท่งที่ 50 kHz ลดตาม $(f_0/f_s)^2$ หรือเปลี่ยน f₀ เป็น 100k ดูริปเปิลลด 4 เท่า

โครงการต่อยอด: ควบคุมบั๊กคอนเวอร์เตอร์ด้วยตัวชดเชย Type II/III · เรียนต่อทั้งวิชา: อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · แล็บจำลองคอนเวอร์เตอร์ระดับการสวิตช์

คำถามที่พบบ่อย

ทำไมบั๊กคอนเวอร์เตอร์ให้แรงดันขาออก D·Vin?

แรงดันที่โหนดสวิตช์เป็นพัลส์สูง Vin ดิวตี้ D อนุกรมฟูเรียร์ของมันมี DC เท่ากับ D·Vin บวกฮาร์มอนิกที่ความถี่สวิตชิ่ง ฟิลเตอร์ LC ให้ DC ผ่านเต็มที่ ( $H(0) = 1$ ) และลดทอนฮาร์มอนิกตาม $(f_0/nf_s)^2$ ขาออกจึงเหลือ D·Vin กับริปเปิลเล็ก ๆ

ประมาณแรงดันริปเปิลของบั๊กอย่างไร?

ใช้ฮาร์มอนิกแรกของโหนดสวิตช์ $\frac{2V_{in}}{\pi}\sin\pi D$ คูณการลดทอนของ LC $(f_0/f_s)^2$ ได้ค่ายอดของริปเปิล คูณสองเป็นค่ายอดถึงยอด ผลต่างจากสูตรจริง $(1-D)V_o/(8LCf_s^2)$ เพียงราว 2–3 % เพราะฮาร์มอนิกสูงกว่าถูกลดทอนมากจนแทบไม่มีผล

ESR ของตัวเก็บประจุมีผลต่อริปเปิลอย่างไร?

กระแสริปเปิลสามเหลี่ยมไหลผ่าน ESR สร้างแรงดันสามเหลี่ยม $\Delta I_L \cdot \mathrm{ESR}$ ซึ่งต่างเฟสกับส่วนของ C ในตัวอย่างบั๊ก 12 V → 5 V ESR 20 mΩ ทำให้ริปเปิลจาก 14.6 mV เป็น 16.9 mV ตัวเก็บประจุอิเล็กโทรไลต์ที่ ESR สูงกว่านี้ ESR มักเป็นตัวกำหนดริปเปิล

เวลาขาขึ้นของสวิตช์มีผลต่อ EMI อย่างไร?

สเปกตรัมของพัลส์คางหมูมีเอนเวโลปแบนถึง $1/(\pi\tau)$ ลด −20 dB/decade ถึง $1/(\pi t_r)$ แล้วลด −40 dB/decade ขอบที่ช้าลง 5 เท่า (10 → 50 ns) ลดเอนเวโลปที่ 30 MHz ได้ราว 13 dB แลกกับความสูญเสียสวิตชิ่งที่เพิ่มขึ้น

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์