// บทความ · วิธีเชิงตัวเลข

แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีเชิงตัวเลข: เกาส์ LU จาโคบี หรือเกาส์-ไซเดล เลือกวิธีไหนดี

โปรแกรมจำลองวงจร วิเคราะห์โครงสร้าง และคำนวณความร้อนต้องแก้ $A\mathbf x = \mathbf b$ ที่มีตัวแปรนับพันถึงนับล้าน วิธีที่ใช้ในห้องเรียนจึงไม่พอ บทความนี้เปรียบเทียบวิธีหลักทั้งหมดแบบเห็นภาพรวม ว่าแต่ละวิธีทำงานอย่างไร เร็วแค่ไหน และควรเลือกเมื่อไร

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต 25 ต.ค. 2569

สรุปใน 30 วินาที

วิธีตรง (เกาส์ LU โชเลสกี โทมัส) จบในจำนวนขั้นที่แน่นอน เหมาะกับระบบหนาแน่นขนาดกลาง ต้องสลับแถวเสมอ
วิธีทำซ้ำ (จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR) ปรับค่าเดาทีละรอบ เหมาะกับระบบใหญ่และเบาบาง
เกาส์-ไซเดลมักเร็วกว่าจาโคบีราวสองเท่า SOR ที่ $\omega$ เหมาะสมเร็วกว่าอีกหลายเท่า
ก่อนเชื่อคำตอบ ดูเลขเงื่อนไข $\kappa(A)$ ซึ่งบอกว่าอาจเสียความแม่นยำราว $\log_{10}\kappa$ หลัก

ภาพรวม: วิธีตรงกับวิธีทำซ้ำ

สองตระกูลของวิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้น เลือกตามขนาด ความเบาบาง และโครงสร้างของเมทริกซ์

กฎของคราเมอร์ไม่อยู่ในแผนที่นี้ เพราะต้นทุนโตแบบแฟกทอเรียล ระบบ 20 ตัวแปรต้องคูณราว $5\times10^{19}$ ครั้ง ขณะที่การกำจัดแบบเกาส์ใช้ราว 2,700 ครั้ง (ดูเหตุผลใน บทความกฎของคราเมอร์)

วิธีตรง: เกาส์ LU โชเลสกี และโทมัส

การกำจัดแบบเกาส์ ทำให้ใต้แนวทแยงเป็นศูนย์แล้วแทนค่าย้อนกลับ ใช้ราว $\tfrac23n^3$ flops จุดสำคัญคือการสลับแถว (partial pivoting) ให้ตัวหลักใหญ่ที่สุดในหลัก ตัวอย่างบนเครื่องที่เก็บ 3 หลักนัยสำคัญ

\begin{aligned} 0.0001x + y &= 1 \\ x + y &= 2 \end{aligned} \qquad \text{ไม่สลับ: } x = 0\ (\text{ผิด}),\qquad \text{สลับแถว: } x = 1.00\ (\text{ถูก})

เพราะตัวคูณ $1/0.0001 = 10^4$ ทำให้ $1 - 10^4$ ปัดเป็น $-1.00\times10^4$ ข้อมูลของสมการแรกหายไปหมด ลองปรับจำนวนหลักเองได้ใน แล็บการสลับแถว

การแยก LU คือเกาส์ที่เก็บตัวคูณไว้ใน $L$ แยกครั้งเดียวแล้วแก้ $\mathbf b$ ใหม่ได้ด้วยต้นทุนแค่ $\approx 2n^2$ เหมาะกับวงจรที่แหล่งจ่ายเปลี่ยนแต่โครงสร้างเดิม
โชเลสกี $A = LL^T$ สำหรับเมทริกซ์สมมาตรบวกแน่นอน เช่น เมทริกซ์ความนำของวงจรตัวต้านทาน เร็วกว่า LU สองเท่าและไม่ต้องสลับแถว
โทมัส สำหรับเมทริกซ์สามแนวทแยง (แท่งความร้อน สายส่งแบบขั้นบันได) ใช้เวลา $O(n)$ เช่น แท่งที่ปลาย 100 °C กับ 0 °C แบ่ง 4 โหนดได้ $T = (80, 60, 40, 20)$ °C

วิธีทำซ้ำ: จาโคบีเทียบเกาส์-ไซเดล

ทั้งสองวิธีแก้สมการที่ $i$ หา $x_i$ โดยใช้ค่าประมาณของตัวแปรอื่น ต่างกันแค่ว่าใช้ค่า “เก่า” หรือค่า “ใหม่”

\text{จาโคบี: } x_i^{(k+1)} = \frac{b_i - \sum_{j\ne i}a_{ij}x_j^{(k)}}{a_{ii}},\qquad \text{เกาส์-ไซเดล: ใช้ } x_j^{(k+1)} \text{ ทันทีสำหรับ } j \lt i

ระบบ $4x - y + z = 7,\ 4x - 8y + z = -21,\ -2x + y + 5z = 15$ มีคำตอบ $(2, 4, 3)$ เริ่มที่ $(1, 2, 2)$

รอบ	จาโคบี	เกาส์-ไซเดล
1	(1.750, 3.375, 3.000)	(1.750, 3.750, 2.950)
2	(1.844, 3.875, 3.025)	(1.950, 3.969, 2.986)
3	(1.963, 3.925, 2.963)	(1.996, 3.996, 2.999)

ความคลาดเคลื่อนของเกาส์-ไซเดลลดลงราว 8 เท่าต่อรอบ (

\rho = 0.125

) จาโคบีราว 3 เท่า (

\rho \approx 0.335

)

ลู่เข้าเมื่อไร และ SOR เร่งได้อย่างไร

ทแยงเด่นแท้ $|a_{ii}| \gt \sum_{j\ne i}|a_{ij}|$ ทุกแถว → ลู่เข้าแน่นอน ถ้าไม่ทแยงเด่นให้ลองสลับลำดับสมการก่อน
เงื่อนไขแท้คือรัศมีสเปกตรัม $\rho(T) \lt 1$ และต้องใช้ราว $d/(-\log_{10}\rho)$ รอบเพื่อเพิ่มความแม่น $d$ หลัก
SOR ก้าวเลยค่าของเกาส์-ไซเดลด้วยตัวประกอบ $1 \lt \omega \lt 2$ ระบบแท่งความร้อน 10 ตัวแปรต้องใช้ราว 334 รอบ (จาโคบี) 167 รอบ (เกาส์-ไซเดล) แต่ SOR ที่ $\omega \approx 1.56$ ใช้เพียงราว 24 รอบ

เปรียบเทียบทั้งสามวิธีพร้อมกันได้ใน ซิมูเลเตอร์จาโคบี · เกาส์-ไซเดล · SOR และดูความร้อนแผ่ในแผ่นโลหะทีละรอบใน แล็บแผ่นความร้อน

เลขเงื่อนไข: คำตอบเชื่อได้แค่ไหน

ระบบที่สมการเกือบขนานกัน ข้อมูลผิดนิดเดียวคำตอบเปลี่ยนมาก เช่น $x + y = 2,\ x + 1.0001y = 2.0001$ มีคำตอบ $(1, 1)$ แต่ถ้าค่าทางขวาเป็น $2.0002$ คำตอบกลายเป็น $(0, 2)$ เลขเงื่อนไข $\kappa_\infty \approx 4\times10^4$ จึงอาจเสียความแม่นราว 4–5 หลัก

\frac{\lVert\delta\mathbf x\rVert}{\lVert\mathbf x\rVert} \le \kappa(A)\,\frac{\lVert\delta\mathbf b\rVert}{\lVert\mathbf b\rVert}

ตารางเลือกวิธี

ระบบของคุณ	ใช้
2–3 ตัวแปร ทำมือ	คราเมอร์หรือลดแถว
หนาแน่น ขนาดกลาง หลาย $\mathbf b$	LU + การสลับแถว (`numpy.linalg.solve`, MATLAB `A\b`)
สมมาตรบวกแน่นอน	โชเลสกี
สามแนวทแยง	โทมัส
ใหญ่ เบาบาง ทแยงเด่น	เกาส์-ไซเดล หรือ SOR
ใหญ่มาก สมมาตรบวกแน่นอน	Conjugate Gradient + preconditioner

อ่านต่อในคลังความรู้

คำถามที่พบบ่อย

จาโคบีกับเกาส์-ไซเดลต่างกันตรงไหน?

จาโคบีคำนวณทุกตัวแปรในรอบใหม่จากค่ารอบก่อนทั้งหมด ส่วนเกาส์-ไซเดลนำค่าที่เพิ่งได้ในรอบเดียวกันมาใช้ทันที เกาส์-ไซเดลจึงมักลู่เข้าเร็วกว่าราวสองเท่าและใช้หน่วยความจำน้อยกว่า ส่วนจาโคบีคำนวณแบบขนานได้ง่าย

เมื่อไรควรใช้วิธีทำซ้ำแทนการแยก LU?

เมื่อระบบใหญ่มากและเมทริกซ์ส่วนใหญ่เป็นศูนย์ (เบาบาง) เช่น การจำลองความร้อน สนามไฟฟ้า หรือไฟไนต์เอลิเมนต์ ที่มีตัวแปรหลักหมื่นถึงหลักล้าน วิธีทำซ้ำไม่ต้องเก็บเมทริกซ์เต็มและไม่เกิดการเติมศูนย์ ส่วนระบบหนาแน่นขนาดกลางให้ใช้ LU กับการสลับแถว

ทำไมต้องสลับแถวในการกำจัดแบบเกาส์?

เพื่อให้ตัวหลักเป็นค่าที่มีขนาดใหญ่ที่สุดในหลัก ตัวคูณจึงไม่เกิน 1 และความคลาดเคลื่อนจากการปัดเศษไม่ถูกขยาย ถ้าตัวหลักเล็กมาก เช่น 0.0001 เครื่องที่เก็บ 3 หลักจะได้คำตอบผิดทั้งหมด

วิธีทำซ้ำจะลู่เข้าเมื่อไร?

ถ้าเมทริกซ์ทแยงเด่นแท้ จาโคบีและเกาส์-ไซเดลลู่เข้าแน่นอน เงื่อนไขที่แท้จริงคือรัศมีสเปกตรัมของเมทริกซ์การทำซ้ำน้อยกว่า 1 และจำนวนรอบที่ต้องใช้ประมาณได้จากจำนวนหลักที่ต้องการหารด้วย −log₁₀ ของรัศมีสเปกตรัม

บทความอื่นที่น่าอ่าน

พีชคณิตเชิงเส้น กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้ สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k… 25 ต.ค. 2569อ่านบทความ → พีชคณิตเชิงเส้น สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์… 25 ต.ค. 2569อ่านบทความ → พีชคณิตเชิงเส้น เรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ให้จบ: แผนที่ 7 ขั้นจาก ม.ปลาย สอบเข้ามหาวิทยาลัย ถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม แผนที่การเรียนเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ คราเมอร์ และวิธีเชิงตัวเลขแบบเห็นภาพรวม ควรเรียนอะไรก่อนหลัง สอบเข้ามหาวิทยาลัยต้องรู้แค่ไหน… 25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด