พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. บทความ
  3. เวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น
  4. กฎของคราเมอร์

// บทความ · พีชคณิตเชิงเส้น

กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้

กฎของคราเมอร์ให้สูตรตรงของตัวแปรแต่ละตัวในระบบสมการเชิงเส้น ไม่ต้องลดแถว ไม่ต้องหาอินเวอร์ส เหมาะมากกับข้อสอบที่ถามตัวแปรเพียงตัวเดียว แต่ก็มีข้อจำกัดที่ต้องรู้ บทความนี้สรุปทั้งวิธีใช้ ที่มา กรณีพิเศษ และขอบเขตการใช้งานในที่เดียว

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
สรุปใน 30 วินาที
  • xi=ΔiΔx_i = \dfrac{\Delta_i}{\Delta} โดย Δ=det⁡A\Delta = \det A และ Δi\Delta_i คือ det⁡\det ของ AA ที่แทนหลักที่ ii ด้วยค่าคงที่ b\mathbf b
  • ใช้ได้เมื่อ AA จัตุรัสและ Δ≠0\Delta \ne 0 · ถามตัวแปรเดียวใช้ดีเทอร์มิแนนต์แค่สองตัว
  • ระบบใหญ่กว่า 3×3 หรือในโปรแกรม ใช้การกำจัดแบบเกาส์หรือ LU แทน

สูตรในประโยคเดียว

หาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ Δ\Delta จากนั้นเอาค่าคงที่ทางขวาไปแทนหลักของตัวแปรที่ต้องการ หาดีเทอร์มิแนนต์ใหม่ Δi\Delta_i แล้วหารกัน

Δ = det A321−1= −5Δₓ72−1−1= −5Δᵧ371−1= −10ระบบ: 3x + 2y = 7, x − y = −1x = Δₓ/Δ = 1 · y = Δᵧ/Δ = 2
ระบบ 2×2 ตัวอย่าง: แทนหลักแรกด้วย b\mathbf b ได้ Δx\Delta_x แทนหลักที่สองได้ Δy\Delta_y
3x+2y=7x−y=−1⇒Δ=∣321−1∣=−5,x=∣72−1−1∣−5=−5−5=1,y=∣371−1∣−5=−10−5=2\begin{aligned} 3x + 2y &= 7 \\ x - y &= -1 \end{aligned} \quad\Rightarrow\quad \Delta = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -5,\quad x = \frac{\begin{vmatrix} 7 & 2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix}}{-5} = \frac{-5}{-5} = 1,\quad y = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2

ระบบ 3×3: หาเฉพาะตัวแปรที่โจทย์ถาม

ตัวอย่าง

หา yy จาก 2x+y−z=3, x+3y+2z=14, 3x−y+z=22x + y - z = 3,\ x + 3y + 2z = 14,\ 3x - y + z = 2

  1. Δ=∣21−11323−11∣=2(3+2)−1(1−6)+(−1)(−1−9)=25\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 2(3 + 2) - 1(1 - 6) + (-1)(-1 - 9) = 25
  2. Δy=∣23−11142321∣=2(14−4)−3(1−6)+(−1)(2−42)=75\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 14 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2(14 - 4) - 3(1 - 6) + (-1)(2 - 42) = 75

y=75/25=3y = 75/25 = 3 — ไม่ต้องหา xx และ zz เลย

ถ้าต้องการทุกตัวแปรของระบบ 3×3 ต้องใช้ดีเทอร์มิแนนต์ 4 ตัว ตรวจคำตอบด้วยการแทนกลับทุกครั้ง หรือใช้ เครื่องคิดเลขคราเมอร์แสดงวิธีทำ

ทำไมสูตรนี้ถูก (พิสูจน์สองบรรทัด)

ให้ XiX_i คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่แทนหลักที่ ii ด้วยเวกเตอร์คำตอบ x\mathbf x เมื่อคูณ AA เข้าไป หลักที่ ii จะกลายเป็น Ax=bA\mathbf x = \mathbf b ส่วนหลักอื่นยังเป็นหลักของ AA นั่นคือ AXi=AiAX_i = A_i จากนั้นใช้สมบัติ det⁡(AB)=det⁡Adet⁡B\det(AB) = \det A\det B

det⁡A⋅det⁡Xi=det⁡Ai,det⁡Xi=xi ⇒ xi=det⁡Aidet⁡A\det A\cdot\det X_i = \det A_i,\qquad \det X_i = x_i \ \Rightarrow\ x_i = \frac{\det A_i}{\det A}

อีกมุมหนึ่ง คราเมอร์คือการเขียน x=A−1b=adj⁡A bdet⁡A\mathbf x = A^{-1}\mathbf b = \dfrac{\operatorname{adj}A\,\mathbf b}{\det A} ทีละตัวแปร คำตอบจึงเท่ากับวิธีอินเวอร์สเสมอ

เมื่อ Δ = 0 และโจทย์พารามิเตอร์ k

ถ้า Δ=0\Delta = 0 สูตรใช้ไม่ได้ ระบบอาจไม่มีคำตอบหรือมีไม่จำกัด ตัวอย่างที่ออกสอบบ่อย

kx+y=1x+ky=1Δ=k2−1,Δx=Δy=k−1\begin{aligned} kx + y &= 1 \\ x + ky &= 1 \end{aligned}\qquad \Delta = k^2 - 1,\quad \Delta_x = \Delta_y = k - 1
  • k≠±1k \ne \pm1: x=y=1k+1x = y = \dfrac{1}{k + 1}
  • k=1k = 1: Δ=Δx=Δy=0\Delta = \Delta_x = \Delta_y = 0 สองสมการเป็นเส้นเดียวกัน → คำตอบไม่จำกัด
  • k=−1k = -1: Δ=0\Delta = 0 แต่ Δx=−2≠0\Delta_x = -2 \ne 0 → เส้นขนาน → ไม่มีคำตอบ
กับดัก ห้ามตัดตัวประกอบ (k−1)(k - 1) ทิ้งก่อนตรวจกรณี k=1k = 1 และสำหรับระบบ 3×3 แม้ Δ\Delta กับ Δi\Delta_i ทุกตัวเป็นศูนย์ ระบบก็ยังอาจไม่มีคำตอบได้ ต้องใช้แรงก์ตัดสิน

เมื่อไรควรใช้ และเมื่อไรไม่ควรใช้

ควรใช้ไม่ควรใช้
ระบบ 2–3 ตัวแปร ทำมือระบบตั้งแต่ 4 ตัวแปรขึ้นไป
ถามตัวแปรเดียว เช่น กระแสในเมชเดียวΔ=0\Delta = 0 หรือใกล้ศูนย์มาก
สัมประสิทธิ์เป็นตัวอักษร (RR, kk, ss) อยากได้สูตรทั่วไปจำนวนสมการไม่เท่าจำนวนตัวแปร
วงจร AC 2×2 ที่อิมพีแดนซ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนงานคอมพิวเตอร์ที่ต้องการความเร็วและความแม่นเชิงตัวเลข

ต้นทุนคือเหตุผลหลัก ถ้าหาดีเทอร์มิแนนต์ด้วยการกระจายโคแฟกเตอร์ คราเมอร์ใช้การคูณราว (n+1)!(n + 1)! ครั้ง ระบบ 20 ตัวแปรจึงต้องคูณราว 5×10195\times10^{19} ครั้ง (ราว 1,600 ปีที่พันล้านครั้งต่อวินาที) ขณะที่การกำจัดแบบเกาส์ใช้ราว n3/3≈2,700n^3/3 \approx 2{,}700 ครั้ง รายละเอียดอยู่ใน ผลเฉลยเชิงตัวเลข

อ่านต่อในคลังความรู้

คำถามที่พบบ่อย

กฎของคราเมอร์ใช้กับระบบแบบไหนได้?

ใช้ได้กับระบบที่จำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปร (เมทริกซ์สัมประสิทธิ์จัตุรัส) และดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์ ถ้า Δ = 0 ระบบอาจไม่มีคำตอบหรือมีไม่จำกัด ต้องตรวจด้วยการลดแถว

ทำไมกฎของคราเมอร์จึงเร็วในข้อสอบ?

เพราะถ้าโจทย์ถามเพียงตัวแปรเดียว ใช้ดีเทอร์มิแนนต์แค่สองตัว คือ Δ และ Δ ของตัวแปรนั้น ไม่ต้องแก้ทุกตัวแปรหรือหาอินเวอร์สทั้งเมทริกซ์ เหมาะกับระบบ 2–3 ตัวแปรที่ทำมือ

ทำไมโปรแกรมคอมพิวเตอร์ไม่ใช้กฎของคราเมอร์?

เพราะต้นทุนสูงมากเมื่อระบบใหญ่ ถ้าหาดีเทอร์มิแนนต์ด้วยโคแฟกเตอร์ ระบบ 20 ตัวแปรต้องคูณราว 5 × 10¹⁹ ครั้ง ส่วนการกำจัดแบบเกาส์ใช้ราว 2,700 ครั้ง และการกำจัดแบบเกาส์ที่สลับแถวยังเสถียรเชิงตัวเลขกว่า

ใช้คราเมอร์กับวงจรไฟฟ้ากระแสสลับได้ไหม?

ได้ ขั้นตอนมีแค่บวก ลบ คูณ หาร จึงใช้กับอิมพีแดนซ์ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ตรง ๆ และใช้กับตัวแปร s ของการแปลงลาปลาซได้ด้วย โดย Δ(s) = 0 คือสมการลักษณะเฉพาะของวงจร

พีชคณิตเชิงเส้น สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์… อ่านบทความ → พีชคณิตเชิงเส้น เรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ให้จบ: แผนที่ 7 ขั้นจาก ม.ปลาย สอบเข้ามหาวิทยาลัย ถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม แผนที่การเรียนเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ คราเมอร์ และวิธีเชิงตัวเลขแบบเห็นภาพรวม ควรเรียนอะไรก่อนหลัง สอบเข้ามหาวิทยาลัยต้องรู้แค่ไหน… อ่านบทความ → พีชคณิตเชิงเส้น แรงก์ของเมทริกซ์ (ค่าลำดับขั้น) คืออะไร หาอย่างไร และบอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ อธิบายแรงก์ (rank) หรือค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ให้เห็นภาพ วิธีหาด้วยการลดแถวและไมเนอร์ ใช้แรงก์ตัดสินว่าระบบสมการมีคำตอบเดียว ไม่จำกัด หรือไม่มี… อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด