พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. บทความ
  3. เวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น
  4. แผนที่การเรียนเมทริกซ์

// บทความ · พีชคณิตเชิงเส้น

เรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ให้จบ: แผนที่ 7 ขั้นจาก ม.ปลาย สอบเข้ามหาวิทยาลัย ถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม

เมทริกซ์เป็นหัวข้อที่นักเรียนจำนวนมากรู้สึกว่า “คำนวณได้แต่ไม่เห็นภาพ” เพราะเรียนเป็นสูตรแยกกัน บทความนี้จัดทุกเรื่องให้เป็นเส้นทางเดียว ตั้งแต่การคูณเมทริกซ์ใน ม.5 ไปจนถึงวิธีที่โปรแกรมจำลองวงจรใช้แก้สมการนับล้านตัวแปร พร้อมบอกว่าเป้าหมายแต่ละแบบต้องไปถึงขั้นไหน

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
สรุปใน 30 วินาที
  • ทุกหัวข้อตอบคำถามเดียวกัน: แก้ Ax=bA\mathbf x = \mathbf b อย่างไร มีคำตอบไหม และคำตอบเชื่อได้แค่ไหน
  • สอบเข้า: ขั้น 1–3 (เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ อินเวอร์ส คราเมอร์) · ป.ตรี: เพิ่มขั้น 4–5 (ลดแถว แรงก์) · วิศวกรรม: ขั้น 6–7
  • ฝึกด้วยแนวข้อสอบ 45 ข้อและโจทย์สุ่ม ตรวจการบ้านด้วยแล็บเมทริกซ์

ทำไมต้องเรียนเมทริกซ์: ระบบสมการอยู่ทุกที่

วงจรไฟฟ้าสามลูปให้สมการกระแสสามสมการ โครงหลังคาเหล็กให้สมการสมดุลแรงที่ทุกข้อต่อ แบบจำลองความร้อนให้หนึ่งสมการต่อหนึ่งจุด ทั้งหมดเขียนสั้น ๆ ได้เป็น

Ax=bA\mathbf x = \mathbf b

โดย AA เก็บสัมประสิทธิ์ x\mathbf x คือสิ่งที่ไม่รู้ และ b\mathbf b คือค่าที่กำหนด เมทริกซ์จึงไม่ใช่ตารางตัวเลขเฉย ๆ แต่เป็นภาษาที่ทำให้ระบบหลายร้อยสมการจัดการได้เหมือนสมการเดียว

แผนที่ 7 ขั้น

1เมทริกซ์ขนาด บวก คูณ ทรานสโพส2ดีเทอร์มิแนนต์ซาร์รัส โคแฟกเตอร์ สมบัติ3อินเวอร์ส · คราเมอร์สูตร 2×2 · AX = B4ลดแถว · ระบบสมการเกาส์ เกาส์-จอร์แดน5แรงก์ (ค่าลำดับขั้น)เดียว ไม่จำกัด ไม่มี · k6วิธีเชิงตัวเลขLU จาโคบี เกาส์-ไซเดล7ค่าเฉพาะ · การประยุกต์วงจร ระบบควบคุม การสั่นม.ปลาย · สอบเข้าป.ตรีงานวิศวกรรม
เส้นทางจาก ม.ปลาย ถึงงานวิศวกรรม สีบอกระดับ: ส้ม = สอบเข้า · น้ำเงิน = ป.ตรี · เขียว = งานวิศวกรรม
ขั้นตอบคำถามบทเรียน
1 เมทริกซ์เขียนระบบเป็น Ax=bA\mathbf x = \mathbf b และคูณอย่างไร7.1
2 ดีเทอร์มิแนนต์มีคำตอบเดียวไหม (det⁡A≠0\det A \ne 0)7.2
3 อินเวอร์ส · คราเมอร์คำตอบคืออะไร (ระบบเล็ก)7.4 · 7.5
4 ลดแถวแก้ได้ทุกกรณี แม้ det⁡=0\det = 07.3
5 แรงก์คำตอบเดียว ไม่จำกัด หรือไม่มี7.10
6 วิธีเชิงตัวเลขแก้ระบบใหญ่ให้เร็วและแม่น7.11
7 ค่าเฉพาะ · การประยุกต์ระบบตอบสนองอย่างไร (ขั้ว โหมด)7.6 · 7.7

ถ้าเป้าหมายคือสอบเข้ามหาวิทยาลัย

  • คูณเมทริกซ์ให้คล่อง และจำว่า AB≠BAAB \ne BA แต่ (AB)T=BTAT(AB)^T = B^TA^T
  • ดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และ 3×3 (ซาร์รัสหรือโคแฟกเตอร์)
  • สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ทั้งหมด โดยเฉพาะ det⁡(kA)=kndet⁡A\det(kA) = k^n\det A และ det⁡(adj⁡A)=(det⁡A)n−1\det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-1} — สรุปไว้ในบทความสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อ
  • อินเวอร์ส 2×2 และสมการ AX=BAX = B (คูณ A−1A^{-1} ทางซ้าย)
  • คราเมอร์หาตัวแปรเดียว และระบบมีพารามิเตอร์ (Δ=0\Delta = 0 แยกไม่มีคำตอบกับไม่จำกัด) — ดูบทความกฎของคราเมอร์

ถ้าเรียน ป.ตรี และคณิตศาสตร์วิศวกรรม

  • การลดแถวแบบเกาส์และเกาส์-จอร์แดน ใช้หาทั้งคำตอบ อินเวอร์ส และแรงก์
  • แรงก์และทฤษฎีบทรูเช-กาเปลลี โจทย์ “แรงก์สำหรับทุกค่า kk” ปริภูมิศูนย์ — ดูบทความแรงก์ของเมทริกซ์
  • ค่าเฉพาะ เวกเตอร์เฉพาะ และการทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม ซึ่งต่อไปยังระบบควบคุมและสมการเชิงอนุพันธ์
  • วิธีเชิงตัวเลข LU จาโคบี เกาส์-ไซเดล และเลขเงื่อนไข — ดูบทความเปรียบเทียบวิธีเชิงตัวเลข

แผนฝึก 7 วัน (วันละ 45–60 นาที)

  1. วันที่ 1: อ่าน เมทริกซ์ ใช้ ตัวช่วยดูการคูณทีละช่อง
  2. วันที่ 2: ดีเทอร์มิแนนต์ จนถึงสูตรลัดออกสอบ ทำชุด A ข้อ 1–6
  3. วันที่ 3: อินเวอร์ส และ คราเมอร์ ทำชุด A ข้อ 7–12
  4. วันที่ 4: ลดแถว ทำชุด A ข้อ 13–18
  5. วันที่ 5: แรงก์ เล่นแล็บสามระนาบ ทำชุด B ข้อ 1–8
  6. วันที่ 6: วิธีเชิงตัวเลข ทำชุด C
  7. วันที่ 7: โจทย์สุ่ม ทุกระดับจนถูกติดกัน 10 ข้อ ข้อที่ผิดกลับไปอ่านสูตรตามรหัสในเฉลย

อ่านต่อในคลังความรู้

คำถามที่พบบ่อย

เรียนเมทริกซ์ควรเริ่มจากอะไร?

เริ่มจากขนาด การบวก การคูณ และทรานสโพสของเมทริกซ์ ต่อด้วยดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และ 3×3 กับสมบัติของมัน แล้วจึงไปที่อินเวอร์ส กฎของคราเมอร์ และการลดแถวแก้ระบบสมการ หัวข้อหลังทุกเรื่องใช้การคูณเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์เป็นพื้นฐาน

สอบเข้ามหาวิทยาลัยต้องรู้เรื่องเมทริกซ์แค่ไหน?

ต้องคล่องการคูณ ทรานสโพส ดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และ 3×3 สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ (det(kA), det(AB), det(A⁻¹), det(adj A)) อินเวอร์ส 2×2 สมการเมทริกซ์ กฎของคราเมอร์ และระบบสมการที่มีพารามิเตอร์ เรื่องแรงก์และวิธีเชิงตัวเลขเป็นของระดับมหาวิทยาลัย

วิศวกรใช้เมทริกซ์ทำอะไร?

ใช้แก้ระบบสมการของวงจรไฟฟ้า (วิเคราะห์โนดและเมช) ระบบไฟฟ้ากำลัง โครงสร้าง และการสั่น ใช้หาขั้วของระบบควบคุมจากค่าเฉพาะ และใช้วิธีเชิงตัวเลขอย่าง LU หรือเกาส์-ไซเดลในโปรแกรมจำลองที่มีตัวแปรนับพันนับล้าน

ฝึกโจทย์เมทริกซ์ได้ที่ไหน?

หน้าแนวข้อสอบในคลังความรู้มี 45 ข้อพร้อมเฉลยทีละขั้น 3 ระดับ (สอบเข้า ป.ตรี และวิธีเชิงตัวเลข) และมีเครื่องสุ่มโจทย์ที่ตรวจคำตอบให้ทันที ฝึกได้ไม่จำกัด

พีชคณิตเชิงเส้น กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้ สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k… อ่านบทความ → พีชคณิตเชิงเส้น สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์… อ่านบทความ → พีชคณิตเชิงเส้น แรงก์ของเมทริกซ์ (ค่าลำดับขั้น) คืออะไร หาอย่างไร และบอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ อธิบายแรงก์ (rank) หรือค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ให้เห็นภาพ วิธีหาด้วยการลดแถวและไมเนอร์ ใช้แรงก์ตัดสินว่าระบบสมการมีคำตอบเดียว ไม่จำกัด หรือไม่มี… อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด