// บทความ · Laplace Transform Table

ตารางการแปลงลาปลาซ (Laplace Transform Table) ที่ใช้บ่อย

Q: ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายใช้ได้เมื่อไร?

f(infty)=lim_{sto0}sF(s) ใช้ได้เมื่อ sF(s) มีโพลทั้งหมดอยู่ซีกซ้ายของระนาบ s เท่านั้น ถ้ามีโพลบนแกนจินตภาพหรือซีกขวา (เช่นสัญญาณ sin ที่แกว่งไม่หยุด) สูตรนี้ให้คำตอบที่ผิด

Q: จำตารางทั้งหมดได้อย่างไร?

จำสามคู่หลักก่อน คือ 1/s, 1/(s+a) และ omega/(s^2+omega^2) ที่เหลือหาได้จากสมบัติ เช่น เติม e^{-at} เท่ากับแทน s ด้วย s+a และคูณ t เท่ากับหาอนุพันธ์เทียบ s แล้วใส่เครื่องหมายลบ

หน้าสรุปคู่การแปลงและคุณสมบัติที่ใช้ในโจทย์วงจรและระบบควบคุมเกือบทั้งหมด ทุกคู่เป็นลาปลาซด้านเดียว ( $t \ge 0$ ) พร้อมเคล็ดลับที่ทำให้ไม่ต้องท่องทั้งตาราง

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต 16 ต.ค. 2569

ตารางคู่การแปลงพื้นฐาน

ในตาราง $a$ และ $\omega$ เป็นค่าคงที่จริง $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก และทุกฟังก์ชันของเวลาถือว่ามี $u(t)$ คูณอยู่

#	$f(t)$ , $t \ge 0$	$F(s)$
1	$\delta(t)$ (แรงกระตุ้นหนึ่งหน่วย)	$1$
2	$1$ หรือ $u(t)$	$\dfrac{1}{s}$
3	$t$	$\dfrac{1}{s^2}$
4	$t^n$	$\dfrac{n!}{s^{n+1}}$
5	$e^{-at}$	$\dfrac{1}{s+a}$
6	$t\,e^{-at}$	$\dfrac{1}{(s+a)^2}$
7	$t^n e^{-at}$	$\dfrac{n!}{(s+a)^{n+1}}$
8	$\sin\omega t$	$\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$
9	$\cos\omega t$	$\dfrac{s}{s^2+\omega^2}$
10	$e^{-at}\sin\omega t$	$\dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}$
11	$e^{-at}\cos\omega t$	$\dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}$
12	$\sinh at$	$\dfrac{a}{s^2-a^2}$
13	$\cosh at$	$\dfrac{s}{s^2-a^2}$
14	$t\sin\omega t$	$\dfrac{2\omega s}{(s^2+\omega^2)^2}$
15	$t\cos\omega t$	$\dfrac{s^2-\omega^2}{(s^2+\omega^2)^2}$

ตารางคุณสมบัติที่ใช้บ่อย

ให้ $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$ และ $\mathcal{L}\{g(t)\}=G(s)$

คุณสมบัติ	โดเมนเวลา	โดเมน $s$
เชิงเส้น	$af(t)+bg(t)$	$aF(s)+bG(s)$
เลื่อนความถี่ (คูณเอกซ์โพเนนเชียล)	$e^{-at}f(t)$	$F(s+a)$
เลื่อนเวลา (หน่วงเวลา)	$f(t-T)\,u(t-T)$ , $T>0$	$e^{-sT}F(s)$
อนุพันธ์อันดับหนึ่ง	$f'(t)$	$sF(s)-f(0)$
อนุพันธ์อันดับสอง	$f''(t)$	$s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$
ปริพันธ์	$\displaystyle\int_0^t f(\tau)\,d\tau$	$\dfrac{F(s)}{s}$
คูณด้วย $t$	$t\,f(t)$	$-\dfrac{dF}{ds}$
คอนโวลูชัน	$(f*g)(t)$	$F(s)\,G(s)$
ค่าเริ่มต้น	$f(0^+)$	$\displaystyle\lim_{s\to\infty}sF(s)$
ค่าสุดท้าย	$f(\infty)$	$\displaystyle\lim_{s\to0}sF(s)$ (เมื่อโพลของ $sF$ อยู่ซีกซ้ายทั้งหมด)

เคล็ดลับจำตารางแบบไม่ท่อง

จำสามคู่แรกพอ: $1/s$ , $1/(s+a)$ , $\omega/(s^2+\omega^2)$ ที่เหลือสร้างได้
เห็น $(s+a)$ แทนที่ $s$ แปลว่าในโดเมนเวลาคูณด้วย $e^{-at}$ เช่น จาก $\omega/(s^2+\omega^2)$ แทน $s \to s+a$ ได้คู่ที่ 10
sin กับ cos: sin มี $\omega$ อยู่ตัวเศษ (เพราะ $\sin 0 = 0$ จึงไม่มีเทอม $s$ ) ส่วน cos มี $s$ อยู่ตัวเศษ (เพราะ $\cos 0 = 1$ )
คูณ $t$ คือหาอนุพันธ์เทียบ $s$ แล้วใส่เครื่องหมายลบ เช่น $-\dfrac{d}{ds}\dfrac{1}{s+a}=\dfrac{1}{(s+a)^2}$ ได้คู่ที่ 6

ตัวอย่างการใช้เคล็ดลับ

หา $\mathcal{L}\{t\cos\omega t\}$ จากคู่ที่ 9

คูณด้วย $t$ คือ $-\dfrac{d}{ds}$
$-\frac{d}{ds}\frac{s}{s^2+\omega^2} = -\frac{(s^2+\omega^2) - s(2s)}{(s^2+\omega^2)^2} = \frac{s^2-\omega^2}{(s^2+\omega^2)^2}$

ตรงกับคู่ที่ 15 ในตาราง ✓

เรียนต่อในคลังความรู้

คำถามที่พบบ่อย

ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายใช้ได้เมื่อไร?

$f(\infty)=\lim_{s\to0}sF(s)$ ใช้ได้เมื่อ $sF(s)$ มีโพลทั้งหมดอยู่ซีกซ้ายของระนาบ $s$ เท่านั้น ถ้ามีโพลบนแกนจินตภาพหรือซีกขวา (เช่นสัญญาณ sin ที่แกว่งไม่หยุด) สูตรนี้ให้คำตอบที่ผิด

ตารางนี้ใช้ได้กับ t น้อยกว่า 0 ไหม?

ไม่ได้ ตารางนี้เป็นของลาปลาซด้านเดียว ซึ่งถือว่าฟังก์ชันเป็นศูนย์เมื่อเวลาติดลบ ทุกฟังก์ชันในตารางจึงต้องมีตัวคูณ $u(t)$ อยู่ในใจเสมอ

จำตารางทั้งหมดได้อย่างไร?

จำสามคู่หลักก่อน คือ $1/s$ , $1/(s+a)$ และ $\omega/(s^2+\omega^2)$ ที่เหลือหาได้จากสมบัติ เช่น เติม $e^{-at}$ เท่ากับแทน $s$ ด้วย $s+a$ และคูณ $t$ เท่ากับหาอนุพันธ์เทียบ $s$ แล้วใส่เครื่องหมายลบ

บทความอื่นที่น่าอ่าน

Laplace Inverse Laplace Transform ทำอย่างไร: วิธีเศษส่วนย่อย 3 กรณีพร้อมตัวอย่าง วิธีแปลงลาปลาซผกผันด้วยเศษส่วนย่อยสำหรับโพลเดี่ยว โพลซ้ำ และโพลเชิงซ้อน พร้อมตัวอย่างที่ตรวจคำตอบแล้ว และข้อควรระวังเมื่อดีกรีตัวเศษไม่น้อยกว่าตัวส่วน 16 ต.ค. 2569อ่านบทความ → Laplace การแปลงลาปลาซ (Laplace Transform) คืออะไร ใช้ทำอะไร การแปลงลาปลาซเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ให้เป็นสมการพีชคณิต อธิบายนิยาม ขั้นตอน 3 ขั้น ตัวอย่าง y′ + 3y = 6 และวงจร RC ที่คำนวณทีละบรรทัด 16 ต.ค. 2569อ่านบทความ → ลำดับและอนุกรม อนุกรมโลรองต์คืออะไร ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร (อธิบายด้วยภาพ) อนุกรมโลรองต์ (Laurent series) เทียบกับอนุกรมเทย์เลอร์: กำลังลบ ส่วนหลัก วงแหวนการลู่เข้า ทำไมฟังก์ชันเดียวมีหลายอนุกรม ชนิดจุดเอกฐาน เรซิดิว… 24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดการแปลงลาปลาซ (3 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด