// บทที่ 14.1 · อนุกรมฟูเรียร์ · What Is a Fourier Series?

อนุกรมฟูเรียร์คืออะไร: ทุกคลื่นคาบคือผลรวมของไซน์

Q: อนุกรมฟูเรียร์คืออะไรในหนึ่งประโยค?

คือการเขียนสัญญาณที่ซ้ำรูปเดิมทุกคาบ T ให้เป็นผลรวมของค่าคงตัว (DC) กับไซน์และโคไซน์ที่ความถี่เป็นจำนวนเต็มเท่าของ f_0 = 1/T เรียกแต่ละตัวว่าฮาร์มอนิก

Q: ฮาร์มอนิกที่ 3 ของไฟ 50 Hz คือความถี่อะไร?

ฮาร์มอนิกที่ n มีความถี่ n f_0 ไฟ 50 Hz จึงมีฮาร์มอนิกที่ 3 ที่ 150 Hz ที่ 5 ที่ 250 Hz และที่ 7 ที่ 350 Hz ถ้าเป็นระบบ 60 Hz ฮาร์มอนิกที่ 3 อยู่ที่ 180 Hz

คลื่นสี่เหลี่ยมจากเครื่องกำเนิดสัญญาณ แรงดันที่ขาออกของอินเวอร์เตอร์ กระแสที่คอมพิวเตอร์ดึงจากปลั๊ก ทั้งหมดไม่ใช่ไซน์ แต่ทุกรูปที่ซ้ำเดิมเป็นคาบเขียนเป็นผลรวมของไซน์ได้เสมอ นี่คือความคิดของโจเซฟ ฟูเรียร์ และเป็นภาษาที่วิศวกรไฟฟ้าใช้พูดถึงฮาร์มอนิก ตัวกรอง และคุณภาพไฟฟ้า หน้านี้ปูพื้นให้เห็นภาพก่อนลงมือคำนวณในหน้าถัดไป

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต 12 ต.ค. 2569

ลองรวมไซน์เอง แนวคิด ภาษาฮาร์มอนิก ใช้ทำอะไร เรียนต่ออะไร

สรุปใน 30 วินาที

สัญญาณคาบ $x(t + T) = x(t)$ มีความถี่มูลฐาน $f_0 = 1/T$
$x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\big[a_n\cos n\omega_0 t + b_n \sin n\omega_0 t\big]$ โดย $\omega_0 = 2\pi f_0$
ตัวที่ $n$ เรียกว่าฮาร์มอนิกที่ $n$ มีความถี่ $nf_0$ ไฟ 50 Hz จึงมีฮาร์มอนิกที่ 150, 250, 350 Hz …
กราฟของ $A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}$ เทียบ $n$ คือสเปกตรัม สิ่งที่ FFT บนสโคปและเครื่องวิเคราะห์กำลังแสดง

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

แนวคิด: ไซน์คืออิฐก้อนพื้นฐานของทุกคลื่นคาบ พื้นฐาน

ลองนึกถึงคอร์ดดนตรี เสียงที่ได้ยินคือโน้ตหลายตัวที่ดังพร้อมกัน หูของเราแยกได้ว่ามีโน้ตอะไรบ้าง อนุกรมฟูเรียร์ทำแบบเดียวกันกับสัญญาณไฟฟ้า มันบอกว่าคลื่นรูปไหนก็ตามที่ซ้ำเป็นคาบ ประกอบด้วยไซน์ความถี่อะไร ขนาดเท่าไร และเลื่อนเฟสไปเท่าไร

เงื่อนไขเดียวที่ต้องมีคือความเป็นคาบ รูปคลื่นต้องซ้ำเดิมทุกช่วงเวลา $T$ เท่ากัน ไซน์ที่ใช้ประกอบจึงมีได้เฉพาะความถี่ที่ซ้ำพอดีกับคาบนั้น คือ $f_0, 2f_0, 3f_0, \dots$ ไม่มีความถี่อื่นปน

F1 Periodic signal & fundamental frequency สัญญาณคาบและความถี่มูลฐาน

x(t + T) = x(t), \qquad f_0 = \frac{1}{T}, \qquad \omega_0 = 2\pi f_0 = \frac{2\pi}{T}

$T$ คือคาบที่สั้นที่สุดที่รูปซ้ำ ไฟบ้านไทย $f_0 = 50$ Hz, $T = 20$ ms, $\omega_0 = 314.16$ rad/s

F2 Harmonic frequencies ความถี่ของฮาร์มอนิก

f_n = n f_0, \qquad \omega_n = n\omega_0, \qquad n = 1, 2, 3, \dots

$n = 1$ คือฮาร์มอนิกหลัก (fundamental) $n = 2$ คือฮาร์มอนิกที่ 2 ไปเรื่อย ๆ ความถี่ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มเท่าเรียกว่าอินเตอร์ฮาร์มอนิก ไม่อยู่ในอนุกรมฟูเรียร์

F3 Fourier series (trigonometric form) อนุกรมฟูเรียร์รูปตรีโกณมิติ

x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \Big[\, a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t) \,\Big]

$a_0$ คือค่าเฉลี่ย (DC) ส่วน $a_n$ กับ $b_n$ บอกว่ามีโคไซน์และไซน์ของความถี่ $nf_0$ อยู่เท่าไร วิธีหาอยู่ที่ T6 · บางตำราเขียน $a_0/2$ แทน $a_0$ ชุดนี้ใช้ $a_0$ = ค่าเฉลี่ยตลอด เพราะอ่านเป็นแรงดัน DC ได้ทันที

F4 Amplitude–phase form รูปแอมพลิจูด–เฟส (ฮาร์มอนิกละหนึ่งไซน์)

x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos(n\omega_0 t + \varphi_n), \qquad A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}

รวมโคไซน์กับไซน์ความถี่เดียวกันเป็นไซน์ตัวเดียว (harmonic addition จากตรีโกณมิติ) $A_n$ คือแอมพลิจูด (ค่ายอด) ของฮาร์มอนิกที่ $n$ รายละเอียดมุม $\varphi_n$ ที่ C3

คลื่นสี่เหลี่ยม (เส้นประ) กับไซน์ความถี่

f_0

3f_0

5f_0

ที่ขนาด

1, \tfrac13, \tfrac15

ของตัวแรก ผลรวมสามตัว (สีส้ม) เริ่มเหลี่ยมแล้ว

สังเคราะห์: รวมไซน์ให้ได้คลื่นสี่เหลี่ยม พื้นฐาน

คลื่นสี่เหลี่ยมสูง $\pm A$ เขียนเป็นอนุกรมได้ว่า $x(t) = \tfrac{4A}{\pi}\big[\sin\omega_0 t + \tfrac13 \sin 3\omega_0 t + \tfrac15 \sin 5\omega_0 t + \cdots\big]$ มีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ และขนาดลดลงตาม $1/n$ ที่มาของสูตรนี้อยู่ในตัวอย่าง T-1 ตอนนี้ลองเชื่อไปก่อนแล้วดูด้วยตาว่ามันรวมกันเป็นสี่เหลี่ยมจริง กด “▶ เพิ่มทีละตัว” หรือเลื่อน N

ตัวอย่าง F-1 · ผลรวมสามพจน์

ใช้ฮาร์มอนิกที่ 1, 3, 5 ของคลื่นสี่เหลี่ยม $\pm1$ V หาค่าที่ $t = T/4$ และ $t = T/8$ แล้วบอกว่ารวมสามตัวได้กำลังกี่เปอร์เซ็นต์

ที่ $t = T/4$ มุม $\omega_0 t = \pi/2$ : $\sin\tfrac{\pi}{2} = 1$ , $\sin\tfrac{3\pi}{2} = -1$ , $\sin\tfrac{5\pi}{2} = 1$
$x_5\!\left(\tfrac{T}{4}\right) = \frac{4}{\pi}\Big(1 - \tfrac13 + \tfrac15\Big) = 1.2732 \times 0.8667 = 1.1035\ \text{V}$
ที่ $t = T/8$ มุม $\pi/4$ : $\sin 45^\circ = 0.7071$ , $\sin 135^\circ = 0.7071$ , $\sin 225^\circ = -0.7071$
$x_5\!\left(\tfrac{T}{8}\right) = \frac{4}{\pi}\Big(0.7071 + \tfrac{0.7071}{3} - \tfrac{0.7071}{5}\Big) = 1.0204\ \text{V}$
กำลัง (ค่า RMS²) ของสี่เหลี่ยมคือ $A^2 = 1$ ส่วนฮาร์มอนิกที่ $n$ มีกำลัง $A_n^2/2$ P5
$\frac{1}{2}\Big(\frac{4}{\pi}\Big)^2\Big(1 + \tfrac19 + \tfrac1{25}\Big) = 0.8106 \times 1.1511 = 0.9331$

ค่าที่ T/4 เกินไป 10 % ที่ T/8 เกินไป 2 % แต่สามตัวแรกให้กำลังแล้ว 93.3 % ของทั้งหมด ฮาร์มอนิกหลักตัวเดียวมีกำลัง 81.1 % ส่วนที่เหลือคือสิ่งที่ทำให้มุมคม

ตรวจในแล็บด้านบน: ตั้ง N = 5 อ่าน “กำลังที่รวมแล้ว” ได้ 93.31 % ✓

สังเกต: เพิ่มฮาร์มอนิกเท่าไรมุมก็คมขึ้น แต่ยอดแหลมข้างรอยกระโดดไม่หาย มันสูงราว 9 % ของขนาดรอยกระโดดเสมอ เรียกว่าปรากฏการณ์กิบส์ อธิบายที่ 12.5

ภาษาของฮาร์มอนิก: ชื่อที่ต้องรู้ พื้นฐาน

งานไฟฟ้าใช้คำเหล่านี้ทุกวัน ในรายงานคุณภาพไฟฟ้า สเปกของไดรฟ์ หรือหน้าจอเครื่องวัด

F5 DC component องค์ประกอบ DC = ค่าเฉลี่ย

a_0 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} x(t)\,dt

ไซน์บริสุทธิ์มี $a_0 = 0$ คลื่นที่เรียงกระแสแล้ว หรือพัลส์ 0 ถึง 5 V มี $a_0 \neq 0$ ฮาร์มอนิกที่ “ลำดับศูนย์” คือ DC

F6 Odd, even and triplen harmonics ฮาร์มอนิกคี่ คู่ และทริปเพลน

\text{odd: } n = 1, 3, 5, \dots \quad \text{even: } n = 2, 4, \dots \quad \text{triplen: } n = 3, 9, 15, \dots

ครึ่งบวกกับครึ่งลบหน้าตาเหมือนกัน (กลับหัว) → มีแต่ฮาร์มอนิกคี่ S4 · ทริปเพลน (คี่ที่หารด้วย 3 ลงตัว) บวกกันในสายนิวทรัล H10

F7 Line spectrum สเปกตรัมเส้น: มองสัญญาณในโดเมนความถี่

x(t) \;\longleftrightarrow\; \{\, a_0;\ (A_1, \varphi_1);\ (A_2, \varphi_2);\ \dots \,\} \quad \text{at} \quad 0,\ f_0,\ 2f_0,\ \dots

สัญญาณคาบมีพลังงานเฉพาะที่ความถี่ $nf_0$ กราฟสเปกตรัมจึงเป็นแท่ง ๆ ไม่ต่อเนื่อง ระยะห่างของแท่งคือ $f_0 = 1/T$ เครื่องวัดมักแสดงเป็นค่า RMS $A_n/\sqrt2$ หรือเป็น % ของฮาร์มอนิกหลัก

สัญญาณเดียวกันสองมุมมอง: ซ้ายคือโดเมนเวลา (สิ่งที่สโคปแสดง) ขวาคือโดเมนความถี่ (สิ่งที่ FFT หรือเครื่องวิเคราะห์กำลังแสดง) ไฟ 50 Hz ที่มีฮาร์มอนิกที่ 3 และ 5

ลำดับ n	ที่ 50 Hz	ที่ 60 Hz	แหล่งกำเนิดที่พบบ่อยในงานไฟฟ้า
0 (DC)	0 Hz	0 Hz	เรียงกระแสครึ่งคลื่น อุปกรณ์เสียข้างเดียว
1 (หลัก)	50 Hz	60 Hz	ไฟจากการไฟฟ้า กำลังจริงส่วนใหญ่อยู่ที่นี่
2	100 Hz	120 Hz	กระแสพุ่งเข้าหม้อแปลง (inrush) โหลดไม่สมมาตร
3	150 Hz	180 Hz	SMPS คอมพิวเตอร์ หลอด LED หม้อแปลงอิ่มตัว → นิวทรัลร้อน
5, 7	250, 350 Hz	300, 420 Hz	เรกติไฟเออร์ 3 เฟส 6 พัลส์ ไดรฟ์ VFD UPS 12.9
11, 13	550, 650 Hz	660, 780 Hz	6 พัลส์ (รองลงมา) และ 12 พัลส์
รอบ $m_f$	kHz	kHz	สวิตชิ่งของอินเวอร์เตอร์ PWM 12.10

อ่านสัมประสิทธิ์โดยไม่ต้องอินทิเกรต พื้นฐาน

ถ้าสัญญาณเขียนเป็นผลรวมของไซน์อยู่แล้ว อนุกรมฟูเรียร์ก็คือตัวมันเอง แค่จัดรูปให้ตรงกับ F3 และถ้าเป็นกำลังของไซน์ ใช้สูตรลดกำลังจากตรีโกณมิติเปลี่ยนเป็นผลบวกได้ทันที

ตัวอย่าง F-2 · อ่านค่าตรง

$v(t) = 12 + 5\cos(100\pi t) - 2\sin(300\pi t)$ V หาคาบ $f_0$ , $a_0$ , $a_n$ , $b_n$ และค่า RMS

ความถี่เชิงมุมที่มีคือ $100\pi$ และ $300\pi$ rad/s ตัวที่ต่ำที่สุดที่ทุกตัวเป็นจำนวนเต็มเท่าคือ $\omega_0 = 100\pi$ → $f_0 = 50$ Hz, $T = 20$ ms
เทียบกับ F3: $a_0 = 12$ , $a_1 = 5$ , $b_3 = -2$ ค่าอื่นเป็นศูนย์ทั้งหมด (ไม่มีฮาร์มอนิกที่ 2)
RMS จากพาร์เซวาล P6: DC ใช้ค่าเต็ม ไซน์ใช้ $A/\sqrt2$
$V_{rms} = \sqrt{12^2 + \tfrac{5^2}{2} + \tfrac{2^2}{2}} = \sqrt{144 + 12.5 + 2} = 12.59\ \text{V}$

$f_0 = 50$ Hz · $a_0 = 12$ V · $a_1 = 5$ V · $b_3 = -2$ V · $V_{rms} = 12.59$ V

ตัวอย่าง F-3 · ความไม่เป็นเชิงเส้นสร้างฮาร์มอนิก

ป้อน $x = \sin\omega t$ เข้าอุปกรณ์ที่ได้ขาออก $y = x^2$ และ $y = x^3$ ขาออกมีฮาร์มอนิกอะไรบ้าง

สูตรลดกำลัง (power-reduction) จากตรีโกณมิติ
$\sin^2\omega t = \tfrac12 - \tfrac12\cos 2\omega t$
$\sin^3\omega t = \tfrac34\sin\omega t - \tfrac14\sin 3\omega t$
อ่านค่า: $x^2$ มี $a_0 = \tfrac12$ , $a_2 = -\tfrac12$ · $x^3$ มี $b_1 = \tfrac34$ , $b_3 = -\tfrac14$

กำลังสอง (ไม่สมมาตร) สร้าง DC กับฮาร์มอนิกคู่ กำลังสาม (สมมาตรแบบคี่) สร้างเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ นี่คือเหตุผลที่แกนเหล็กหม้อแปลงที่อิ่มตัว (คี่) สร้างฮาร์มอนิกที่ 3 และไดโอด (ไม่สมมาตร) สร้างฮาร์มอนิกคู่ ดู S7

ทำไมวิศวกรไฟฟ้าต้องรู้อนุกรมฟูเรียร์ พื้นฐาน

หลักการเดียวกันใช้ได้ตั้งแต่ห้องแล็บวงจรจนถึงสถานีไฟฟ้า ทุกงานในตารางนี้มีหน้าอธิบายในชุดนี้

งาน	คำถามที่ฟูเรียร์ตอบ	อ่านต่อ
คุณภาพไฟฟ้า	THD เท่าไร ผ่าน IEEE 519 ไหม ทำไม PF ต่ำทั้งที่ cos φ ดี	12.8
อาคารสำนักงาน	ทำไมสายนิวทรัลร้อน หม้อแปลงร้อน ทั้งที่โหลดไม่เต็ม	H10
โรงงาน	ทำไมคาปาซิเตอร์แก้ PF ระเบิด ต้องใช้รีแอกเตอร์ดีจูนกี่ %	12.12
อิเล็กทรอนิกส์กำลัง	อินเวอร์เตอร์ PWM มีฮาร์มอนิกที่ไหน ต้องกรองที่ความถี่เท่าไร	12.10
แหล่งจ่ายไฟ	ริปเปิลของบั๊กคอนเวอร์เตอร์เท่าไร EMI ไปถึงกี่ MHz	12.11
วงจรกรองสัญญาณ	คลื่นสี่เหลี่ยมผ่าน RC แล้วได้อะไร ทำไมมุมมน	12.7
เครื่องมือวัด	FFT บนสโคปและเครื่องวิเคราะห์กำลังคำนวณอย่างไร ทำไมค่าคลาดเคลื่อน	12.13
ระบบควบคุม	ทำนายลิมิตไซเคิลด้วยฮาร์มอนิกหลัก (describing function)	U1

มุมมองของอาจารย์: ช่างเทคนิควัด THD ได้จากเครื่องวัด แต่วิศวกรต้องตอบได้ว่าตัวเลขนั้นมาจากไหน จะเปลี่ยนอะไรในวงจรให้มันลดลง และจะลดลงเท่าไร คำตอบทั้งหมดมาจากสูตรสามบรรทัดของฟูเรียร์

อนุกรมฟูเรียร์ใช้กับอะไรได้ และอะไรไม่ได้ กลาง

ใช้ได้: สัญญาณคาบในสถานะคงตัว (steady state) ที่ปฏิบัติตามเงื่อนไขของดีริชเลต์ ซึ่งสัญญาณไฟฟ้าจริงทุกตัวผ่าน แม้จะมีรอยกระโดดหรือมุมแหลม P1
ไม่เป็นคาบ เช่นพัลส์เดียว ใช้การแปลงฟูเรียร์ (Fourier transform) ได้สเปกตรัมต่อเนื่อง ดูแล็บสัญญาณ
ช่วงชั่วครู่ เช่นสวิตช์เพิ่งเปิด ใช้การแปลงลาปลาซ แล้วค่อยใช้ฟูเรียร์กับส่วนสถานะคงตัว
ความถี่ไม่สัมพันธ์กัน เช่น 50 Hz กับ 173 Hz ผลรวมไม่เป็นคาบที่สั้น เรียก 173 Hz ว่าอินเตอร์ฮาร์มอนิก เครื่องวัดตามมาตรฐานจัดกลุ่มแยกไว้ D8

ประวัติสั้น ๆ: Joseph Fourier เสนอแนวคิดนี้ในงานเรื่องการนำความร้อน (ค.ศ. 1807) และตีพิมพ์หนังสือ Théorie analytique de la chaleur ใน ค.ศ. 1822 คำถามว่าอนุกรมลู่เข้าเมื่อใดถูกตอบภายหลังโดย Dirichlet

เรียนต่ออะไร: เส้นทางในชุดนี้ พื้นฐาน

12.2 หาสัมประสิทธิ์ทีละขั้น ต้องใช้อินทิกรัล (ทีละส่วน) และตรีโกณมิติ
12.3 สมมาตร ลดงานคำนวณได้ครึ่งหนึ่งหรือมากกว่า
12.4 รูปเชิงซ้อนและสเปกตรัม และ 12.5 พาร์เซวาล สะพานสู่ RMS และ THD
12.6 ตารางรูปคลื่น ใช้เป็นสูตรสำเร็จในงานจริง
นำไปใช้: วงจร → กำลังไฟฟ้า → เรกติไฟเออร์ → อินเวอร์เตอร์ → บั๊ก → วิธีแก้
วัดจริง: FFT และแล็บเสมือน

คำถามที่พบบ่อย

อนุกรมฟูเรียร์คืออะไรในหนึ่งประโยค?

คือการเขียนสัญญาณที่ซ้ำรูปเดิมทุกคาบ $T$ ให้เป็นผลรวมของค่าคงตัว (DC) กับไซน์และโคไซน์ที่ความถี่เป็นจำนวนเต็มเท่าของ $f_0 = 1/T$ เรียกแต่ละตัวว่าฮาร์มอนิก

ฮาร์มอนิกที่ 3 ของไฟ 50 Hz คือความถี่อะไร?

ฮาร์มอนิกที่ n มีความถี่ $n f_0$ ไฟ 50 Hz จึงมีฮาร์มอนิกที่ 3 ที่ 150 Hz ที่ 5 ที่ 250 Hz และที่ 7 ที่ 350 Hz ถ้าเป็นระบบ 60 Hz ฮาร์มอนิกที่ 3 อยู่ที่ 180 Hz

อนุกรมฟูเรียร์ต่างจากการแปลงฟูเรียร์และการแปลงลาปลาซอย่างไร?

อนุกรมฟูเรียร์ใช้กับสัญญาณคาบ ได้สเปกตรัมเป็นเส้นที่ความถี่ $nf_0$ การแปลงฟูเรียร์ใช้กับสัญญาณไม่เป็นคาบ ได้สเปกตรัมต่อเนื่อง ส่วนการแปลงลาปลาซใช้ $s = \sigma + j\omega$ เหมาะกับผลตอบสนองชั่วครู่ที่เริ่มจากเวลา 0 งานฮาร์มอนิกในระบบไฟฟ้าซึ่งอยู่ในสถานะคงตัวจึงใช้อนุกรมฟูเรียร์

ทำไมไฟในอาคารที่ใช้คอมพิวเตอร์มากจึงมีฮาร์มอนิกสูง?

แหล่งจ่ายไฟสวิตชิ่งที่ไม่มี PFC ดึงกระแสเป็นพัลส์แหลมเฉพาะช่วงยอดแรงดัน กระแสรูปนี้เมื่อแยกด้วยอนุกรมฟูเรียร์มีฮาร์มอนิกคี่จำนวนมาก โดยเฉพาะที่ 3 ซึ่งบวกกันในสายนิวทรัล ดูหน้าเรื่องกำลังไฟฟ้าเมื่อมีฮาร์มอนิก

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์