ทางลัดด้วยสมมาตร: ฟังก์ชันคู่ คี่ ครึ่งคลื่น เสี้ยวคลื่น และการเลื่อน

1. คี่และครึ่งคลื่น → เสี้ยวคลื่น ใช้ S5 ช่วง $0 \lt t \lt T/4$ เส้นตรง $x = 4At/T$

2. อินทิกรัลทีละส่วน T10

   $$b_n = \frac{8}{T}\cdot\frac{4A}{T}\Big[-\frac{t\cos n\omega_0 t}{n\omega_0} + \frac{\sin n\omega_0 t}{(n\omega_0)^2}\Big]_0^{T/4}$$

3. n คี่: $\cos(n\pi/2) = 0$ พจน์แรกหาย เหลือ $\sin(n\pi/2)/(n\omega_0)^2$ และ $(n\omega_0)^2 = 4\pi^2n^2/T^2$

   $$b_n = \frac{32A}{T^2}\cdot\frac{T^2\sin(n\pi/2)}{4\pi^2 n^2} = \frac{8A}{\pi^2 n^2}\sin\frac{n\pi}{2}$$

$x(t) = \dfrac{8A}{\pi^2}\Big[\sin\omega_0 t - \tfrac19\sin 3\omega_0 t + \tfrac1{25}\sin 5\omega_0 t - \cdots\Big]$ · ลดลงตาม $1/n^2$ เร็วกว่าสี่เหลี่ยมมาก ฮาร์มอนิกที่ 3 เหลือ 11.1 % ของหลัก

1. เสี้ยวคลื่น (คี่ + ครึ่งคลื่น) ใช้รูปมุมของ S5 ในช่วง $0$ ถึง $\pi/2$ มีค่า A เฉพาะ $\alpha$ ถึง $\pi/2$

   $$b_n = \frac{4}{\pi}\int_{\alpha}^{\pi/2} A\sin n\theta\,d\theta = \frac{4A}{n\pi}\Big[\cos n\alpha - \cos\frac{n\pi}{2}\Big] = \frac{4A}{n\pi}\cos n\alpha \quad (n \text{ คี่})$$

2. $\alpha = 30^\circ$: $b_1 = \frac{4A}{\pi}(0.866) = 1.1027A$ · $b_3 = \frac{4A}{3\pi}\cos 90^\circ = 0$ · $b_5 = \frac{4A}{5\pi}\cos 150^\circ = -0.2205A$ · $b_7 = -0.1575A$ · $b_{11} = 0.1002A$

มุม α = 30° ทำให้ $\cos 3\alpha = 0$ ฮาร์มอนิกที่ 3, 9, 15 หายหมด ที่เหลือคือ $1/n$ ของหลักพอดี (THD 31.1 %) นี่คือแรงดันไลน์ของอินเวอร์เตอร์ six-step และหน้าตาเดียวกับกระแสเรกติไฟเออร์ 6 พัลส์ V2

ลองเปลี่ยน α ในแล็บด้านล่าง: α = 18° ฮาร์มอนิกที่ 5 หาย ($\cos 90^\circ$) แต่ที่ 3 กลับมา

1. ฟังก์ชันใหม่ $x_e(t) = x(t + T/4)$ แทนในแต่ละพจน์ $\sin n\omega_0(t + T/4) = \sin n\omega_0 t\cos\tfrac{n\pi}{2} + \cos n\omega_0 t\sin\tfrac{n\pi}{2}$

2. n คี่: $\cos\frac{n\pi}{2} = 0$ และ $\sin\frac{n\pi}{2} = (-1)^{(n-1)/2}$ T11 → $a_n = \frac{4A}{n\pi}(-1)^{(n-1)/2}$

$x_e(t) = \dfrac{4A}{\pi}\Big[\cos\omega_0 t - \tfrac13\cos 3\omega_0 t + \tfrac15\cos 5\omega_0 t - \cdots\Big]$ ขนาดทุกตัวเท่าเดิม เปลี่ยนแค่เครื่องหมายสลับ ซึ่งคือเฟส

1. (ก) $f(-x) = -f(x)$ → ไม่มี DC ไม่มี n คู่ อินทิเกรตเป็นช่วงไซน์กับช่วงค่าคงตัว ได้ $b_1 = 0.812$, $b_3 = 0.108$ (13.3 %), $b_5 = -0.020$ (2.5 %), $b_7 = -0.016$ (2.0 %) THD = 13.8 %

2. (ข) ตัดข้างเดียว สมมาตรครึ่งคลื่นหาย: $a_0 = -0.078$ (ค่าเฉลี่ยติดลบ เพราะส่วนบนหายไป) $b_1 = 0.858$, $a_2 = 0.109$ (12.7 %), $b_3 = 0.065$ (7.6 %), $a_4 = -0.025$ (2.9 %) THD = 15.2 %

ตัดสมมาตรได้เฉพาะคี่ ตัดข้างเดียวได้ DC และฮาร์มอนิกที่ 2 เด่น วิศวกรเสียงใช้ข้อนี้บอกได้ว่าเครื่องขยายตัดยอดข้างไหน ทั้งหมดคำนวณแบบปิด (ไม่ประมาณ) ในแล็บ เลือก “ไซน์ถูกตัดยอด”

1. $L = \pi$ ใช้ S10 และ T10

   $$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin nx\,dx = \frac{2}{\pi}\Big[-\frac{x\cos nx}{n} + \frac{\sin nx}{n^2}\Big]_0^{\pi} = \frac{2}{\pi}\cdot\Big(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\Big) = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$$

$x = 2\big(\sin x - \tfrac12\sin 2x + \tfrac13\sin 3x - \cdots\big)$ บน $0 \lt x \lt \pi$ ซึ่งก็คือฟันเลื่อยของ T-3 นั่นเอง (ขยายแบบคี่ของเส้นตรงคือฟันเลื่อย)

1. (ก) พัลส์บวกกับลบหน้าตาเหมือนกัน → ครึ่งคลื่น → เฉพาะคี่ (3, 5, 7, …) ไม่มี DC

2. (ข) ไม่มีสมมาตรครึ่งคลื่น มี DC = 1.25 V · ถ้าวางกึ่งกลางพัลส์ที่ t = 0 เป็นฟังก์ชันคู่ → มีแต่โคไซน์ ทั้ง n คู่และคี่ (ยกเว้น n = 4, 8, …)

3. (ค) ซ้ำทุกครึ่งคาบของไฟ → เฉพาะ n คู่ และเป็นฟังก์ชันคู่ (วาง t = 0 ที่ยอด) → โคไซน์ล้วน

4. (ง) ครึ่งคลื่น + คู่ (วางกึ่งกลางบล็อกที่ t = 0) → เสี้ยวคลื่น เฉพาะคี่ และความเป็น 3 เฟสตัด 3, 9, 15 ออกอีก เหลือ 6k ± 1

5. (จ) คี่แต่ไม่มีครึ่งคลื่น → ไซน์ล้วน มีทุก n

ลองยืนยันทุกข้อในแล็บด้านล่าง แผงด้านล่างกราฟบอกสมมาตรที่ตรวจพบจากสัมประสิทธิ์ให้อัตโนมัติ