พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. บทความ
  3. การแปลงลาปลาซ
  4. Laplace คืออะไร

// บทความ · Laplace Transform

การแปลงลาปลาซ (Laplace Transform) คืออะไร ใช้ทำอะไร

การแปลงลาปลาซคือเครื่องมือที่เปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งแก้ยาก ให้เป็นสมการพีชคณิตซึ่งแก้ง่าย แล้วแปลงคำตอบกลับมาเป็นฟังก์ชันของเวลา บทความนี้อธิบายแนวคิด นิยาม และตัวอย่างวงจร RC ที่คำนวณตามได้ทุกบรรทัด

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
สรุปใน 30 วินาที
  • นิยาม F(s)=L{f(t)}=∫0∞f(t)e−st dtF(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_0^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt
  • การหาอนุพันธ์ในโดเมนเวลา กลายเป็นการคูณด้วย ss ในโดเมน ss
  • ขั้นตอน: แปลง → แก้สมการพีชคณิต → แปลงกลับ
  • ตำแหน่งโพลของ F(s)F(s) บอกความเสถียรของระบบโดยไม่ต้องแก้สมการ

แนวคิด: ทำไมต้องแปลง

สมมติวงจรหรือระบบกลไกหนึ่งอธิบายด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ เช่น y′+3y=6y' + 3y = 6 การแก้ตรง ๆ ต้องใช้ตัวประกอบอินทิเกรตหรือเดาคำตอบ แต่ถ้าเราย้ายสมการไปอยู่ในโดเมน ss อนุพันธ์จะหายไป เหลือเพียงการคูณและการบวก แก้เสร็จแล้วค่อยย้ายกลับ

เปรียบเทียบกับการใช้ลอการิทึมคูณเลขใหญ่ในสมัยก่อน: เปลี่ยนการคูณเป็นการบวก คำนวณให้เสร็จ แล้วเปลี่ยนกลับ ลาปลาซทำเช่นเดียวกันกับการหาอนุพันธ์และอินทิกรัล

นิยามของการแปลงลาปลาซ

สำหรับฟังก์ชัน f(t)f(t) ที่กำหนดสำหรับ t≥0t \ge 0 การแปลงลาปลาซด้านเดียวคือ

F(s)=L{f(t)}=∫0∞f(t) e−st dt,s=σ+jωF(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt, \qquad s = \sigma + j\omega

ตัวคูณ e−ste^{-st} ทำหน้าที่เหมือนตัวกรอง: f(t)f(t) ที่โตช้ากว่าเอกซ์โพเนนเชียลจะทำให้อินทิกรัลลู่เข้า ตัวอย่างพื้นฐานที่สุดคือ

L{e−at}=∫0∞e−(s+a)t dt=1s+a,Re⁡(s)>−a\mathcal{L}\{e^{-at}\} = \int_0^{\infty} e^{-(s+a)t}\,dt = \frac{1}{s+a}, \qquad \operatorname{Re}(s) > -a

จากสูตรนี้ ถ้า a=0a=0 จะได้ L{u(t)}=1/s\mathcal{L}\{u(t)\}=1/s ส่วนสูตรอื่นที่ใช้บ่อยรวมไว้ใน ตารางการแปลงลาปลาซ แล้ว

กุญแจสำคัญ: อนุพันธ์กลายเป็นการคูณ

เมื่ออินทิเกรตทีละส่วน จะได้สมบัติที่ทำให้ลาปลาซมีประโยชน์ที่สุด

L{y′(t)}=sY(s)−y(0),L{y′′(t)}=s2Y(s)−s y(0)−y′(0)\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0)

สังเกตว่าเงื่อนไขเริ่มต้น y(0)y(0), y′(0)y'(0) ถูกใส่เข้าไปในสมการตั้งแต่ต้น ไม่ต้องหาค่าคงที่ทีหลังเหมือนวิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบบดั้งเดิม

ขั้นตอนแก้สมการด้วยลาปลาซ 3 ขั้น

  1. แปลง ทั้งสองข้างของสมการเชิงอนุพันธ์ไปเป็นโดเมน ss โดยใส่เงื่อนไขเริ่มต้น
  2. แก้ หา Y(s)Y(s) ด้วยพีชคณิต
  3. แปลงกลับ เป็น y(t)y(t) ด้วยเศษส่วนย่อยและตาราง (ดู วิธี Inverse Laplace ด้วยเศษส่วนย่อย)

ตัวอย่างที่ 1: แก้ y′ + 3y = 6 เมื่อ y(0) = 0

  1. แปลงสมการ

    sY(s)−0+3Y(s)=6ssY(s) - 0 + 3Y(s) = \frac{6}{s}

  2. แก้หา Y(s)Y(s)

    Y(s) (s+3)=6s  ⇒  Y(s)=6s(s+3)Y(s)\,(s+3) = \frac{6}{s} \;\Rightarrow\; Y(s) = \frac{6}{s(s+3)}

  3. แยกเศษส่วนย่อย

    6s(s+3)=2s−2s+3\frac{6}{s(s+3)} = \frac{2}{s} - \frac{2}{s+3}

  4. แปลงกลับด้วย L−1{1/s}=1\mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1 และ L−1{1/(s+3)}=e−3t\mathcal{L}^{-1}\{1/(s+3)\}=e^{-3t}

    y(t)=2−2e−3t,t≥0y(t) = 2 - 2e^{-3t}, \quad t \ge 0

ตรวจคำตอบ: y′=6e−3ty' = 6e^{-3t} ดังนั้น y′+3y=6e−3t+6−6e−3t=6y' + 3y = 6e^{-3t} + 6 - 6e^{-3t} = 6 ✓ และ y(0)=2−2=0y(0)=2-2=0 ✓

ตัวอย่างที่ 2: วงจร RC รับแรงดันขั้นบันได 5 V

ตัวต้านทาน R=1 kΩR = 1\,\text{k}\Omega ต่ออนุกรมกับตัวเก็บประจุ C=100 μFC = 100\,\mu\text{F} ป้อนแรงดัน vin(t)=5 u(t)v_{in}(t) = 5\,u(t) โวลต์ ตัวเก็บประจุเริ่มต้นว่าง ค่าคงที่เวลา τ=RC=1000×100×10−6=0.1\tau = RC = 1000 \times 100\times10^{-6} = 0.1 วินาที

  1. สมการวงจร RC dvcdt+vc=vinRC\,\dfrac{dv_c}{dt} + v_c = v_{in} แปลงเป็นโดเมน ss ด้วย vc(0)=0v_c(0)=0

    (RCs+1)Vc(s)=5s  ⇒  Vc(s)=5s(0.1s+1)=50s(s+10)(RCs + 1)V_c(s) = \frac{5}{s} \;\Rightarrow\; V_c(s) = \frac{5}{s(0.1s+1)} = \frac{50}{s(s+10)}

  2. เศษส่วนย่อย

    50s(s+10)=5s−5s+10\frac{50}{s(s+10)} = \frac{5}{s} - \frac{5}{s+10}

  3. แปลงกลับ

    vc(t)=5(1−e−10t) Vv_c(t) = 5\left(1 - e^{-10t}\right)\ \text{V}

ที่ t=τ=0.1t = \tau = 0.1 s แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ =5(1−e−1)≈3.16= 5(1 - e^{-1}) \approx 3.16 V (ประมาณ 63.2 % ของ 5 V) ตรงกับนิยามของค่าคงที่เวลา โพลอยู่ที่ s=−10=−1/τs=-10 = -1/\tau

ลาปลาซใช้ทำอะไรในงานวิศวกรรม

  • วิเคราะห์วงจรไฟฟ้า RC, RL, RLC ที่มีสวิตช์หรือแหล่งจ่ายขั้นบันได ได้ทั้งผลตอบสนองชั่วครู่และสภาวะคงตัว
  • ฟังก์ชันถ่ายโอน G(s)=Y(s)/U(s)G(s)=Y(s)/U(s) ใช้อธิบายระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลาทุกชนิด ตั้งแต่มอเตอร์ถึงตัวกรอง
  • ความเสถียร ถ้าโพลทุกตัวอยู่ซีกซ้ายของระนาบ ss ระบบเสถียร (ใช้ต่อในเกณฑ์ Routh–Hurwitz และรูทโลคัส)
  • ระบบควบคุม ออกแบบตัวควบคุม PID ชดเชย และวิเคราะห์ผลตอบสนองความถี่

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ลืมเงื่อนไขเริ่มต้นตอนแปลงอนุพันธ์ ทำให้คำตอบผิดทั้งข้อ
  • ลืมว่าลาปลาซด้านเดียวสนใจเฉพาะ t≥0t \ge 0 คำตอบที่ได้จึงต้องเขียนกำกับว่า t≥0t \ge 0 หรือคูณ u(t)u(t)
  • สับสนระหว่าง ss กับ ω\omega ในโดเมนเวลาไม่ต้องมี jj แต่ในโดเมน ss ความถี่แกว่งอยู่ที่ส่วนจินตภาพของโพล

เรียนต่อในคลังความรู้

คำถามที่พบบ่อย

การแปลงลาปลาซกับการแปลงฟูเรียร์ต่างกันอย่างไร?

ลาปลาซใช้ตัวแปรเชิงซ้อน s=σ+jωs = \sigma + j\omega จึงจัดการกับสัญญาณที่โตขึ้นหรือลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียลและเงื่อนไขเริ่มต้นได้ ส่วนฟูเรียร์ใช้เฉพาะ jωj\omega ถ้าบริเวณลู่เข้า (ROC) รวมแกน jωj\omega การแปลงฟูเรียร์คือลาปลาซที่แทน s=jωs = j\omega

ลาปลาซด้านเดียว (unilateral) คืออะไร ทำไมอินทิเกรตจาก 0?

ในงานวงจรและระบบควบคุมเรามักสนใจเหตุการณ์ตั้งแต่ t=0t = 0 เป็นต้นไป และใส่ผลของสภาวะก่อนหน้าไว้ในเงื่อนไขเริ่มต้น ลาปลาซด้านเดียวจึงอินทิเกรตจาก 0 ไปถึงอนันต์ ส่วนแบบสองด้านอินทิเกรตจาก −∞-\infty ใช้ในวิชาสัญญาณและระบบเมื่อต้องวิเคราะห์ ROC อย่างเต็มรูปแบบ

ต้องแปลงกลับเป็นฟังก์ชันของเวลาเสมอไหม?

ไม่เสมอไป ถ้าต้องการแค่ความเสถียรหรือรูปแบบการตอบสนอง ดูตำแหน่งโพลของ F(s)F(s) ก็บอกได้เลย แต่ถ้าต้องการค่า y(t)y(t) ที่เวลาใดเวลาหนึ่งต้องทำการแปลงกลับ ซึ่งมักใช้วิธีเศษส่วนย่อยร่วมกับตาราง

ตัวแปร s มีหน่วยหรือความหมายอย่างไร?

ss มีหน่วยเป็นความถี่ (1/วินาที) ส่วนจริง σ\sigma บอกอัตราการโตหรือลดแบบเอกซ์โพเนนเชียล ส่วนจินตภาพ ω\omega คือความถี่การแกว่ง เช่น โพลที่ s=−10s = -10 หมายถึงสัญญาณลดลงแบบ e−10te^{-10t}

Laplace Inverse Laplace Transform ทำอย่างไร: วิธีเศษส่วนย่อย 3 กรณีพร้อมตัวอย่าง วิธีแปลงลาปลาซผกผันด้วยเศษส่วนย่อยสำหรับโพลเดี่ยว โพลซ้ำ และโพลเชิงซ้อน พร้อมตัวอย่างที่ตรวจคำตอบแล้ว และข้อควรระวังเมื่อดีกรีตัวเศษไม่น้อยกว่าตัวส่วน อ่านบทความ → Laplace ตารางการแปลงลาปลาซ (Laplace Transform Table) ที่ใช้บ่อย ตารางคู่การแปลงลาปลาซ 15 คู่ที่พบบ่อยที่สุด และตารางคุณสมบัติ (เลื่อนเวลา เลื่อนความถี่ อนุพันธ์ ปริพันธ์ คอนโวลูชัน ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย)… อ่านบทความ → ลำดับและอนุกรม อนุกรมโลรองต์คืออะไร ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร (อธิบายด้วยภาพ) อนุกรมโลรองต์ (Laurent series) เทียบกับอนุกรมเทย์เลอร์: กำลังลบ ส่วนหลัก วงแหวนการลู่เข้า ทำไมฟังก์ชันเดียวมีหลายอนุกรม ชนิดจุดเอกฐาน เรซิดิว… อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดการแปลงลาปลาซ (3 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด