พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. อนุกรมฟูเรียร์
  4. กิบส์ · พาร์เซวาล

// บทที่ 14.5 · อนุกรมฟูเรียร์ · Convergence, Gibbs & Parseval

การลู่เข้า ปรากฏการณ์กิบส์ ทฤษฎีบทพาร์เซวาล และอัตราลดของฮาร์มอนิก

อนุกรมฟูเรียร์เป็นผลรวมไม่รู้จบ แต่งานจริงรวมได้แค่จำนวนจำกัด หน้านี้ตอบว่ารวมแค่ N ตัวแล้วผิดไปเท่าไร ตรงไหนผิดมากที่สุด และพลังงานกระจายอยู่ในฮาร์มอนิกอย่างไร คำตอบสุดท้ายคือทฤษฎีบทพาร์เซวาล ซึ่งเป็นฐานของนิยาม RMS และ THD ที่เครื่องวัดทุกเครื่องใช้

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
พาร์เซวาล → RMS กิบส์ อัตราลด กี่ฮาร์มอนิกจึงพอ
สรุปใน 30 วินาที
  • ที่รอยกระโดด อนุกรมให้ค่ากึ่งกลาง ใกล้ ๆ รอยกระโดดพุ่งเกิน 8.95 % ของขนาดกระโดดเสมอ (กิบส์)
  • พาร์เซวาล: Xrms2=a02+∑An2/2X_{rms}^2 = a_0^2 + \sum A_n^2/2 → Xrms=X02+X12+X22+⋯X_{rms} = \sqrt{X_0^2 + X_1^2 + X_2^2 + \cdots} (ใช้ RMS ของแต่ละตัว)
  • THD = Xrms2−X02−X12 / X1\sqrt{X_{rms}^2 - X_0^2 - X_1^2}\,/\,X_1 · สี่เหลี่ยม 48.3 % สามเหลี่ยม 12.1 %
  • มีรอยกระโดด → ลดตาม 1/n · มุมหัก → 1/n² · อนุพันธ์ต่อเนื่อง → 1/n³
ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

อนุกรมลู่เข้าเมื่อไร: เงื่อนไขของดีริชเลต์ กลาง

P1 Dirichlet conditions เงื่อนไขของดีริชเลต์

∫T∣x(t)∣ dt<∞,ในหนึ่งคาบมีจุดสูงสุด/ต่ำสุดจำกัด และรอยกระโดดจำกัด (แต่ละรอยมีขนาดจำกัด)\int_T |x(t)|\,dt \lt \infty,\quad \text{ในหนึ่งคาบมีจุดสูงสุด/ต่ำสุดจำกัด และรอยกระโดดจำกัด (แต่ละรอยมีขนาดจำกัด)}

สัญญาณไฟฟ้าจริงทุกตัวผ่านเงื่อนไขนี้ เป็นเงื่อนไขพอเพียง (ไม่จำเป็น) ฟังก์ชันประหลาดทางคณิตศาสตร์บางตัวเท่านั้นที่ไม่ผ่าน

P2 What the series converges to ผลรวมลู่เข้าสู่อะไร

lim⁡N→∞[a0+∑n=1N(ancos⁡nω0t+bnsin⁡nω0t)]={x(t)จุดที่ต่อเนื่อง12[x(t−)+x(t+)]จุดกระโดด\lim_{N\to\infty}\Big[a_0 + \sum_{n=1}^{N}(a_n\cos n\omega_0 t + b_n\sin n\omega_0 t)\Big] = \begin{cases} x(t) & \text{จุดที่ต่อเนื่อง} \\[2pt] \tfrac12\big[x(t^-) + x(t^+)\big] & \text{จุดกระโดด} \end{cases}

ถ้า x ต่อเนื่องทุกจุดและเป็นคาบ อนุกรมลู่เข้าแบบเอกรูป (ผิดไม่เกินค่าหนึ่งทุกจุดพร้อมกัน) ถ้ามีรอยกระโดด ลู่เข้ารายจุดเท่านั้น ใกล้รอยกระโดดยังผิดมากเสมอ (ดูกิบส์)

ปรากฏการณ์กิบส์: ยอดเกิน 9 % ที่ไม่ยอมหาย กลาง

ลองรวมอนุกรมของสี่เหลี่ยมให้มากขึ้นเรื่อย ๆ ส่วนกลางเรียบขึ้น มุมคมขึ้น แต่ข้างรอยกระโดดมี “หู” แหลมขึ้นไปเกินค่าจริงเสมอ หูนี้แคบลงและเข้าใกล้รอยกระโดดตามจำนวนพจน์ แต่ความสูงไม่ลดลงเลย ค้นพบโดย Wilbraham (1848) และอธิบายโดย Gibbs (1899)

P3 Gibbs overshoot ขนาดและตำแหน่งของหูกิบส์

overshoot→(1πSi(π)−12)Δ=0.0895 Δ,tpeak≈T2(N+1) จากรอยกระโดด\text{overshoot} \to \Big(\frac{1}{\pi}\mathrm{Si}(\pi) - \frac12\Big)\Delta = 0.0895\,\Delta, \qquad t_{peak} \approx \frac{T}{2(N+1)} \text{ จากรอยกระโดด}

Δ\Delta คือขนาดรอยกระโดด Si(π)=∫0πsin⁡uudu=1.8519\mathrm{Si}(\pi) = \int_0^\pi \frac{\sin u}{u}du = 1.8519 · สี่เหลี่ยม ±1 (Δ = 2) จึงพุ่งถึง 1.179 ไม่ว่า N จะมากเท่าไร

P4 Lanczos σ-factors ลดหูกิบส์ด้วยการถ่วงน้ำหนัก

xNσ(t)=a0+∑n=1Nsinc ⁣(nN+1)[ancos⁡nω0t+bnsin⁡nω0t]x_N^{\sigma}(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{N} \mathrm{sinc}\!\Big(\frac{n}{N+1}\Big)\big[a_n\cos n\omega_0 t + b_n\sin n\omega_0 t\big]

ค่อย ๆ ลดน้ำหนักฮาร์มอนิกสูงแทนการตัดทิ้งทันที หูเหลือราว 1 % แลกกับขอบที่มนลง หลักการเดียวกับ “หน้าต่าง” ใน FFT และการออกแบบตัวกรอง FIR ลองติ๊ก “ลดหูกิบส์ (σ)” ในแล็บ

−101t1.1790T/4T/2N = 9N = 49สี่เหลี่ยม
ผลรวมอนุกรมของสี่เหลี่ยม ±1 ถึงฮาร์มอนิกที่ 9 (สีฟ้า) และ 49 (สีส้ม) หูยังสูงราว 1.18 เท่ากัน แค่แคบลง เส้นประบน 1.179 คือขีดจำกัดของกิบส์
ตัวอย่าง P-1 · หูกิบส์ของสี่เหลี่ยม

สี่เหลี่ยม ±1 V รวมถึงฮาร์มอนิกที่ 9 และที่ 99 ค่าสูงสุดของผลรวมเท่าไร และอยู่ห่างจากรอยกระโดดเท่าไร

  1. P3 ทำนาย: 1+0.0895×2=1.1791 + 0.0895 \times 2 = 1.179 V ตำแหน่ง T/(2×10)=0.05TT/(2 \times 10) = 0.05T และ T/200=0.005TT/200 = 0.005T

  2. คำนวณจริงด้วยตัวเลข: N = 9 ได้ยอด 1.1823 V ที่ 0.050T0.050T · N = 99 ได้ 1.1790 V ที่ 0.005T0.005T

ยอดเกินเกือบ 18 % ของแอมพลิจูด (9 % ของ Δ) ทั้งสองกรณี ต่างกันแค่ความกว้าง นี่คือเหตุผลที่ตัวกรองผ่านต่ำแบบ “brick-wall” ทำให้ขอบสี่เหลี่ยมมีการแกว่งราว 9 % เสมอ

ทฤษฎีบทพาร์เซวาล: กำลังรวม = ผลรวมกำลังของแต่ละฮาร์มอนิก พื้นฐาน

ยกกำลังสองอนุกรมแล้วเฉลี่ยตลอดคาบ ผลคูณไขว้ของฮาร์มอนิกต่างความถี่หายหมดตามความตั้งฉาก (T1–T3) เหลือแค่กำลังสองของแต่ละตัว นี่แปลว่าฮาร์มอนิกแต่ละตัวส่งกำลังเข้าตัวต้านทานแยกกันโดยไม่รบกวนกัน

P5 Parseval's theorem ทฤษฎีบทพาร์เซวาล

1T∫Tx2(t) dt=a02+12∑n=1∞(an2+bn2)=a02+∑n=1∞An22=∑n=−∞∞∣cn∣2\frac{1}{T}\int_T x^2(t)\,dt = a_0^2 + \frac12\sum_{n=1}^{\infty}\big(a_n^2 + b_n^2\big) = a_0^2 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{A_n^2}{2} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}|c_n|^2

P6 RMS from harmonic RMS values RMS จากค่า RMS ของแต่ละตัว

Xrms=X02+X12+X22+X32+⋯,Xn=An2X_{rms} = \sqrt{X_0^2 + X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 + \cdots}, \qquad X_n = \frac{A_n}{\sqrt2}

DC ใช้ค่าเต็ม ฮาร์มอนิกใช้ค่า RMS ของตัวเอง ไม่ใช่ผลรวมตรง ๆ แบบเลขคณิต

P7 THD and power in the fundamental THD จากพาร์เซวาล

THD=Xrms2−X02−X12X1,X12Xrms2=11+THD2  (X0=0)\mathrm{THD} = \frac{\sqrt{X_{rms}^2 - X_0^2 - X_1^2}}{X_1}, \qquad \frac{X_1^2}{X_{rms}^2} = \frac{1}{1 + \mathrm{THD}^2} \;(X_0 = 0)

ใช้ RMS ทั้งก้อนแทนการบวกฮาร์มอนิกทีละตัว จึงหา THD แบบแม่นยำของรูปคลื่นในตารางได้ด้วยอินทิกรัลตัวเดียว

ตัวอย่าง P-2 · THD ของสี่เหลี่ยมแบบแม่นยำ

สี่เหลี่ยม ±A มีกำลังในฮาร์มอนิกหลักกี่ % และ THD เท่าไร ถ้ารวมถึงฮาร์มอนิกที่ 5, 9, 49 ได้กำลังกี่ %

  1. Xrms=AX_{rms} = A (สี่เหลี่ยมยกกำลังสองได้ A2A^2 ตลอด) · X1=4Aπ2=0.9003AX_1 = \frac{4A}{\pi\sqrt2} = 0.9003A

  2. สัดส่วนกำลัง X12/Xrms2=8/π2=81.06X_1^2/X_{rms}^2 = 8/\pi^2 = 81.06 %

  3. P7: THD=1/0.8106−1=π2/8−1=48.34\mathrm{THD} = \sqrt{1/0.8106 - 1} = \sqrt{\pi^2/8 - 1} = 48.34 %

  4. สะสม 8π2∑n คี่≤N1n2\frac{8}{\pi^2}\sum_{n\,\text{คี่} \le N}\frac{1}{n^2}: ถึง 5 → 93.31 % · ถึง 9 → 95.96 % · ถึง 49 → 99.19 %

ฮาร์มอนิกหลัก 81.1 % ของกำลัง THD 48.3 % · ต้องรวมถึงฮาร์มอนิกที่ 49 จึงได้ 99 % นี่คือเหตุผลที่เครื่องวิเคราะห์อ่าน THD ได้ราว 47–48 % จากสี่เหลี่ยม (นับถึงลำดับ 40 หรือ 50) ไม่ถึง 48.3 % พอดี

ตัวอย่าง P-3 · แรงดันไฟเพี้ยนเล็กน้อย

แรงดันในอาคาร: ฮาร์มอนิกหลัก 230 V, ที่ 5 = 11.5 V, ที่ 7 = 6.9 V, ที่ 11 = 4.6 V (RMS) หา VrmsV_{rms} และ THD

  1. P6: Vrms=2302+11.52+6.92+4.62=230.44V_{rms} = \sqrt{230^2 + 11.5^2 + 6.9^2 + 4.6^2} = 230.44 V

  2. THD =11.52+6.92+4.62/230=52+32+22 %=6.16= \sqrt{11.5^2 + 6.9^2 + 4.6^2}/230 = \sqrt{5^2 + 3^2 + 2^2}\,\% = 6.16 %

THD 6.2 % (เกินเกณฑ์ กฟภ. 5 % ที่ 0.4 kV) แต่ RMS เพิ่มขึ้นแค่ 0.19 % มิเตอร์จึงแทบไม่เห็นความเปลี่ยนแปลง ต้องดูที่สเปกตรัม ดูขีดจำกัด

ตัวอย่าง P-4 · ผลพลอยได้ทางคณิตศาสตร์

ใช้พาร์เซวาลกับฟันเลื่อย x=tx = t บน −π<t<π-\pi \lt t \lt \pi หาค่า ∑n=1∞1/n2\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^2

  1. จาก S-5: bn=2(−1)n+1/nb_n = 2(-1)^{n+1}/n

  2. ซ้าย: 12π∫−ππt2dt=π23\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2dt = \frac{\pi^2}{3} · ขวา: 12∑4n2=2∑1n2\frac12\sum\frac{4}{n^2} = 2\sum\frac{1}{n^2}

∑1/n2=π2/6\sum 1/n^2 = \pi^2/6 (ปัญหาบาเซิล) ทำแบบเดียวกันกับสามเหลี่ยมได้ ∑n คี่1/n4=π4/96\sum_{n\,\text{คี่}} 1/n^4 = \pi^4/96

ความเรียบกำหนดอัตราลดของฮาร์มอนิก กลาง

ดูรูปคลื่นแล้วบอกความชันของสเปกตรัมบนกราฟ log–log ได้ทันที ยิ่งรูปเรียบ ฮาร์มอนิกสูงยิ่งน้อย ข้อนี้ใช้ออกแบบ EMI (ทำขอบให้ช้าลง) และอธิบายว่าทำไมแรงดันอินเวอร์เตอร์ที่มีขอบคมต้องใช้ฟิลเตอร์

P8 Smoothness ↔ decay ความเรียบกับอัตราลด

มีรอยกระโดด: An∼1n  (−20 dB/dec)มุมหัก: 1n2  (−40)อนุพันธ์แรกต่อเนื่อง: 1n3  (−60)\text{มีรอยกระโดด: } A_n \sim \frac{1}{n}\;(-20\ \text{dB/dec}) \quad \text{มุมหัก: } \frac{1}{n^2}\;(-40) \quad \text{อนุพันธ์แรกต่อเนื่อง: } \frac{1}{n^3}\;(-60)

เหตุผล: ดิฟหนึ่งครั้งคูณสัมประสิทธิ์ด้วย n (C10) รูปที่ต้องดิฟ k ครั้งจึงจะเกิดรอยกระโดด มีสัมประสิทธิ์ลดตาม 1/nk+11/n^{k+1}

0−20−40−60−80135102050ndBสี่เหลี่ยม 1/n · −20 dB/decสามเหลี่ยม 1/n² · −40 dB/dect(π − t) 1/n³ · −60 dB/decยิ่งเรียบ (ไม่กระโดด ไม่หักมุม) ยิ่งลดเร็ว → ฮาร์มอนิกน้อย
แอมพลิจูดเป็น dB เทียบลำดับ n แบบลอการิทึม: สี่เหลี่ยม (1/n) สามเหลี่ยม (1/n²) และพาราโบลาต่อกัน t(π−t)t(\pi - t) ขยายแบบคี่ (1/n³) ความชัน −20, −40, −60 dB ต่อดีเคด
รูปคลื่นลักษณะที่ “ไม่เรียบ”อัตราลดผลในงานจริง
สี่เหลี่ยม พัลส์ PWM ฟันเลื่อยรอยกระโดด1/nEMI สูง ต้องฟิลเตอร์
สามเหลี่ยม ไซน์เรียงกระแส กระแสตัวเหนี่ยวนำมุมหัก1/n²ฮาร์มอนิกสูงน้อย ริปเปิลเกือบเป็นไซน์
พัลส์คางหมู (มีเวลาขาขึ้น)รอยกระโดดถูกทำให้เป็นมุม1/n แล้ว 1/n²หักมุมที่ f=1/(πtr)f = 1/(\pi t_r) B9
ไซน์บริสุทธิ์เรียบทุกอันดับไม่มีฮาร์มอนิกอุดมคติ

อินทิเกรตและดิฟอนุกรมทีละพจน์ ขั้นสูง

P9 Term-by-term operations เมื่อไรทำได้

∫x dt: ทำได้เสมอ (ถ้า a0=0) ลู่เข้าดีขึ้นdxdt: ทำได้เมื่อ x ต่อเนื่องและ x′ ผ่านดีริชเลต์\int x\,dt:\ \text{ทำได้เสมอ (ถ้า } a_0 = 0\text{) ลู่เข้าดีขึ้น} \qquad \frac{dx}{dt}:\ \text{ทำได้เมื่อ } x \text{ ต่อเนื่องและ } x' \text{ ผ่านดีริชเลต์}

ดิฟอนุกรมของสี่เหลี่ยมทีละพจน์ได้ 4Aω0π∑cos⁡nω0t\frac{4A\omega_0}{\pi}\sum\cos n\omega_0 t ซึ่งไม่ลู่เข้าแบบปกติ เพราะอนุพันธ์จริงคือขบวนอิมพัลส์ (C-3)

ในงานจริงต้องรวมกี่ฮาร์มอนิก กลาง

P10 Bandwidth from rise time แบนด์วิดท์ที่ต้องใช้

fBW≈0.35trf_{BW} \approx \frac{0.35}{t_r}

สัญญาณที่มีเวลาขาขึ้น trt_r มีพลังงานสำคัญถึงราว 0.35/tr0.35/t_r ใช้เลือกแบนด์วิดท์สโคป (O8) และจำนวนฮาร์มอนิกที่ต้องจำลอง

งานดูถึงที่มา
คุณภาพไฟฟ้า (THD, IEEE 519)ลำดับที่ 50 (2.5 kHz ที่ 50 Hz)IEEE 519-2022, IEC 61000-4-7 · เครื่อง Class S ใช้ถึง 40
เครื่องใช้ไฟฟ้า ≤ 16 Aลำดับที่ 40IEC 61000-3-2
อินเวอร์เตอร์ PWMอย่างน้อย 2–3 เท่าของ mfm_fไซด์แบนด์อยู่รอบ mfm_f, 2mf2m_f, 3mf3m_f V6
เสียง (THD+N)20 kHzขอบการได้ยิน
EMI นำทาง (conducted)150 kHz – 30 MHzมาตรฐานตระกูล CISPR

แล็บ: กิบส์และพาร์เซวาล พื้นฐาน

เปิดค่าเริ่มต้น N = 99 แล้วดูหูกิบส์ อ่าน “หูกิบส์” ในแผงข้างล่าง (≈ 9 % ของ p-p) ติ๊ก “ลดหูกิบส์ (σ)” เพื่อดูผล P4 และเลื่อน N ลงแล้วดู “กำลังที่รวมแล้ว” เทียบกับตัวอย่าง P-2

คำถามที่พบบ่อย

ปรากฏการณ์กิบส์คืออะไร?

เมื่อรวมอนุกรมฟูเรียร์ถึงจำนวนพจน์จำกัด ใกล้รอยกระโดดจะมียอดพุ่งเกินประมาณ 8.95 % ของขนาดรอยกระโดด เพิ่มพจน์เท่าไรยอดก็ไม่เตี้ยลง แค่แคบลงและเข้าใกล้รอยกระโดดมากขึ้น เป็นเหตุให้ตัวกรองที่ตัดความถี่คมเกิดการแกว่ง (ringing)

ทฤษฎีบทพาร์เซวาลใช้ทำอะไรในงานไฟฟ้า?

ใช้หาค่า RMS จากค่า RMS ของแต่ละฮาร์มอนิก Vrms=V02+V12+V22+⋯V_{rms} = \sqrt{V_0^2 + V_1^2 + V_2^2 + \cdots} ซึ่งเป็นวิธีที่เครื่องวิเคราะห์กำลังใช้ และใช้นิยาม THD ว่าเป็นสัดส่วน RMS ของฮาร์มอนิกทั้งหมดเทียบกับฮาร์มอนิกหลัก

ทำไมสามเหลี่ยมลู่เข้าเร็วกว่าสี่เหลี่ยม?

ความเรียบกำหนดอัตราลด รูปที่มีรอยกระโดด (สี่เหลี่ยม) ลดตาม 1/n หรือ −20 dB/decade รูปที่ต่อเนื่องแต่มุมหัก (สามเหลี่ยม) ลดตาม 1/n² หรือ −40 dB/decade รูปที่อนุพันธ์แรกต่อเนื่องลดตาม 1/n³

วัดฮาร์มอนิกถึงลำดับที่เท่าไรจึงพอ?

งานคุณภาพไฟฟ้าตามมาตรฐาน IEEE 519 และ IEC 61000-4-7 ใช้ถึงลำดับที่ 50 (2.5 kHz ที่ 50 Hz) งานอินเวอร์เตอร์ PWM ต้องดูถึงอย่างน้อยสองถึงสามเท่าของความถี่สวิตชิ่ง งาน EMI ดูถึงหลายสิบ MHz ตามเวลาขาขึ้นของสัญญาณ

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์