หน้าแรก คลังความรู้ อนุกรมฟูเรียร์ หา a₀ aₙ bₙ Fourier Series & Harmonic Analysis ดูครบทุกส่วน · 14 หน้า 1 · คณิตศาสตร์ของอนุกรมฟูเรียร์ // บทที่ 14.2 · อนุกรมฟูเรียร์ · Finding the Coefficients
หาสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์ทีละขั้น: ความตั้งฉากและสูตรออยเลอร์
ทุกโจทย์อนุกรมฟูเรียร์จบที่อินทิกรัลสามตัว แต่ถ้าเข้าใจว่าทำไมอินทิกรัลนั้นดึงสัมประสิทธิ์ออกมาได้ จะไม่ต้องจำสูตรและไม่สับสน 1/T กับ 2/T อีก หน้านี้เริ่มจากความตั้งฉากของไซน์ ซึ่งเป็นแนวคิดเดียวกับผลคูณจุดของเวกเตอร์ แล้วทำตัวอย่างที่เจอในงานไฟฟ้าทีละขั้น
สรุปใน 30 วินาที
a 0 = 1 T ∫ T x d t a_0 = \frac{1}{T}\int_T x\,dt a 0 = T 1 ∫ T x d t a n = 2 T ∫ T x cos n ω 0 t d t a_n = \frac{2}{T}\int_T x\cos n\omega_0 t\,dt a n = T 2 ∫ T x cos n ω 0 t d t b n = 2 T ∫ T x sin n ω 0 t d t b_n = \frac{2}{T}\int_T x\sin n\omega_0 t\,dt b n = T 2 ∫ T x sin n ω 0 t d t มาจากความตั้งฉาก: ∫ T cos m ω 0 t cos n ω 0 t d t = 0 \int_T \cos m\omega_0 t\cos n\omega_0 t\,dt = 0 ∫ T cos m ω 0 t cos n ω 0 t d t = 0 m ≠ n m \ne n m = n
ค่าที่ใช้ตลอด: sin n π = 0 \sin n\pi = 0 sin nπ = 0 cos n π = ( − 1 ) n \cos n\pi = (-1)^n cos nπ = ( − 1 ) n ∫ t sin a t d t = − t cos a t a + sin a t a 2 \int t\sin at\,dt = -\tfrac{t\cos at}{a} + \tfrac{\sin at}{a^2} ∫ t sin a t d t = − a t c o s a t + a 2 s i n a t
ดูสมมาตรก่อนอินทิเกรตทุกครั้ง ลดงานได้ครึ่งหนึ่ง 12.3
ระดับ พื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย
ค้นหาสูตรในหน้านี้
โหมดฝึกทำ: ซ่อนวิธีทำ
ความตั้งฉากของไซน์และโคไซน์ พื้นฐาน
เวกเตอร์สองตัวตั้งฉากกันเมื่อผลคูณจุดเป็นศูนย์ ผลคูณจุด คือผลคูณของส่วนประกอบแต่ละตัวแล้วรวมกัน สำหรับฟังก์ชัน “ส่วนประกอบ” มีต่อเนื่องทุกค่าของ t t t cos n ω 0 t \cos n\omega_0 t cos n ω 0 t sin n ω 0 t \sin n\omega_0 t sin n ω 0 t
T1 Orthogonality of sines
∫ 0 T sin m ω 0 t sin n ω 0 t d t = { 0 m ≠ n T / 2 m = n ≠ 0 \int_{0}^{T} \sin m\omega_0 t\,\sin n\omega_0 t\,dt = \begin{cases} 0 & m \ne n \\ T/2 & m = n \ne 0 \end{cases} ∫ 0 T sin m ω 0 t sin n ω 0 t d t = { 0 T /2 m = n m = n = 0 T2 Orthogonality of cosines
∫ 0 T cos m ω 0 t cos n ω 0 t d t = { 0 m ≠ n T / 2 m = n ≠ 0 T m = n = 0 \int_{0}^{T} \cos m\omega_0 t\,\cos n\omega_0 t\,dt = \begin{cases} 0 & m \ne n \\ T/2 & m = n \ne 0 \\ T & m = n = 0 \end{cases} ∫ 0 T cos m ω 0 t cos n ω 0 t d t = ⎩ ⎨ ⎧ 0 T /2 T m = n m = n = 0 m = n = 0 T3 Sine ⟂ cosine
∫ 0 T sin m ω 0 t cos n ω 0 t d t = 0 ทุก m , n \int_{0}^{T} \sin m\omega_0 t\,\cos n\omega_0 t\,dt = 0 \quad \text{ทุก } m, n ∫ 0 T sin m ω 0 t cos n ω 0 t d t = 0 ทุก m , n T4 A whole number of cycles averages to zero
∫ 0 T cos n ω 0 t d t = ∫ 0 T sin n ω 0 t d t = 0 , n ≥ 1 \int_{0}^{T} \cos n\omega_0 t\,dt = \int_{0}^{T} \sin n\omega_0 t\,dt = 0,\quad n \ge 1 ∫ 0 T cos n ω 0 t d t = ∫ 0 T sin n ω 0 t d t = 0 , n ≥ 1 T1–T3 พิสูจน์ได้ด้วยสูตรผลคูณเป็นผลบวก (product-to-sum ) แล้วใช้ T4 กับแต่ละพจน์ · ดูตารางเต็มที่ตรีโกณมิติ
t T/2 T sin t · sin 3t พื้นที่ + และ − เท่ากัน → ∫ = 0 t ½ T/2 T sin t · sin t = sin²t ไม่ติดลบ เฉลี่ย ½ → ∫ = T/2 ซ้าย: sin t ⋅ sin 3 t \sin t \cdot \sin 3t sin t ⋅ sin 3 t sin t ⋅ sin t = sin 2 t \sin t \cdot \sin t = \sin^2 t sin t ⋅ sin t = sin 2 t
สูตรออยเลอร์–ฟูเรียร์: หา a₀ aₙ bₙ พื้นฐาน
สมมติว่า x ( t ) = a 0 + ∑ n [ a n cos n ω 0 t + b n sin n ω 0 t ] x(t) = a_0 + \sum_n [a_n \cos n\omega_0 t + b_n \sin n\omega_0 t] x ( t ) = a 0 + ∑ n [ a n cos n ω 0 t + b n sin n ω 0 t ] a m a_m a m cos m ω 0 t \cos m\omega_0 t cos m ω 0 t a m cos 2 m ω 0 t a_m\cos^2 m\omega_0 t a m cos 2 m ω 0 t a m T / 2 a_m T/2 a m T /2
T5 Multiply and integrate (projection)
∫ 0 T x ( t ) cos m ω 0 t d t = a m ∫ 0 T cos 2 m ω 0 t d t = a m T 2 \int_{0}^{T} x(t)\cos m\omega_0 t\,dt = a_m \int_0^T \cos^2 m\omega_0 t\,dt = a_m\,\frac{T}{2} ∫ 0 T x ( t ) cos m ω 0 t d t = a m ∫ 0 T cos 2 m ω 0 t d t = a m 2 T เหมือนหาส่วนประกอบของเวกเตอร์: a m = ⟨ x , cos ⟩ ⟨ cos , cos ⟩ a_m = \dfrac{\langle x, \cos\rangle}{\langle \cos, \cos\rangle} a m = ⟨ cos , cos ⟩ ⟨ x , cos ⟩
T6 Euler–Fourier formulas
a 0 = 1 T ∫ t 0 t 0 + T x ( t ) d t , a n = 2 T ∫ t 0 t 0 + T x ( t ) cos n ω 0 t d t , b n = 2 T ∫ t 0 t 0 + T x ( t ) sin n ω 0 t d t a_0 = \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} x(t)\,dt, \qquad a_n = \frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} x(t)\cos n\omega_0 t\,dt, \qquad b_n = \frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} x(t)\sin n\omega_0 t\,dt a 0 = T 1 ∫ t 0 t 0 + T x ( t ) d t , a n = T 2 ∫ t 0 t 0 + T x ( t ) cos n ω 0 t d t , b n = T 2 ∫ t 0 t 0 + T x ( t ) sin n ω 0 t d t เลือก t 0 t_0 t 0 − T / 2 -T/2 − T /2 T / 2 T/2 T /2 t = 0 t = 0 t = 0
T7 In terms of angle θ = ω₀t
a 0 = 1 2 π ∫ 0 2 π x ( θ ) d θ , a n = 1 π ∫ 0 2 π x ( θ ) cos n θ d θ , b n = 1 π ∫ 0 2 π x ( θ ) sin n θ d θ a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} x(\theta)\,d\theta, \qquad a_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} x(\theta)\cos n\theta\,d\theta, \qquad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} x(\theta)\sin n\theta\,d\theta a 0 = 2 π 1 ∫ 0 2 π x ( θ ) d θ , a n = π 1 ∫ 0 2 π x ( θ ) cos n θ d θ , b n = π 1 ∫ 0 2 π x ( θ ) sin n θ d θ แทน θ = ω 0 t \theta = \omega_0 t θ = ω 0 t d θ = ω 0 d t d\theta = \omega_0\,dt d θ = ω 0 d t 2 / T ⋅ d t = d θ / π 2/T \cdot dt = d\theta/\pi 2/ T ⋅ d t = d θ / π
T8 The a₀/2 convention
x ( t ) = a 0 ′ 2 + ∑ n [ ⋯ ] , a 0 ′ = 2 T ∫ T x d t = 2 a 0 x(t) = \frac{a_0'}{2} + \sum_{n}\big[\cdots\big], \qquad a_0' = \frac{2}{T}\int_T x\,dt = 2a_0 x ( t ) = 2 a 0 ′ + n ∑ [ ⋯ ] , a 0 ′ = T 2 ∫ T x d t = 2 a 0 ทั้งสองแบบให้อนุกรมเดียวกัน ต่างกันแค่ชื่อ ก่อนใช้สูตรจากตำราใด ตรวจก่อนว่าพจน์ DC เขียนแบบไหน ชุดนี้ใช้ a 0 a_0 a 0
อินทิกรัลและค่าที่ใช้บ่อย พื้นฐาน
รูปคลื่นในงานไฟฟ้าส่วนใหญ่ประกอบด้วยช่วงที่เป็นค่าคงตัว เส้นตรง หรือไซน์ อินทิกรัลจึงวนอยู่แค่ไม่กี่แบบ อินทิกรัลทีละส่วน (by parts) ทบทวนได้ที่หน้าอินทิกรัล
T9 ∫ t cos at dt
∫ t cos a t d t = t sin a t a + cos a t a 2 + C \int t\cos at\,dt = \frac{t\sin at}{a} + \frac{\cos at}{a^2} + C ∫ t cos a t d t = a t sin a t + a 2 cos a t + C T10 ∫ t sin at dt
∫ t sin a t d t = − t cos a t a + sin a t a 2 + C \int t\sin at\,dt = -\frac{t\cos at}{a} + \frac{\sin at}{a^2} + C ∫ t sin a t d t = − a t cos a t + a 2 sin a t + C T11 Values at multiples of π (n integer)
sin n π = 0 , cos n π = ( − 1 ) n , sin n π 2 = { 0 n คู่ ( − 1 ) ( n − 1 ) / 2 n คี่ , cos n π 2 = { ( − 1 ) n / 2 n คู่ 0 n คี่ \sin n\pi = 0,\qquad \cos n\pi = (-1)^n,\qquad \sin\tfrac{n\pi}{2} = \begin{cases} 0 & n \text{ คู่} \\ (-1)^{(n-1)/2} & n \text{ คี่}\end{cases},\qquad \cos\tfrac{n\pi}{2} = \begin{cases} (-1)^{n/2} & n \text{ คู่} \\ 0 & n \text{ คี่}\end{cases} sin nπ = 0 , cos nπ = ( − 1 ) n , sin 2 nπ = { 0 ( − 1 ) ( n − 1 ) /2 n คู่ n คี่ , cos 2 nπ = { ( − 1 ) n /2 0 n คู่ n คี่ 1 − cos n π = 1 − ( − 1 ) n 1 - \cos n\pi = 1 - (-1)^n 1 − cos nπ = 1 − ( − 1 ) n
T12 Product-to-sum for sinusoidal segments
sin θ cos n θ = 1 2 [ sin ( 1 + n ) θ + sin ( 1 − n ) θ ] , sin θ sin n θ = 1 2 [ cos ( 1 − n ) θ − cos ( 1 + n ) θ ] \sin\theta\cos n\theta = \tfrac12\big[\sin(1+n)\theta + \sin(1-n)\theta\big],\qquad \sin\theta\sin n\theta = \tfrac12\big[\cos(1-n)\theta - \cos(1+n)\theta\big] sin θ cos n θ = 2 1 [ sin ( 1 + n ) θ + sin ( 1 − n ) θ ] , sin θ sin n θ = 2 1 [ cos ( 1 − n ) θ − cos ( 1 + n ) θ ] เมื่อ n = 1 n = 1 n = 1 ( 1 − n ) θ (1 - n)\theta ( 1 − n ) θ 1 − n 1 - n 1 − n
ขั้นตอน 6 ขั้นที่ใช้ได้ทุกโจทย์ พื้นฐาน
หาคาบและ ω 0 \omega_0 ω 0 จากรูป อ่านช่วงที่ซ้ำ ไม่ใช่ช่วงที่เป็นบวกเขียน x ( t ) x(t) x ( t ) ในหนึ่งคาบ เลือกช่วงอินทิเกรตที่สะดวกดูสมมาตร (คู่ คี่ ครึ่งคลื่น) แล้วตัดพจน์ที่เป็นศูนย์ทิ้งก่อน ตารางตัดสินใจ หา a 0 a_0 a 0 จากพื้นที่ใต้กราฟหารคาบ (มักไม่ต้องอินทิเกรตจริง)หา a n a_n a n b n b_n b n ด้วย T6 หรือ T7 แล้วแทน T11 ให้เหลือรูปที่ขึ้นกับ n ชัดเจน ระวังกรณี n พิเศษตรวจ : แทนค่า t หนึ่งจุด ใช้พาร์เซวาล และเปิดแล็บสังเคราะห์ ดูวิธีตรวจ
ตัวอย่างวิธีทำ กลาง
ห้าตัวอย่างนี้ครอบคลุมรูปแบบที่เจอในข้อสอบและงานจริงเกือบทั้งหมด กด “▶ ดูทีละขั้น” เพื่อเปิดทีละบรรทัด หรือเปิดโหมดฝึกทำเพื่อลองทำเองก่อน
ตัวอย่าง T-1 · คลื่นสี่เหลี่ยม x ( t ) = A x(t) = A x ( t ) = A 0 < t < T / 2 0 \lt t \lt T/2 0 < t < T /2 − A -A − A T / 2 < t < T T/2 \lt t \lt T T /2 < t < T
a 0 a_0 a 0 A T / 2 AT/2 A T /2 A T / 2 AT/2 A T /2 a 0 = 0 a_0 = 0 a 0 = 0
a n a_n a n T6
a n = 2 T [ ∫ 0 T / 2 A cos n ω 0 t d t − ∫ T / 2 T A cos n ω 0 t d t ] = 2 A T [ sin n ω 0 t n ω 0 ∣ 0 T / 2 − sin n ω 0 t n ω 0 ∣ T / 2 T ] = 0 a_n = \frac{2}{T}\Big[\int_0^{T/2} A\cos n\omega_0 t\,dt - \int_{T/2}^{T} A\cos n\omega_0 t\,dt\Big] = \frac{2A}{T}\Big[\frac{\sin n\omega_0 t}{n\omega_0}\Big|_0^{T/2} - \frac{\sin n\omega_0 t}{n\omega_0}\Big|_{T/2}^{T}\Big] = 0 a n = T 2 [ ∫ 0 T /2 A cos n ω 0 t d t − ∫ T /2 T A cos n ω 0 t d t ] = T 2 A [ n ω 0 sin n ω 0 t 0 T /2 − n ω 0 sin n ω 0 t T /2 T ] = 0 เพราะ sin ( n ω 0 T / 2 ) = sin n π = 0 \sin(n\omega_0 T/2) = \sin n\pi = 0 sin ( n ω 0 T /2 ) = sin nπ = 0 sin ( n ω 0 T ) = sin 2 n π = 0 \sin(n\omega_0 T) = \sin 2n\pi = 0 sin ( n ω 0 T ) = sin 2 nπ = 0
b n b_n b n − cos -\cos − cos ω 0 T / 2 = π \omega_0 T/2 = \pi ω 0 T /2 = π
b n = 2 A T ⋅ 1 n ω 0 [ ( 1 − cos n π ) + ( cos 2 n π − cos n π ) ] = 2 A n π ( 1 − cos n π ) b_n = \frac{2A}{T}\cdot\frac{1}{n\omega_0}\Big[(1 - \cos n\pi) + (\cos 2n\pi - \cos n\pi)\Big] = \frac{2A}{n\pi}\big(1 - \cos n\pi\big) b n = T 2 A ⋅ n ω 0 1 [ ( 1 − cos nπ ) + ( cos 2 nπ − cos nπ ) ] = nπ 2 A ( 1 − cos nπ ) ใช้ T11 : 1 − cos n π = 2 1 - \cos n\pi = 2 1 − cos nπ = 2
b n = { 4 A n π n = 1 , 3 , 5 , … 0 n คู่ b_n = \begin{cases} \dfrac{4A}{n\pi} & n = 1, 3, 5, \dots \\ 0 & n \text{ คู่} \end{cases} b n = ⎩ ⎨ ⎧ nπ 4 A 0 n = 1 , 3 , 5 , … n คู่
x ( t ) = 4 A π [ sin ω 0 t + 1 3 sin 3 ω 0 t + 1 5 sin 5 ω 0 t + ⋯ ] x(t) = \frac{4A}{\pi}\Big[\sin\omega_0 t + \tfrac13\sin 3\omega_0 t + \tfrac15\sin 5\omega_0 t + \cdots\Big] x ( t ) = π 4 A [ sin ω 0 t + 3 1 sin 3 ω 0 t + 5 1 sin 5 ω 0 t + ⋯ ] 4 / π = 1.273 4/\pi = 1.273 4/ π = 1.273 1 / n 1/n 1/ n
ตัวอย่าง T-2 · พัลส์ลอจิก 0–5 V ดิวตี้ 25 % พัลส์สูง A = 5 A = 5 A = 5 0 < t < D T 0 \lt t \lt DT 0 < t < D T a 0 a_0 a 0 a n a_n a n b n b_n b n A 1 A_1 A 1 A 4 A_4 A 4
a 0 = 1 T ⋅ A ⋅ D T = A D = 1.25 a_0 = \dfrac{1}{T}\cdot A \cdot DT = AD = 1.25 a 0 = T 1 ⋅ A ⋅ D T = A D = 1.25
อินทิเกรตเฉพาะช่วงที่ไม่เป็นศูนย์ ใช้ ω 0 D T = 2 π n D / n \omega_0 DT = 2\pi nD/n ω 0 D T = 2 πn D / n
a n = 2 A T ∫ 0 D T cos n ω 0 t d t = A n π sin 2 π n D , b n = 2 A T ∫ 0 D T sin n ω 0 t d t = A n π ( 1 − cos 2 π n D ) a_n = \frac{2A}{T}\int_0^{DT}\!\cos n\omega_0 t\,dt = \frac{A}{n\pi}\sin 2\pi nD, \qquad b_n = \frac{2A}{T}\int_0^{DT}\!\sin n\omega_0 t\,dt = \frac{A}{n\pi}\big(1 - \cos 2\pi nD\big) a n = T 2 A ∫ 0 D T cos n ω 0 t d t = nπ A sin 2 πn D , b n = T 2 A ∫ 0 D T sin n ω 0 t d t = nπ A ( 1 − cos 2 πn D ) แทน D = 0.25: 2 π n D = n π / 2 2\pi nD = n\pi/2 2 πn D = nπ /2
n a n a_n a n b n b_n b n A n = a n 2 + b n 2 A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} A n = a n 2 + b n 2
1 1.5915 1.5915 2.2508 2 0 1.5915 1.5915 3 −0.5305 0.5305 0.7503 4 0 0 0
รูปลัดจากรูปเชิงซ้อน C7 : A n = 2 A D ∣ s i n c ( n D ) ∣ A_n = 2AD\,|\mathrm{sinc}(nD)| A n = 2 A D ∣ sinc ( n D ) ∣ 2.5 × sin ( π / 4 ) π / 4 = 2.5 × 0.9003 = 2.2508 2.5 \times \dfrac{\sin(\pi/4)}{\pi/4} = 2.5 \times 0.9003 = 2.2508 2.5 × π /4 sin ( π /4 ) = 2.5 × 0.9003 = 2.2508
a 0 = 1.25 a_0 = 1.25 a 0 = 1.25 A 1 = 2.25 A_1 = 2.25 A 1 = 2.25 A 2 = 1.59 A_2 = 1.59 A 2 = 1.59 A 3 = 0.75 A_3 = 0.75 A 3 = 0.75 A 4 = 0 A_4 = 0 A 4 = 0 n D nD n D
ลองในแล็บท้ายหน้า: ตั้งพัลส์ D = 25 % แอมพลิจูด 5 อ่านตารางในแผงวิธีคิด ✓
ตัวอย่าง T-3 · ฟันเลื่อย (by parts) x ( t ) = 2 A T t x(t) = \dfrac{2A}{T}\,t x ( t ) = T 2 A t − T / 2 < t < T / 2 -T/2 \lt t \lt T/2 − T /2 < t < T /2
อินทิเกรตช่วงสมมาตร − T / 2 -T/2 − T /2 T / 2 T/2 T /2 x x x a 0 = a n = 0 a_0 = a_n = 0 a 0 = a n = 0 S2
t sin n ω 0 t t\sin n\omega_0 t t sin n ω 0 t T10 กับ a = n ω 0 a = n\omega_0 a = n ω 0
∫ − T / 2 T / 2 t sin n ω 0 t d t = 2 [ − t cos n ω 0 t n ω 0 + sin n ω 0 t ( n ω 0 ) 2 ] 0 T / 2 = − T cos n π n ω 0 = − T 2 ( − 1 ) n 2 π n \int_{-T/2}^{T/2} t\sin n\omega_0 t\,dt = 2\Big[-\frac{t\cos n\omega_0 t}{n\omega_0} + \frac{\sin n\omega_0 t}{(n\omega_0)^2}\Big]_0^{T/2} = -\frac{T\cos n\pi}{n\omega_0} = -\frac{T^2(-1)^n}{2\pi n} ∫ − T /2 T /2 t sin n ω 0 t d t = 2 [ − n ω 0 t cos n ω 0 t + ( n ω 0 ) 2 sin n ω 0 t ] 0 T /2 = − n ω 0 T cos nπ = − 2 πn T 2 ( − 1 ) n คูณด้วย 2 T ⋅ 2 A T \dfrac{2}{T}\cdot\dfrac{2A}{T} T 2 ⋅ T 2 A
b n = 4 A T 2 ⋅ ( − T 2 ( − 1 ) n 2 π n ) = 2 A n π ( − 1 ) n + 1 b_n = \frac{4A}{T^2}\cdot\Big(-\frac{T^2(-1)^n}{2\pi n}\Big) = \frac{2A}{n\pi}(-1)^{n+1} b n = T 2 4 A ⋅ ( − 2 πn T 2 ( − 1 ) n ) = nπ 2 A ( − 1 ) n + 1
x ( t ) = 2 A π [ sin ω 0 t − 1 2 sin 2 ω 0 t + 1 3 sin 3 ω 0 t − ⋯ ] x(t) = \frac{2A}{\pi}\Big[\sin\omega_0 t - \tfrac12\sin 2\omega_0 t + \tfrac13\sin 3\omega_0 t - \cdots\Big] x ( t ) = π 2 A [ sin ω 0 t − 2 1 sin 2 ω 0 t + 3 1 sin 3 ω 0 t − ⋯ ]
ตัวอย่าง T-4 · เรียงกระแสครึ่งคลื่นจากไฟ 230 V ไดโอดตัวเดียวต่อกับโหลดตัวต้านทาน แรงดันโหลด v ( θ ) = V m sin θ v(\theta) = V_m\sin\theta v ( θ ) = V m sin θ 0 < θ < π 0 \lt \theta \lt \pi 0 < θ < π V m = 230 2 = 325.3 V_m = 230\sqrt2 = 325.3 V m = 230 2 = 325.3
ใช้รูปมุม T7 a 0 = 1 2 π ∫ 0 π V m sin θ d θ = V m 2 π [ − cos θ ] 0 π = V m π = 103.5 a_0 = \dfrac{1}{2\pi}\int_0^{\pi} V_m\sin\theta\,d\theta = \dfrac{V_m}{2\pi}\big[-\cos\theta\big]_0^{\pi} = \dfrac{V_m}{\pi} = 103.5 a 0 = 2 π 1 ∫ 0 π V m sin θ d θ = 2 π V m [ − cos θ ] 0 π = π V m = 103.5
a n a_n a n T12 (n ≠ 1)
a n = V m 2 π ∫ 0 π [ sin ( 1 + n ) θ + sin ( 1 − n ) θ ] d θ = V m 2 π [ 1 − cos ( 1 + n ) π 1 + n + 1 − cos ( 1 − n ) π 1 − n ] a_n = \frac{V_m}{2\pi}\int_0^{\pi}\big[\sin(1+n)\theta + \sin(1-n)\theta\big]d\theta = \frac{V_m}{2\pi}\Big[\frac{1 - \cos(1+n)\pi}{1+n} + \frac{1 - \cos(1-n)\pi}{1-n}\Big] a n = 2 π V m ∫ 0 π [ sin ( 1 + n ) θ + sin ( 1 − n ) θ ] d θ = 2 π V m [ 1 + n 1 − cos ( 1 + n ) π + 1 − n 1 − cos ( 1 − n ) π ] n คู่: cos ( 1 ± n ) π = − 1 \cos(1\pm n)\pi = -1 cos ( 1 ± n ) π = − 1 a n = V m 2 π [ 2 1 + n + 2 1 − n ] = − 2 V m π ( n 2 − 1 ) a_n = \dfrac{V_m}{2\pi}\Big[\dfrac{2}{1+n} + \dfrac{2}{1-n}\Big] = -\dfrac{2V_m}{\pi(n^2 - 1)} a n = 2 π V m [ 1 + n 2 + 1 − n 2 ] = − π ( n 2 − 1 ) 2 V m cos ( 1 ± n ) π = 1 \cos(1\pm n)\pi = 1 cos ( 1 ± n ) π = 1 a n = 0 a_n = 0 a n = 0
b n b_n b n sin ( 1 ± n ) π = 0 \sin(1\pm n)\pi = 0 sin ( 1 ± n ) π = 0
กรณี n = 1 คิดแยก: a 1 = V m π ∫ 0 π sin θ cos θ d θ = 0 a_1 = \dfrac{V_m}{\pi}\int_0^{\pi}\sin\theta\cos\theta\,d\theta = 0 a 1 = π V m ∫ 0 π sin θ cos θ d θ = 0 b 1 = V m π ∫ 0 π sin 2 θ d θ = V m π ⋅ π 2 = V m 2 = 162.6 b_1 = \dfrac{V_m}{\pi}\int_0^{\pi}\sin^2\theta\,d\theta = \dfrac{V_m}{\pi}\cdot\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{V_m}{2} = 162.6 b 1 = π V m ∫ 0 π sin 2 θ d θ = π V m ⋅ 2 π = 2 V m = 162.6
แทนค่า: a 2 = − 2 ( 325.3 ) 3 π = − 69.0 a_2 = -\dfrac{2(325.3)}{3\pi} = -69.0 a 2 = − 3 π 2 ( 325.3 ) = − 69.0 a 4 = − 2 ( 325.3 ) 15 π = − 13.8 a_4 = -\dfrac{2(325.3)}{15\pi} = -13.8 a 4 = − 15 π 2 ( 325.3 ) = − 13.8 a 6 = − 2 ( 325.3 ) 35 π = − 5.92 a_6 = -\dfrac{2(325.3)}{35\pi} = -5.92 a 6 = − 35 π 2 ( 325.3 ) = − 5.92
v = 103.5 + 162.6 sin θ − 69.0 cos 2 θ − 13.8 cos 4 θ − 5.92 cos 6 θ − ⋯ v = 103.5 + 162.6\sin\theta - 69.0\cos 2\theta - 13.8\cos 4\theta - 5.92\cos 6\theta - \cdots v = 103.5 + 162.6 sin θ − 69.0 cos 2 θ − 13.8 cos 4 θ − 5.92 cos 6 θ − ⋯
ตรวจด้วยพาร์เซวาล: 103.5 2 + 1 2 ( 162.6 2 + 69.0 2 + 13.8 2 + 5.92 2 ) = 26,440 103.5^2 + \tfrac12(162.6^2 + 69.0^2 + 13.8^2 + 5.92^2) = 26{,}440 103. 5 2 + 2 1 ( 162. 6 2 + 69. 0 2 + 13. 8 2 + 5.9 2 2 ) = 26 , 440 V r m s 2 = ( V m / 2 ) 2 = 26,450 V_{rms}^2 = (V_m/2)^2 = 26{,}450 V r m s 2 = ( V m /2 ) 2 = 26 , 450
ตัวอย่าง T-5 · ไม่มีสมมาตร แรมป์ 0 ถึง A = 10 A = 10 A = 10 x ( t ) = A t / T x(t) = At/T x ( t ) = A t / T 0 < t < T 0 \lt t \lt T 0 < t < T
a 0 = 1 T ⋅ A T 2 = A 2 = 5 a_0 = \dfrac{1}{T}\cdot\dfrac{AT}{2} = \dfrac{A}{2} = 5 a 0 = T 1 ⋅ 2 A T = 2 A = 5
a n a_n a n T9
a n = 2 A T 2 [ t sin n ω 0 t n ω 0 + cos n ω 0 t ( n ω 0 ) 2 ] 0 T = 2 A T 2 [ 0 + 1 − 1 ( n ω 0 ) 2 ] = 0 a_n = \frac{2A}{T^2}\Big[\frac{t\sin n\omega_0 t}{n\omega_0} + \frac{\cos n\omega_0 t}{(n\omega_0)^2}\Big]_0^{T} = \frac{2A}{T^2}\Big[0 + \frac{1 - 1}{(n\omega_0)^2}\Big] = 0 a n = T 2 2 A [ n ω 0 t sin n ω 0 t + ( n ω 0 ) 2 cos n ω 0 t ] 0 T = T 2 2 A [ 0 + ( n ω 0 ) 2 1 − 1 ] = 0 b n b_n b n T10
b n = 2 A T 2 [ − t cos n ω 0 t n ω 0 + sin n ω 0 t ( n ω 0 ) 2 ] 0 T = 2 A T 2 ⋅ ( − T n ω 0 ) = − A n π b_n = \frac{2A}{T^2}\Big[-\frac{t\cos n\omega_0 t}{n\omega_0} + \frac{\sin n\omega_0 t}{(n\omega_0)^2}\Big]_0^{T} = \frac{2A}{T^2}\cdot\Big(-\frac{T}{n\omega_0}\Big) = -\frac{A}{n\pi} b n = T 2 2 A [ − n ω 0 t cos n ω 0 t + ( n ω 0 ) 2 sin n ω 0 t ] 0 T = T 2 2 A ⋅ ( − n ω 0 T ) = − nπ A
x ( t ) = 5 − 10 π ∑ n = 1 ∞ sin n ω 0 t n x(t) = 5 - \dfrac{10}{\pi}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n\omega_0 t}{n} x ( t ) = 5 − π 10 n = 1 ∑ ∞ n sin n ω 0 t b 1 = − 3.18 b_1 = -3.18 b 1 = − 3.18
ตรวจคำตอบด้วยตัวเอง กลาง
T13 Value at a jump
lim N → ∞ x N ( t 0 ) = x ( t 0 − ) + x ( t 0 + ) 2 \lim_{N\to\infty} x_N(t_0) = \frac{x(t_0^-) + x(t_0^+)}{2} N → ∞ lim x N ( t 0 ) = 2 x ( t 0 − ) + x ( t 0 + ) T-5 ที่ t = 0 t = 0 t = 0 sin \sin sin a 0 = A / 2 a_0 = A/2 a 0 = A /2
T14 Check by evaluating a point
x ( T 4 ) = A = 4 A π ( 1 − 1 3 + 1 5 − ⋯ ) ⇒ π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − ⋯ x\!\left(\tfrac{T}{4}\right) = A = \frac{4A}{\pi}\Big(1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots\Big) \;\Rightarrow\; \frac{\pi}{4} = 1 - \frac13 + \frac15 - \cdots x ( 4 T ) = A = π 4 A ( 1 − 3 1 + 5 1 − ⋯ ) ⇒ 4 π = 1 − 3 1 + 5 1 − ⋯ ได้อนุกรมไลบ์นิซของ π เป็นผลพลอยได้ ใช้ยืนยันว่า 4 A / π 4A/\pi 4 A / π
DC ด้วยตา : a 0 a_0 a 0 เครื่องหมาย : ถ้ารูปคลื่นเริ่มขึ้นจากศูนย์ ตัวไซน์ของฮาร์มอนิกหลักควรเป็นบวกพาร์เซวาล : a 0 2 + 1 2 ∑ A n 2 a_0^2 + \tfrac12\sum A_n^2 a 0 2 + 2 1 ∑ A n 2 P5 แล็บ : ใส่สูตรของคุณเองในโหมด “พิมพ์สมการเอง” แล้วเทียบตาราง
ข้อผิดพลาดที่เจอบ่อยที่สุด พื้นฐาน
ผิดอย่างไร อาการ แก้
ใช้ 2/T กับ a 0 a_0 a 0 DC ออกมาสองเท่า a 0 a_0 a 0 T8 อินทิเกรตไม่ครบคาบ ได้พจน์ที่ควรเป็นศูนย์ ขีดเส้นคาบบนกราฟก่อน ลืมกรณี n พิเศษ หารด้วยศูนย์ (1 − n 2 1 - n^2 1 − n 2 คิด n = 1 แยก T12 แทน ω 0 T = π \omega_0 T = \pi ω 0 T = π ค่าผิดไปเท่าตัว ω 0 T = 2 π \omega_0 T = 2\pi ω 0 T = 2 π ω 0 T / 2 = π \omega_0 T/2 = \pi ω 0 T /2 = π ใช้องศาในสูตรที่หาร n ω 0 n\omega_0 n ω 0 ตัวเลขไม่เข้าท่า อินทิกรัลต้องเป็นเรเดียน เขียน cos n π = 1 \cos n\pi = 1 cos nπ = 1 ได้ศูนย์ทุกตัว cos n π = ( − 1 ) n \cos n\pi = (-1)^n cos nπ = ( − 1 ) n T11 สับสน A n A_n A n กำลังผิดไป 2 เท่า RMS ของฮาร์มอนิก = A n / 2 A_n/\sqrt2 A n / 2
แล็บ: ดูวิธีคิดทีละขั้นของทุกรูปคลื่น พื้นฐาน
เลือกรูปคลื่นแล้วเปิดแผง “วิธีคิดทีละขั้น” เครื่องจะบอกสมมาตรที่เห็น สูตรที่ได้หลังอินทิเกรต และตาราง a n a_n a n b n b_n b n A n A_n A n
ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ
คำถามที่พบบ่อย สูตรหา a0 an bn ของอนุกรมฟูเรียร์คืออะไร? a 0 = 1 T ∫ 0 T x d t a_0 = \frac1T\int_0^T x\,dt a 0 = T 1 ∫ 0 T x d t a n = 2 T ∫ 0 T x cos ( n ω 0 t ) d t a_n = \frac2T\int_0^T x\cos(n\omega_0 t)\,dt a n = T 2 ∫ 0 T x cos ( n ω 0 t ) d t b n = 2 T ∫ 0 T x sin ( n ω 0 t ) d t b_n = \frac2T\int_0^T x\sin(n\omega_0 t)\,dt b n = T 2 ∫ 0 T x sin ( n ω 0 t ) d t − T / 2 -T/2 − T /2 T / 2 T/2 T /2
ทำไม a0 ใช้ 1/T แต่ an ใช้ 2/T? เพราะ ∫ 0 T 1 d t = T \int_0^T 1\,dt = T ∫ 0 T 1 d t = T ∫ 0 T cos 2 ( n ω 0 t ) d t = T / 2 \int_0^T \cos^2(n\omega_0 t)\,dt = T/2 ∫ 0 T cos 2 ( n ω 0 t ) d t = T /2 a 0 / 2 + ∑ a_0/2 + \sum a 0 /2 + ∑ a 0 a_0 a 0 a 0 a_0 a 0
ทำไมไซน์เรียงกระแสครึ่งคลื่นต้องคิด n = 1 แยก? สูตรทั่วไปของ a n a_n a n 1 − n 2 1 - n^2 1 − n 2 sin ( ( 1 − n ) θ ) \sin((1-n)\theta) sin (( 1 − n ) θ ) sin 0 \sin 0 sin 0 a 1 = 0 a_1 = 0 a 1 = 0 b 1 = V m / 2 b_1 = V_m/2 b 1 = V m /2
ตรวจคำตอบอนุกรมฟูเรียร์อย่างไร? ตรวจ 4 อย่าง: a0 ตรงกับค่าเฉลี่ยที่ดูด้วยตา ค่าของอนุกรมที่จุดใดจุดหนึ่ง (ที่รอยกระโดดได้ค่ากึ่งกลาง) ทฤษฎีบทพาร์เซวาลว่าผลรวมกำลังเท่ากับ RMS² และเปิดแล็บสังเคราะห์ดูว่ารูปออกมาตรง
มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ ดูโปรไฟล์