พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. บทความ
  3. เวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น
  4. Determinant และ Inverse

// บทความ · พีชคณิตเชิงเส้น

วิธีหา Determinant และ Inverse Matrix (2×2 และ 3×3) พร้อมตัวอย่าง

ดีเทอร์มิแนนต์บอกว่าเมทริกซ์กลับด้านได้หรือไม่ ส่วนอินเวอร์สใช้แก้ระบบสมการ เช่น กระแสในวงจรหลายลูป บทความนี้ไล่วิธีคำนวณด้วยมือพร้อมตัวอย่างที่ตรวจด้วยการคูณกลับ

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
สรุปใน 30 วินาที
  • 2×2: det⁡(abcd)=ad−bc\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc
  • 3×3: กระจายตามแถวแรกด้วยโคแฟกเตอร์ (เครื่องหมายสลับ + − ++\,-\,+)
  • อินเวอร์ส: A−1=1det⁡Aadj⁡(A)A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A) มีได้เมื่อ det⁡A≠0\det A\ne0 เท่านั้น

Determinant 2×2

det⁡(abcd)=ad−bc\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc

ตัวอย่าง: det⁡(4726)=4⋅6−7⋅2=24−14=10\det\begin{pmatrix}4&7\\2&6\end{pmatrix}=4\cdot6-7\cdot2=24-14=10

Determinant 3×3 ด้วยโคแฟกเตอร์

กระจายตามแถวแรก: ตัวประกอบแต่ละตัวคูณด้วยดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 ที่เหลือเมื่อตัดแถวและหลักของมันออก เครื่องหมายสลับ +,−,++,-,+

det⁡A=a11M11−a12M12+a13M13\det A=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13}
ตัวอย่าง

A=(2130−14125)A=\begin{pmatrix}2&1&3\\0&-1&4\\1&2&5\end{pmatrix}

  1. det⁡A=2∣−1425∣−1∣0415∣+3∣0−112∣\det A=2\begin{vmatrix}-1&4\\2&5\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}0&4\\1&5\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}0&-1\\1&2\end{vmatrix}
  2. =2(−5−8)−1(0−4)+3(0+1)=−26+4+3=2(-5-8)-1(0-4)+3(0+1)=-26+4+3

det⁡A=−19\det A=-19 (ไม่เป็นศูนย์ จึงมีอินเวอร์ส)

สำหรับ 3×3 ยังใช้วิธี Sarrus ได้: คัดลอกสองหลักแรกต่อท้าย รวมผลคูณเส้นทแยงลงทั้งสามเส้น ลบผลคูณเส้นทแยงขึ้นทั้งสามเส้น ได้ผลเท่ากัน

Inverse 2×2 (สูตรลัด)

(abcd)−1=1ad−bc(d−b−ca)\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}

สลับ aa กับ dd เปลี่ยนเครื่องหมาย bb และ cc แล้วหารด้วย determinant

ตัวอย่าง

N=(4726)N=\begin{pmatrix}4&7\\2&6\end{pmatrix}

  1. N−1=110(6−7−24)=(0.6−0.7−0.20.4)N^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}6&-7\\-2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.6&-0.7\\-0.2&0.4\end{pmatrix}

  2. ตรวจ แถวแรกของ NN คูณหลักแรกของ N−1N^{-1}

    4(0.6)+7(−0.2)=2.4−1.4=14(0.6)+7(-0.2)=2.4-1.4=1

และ 4(−0.7)+7(0.4)=04(-0.7)+7(0.4)=0, 2(0.6)+6(−0.2)=02(0.6)+6(-0.2)=0, 2(−0.7)+6(0.4)=12(-0.7)+6(0.4)=1 จึงได้ NN−1=INN^{-1}=I ✓

Inverse 3×3 ด้วย adjugate

ขั้นตอน: (1) หาเมทริกซ์โคแฟกเตอร์ CC (2) สลับแถวเป็นหลัก ได้ adj⁡(A)=CT\operatorname{adj}(A)=C^{T} (3) หารด้วย det⁡A\det A

ต่อจากตัวอย่าง AA ข้างบน

หา A−1A^{-1}

  1. โคแฟกเตอร์ Cij=(−1)i+jMijC_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}

    C=(−134117−37−8−2)C=\begin{pmatrix}-13&4&1\\1&7&-3\\7&-8&-2\end{pmatrix}

  2. สลับแถวเป็นหลัก

    adj⁡(A)=CT=(−131747−81−3−2)\operatorname{adj}(A)=C^{T}=\begin{pmatrix}-13&1&7\\4&7&-8\\1&-3&-2\end{pmatrix}

  3. หารด้วย det⁡A=−19\det A=-19

    A−1=119(13−1−7−4−78−132)A^{-1}=\frac{1}{19}\begin{pmatrix}13&-1&-7\\-4&-7&8\\-1&3&2\end{pmatrix}

ตรวจ แถวแรกของ AA คูณหลักแรกของ A−1A^{-1}: 119(2(13)+1(−4)+3(−1))=1919=1\dfrac{1}{19}\big(2(13)+1(-4)+3(-1)\big)=\dfrac{19}{19}=1 ✓ และแถวแรกคูณหลักที่สอง: 119(2(−1)+1(−7)+3(3))=0\dfrac{1}{19}\big(2(-1)+1(-7)+3(3)\big)=0 ✓

ใช้ทำอะไร

  • แก้ระบบสมการ Ax=b⇒x=A−1bA\mathbf{x}=\mathbf{b}\Rightarrow\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b} เช่น กระแสลูปในวงจรไฟฟ้าหลายลูป
  • ตรวจการมีคำตอบเดียว ถ้า det⁡A≠0\det A\ne0 ระบบมีคำตอบเดียว
  • ค่าเฉพาะ หาจาก det⁡(A−λI)=0\det(A-\lambda I)=0 ในการวิเคราะห์เสถียรภาพของระบบสเตตสเปซ

เรียนต่อในคลังความรู้

คำถามที่พบบ่อย

Determinant เป็นศูนย์หมายความว่าอะไร?

เมทริกซ์เป็นเมทริกซ์เอกฐาน (singular) ไม่มีอินเวอร์ส และระบบสมการ Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b} ไม่มีคำตอบเดียว คือไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบมากมาย แถวหรือหลักของเมทริกซ์ขึ้นต่อกันเชิงเส้น

ใช้วิธี Sarrus กับเมทริกซ์ 4×4 ได้ไหม?

ไม่ได้ วิธี Sarrus (ลากเส้นทแยง) ใช้ได้กับ 3×3 เท่านั้น เมทริกซ์ขนาดใหญ่กว่านั้นใช้การกระจายโคแฟกเตอร์ หรือการดำเนินการแถวจนเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยม

ทำไมหารด้วย determinant ตอนหาอินเวอร์ส?

เพราะ A adj⁡(A)=det⁡(A) IA\,\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,I จึงต้องหารด้วย det⁡(A)\det(A) เพื่อให้ได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ ซึ่งทำไม่ได้เมื่อ det⁡(A)=0\det(A)=0

นิยมหาอินเวอร์สด้วยวิธีไหนในทางปฏิบัติ?

ในมือเขียนสำหรับ 2×2 ใช้สูตรลัด สำหรับ 3×3 ใช้ adjugate หรือการดำเนินการแถว (เกาส์–จอร์แดน) ในโปรแกรมคอมพิวเตอร์มักแก้ Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b} ด้วยการแยกตัวประกอบโดยไม่คำนวณอินเวอร์สตรง ๆ เพื่อความแม่นยำ

พีชคณิตเชิงเส้น กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้ สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k… อ่านบทความ → พีชคณิตเชิงเส้น สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์… อ่านบทความ → พีชคณิตเชิงเส้น เรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ให้จบ: แผนที่ 7 ขั้นจาก ม.ปลาย สอบเข้ามหาวิทยาลัย ถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม แผนที่การเรียนเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ คราเมอร์ และวิธีเชิงตัวเลขแบบเห็นภาพรวม ควรเรียนอะไรก่อนหลัง สอบเข้ามหาวิทยาลัยต้องรู้แค่ไหน… อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด