พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. บทความ
  3. เวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น
  4. แรงก์ของเมทริกซ์

// บทความ · พีชคณิตเชิงเส้น

แรงก์ของเมทริกซ์ (ค่าลำดับขั้น) คืออะไร หาอย่างไร และบอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ

แรงก์เป็นตัวเลขตัวเดียวที่บอกว่าในเมทริกซ์มี “ข้อมูลที่ไม่ซ้ำกัน” อยู่กี่แถว รู้แรงก์แล้วก็รู้ทันทีว่าระบบสมการมีคำตอบเดียว มีไม่จำกัด หรือไม่มีเลย โดยไม่ต้องแก้จนจบ บทความนี้อธิบายความหมาย วิธีหาสองวิธี และการใช้งานจริงแบบเห็นภาพรวม

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
สรุปใน 30 วินาที
  • แรงก์ = จำนวนแถว (หรือหลัก) ที่อิสระเชิงเส้น = จำนวนตัวหลักหลังลดแถวเป็นขั้นบันได
  • หาได้สองวิธี: ลดแถวแล้วนับแถวที่ไม่เป็นศูนย์ หรือหาไมเนอร์ (ดีเทอร์มิแนนต์ย่อย) ที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่เป็นศูนย์
  • rank⁡A<rank⁡[A∣b]\operatorname{rank}A \lt \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] ไม่มีคำตอบ · เท่ากัน =n= n คำตอบเดียว · เท่ากัน <n\lt n ไม่จำกัด

แรงก์คือการนับข้อมูลที่ไม่ซ้ำ

ลองดูระบบ x+2y−z=4, 2x+3y+z=9, 3x+5y=13x + 2y - z = 4,\ 2x + 3y + z = 9,\ 3x + 5y = 13 สมการที่สามคือสมการที่หนึ่งบวกสมการที่สองพอดี จึงไม่ได้ให้ข้อมูลใหม่ ระบบนี้มีสามสมการ แต่มีข้อมูลจริงเพียงสอง เลข 2 นี้คือแรงก์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์

มองอีกแบบด้วยภาพ หลักแต่ละหลักของเมทริกซ์คือเวกเตอร์หนึ่งตัว แรงก์คือจำนวน “ทิศทางอิสระ” ที่เวกเตอร์ทั้งหมดกางออกได้ ถ้าทุกตัวอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน แรงก์เป็น 1 ถ้าอยู่บนระนาบเดียวกัน แรงก์เป็น 2

xyzrank 1อยู่บนเส้นเดียวxyzrank 2อยู่บนระนาบเดียวxyzrank 3กางเต็ม 3 มิติ
หลักของเมทริกซ์ที่อยู่บนเส้นเดียว ระนาบเดียว หรือกางเต็มสามมิติ ให้แรงก์ 1, 2 และ 3 ตามลำดับ

ข้อเท็จจริงที่ดูแปลกแต่จริงเสมอคือ จำนวนแถวอิสระเท่ากับจำนวนหลักอิสระทุกครั้ง แรงก์จึงไม่เกินจำนวนแถวและไม่เกินจำนวนหลัก: rank⁡A≤min⁡(m,n)\operatorname{rank}A \le \min(m, n)

วิธีที่ 1: ลดแถวแล้วนับ

การดำเนินการตามแถว (สลับแถว คูณแถว บวกพหุคูณของแถวอื่น) ไม่เปลี่ยนแรงก์ จึงลดแถวให้เป็นรูปขั้นบันได แล้วนับแถวที่ไม่เป็นศูนย์ได้เลย

ตัวอย่าง

A=(12−1231350)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 0 \end{pmatrix}

  1. R2−2R1, R3−3R1:(12−10−130−13)R_2 - 2R_1,\ R_3 - 3R_1:\quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}
  2. R3−R2:(12−10−13000)R_3 - R_2:\quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

แถวไม่เป็นศูนย์ 2 แถว จึง rank⁡A=2\operatorname{rank}A = 2

วิธีนี้ใช้ได้กับเมทริกซ์ทุกขนาด รวมถึงเมทริกซ์ที่ไม่จัตุรัส ลองพิมพ์เมทริกซ์ของคุณเองใน แล็บหาแรงก์ทีละขั้น ซึ่งแสดงทุกขั้นแบบเศษส่วนแม่นตรง

วิธีที่ 2: ไมเนอร์ (ดีเทอร์มิแนนต์ย่อย)

แรงก์คืออันดับของไมเนอร์ที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่เป็นศูนย์ สำหรับเมทริกซ์จัตุรัส n×nn\times n จึงได้กฎสั้น ๆ ว่า det⁡A≠0  ⟺  rank⁡A=n\det A \ne 0 \iff \operatorname{rank}A = n

ตัวอย่างคลาสสิก (123456789)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} มีดีเทอร์มิแนนต์ 225−225=0225 - 225 = 0 แรงก์จึงน้อยกว่า 3 แต่ไมเนอร์มุมบนซ้าย ∣1245∣=−3≠0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = -3 \ne 0 แรงก์จึงเป็น 2

กับดัก det⁡A=0\det A = 0 บอกแค่ว่าแรงก์ไม่เต็ม ไม่ได้บอกว่าเหลือเท่าไร เมทริกซ์ 3×33\times3 ที่ทุกตัวเป็น 1 มี det⁡=0\det = 0 และแรงก์เพียง 1

แรงก์บอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ

นี่คือเหตุผลหลักที่ต้องเรียนแรงก์ เทียบแรงก์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ AA กับเมทริกซ์แต่งเติม [A∣b][A\mid\mathbf b] ตามทฤษฎีบทรูเช-กาเปลลี

{rank⁡A<rank⁡[A∣b]ไม่มีคำตอบrank⁡A=rank⁡[A∣b]=nคำตอบเดียวrank⁡A=rank⁡[A∣b]=r<nไม่จำกัด มีตัวแปรอิสระ n−r ตัว\begin{cases} \operatorname{rank}A \lt \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] & \text{ไม่มีคำตอบ} \\ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = n & \text{คำตอบเดียว} \\ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = r \lt n & \text{ไม่จำกัด มีตัวแปรอิสระ } n - r \text{ ตัว} \end{cases}
จุดเดียวrank 3 · 3ไม่จำกัด (เส้นตรง)rank 2 · 2ไม่มีคำตอบrank 2 · 3
สามสมการสามตัวแปรคือสามระนาบ แรงก์สองตัวบอกว่ามันตัดกันแบบไหน (ดูแบบหมุนได้ใน แล็บสามระนาบ 3 มิติ)
ตัวอย่าง

ระบบ x+y+z=1, x+2y+3z=2, x+3y+az=bx + y + z = 1,\ x + 2y + 3z = 2,\ x + 3y + az = b

  1. ลดแถวเมทริกซ์แต่งเติมจนแถวสุดท้ายเป็น

    (00a−5b−3)\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & a - 5 & b - 3 \end{array}\right)

  2. a≠5a \ne 5: แรงก์ทั้งสองเป็น 3 คำตอบเดียว · a=5, b=3a = 5,\ b = 3: แถวศูนย์ทั้งแถว แรงก์ 2 = 2 คำตอบไม่จำกัด · a=5, b≠3a = 5,\ b \ne 3: แรงก์ 2 กับ 3 ไม่มีคำตอบ

กรณีไม่จำกัด (x,y,z)=(t, 1−2t, t)(x, y, z) = (t,\ 1 - 2t,\ t) มีตัวแปรอิสระ 3−2=13 - 2 = 1 ตัว

โจทย์แรงก์ที่มีพารามิเตอร์ k

ข้อสอบชอบถาม “แรงก์ของ AA เป็นเท่าใดสำหรับทุกค่า kk” ขั้นตอนคือ หา det⁡A(k)\det A(k) แยกตัวประกอบ ค่า kk ที่ไม่ทำให้ det⁡\det เป็นศูนย์ได้แรงก์เต็ม แล้วแทนค่า kk ที่ทำให้ det⁡=0\det = 0 ทีละค่าเพื่อลดแถวนับแรงก์จริง เช่น

A=(11k1k1k11),det⁡A=−(k−1)2(k+2)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & k \\ 1 & k & 1 \\ k & 1 & 1 \end{pmatrix},\quad \det A = -(k - 1)^2(k + 2)

ได้แรงก์ 3 เมื่อ k≠1,−2k \ne 1, -2 · แรงก์ 1 เมื่อ k=1k = 1 (ทุกแถวเหมือนกัน) · แรงก์ 2 เมื่อ k=−2k = -2 เลื่อนค่า kk ดูเองได้ใน แล็บแรงก์กับพารามิเตอร์ k

แรงก์ในงานวิศวกรรม

  • วงจรไฟฟ้า: เมทริกซ์อุบัติการณ์ของวงจร nn โนดมีแรงก์ n−1n - 1 เสมอ จึงเขียน KCL ที่อิสระได้ n−1n - 1 สมการ และ KVL อิสระ b−n+1b - n + 1 สมการ (เท่าจำนวนเมช) — เหตุผลที่ต้องเลือกโนดอ้างอิงหนึ่งโนด
  • ระบบควบคุม: ระบบควบคุมได้ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ [B AB ⋯ An−1B][B\ AB\ \cdots\ A^{n-1}B] มีแรงก์เต็ม nn (การทดสอบของคาลมาน)
  • ข้อมูลจริง: ข้อมูลวัดมีความคลาดเคลื่อน จึงใช้แรงก์เชิงตัวเลขจากค่าเอกฐาน (SVD) นับเฉพาะค่าที่ใหญ่กว่าระดับสัญญาณรบกวน

อ่านต่อในคลังความรู้

คำถามที่พบบ่อย

แรงก์กับค่าลำดับขั้นคือสิ่งเดียวกันไหม?

ใช่ ค่าลำดับขั้น (บางตำราเรียกลำดับชั้น) คือคำแปลของ rank of a matrix หมายถึงจำนวนแถวหรือหลักที่อิสระเชิงเส้น ซึ่งเท่ากับจำนวนตัวหลักเมื่อลดแถวเป็นรูปขั้นบันได

แรงก์ของเมทริกซ์ 3×4 มีค่าได้มากที่สุดเท่าใด?

3 เพราะแรงก์ไม่เกินจำนวนแถวและไม่เกินจำนวนหลัก rank A ≤ min(m, n) เมทริกซ์ 3×4 จึงมีแรงก์ได้ 0, 1, 2 หรือ 3

det A = 0 แปลว่าแรงก์เท่ากับ n − 1 ใช่ไหม?

ไม่เสมอไป det A = 0 บอกเพียงว่าแรงก์น้อยกว่า n อาจเป็น n − 1 หรือน้อยกว่านั้น เช่น เมทริกซ์ 3×3 ที่ทุกสมาชิกเป็น 1 มี det = 0 และแรงก์เพียง 1 ต้องลดแถวเพื่อนับแรงก์จริง

แรงก์ใช้ตัดสินว่าระบบสมการมีคำตอบได้อย่างไร?

เทียบ rank A กับ rank [A|b] ถ้า rank A น้อยกว่า ระบบไม่มีคำตอบ ถ้าเท่ากันและเท่ากับจำนวนตัวแปร มีคำตอบเดียว ถ้าเท่ากันแต่น้อยกว่าจำนวนตัวแปร มีคำตอบไม่จำกัด โดยมีตัวแปรอิสระเท่ากับจำนวนตัวแปรลบแรงก์

พีชคณิตเชิงเส้น กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้ สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k… อ่านบทความ → พีชคณิตเชิงเส้น สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์… อ่านบทความ → พีชคณิตเชิงเส้น เรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ให้จบ: แผนที่ 7 ขั้นจาก ม.ปลาย สอบเข้ามหาวิทยาลัย ถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม แผนที่การเรียนเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ คราเมอร์ และวิธีเชิงตัวเลขแบบเห็นภาพรวม ควรเรียนอะไรก่อนหลัง สอบเข้ามหาวิทยาลัยต้องรู้แค่ไหน… อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด