พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. บทความ
  3. เวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น
  4. สมบัติดีเทอร์มิแนนต์

// บทความ · พีชคณิตเชิงเส้น

สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง

ข้อสอบเรื่องดีเทอร์มิแนนต์ส่วนใหญ่ไม่ได้ให้คำนวณจากตัวเลขตรง ๆ แต่ให้ det⁡A\det A มาเพียงค่าเดียว แล้วถามดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่สร้างจาก AA ทุกข้อแก้ได้ในบรรทัดเดียวถ้ารู้สมบัติ 12 ข้อนี้ ให้ A,BA, B เป็นเมทริกซ์ n×nn\times n และ kk เป็นค่าคงที่

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
สามสูตรที่ต้องจำให้ขึ้นใจ
  • det⁡(kA)=kndet⁡A\det(kA) = k^n\det A — เลขชี้กำลังคือขนาด nn
  • det⁡(AB)=det⁡Adet⁡B\det(AB) = \det A\det B จึงได้ det⁡A−1=1/det⁡A\det A^{-1} = 1/\det A และ det⁡Am=(det⁡A)m\det A^m = (\det A)^m
  • det⁡(adj⁡A)=(det⁡A)n−1\det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-1}

ทำไมสมบัติเหล่านี้จึงจริง: ดีเทอร์มิแนนต์คือตัวคูณพื้นที่

เมทริกซ์ 2×2 เปลี่ยนสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งหน่วยเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน และ ∣det⁡A∣|\det A| คือพื้นที่ของมัน (3×3 คือปริมาตร) เมื่อมองแบบนี้ สมบัติส่วนใหญ่ก็ชัดเจน เช่น ขยายทุกด้าน 2 เท่า พื้นที่โต 222^2 เท่า ปริมาตรโต 232^3 เท่า

012340123พื้นที่ 5A = [3 1; 1 2] · det A = 5012340123×4det(2A) = 2²·det A3×3 (ปริมาตร): det(2A) = 2³ det A
ซ้าย: det⁡A=5\det A = 5 คือพื้นที่ที่สี่เหลี่ยมหนึ่งหน่วยกลายเป็น · ขวา: คูณทุกแถวด้วย 2 พื้นที่โต 222^2 เท่า

ข้อ 1–6: การดำเนินการตามแถวและเมทริกซ์พิเศษ

  1. ทรานสโพส: det⁡AT=det⁡A\det A^T = \det A — สมบัติทุกข้อของแถวจึงใช้กับหลักได้ด้วย
  2. สลับสองแถว: ค่าเปลี่ยนเครื่องหมาย
  3. คูณแถวหนึ่งด้วย kk: ค่าถูกคูณด้วย kk (ดึงตัวร่วมออกได้ทีละแถว)
  4. บวกพหุคูณของแถวอื่น Ri←Ri+kRjR_i \leftarrow R_i + kR_j: ค่าไม่เปลี่ยน — เครื่องมือหลักในการลดแถว
  5. แถวศูนย์ แถวซ้ำ หรือแถวเป็นสัดส่วนกัน: det⁡=0\det = 0
  6. เมทริกซ์สามเหลี่ยมหรือทแยงมุม: det⁡\det = ผลคูณสมาชิกแนวทแยง
ตัวอย่าง

ถ้า ∣abcdefghi∣=5\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 5 จงหา ∣2a2b2cghid+3ae+3bf+3c∣\begin{vmatrix} 2a & 2b & 2c \\ g & h & i \\ d + 3a & e + 3b & f + 3c \end{vmatrix}

  1. ดึง 2 ออกจากแถว 1 (ข้อ 3) · แถว 3 ลบพหุคูณของแถว 1 ได้ (d,e,f)(d, e, f) โดยค่าไม่เปลี่ยน (ข้อ 4)

  2. เหลือแถว (a,b,c),(g,h,i),(d,e,f)(a, b, c), (g, h, i), (d, e, f) สลับแถว 2 กับ 3 เครื่องหมายเปลี่ยน (ข้อ 2)

2×(−5)=−102\times(-5) = -10

ข้อ 7–10: ค่าคงที่ ผลคูณ อินเวอร์ส และกำลัง

  1. det⁡(kA)=kndet⁡A\det(kA) = k^n\det A — เพราะ kk อยู่ในทุกแถว nn แถว
  2. det⁡(AB)=det⁡Adet⁡B=det⁡(BA)\det(AB) = \det A\det B = \det(BA) แม้ AB≠BAAB \ne BA
  3. det⁡(A−1)=1det⁡A\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A} — และ AA มีอินเวอร์สก็ต่อเมื่อ det⁡A≠0\det A \ne 0
  4. det⁡(Am)=(det⁡A)m\det(A^m) = (\det A)^m
ตัวอย่าง

AA เป็น 3×33\times3 ที่ det⁡A=4\det A = 4 จงหา det⁡(2A−1AT)\det(2A^{-1}A^T)

  1. det⁡(2A−1AT)=23⋅14⋅4=8\det(2A^{-1}A^T) = 2^3\cdot\frac14\cdot4 = 8

8

ข้อ 11: แอดจอยต์ (adj A) ที่นักเรียนพลาดบ่อย

จาก Aadj⁡A=(det⁡A)IA\operatorname{adj}A = (\det A)I หาดีเทอร์มิแนนต์ทั้งสองข้าง ได้ det⁡A⋅det⁡(adj⁡A)=(det⁡A)n\det A\cdot\det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^n

det⁡(adj⁡A)=(det⁡A)n−1,adj⁡(kA)=kn−1adj⁡A,adj⁡(adj⁡A)=(det⁡A)n−2A\det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-1},\qquad \operatorname{adj}(kA) = k^{n-1}\operatorname{adj}A,\qquad \operatorname{adj}(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-2}A
ตัวอย่าง

AA เป็น 3×33\times3 ที่ det⁡A=3\det A = 3 จงหา det⁡(2adj⁡A)\det(2\operatorname{adj}A) และ det⁡(adj⁡(adj⁡A))\det(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A))

  1. det⁡(2adj⁡A)=23⋅32=72\det(2\operatorname{adj}A) = 2^3\cdot3^{2} = 72
  2. det⁡(adj⁡(adj⁡A))=det⁡(3A)=33⋅3=81\det(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A)) = \det(3A) = 3^3\cdot3 = 81

72 และ 81

ข้อ 12: สิ่งที่ “ไม่มี” สูตร

กับดักที่เจอทุกปี
  • det⁡(A+B)≠det⁡A+det⁡B\det(A + B) \ne \det A + \det B — ต้องบวกเมทริกซ์ก่อน (มีแค่สมบัติเชิงเส้นทีละแถว)
  • det⁡(kA)≠kdet⁡A\det(kA) \ne k\det A และ det⁡(adj⁡A)≠det⁡A\det(\operatorname{adj}A) \ne \det A — เลขชี้กำลังขึ้นกับ nn
  • det⁡(−A)=(−1)ndet⁡A\det(-A) = (-1)^n\det A — เมทริกซ์ 2×2 ได้ค่าเดิม แต่ 3×3 ได้เครื่องหมายตรงข้าม
  • ∣A∣|A| ไม่ใช่ค่าสัมบูรณ์ ดีเทอร์มิแนนต์ติดลบได้

เทคนิคเสริม: ถ้าทุกแถวมีผลบวกเท่ากัน ให้บวกทุกหลักเข้าหลักแรกแล้วดึงผลบวกนั้นออกมา จะได้ตัวประกอบทันที เช่น เมทริกซ์ที่แนวทแยงเป็น aa ตัวอื่นเป็น bb มี det⁡=(a−b)n−1(a+(n−1)b)\det = (a - b)^{n-1}(a + (n - 1)b)

อ่านต่อในคลังความรู้

คำถามที่พบบ่อย

det(2A) เท่ากับ 2 det A ใช่ไหม?

ไม่ใช่ การคูณเมทริกซ์ด้วย 2 คือคูณทุกแถวด้วย 2 และแต่ละแถวดึง 2 ออกมาได้หนึ่งครั้ง สำหรับเมทริกซ์ n×n จึงได้ det(2A) = 2ⁿ det A เช่น เมทริกซ์ 3×3 ได้ 8 det A

det(adj A) หาอย่างไร?

ใช้สูตร det(adj A) = (det A)ⁿ⁻¹ ซึ่งมาจาก A adj A = (det A)I เมื่อหาดีเทอร์มิแนนต์ทั้งสองข้างได้ det A · det(adj A) = (det A)ⁿ เช่น เมทริกซ์ 3×3 ที่ det A = −2 จะได้ det(adj A) = 4

det(A + B) เท่ากับ det A + det B ไหม?

ไม่เท่า ดีเทอร์มิแนนต์ไม่มีสมบัติการบวกทั้งเมทริกซ์ ต้องบวกเมทริกซ์ก่อนแล้วจึงหาดีเทอร์มิแนนต์ สมบัติเชิงเส้นมีเฉพาะการแยกทีละแถวเท่านั้น

การดำเนินการแถวแบบไหนไม่เปลี่ยนค่าดีเทอร์มิแนนต์?

การบวกพหุคูณของแถวหนึ่งเข้ากับอีกแถว (R_i ← R_i + kR_j) ไม่เปลี่ยนค่า ส่วนการสลับสองแถวเปลี่ยนเครื่องหมาย และการคูณแถวหนึ่งด้วย k ทำให้ค่าถูกคูณด้วย k

พีชคณิตเชิงเส้น กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้ สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k… อ่านบทความ → พีชคณิตเชิงเส้น เรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ให้จบ: แผนที่ 7 ขั้นจาก ม.ปลาย สอบเข้ามหาวิทยาลัย ถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม แผนที่การเรียนเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ คราเมอร์ และวิธีเชิงตัวเลขแบบเห็นภาพรวม ควรเรียนอะไรก่อนหลัง สอบเข้ามหาวิทยาลัยต้องรู้แค่ไหน… อ่านบทความ → พีชคณิตเชิงเส้น แรงก์ของเมทริกซ์ (ค่าลำดับขั้น) คืออะไร หาอย่างไร และบอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ อธิบายแรงก์ (rank) หรือค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ให้เห็นภาพ วิธีหาด้วยการลดแถวและไมเนอร์ ใช้แรงก์ตัดสินว่าระบบสมการมีคำตอบเดียว ไม่จำกัด หรือไม่มี… อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด