อนุกรมโลรองต์คืออะไร ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร (อธิบายด้วยภาพ)

เทียบกันตรง ๆ

ทำไมต้องมีกำลังลบ

ลองกระจาย $\dfrac{e^z}{z^2}$ รอบ 0 ด้วยเทย์เลอร์ ทำไม่ได้เพราะ $f(0)$ ไม่นิยาม แต่ถ้าเอาอนุกรม $e^z = 1 + z + \tfrac{z^2}{2} + \cdots$ มาหารด้วย $z^2$ จะได้ทันที

$$\frac{e^z}{z^2} = \underbrace{\frac{1}{z^2} + \frac{1}{z}}_{\text{ส่วนหลัก}} + \underbrace{\frac12 + \frac{z}{6} + \frac{z^2}{24} + \cdots}_{\text{ส่วนที่เหมือนเทย์เลอร์}},\qquad 0 < |z| < \infty$$

พจน์กำลังลบสองตัวแรกบอกพฤติกรรมใกล้ 0 ทั้งหมด: ฟังก์ชันระเบิดแบบ $1/z^2$ (โพลอันดับ 2) และพจน์ $1/z$ มีสัมประสิทธิ์ 1 ซึ่งคือเรซิดิว ส่วนที่เหลือเป็นพหุนามธรรมดาที่ไม่มีปัญหา

ฟังก์ชันเดียว หลายอนุกรม: เรื่องของวงแหวน

นี่คือจุดที่ทำให้นักศึกษาสับสนมากที่สุด $f(z) = \dfrac{1}{(z-1)(z-2)}$ มีโพลที่ 1 และ 2 วงกลมที่ผ่านโพลแบ่งระนาบรอบ 0 ออกเป็นสามบริเวณ และแต่ละบริเวณมีอนุกรมของตัวเอง

เคล็ดลับมีข้อเดียว: แยกเศษส่วนย่อย $f = \dfrac{1}{z-2} - \dfrac{1}{z-1}$ แล้วกระจายแต่ละตัวด้วยอนุกรมเรขาคณิต โดยโพลที่อยู่ข้างในบริเวณให้กำลังลบ โพลที่อยู่ข้างนอกให้กำลังบวก

• (ก) $|z| < 1$: $f = \tfrac12 + \tfrac34 z + \tfrac78 z^2 + \cdots$ (ไม่มีกำลังลบ = เทย์เลอร์)
• (ข) $1 < |z| < 2$: $f = \cdots - \tfrac{1}{z^2} - \tfrac{1}{z} - \tfrac12 - \tfrac{z}{4} - \tfrac{z^2}{8} - \cdots$ (มีทั้งสองทิศ)
• (ค) $|z| > 2$: $f = \tfrac{1}{z^2} + \tfrac{3}{z^3} + \tfrac{7}{z^4} + \cdots$ (มีแต่กำลังลบ)

ตรวจด้วยการแทนค่าก็ได้: ที่ $z = 1.5$ อนุกรม (ข) ลู่เข้าสู่ $f(1.5) = -4$ แต่ถ้าใช้อนุกรม (ก) ที่ $z = 1.5$ จะลู่ออก ทั้งที่ f(1.5) มีค่าปกติ ลองลากจุดดูเองในแล็บวงแหวนโลรองต์

อ่านชนิดจุดเอกฐานจากส่วนหลัก

• ไม่มีกำลังลบ → ถอดได้ เช่น $\tfrac{\sin z}{z} = 1 - \tfrac{z^2}{6} + \cdots$
• กำลังลบจำนวนจำกัด สูงสุด m → โพลอันดับ m เช่น $\tfrac{\sin z}{z^4} = \tfrac{1}{z^3} - \tfrac{1}{6z} + \cdots$ (อันดับ 3)
• กำลังลบอนันต์พจน์ → เอกฐานแท้ เช่น $e^{1/z} = 1 + \tfrac1z + \tfrac{1}{2z^2} + \cdots$

เรซิดิว: ตัวเลขตัวเดียวที่เหลือจากอินทิกรัล

เมื่ออินทิเกรตอนุกรมโลรองต์รอบวงกลมในวงแหวน ทุกพจน์ $(z-c)^n$ ให้ศูนย์ ยกเว้น $n = -1$ ที่ให้ $2\pi i$ ดังนั้น $\oint f\,dz = 2\pi i\,a_{-1}$ ตัวเลข $a_{-1}$ จึงชื่อเรซิดิว (ส่วนที่เหลือ) และนี่คือที่มาของเทคนิค “cover-up” ในการแยกเศษส่วนย่อยเพื่อหาการแปลงลาปลาซผกผัน ซึ่งแท้จริงคือการหาเรซิดิวที่แต่ละโพล

ทำไมวิศวกรไฟฟ้าต้องรู้: การแปลง Z

การแปลง Z ของสัญญาณดิจิทัล $X(z) = \sum x[n]z^{-n}$ คืออนุกรมโลรองต์รอบ 0 โดยตรง สัญญาณ x[n] คือสัมประสิทธิ์ของ $z^{-n}$ เรื่องที่ตำราระบบสัญญาณเรียก “ROC” ก็คือวงแหวนการลู่เข้า ตัวอย่าง $X(z) = \dfrac{z}{z - 0.5}$:

• ROC $|z| > 0.5$ (นอกโพล): $X = 1 + 0.5z^{-1} + 0.25z^{-2} + \cdots$ ⇒ $x[n] = 0.5^n u[n]$ สัญญาณข้างขวา
• ROC $|z| < 0.5$ (ในโพล): กระจายเป็นกำลังบวก ⇒ $x[n] = -0.5^n u[-n-1]$ สัญญาณข้างซ้าย

สูตรเดียวกัน สองสัญญาณ ต่างกันที่วงแหวน และระบบเสถียรเมื่อวงแหวนครอบวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งคือเงื่อนไขการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ $\sum|h[n]| < \infty$ ดูตัวอย่างสามบริเวณแบบเต็มในหัวข้อการแปลง Z

สรุป: ใช้ตัวไหนเมื่อไร

• ต้องการประมาณค่า ทำให้เป็นเชิงเส้น หาลิมิต → เทย์เลอร์
• ต้องการรู้พฤติกรรมใกล้โพล หาเรซิดิว อินทิกรัลเส้นปิด การแปลงผกผัน → โลรองต์
• ถ้าบริเวณที่สนใจไม่มีจุดเอกฐานเลย สองอย่างคืออนุกรมเดียวกัน