// บทที่ 14.10 · อนุกรมฟูเรียร์ · Inverter & PWM Spectra

สเปกตรัมของอินเวอร์เตอร์: สี่เหลี่ยม quasi-square six-step SHE และ SPWM

Q: SPWM มีฮาร์มอนิกที่ความถี่อะไร?

แบบไบโพลาร์ฮาร์มอนิกอยู่เป็นกลุ่ม (ไซด์แบนด์) รอบ m_f, 2m_f, 3m_f เท่าของความถี่ขาออก เช่น m_f และ m_f pm 2, 2m_f pm 1 แบบยูนิโพลาร์ (เต็มบริดจ์) กลุ่มแรกที่ m_f หายไป เหลือรอบ 2m_f เหมือนความถี่สวิตชิ่งเพิ่มเป็นสองเท่า ฮาร์มอนิกต่ำ (3, 5, 7) ไม่มีถ้า m_a le 1

Q: ทำไมเลือก mf เป็นเลขคี่และหารด้วย 3 ลงตัว?

m_f จำนวนเต็ม (synchronous PWM) ทำให้รูปคลื่นเป็นคาบพอดี ไม่มีอินเตอร์ฮาร์มอนิก m_f คี่ทำให้ได้สมมาตรครึ่งคลื่น ไม่มีฮาร์มอนิกคู่ และในอินเวอร์เตอร์ 3 เฟส m_f ที่หารด้วย 3 ลงตัวทำให้ฮาร์มอนิกที่ m_f ของสามเฟสอยู่ในเฟสเดียวกันจึงหายไปในแรงดันไลน์

Q: แรงดันขาออกของอินเวอร์เตอร์ SPWM คำนวณอย่างไร?

ในช่วงเชิงเส้น m_a le 1 ฮาร์มอนิกหลักครึ่งบริดจ์มียอด m_aV_{dc}/2 เต็มบริดจ์ m_aV_{dc} และแรงดันไลน์ 3 เฟส RMS 0.612 m_aV_{dc} เช่น V_{dc} = 540 V, m_a = 0.9 ได้ราว 298 V ไลน์

Q: quasi-square กำจัดฮาร์มอนิกที่ 3 ได้อย่างไร?

ฮาร์มอนิกที่ n ของ quasi-square มีขนาด frac{4V_{dc}}{npi}cos nalpha เลือก α = 30° ทำให้ cos 90° = 0 ฮาร์มอนิกที่ 3, 9, 15 หายทั้งหมด α = 18° กำจัดที่ 5 ส่วนวิธี SHE ใช้หลายมุมพร้อมกันกำจัดได้หลายฮาร์มอนิก

อินเวอร์เตอร์สร้างไซน์จากสวิตช์ที่เปิดปิดได้แค่สองหรือสามระดับ ทุกเทคนิคตั้งแต่คลื่นสี่เหลี่ยมถึง PWM คือการเลือกจังหวะสวิตช์ให้ฮาร์มอนิกหลักได้ขนาดที่ต้องการ แล้วย้ายฮาร์มอนิกที่เหลือไปอยู่ที่ที่กรองง่ายที่สุด อนุกรมฟูเรียร์บอกได้แม่นยำว่าแต่ละวิธีย้ายไปไว้ที่ไหน

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต 13 ต.ค. 2569

SPWM สี่เหลี่ยม quasi-square six-step SHE

สรุปใน 30 วินาที

สี่เหลี่ยมเต็มบริดจ์: $V_1 = \frac{4V_{dc}}{\pi}$ ฮาร์มอนิก $1/n$ · quasi-square: $\frac{4V_{dc}}{n\pi}\cos n\alpha$ เลือก α ฆ่าฮาร์มอนิกได้
six-step 3 เฟส: เหลือ 6k ± 1 · $V_{LL1} = 0.780V_{dc}$ (RMS)
SPWM: $V_1 = m_a\frac{V_{dc}}{2}$ (ครึ่งบริดจ์) ฮาร์มอนิกย้ายไปรอบ $m_f$ , $2m_f$ · ยูนิโพลาร์ย้ายไปรอบ $2m_f$
3 เฟส: $V_{LL1,rms} = 0.612\,m_aV_{dc}$ · $m_f$ คี่ หารด้วย 3 ลงตัว

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

อินเวอร์เตอร์คลื่นสี่เหลี่ยม พื้นฐาน

V1 Square-wave inverter อินเวอร์เตอร์คลื่นสี่เหลี่ยม

\text{เต็มบริดจ์ } (\pm V_{dc}):\; V_n = \frac{4V_{dc}}{n\pi},\; V_{1,rms} = 0.900V_{dc} \qquad \text{ครึ่งบริดจ์ } (\pm V_{dc}/2):\; V_n = \frac{2V_{dc}}{n\pi}

ใช้ W1 ตรง ๆ · ปรับขนาดฮาร์มอนิกหลักไม่ได้นอกจากเปลี่ยน $V_{dc}$ THD 48 % · โหลดเหนี่ยวนำช่วยกรองกระแส (A-2)

quasi-square: ปรับแรงดันและกำจัดฮาร์มอนิกด้วยมุมเดียว กลาง

เต็มบริดจ์สร้างระดับศูนย์ได้ด้วย (สวิตช์บนทั้งสองหรือล่างทั้งสองนำพร้อมกัน) ใส่ช่วงศูนย์กว้าง α ที่ขอบทั้งสองของแต่ละครึ่งคาบ ได้รูปเสี้ยวคลื่นสมมาตรที่วิเคราะห์ไว้แล้วใน S-2

V2 Quasi-square inverter ปรับด้วยมุม α

V_n = \frac{4V_{dc}}{n\pi}\cos n\alpha,\qquad \alpha = \frac{90^\circ}{n} \;\Rightarrow\; V_n = 0 \;\;(\alpha = 30^\circ:\ n = 3 \quad \alpha = 18^\circ:\ n = 5 \quad \alpha = 12.86^\circ:\ n = 7)

มุมเดียวทำได้สองงานไม่พร้อมกัน: ปรับขนาด $V_1$ หรือกำจัดฮาร์มอนิกหนึ่งตัว ต้องการมากกว่านั้นใช้ SHE หรือ PWM

quasi-square α = 30° (สีส้ม) และฮาร์มอนิกหลักของมัน (สีฟ้า) ช่วงศูนย์กว้าง 30° ที่ขอบแต่ละด้าน ทำให้ฮาร์มอนิกที่ 3 หายไปพอดี

ตัวอย่าง V-1 · อินเวอร์เตอร์สำรองไฟแบบ modified sine

เต็มบริดจ์ $V_{dc}$ = 311 V ใช้ quasi-square α = 30° หาแรงดันฮาร์มอนิกหลัก (ยอดและ RMS) ฮาร์มอนิกที่ 5, 7 และค่า RMS รวม

V2: $V_1 = \frac{4(311)}{\pi}\cos 30^\circ = 342.9$ V ยอด = 242.5 V RMS
$V_5 = \frac{4(311)}{5\pi}|\cos 150^\circ| = 68.6$ V · $V_7 = 49.0$ V (ยอด) · $V_3 = 0$
RMS รวม W9: $311\sqrt{1 - 1/3} = 253.9$ V

ได้ราว 242 V RMS ที่ 50 Hz (ใกล้ไฟบ้าน) ไม่มีฮาร์มอนิกที่ 3 THD 31 % · ขาย UPS แบบนี้ในชื่อ “modified sine wave” อุปกรณ์ที่มีตัวเก็บประจุด้านเข้าหรือมอเตอร์บางชนิดทำงานได้แต่ร้อนกว่า

อินเวอร์เตอร์ 3 เฟส six-step กลาง

สามขา (leg) แต่ละขาเป็นสี่เหลี่ยม ±V_dc/2 เลื่อนกัน 120° แรงดันไลน์คือผลต่างของสองขา ได้ quasi-square α = 30° โดยอัตโนมัติ ฮาร์มอนิกที่ 3 ของแต่ละขาอยู่ในเฟสเดียวกัน (ลำดับศูนย์ H10) จึงหักล้างกันในแรงดันไลน์

V3 Six-step inverter อินเวอร์เตอร์ six-step

V_{LL1,rms} = \frac{\sqrt6}{\pi}V_{dc} = 0.780V_{dc},\qquad V_{ph1,rms} = \frac{\sqrt2}{\pi}V_{dc} = 0.450V_{dc},\qquad V_h = \frac{V_1}{h},\; h = 6k \pm 1

รูปคลื่นแรงดันเฟส W10 แรงดันไลน์ W11 · ให้แรงดันสูงสุดที่ $V_{dc}$ ทำได้ (สูงกว่า SPWM เชิงเส้น 27 %) ไดรฟ์ใช้ในย่านความเร็วสูงสุด

Selective Harmonic Elimination (SHE) ขั้นสูง

ขยายแนวคิดของ quasi-square: ใส่ช่วงศูนย์หลายช่วงในหนึ่งในสี่คาบ ได้มุมสวิตช์ k มุม จึงตั้งสมการได้ k สมการ ใช้หนึ่งสมการกำหนดขนาด $V_1$ ที่เหลือบังคับให้ฮาร์มอนิกที่ไม่ต้องการเป็นศูนย์

V4 SHE equations (3-level, quarter-wave) สมการ SHE

V_n = \frac{4V_{dc}}{n\pi}\sum_{k=1}^{K}(-1)^{k+1}\cos n\alpha_k,\qquad 0 \lt \alpha_1 \lt \alpha_2 \lt \cdots \lt \alpha_K \lt 90^\circ

ไม่เชิงเส้น ต้องแก้เชิงตัวเลข (นิวตัน) แล้วเก็บเป็นตารางมุมในไมโครคอนโทรลเลอร์ ใช้ในอินเวอร์เตอร์กำลังสูงที่ความถี่สวิตช์ต่ำ

ตัวอย่าง V-2 · กำจัด 5 และ 7 พร้อมกัน

ใช้สามมุม ต้องการ $V_1 = 0.8 \times \frac{4V_{dc}}{\pi}$ และ $V_5 = V_7 = 0$ หามุมและฮาร์มอนิกที่เหลือ

สมการ: $\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2 + \cos\alpha_3 = 0.8$ · $\cos 5\alpha_1 - \cos 5\alpha_2 + \cos 5\alpha_3 = 0$ · $\cos 7\alpha_1 - \cos 7\alpha_2 + \cos 7\alpha_3 = 0$
แก้ด้วยวิธีนิวตัน: $\alpha_1 = 23.63^\circ$ , $\alpha_2 = 38.06^\circ$ , $\alpha_3 = 47.84^\circ$
แทนกลับ (% ของ $V_1$ ): $V_3$ 2.8 % · $V_5 = V_7 = 0$ · $V_9$ 20.3 % · $V_{11}$ 18.9 % · $V_{13}$ 11.2 %

สามมุมฆ่า 5 และ 7 ได้จริง ในระบบ 3 เฟสแรงดันไลน์ตัด 3 และ 9 ทิ้งเอง ฮาร์มอนิกแรกที่เหลือคือ 11 และ 13 ซึ่งกรองง่ายกว่ามาก ตรวจด้วยแล็บโหมด “พิมพ์สมการเอง” ได้

Sinusoidal PWM: ย้ายฮาร์มอนิกไปความถี่สวิตชิ่ง กลาง

เทียบสัญญาณอ้างอิงไซน์ (ความถี่ขาออก $f_1$ ) กับคลื่นพาหะสามเหลี่ยม (ความถี่ $f_s$ ) สวิตช์บนเปิดเมื่ออ้างอิงสูงกว่าพาหะ ค่าเฉลี่ยเฉพาะที่ของพัลส์ (local average) ติดตามไซน์ ฮาร์มอนิกหลักจึงแปรตรงกับขนาดของอ้างอิง ส่วนฮาร์มอนิกที่เหลือเป็นไซด์แบนด์รอบความถี่พาหะ (การคูณสัญญาณ C12)

V5 SPWM fundamentals นิยามและฮาร์มอนิกหลัก

m_a = \frac{\hat v_{ref}}{\hat v_{tri}},\qquad m_f = \frac{f_s}{f_1},\qquad \hat V_1 = m_a\frac{V_{dc}}{2}\;(\text{ครึ่งบริดจ์}),\qquad \hat V_1 = m_aV_{dc}\;(\text{เต็มบริดจ์}),\qquad m_a \le 1

V6 Where the PWM harmonics are ตำแหน่งไซด์แบนด์

h = j\,m_f \pm k:\quad \text{ไบโพลาร์: } j \text{ คี่} \to k \text{ คู่ (0, 2, 4)},\; j \text{ คู่} \to k \text{ คี่ (1, 3)} \qquad \text{ยูนิโพลาร์: กลุ่ม } j \text{ คี่หายหมด เหลือ } 2m_f \pm 1, 2m_f \pm 3, \dots

ฮาร์มอนิกต่ำกว่า $m_f - 4$ แทบไม่มีเมื่อ $m_a \le 1$ ตัวกรองจึงออกแบบที่ $f_s$ (หรือ $2f_s$ สำหรับยูนิโพลาร์) ไม่ใช่ที่ 150 Hz

บน: สัญญาณอ้างอิงไซน์ (สีส้ม) เทียบพาหะสามเหลี่ยม

m_f

= 15 ได้พัลส์ไบโพลาร์ (สีฟ้า) · ล่าง: สเปกตรัม ฮาร์มอนิกหลัก

m_a

= 0.8 แล้วว่างไปจนถึงกลุ่มรอบ

m_f

และ

2m_f

ขนาดฮาร์มอนิกของ SPWM ไบโพลาร์ (ค่ายอดหารด้วย $V_{dc}/2$ ) คำนวณแบบปิดในแล็บที่ $m_f$ = 51 · ยูนิโพลาร์ใช้คอลัมน์ $2m_f \pm 1$ , $2m_f \pm 3$ เดียวกันแต่หารด้วย $V_{dc}$ และไม่มีกลุ่ม $m_f$ , $3m_f$
$m_a$	1	$m_f$	$m_f \pm 2$	$m_f \pm 4$	$2m_f \pm 1$	$2m_f \pm 3$	$3m_f$	$3m_f \pm 2$	$3m_f \pm 4$
0.2	0.200	1.242	0.016	0.000	0.190	0.003	0.335	0.044	0.001
0.4	0.400	1.151	0.061	0.001	0.326	0.024	0.123	0.139	0.012
0.6	0.600	1.006	0.131	0.003	0.370	0.071	0.083	0.203	0.047
0.8	0.800	0.818	0.220	0.008	0.314	0.139	0.171	0.176	0.104
1.0	1.000	0.601	0.318	0.018	0.181	0.212	0.113	0.062	0.157

V7 Choosing m_f เลือก m_f

m_f \in \mathbb Z,\quad m_f \text{ คี่},\quad m_f = 3k \;(\text{3 เฟส})

จำนวนเต็ม: เป็นคาบพอดี ไม่มีอินเตอร์ฮาร์มอนิก · คี่: สมมาตรครึ่งคลื่น ไม่มีคู่ · 3k: กลุ่มที่ $m_f$ ของสามเฟสเป็นลำดับศูนย์ หายจากแรงดันไลน์ (เหลือ $m_f \pm 2$ ) · เมื่อ $m_f$ > 21 ข้อเหล่านี้สำคัญน้อยลง

V8 Overmodulation โอเวอร์มอดูเลชัน $m_a \gt 1$

m_a\frac{V_{dc}}{2} \lt \hat V_1 \le \frac{4}{\pi}\cdot\frac{V_{dc}}{2}

พัลส์บางช่วงหายไป $V_1$ เพิ่มไม่เป็นเชิงเส้นจนเข้าใกล้คลื่นสี่เหลี่ยม ฮาร์มอนิกต่ำ 3, 5, 7 กลับมา ลองตั้ง $m_a$ = 1.3 ในแล็บ

V9 Three-phase SPWM แรงดันไลน์

V_{LL1,rms} = \frac{\sqrt3}{2\sqrt2}\,m_aV_{dc} = 0.612\,m_aV_{dc}

ฉีดฮาร์มอนิกที่ 3 ในอ้างอิง (หรือใช้ SVPWM) เพิ่มได้อีก 15.5 % เพราะฮาร์มอนิกที่ 3 หายในแรงดันไลน์ (ลำดับศูนย์)

ตัวอย่าง V-3 · อินเวอร์เตอร์ 1 เฟส 220 V พร้อมฟิลเตอร์

เต็มบริดจ์ยูนิโพลาร์ $V_{dc}$ = 400 V, $m_a$ = 0.8, $f_1$ = 50 Hz, $m_f$ = 21 (สวิตช์ 1.05 kHz) ฟิลเตอร์ L = 3 mH, C = 20 µF โหลด 20 Ω หาแรงดันขาออกและ THD

V5: $\hat V_1 = 0.8 \times 400 = 320$ V (226 V RMS) · THD ก่อนกรอง 72 %
V6 ยูนิโพลาร์: ไม่มีกลุ่มที่ 21 · กลุ่มใหญ่ที่ 41, 43 (2050, 2150 Hz) ยอด 125.7 V และ 39, 45 ยอด 55.8 V
ฟิลเตอร์ $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = 650$ Hz · A2 ที่ 2050 Hz $|H| = 0.109$ → ฮาร์มอนิกที่ 41 เหลือ 13.7 V
รวมทุกฮาร์มอนิกที่ขาออก: $V_1$ = 227 V RMS (ฟิลเตอร์ยกขึ้นเล็กน้อย) THD = 6.4 %

ได้ 227 V RMS THD 6.4 % ยังเกิน 5 % ทางเลือก: เพิ่ม $m_f$ (สวิตช์เร็วขึ้น ฮาร์มอนิกย้ายไกลขึ้น ลดลงตาม $f^2$ ) หรือเพิ่ม LC · เปิดแล็บวงจร “SPWM → ฟิลเตอร์ LC ได้ไซน์” เพื่อลองปรับ

V10 Weighted THD WTHD: ความเพี้ยนของกระแสในโหลดเหนี่ยวนำ

\mathrm{WTHD} = \frac{\sqrt{\sum_{h\ge2}(V_h/h)^2}}{V_1}

กระแสในโหลด L ∝ $V_h/(hX_1)$ WTHD จึงทำนาย THD ของกระแสมอเตอร์ได้ดีกว่า THD ของแรงดัน ใช้เปรียบเทียบวิธี PWM ต่าง ๆ

ฮาร์มอนิกของอินเวอร์เตอร์กับมอเตอร์ กลาง

ฮาร์มอนิก	ลำดับเฟส	ผลต่อมอเตอร์เหนี่ยวนำ
5	ลบ	สนามหมุนกลับทาง แรงบิดต้าน ความร้อนในโรเตอร์
7	บวก	สนามหมุนทางเดียวกันที่ 7 เท่า
5 กับ 7 รวมกัน	—	แรงบิดกระเพื่อมที่ 6f (300 Hz ที่ 50 Hz) เสียงและการสั่น
รอบ $m_f$	ผสม	ความสูญเสียในแกนเหล็ก เสียงหวีดที่ความถี่สวิตชิ่ง
ขอบ dv/dt สูง	—	แรงดันสะท้อนในสายยาว กระแสแบริ่ง (ดูเอนเวโลปขอบ B9)

แล็บ: ดูสเปกตรัมของ PWM พื้นฐาน

เลือก SPWM แล้วเปลี่ยน $m_a$ เทียบกับตารางด้านบน สลับยูนิโพลาร์แล้วดูกลุ่มที่ $m_f$ หายไป ลอง $m_a$ = 1.3 ดูฮาร์มอนิกต่ำโผล่ หรือเลือก quasi-square แล้วหามุม α ที่ฆ่าฮาร์มอนิกที่ 5

นำไปใช้จริง: ฟิลเตอร์ LCL PLL และการควบคุมกระแสของอินเวอร์เตอร์โซลาร์เชื่อมกริด อยู่ที่ อินเวอร์เตอร์โซลาร์

คำถามที่พบบ่อย

SPWM มีฮาร์มอนิกที่ความถี่อะไร?

แบบไบโพลาร์ฮาร์มอนิกอยู่เป็นกลุ่ม (ไซด์แบนด์) รอบ $m_f$ , $2m_f$ , $3m_f$ เท่าของความถี่ขาออก เช่น $m_f$ และ $m_f \pm 2$ , $2m_f \pm 1$ แบบยูนิโพลาร์ (เต็มบริดจ์) กลุ่มแรกที่ $m_f$ หายไป เหลือรอบ $2m_f$ เหมือนความถี่สวิตชิ่งเพิ่มเป็นสองเท่า ฮาร์มอนิกต่ำ (3, 5, 7) ไม่มีถ้า $m_a \le 1$

ทำไมเลือก mf เป็นเลขคี่และหารด้วย 3 ลงตัว?

$m_f$ จำนวนเต็ม (synchronous PWM) ทำให้รูปคลื่นเป็นคาบพอดี ไม่มีอินเตอร์ฮาร์มอนิก $m_f$ คี่ทำให้ได้สมมาตรครึ่งคลื่น ไม่มีฮาร์มอนิกคู่ และในอินเวอร์เตอร์ 3 เฟส $m_f$ ที่หารด้วย 3 ลงตัวทำให้ฮาร์มอนิกที่ $m_f$ ของสามเฟสอยู่ในเฟสเดียวกันจึงหายไปในแรงดันไลน์

แรงดันขาออกของอินเวอร์เตอร์ SPWM คำนวณอย่างไร?

ในช่วงเชิงเส้น $m_a \le 1$ ฮาร์มอนิกหลักครึ่งบริดจ์มียอด $m_aV_{dc}/2$ เต็มบริดจ์ $m_aV_{dc}$ และแรงดันไลน์ 3 เฟส RMS $0.612\,m_aV_{dc}$ เช่น $V_{dc}$ = 540 V, $m_a$ = 0.9 ได้ราว 298 V ไลน์

quasi-square กำจัดฮาร์มอนิกที่ 3 ได้อย่างไร?

ฮาร์มอนิกที่ n ของ quasi-square มีขนาด $\frac{4V_{dc}}{n\pi}\cos n\alpha$ เลือก α = 30° ทำให้ cos 90° = 0 ฮาร์มอนิกที่ 3, 9, 15 หายทั้งหมด α = 18° กำจัดที่ 5 ส่วนวิธี SHE ใช้หลายมุมพร้อมกันกำจัดได้หลายฮาร์มอนิก

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์