พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. บทความ
  3. การแปลงลาปลาซ
  4. Inverse Laplace

// บทความ · Inverse Laplace Transform

Inverse Laplace Transform ทำอย่างไร: วิธีเศษส่วนย่อย 3 กรณีพร้อมตัวอย่าง

หลังแก้สมการในโดเมน ss ได้ Y(s)Y(s) เป็นเศษส่วนของพหุนาม ขั้นสุดท้ายคือแปลงกลับเป็น y(t)y(t) วิธีมาตรฐานที่ใช้ได้เกือบทุกโจทย์คือแยกเป็นเศษส่วนย่อยแล้วเปิดตาราง บทความนี้แยกเป็น 3 กรณีตามชนิดของโพล

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
สรุปใน 30 วินาที
  • แยกตัวส่วนเป็นตัวประกอบ → ดูชนิดโพล → เขียนเศษส่วนย่อย → หาสัมประสิทธิ์ → เปิดตาราง
  • โพลเดี่ยว: ใช้ cover-up · โพลซ้ำ: ต้องมีเทอม (s+p)k(s+p)^k ครบทุกกำลัง · โพลเชิงซ้อน: เติมกำลังสอง
  • ถ้าดีกรีตัวเศษ ≥ ตัวส่วน ให้หารยากก่อน

คู่การแปลงที่ต้องใช้

ทั้งสามกรณีใช้คู่การแปลงชุดเล็ก ๆ นี้ (ชุดเต็มดู ตารางการแปลงลาปลาซ)

F(s)F(s)f(t)f(t), t≥0t \ge 0
1s\dfrac{1}{s}11
1s+a\dfrac{1}{s+a}e−ate^{-at}
1(s+a)2\dfrac{1}{(s+a)^2}t e−att\,e^{-at}
ω(s+a)2+ω2\dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}e−atsin⁡ωte^{-at}\sin\omega t
s+a(s+a)2+ω2\dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}e−atcos⁡ωte^{-at}\cos\omega t

กรณีที่ 1: โพลเดี่ยว (รากจริงไม่ซ้ำ)

ถ้า F(s)=N(s)(s+p1)(s+p2)F(s)=\dfrac{N(s)}{(s+p_1)(s+p_2)} เขียนได้เป็น As+p1+Bs+p2\dfrac{A}{s+p_1}+\dfrac{B}{s+p_2} โดย A=[(s+p1)F(s)]s=−p1A = \left[(s+p_1)F(s)\right]_{s=-p_1} นี่คือวิธี cover-up: ปิดตัวประกอบที่สนใจ แล้วแทนค่า ss ลงในส่วนที่เหลือ

ตัวอย่าง 1

หา L−1{3s+5(s+1)(s+2)}\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{3s+5}{(s+1)(s+2)}\right\}

  1. หา AA ที่โพล s=−1s=-1: ปิด (s+1)(s+1) แล้วแทน s=−1s=-1

    A=3(−1)+5(−1)+2=21=2A = \frac{3(-1)+5}{(-1)+2} = \frac{2}{1} = 2

  2. หา BB ที่โพล s=−2s=-2

    B=3(−2)+5(−2)+1=−1−1=1B = \frac{3(-2)+5}{(-2)+1} = \frac{-1}{-1} = 1

  3. เปิดตาราง

    F(s)=2s+1+1s+2  ⇒  f(t)=2e−t+e−2tF(s)=\frac{2}{s+1}+\frac{1}{s+2} \;\Rightarrow\; f(t) = 2e^{-t} + e^{-2t}

ตรวจ: 2s+1+1s+2=2(s+2)+(s+1)(s+1)(s+2)=3s+5(s+1)(s+2)\dfrac{2}{s+1}+\dfrac{1}{s+2} = \dfrac{2(s+2)+(s+1)}{(s+1)(s+2)} = \dfrac{3s+5}{(s+1)(s+2)} ✓

กรณีที่ 2: โพลซ้ำ

โพลที่ซ้ำ kk ครั้งต้องมีเทอมครบทุกกำลังตั้งแต่ 1 ถึง kk เช่น (s+1)2(s+1)^2 ต้องเขียนเป็น Bs+1+C(s+1)2\dfrac{B}{s+1}+\dfrac{C}{(s+1)^2} ถ้าเขียนแค่เทอมกำลังสองจะหาสัมประสิทธิ์ไม่ลงตัว สัมประสิทธิ์ของกำลังสูงสุดหาด้วย cover-up ได้ ส่วนเทอมที่เหลือหาจากอนุพันธ์

ถ้า F(s)=G(s)(s+p)2:C=G(−p),B=dGds∣s=−p\text{ถ้า } F(s)=\frac{G(s)}{(s+p)^2}: \quad C = G(-p), \quad B = \left.\frac{dG}{ds}\right|_{s=-p}
ตัวอย่าง 2

หา L−1{1s(s+1)2}\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s+1)^2}\right\}

  1. เขียนรูปเศษส่วนย่อย

    1s(s+1)2=As+Bs+1+C(s+1)2\frac{1}{s(s+1)^2} = \frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{(s+1)^2}

  2. โพลเดี่ยวที่ s=0s=0: A=1(0+1)2=1A = \dfrac{1}{(0+1)^2}=1

  3. โพลซ้ำที่ s=−1s=-1: ให้ G(s)=1/sG(s)=1/s จะได้ C=G(−1)=−1C=G(-1)=-1 และ B=G′(−1)=−1s2∣s=−1=−1B=G'(-1)=-\dfrac{1}{s^2}\Big|_{s=-1}=-1

  4. เปิดตาราง

    F(s)=1s−1s+1−1(s+1)2  ⇒  f(t)=1−e−t−t e−tF(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^2} \;\Rightarrow\; f(t)=1-e^{-t}-t\,e^{-t}

ตรวจค่าเริ่มต้น: f(0)=1−1−0=0f(0)=1-1-0=0 ตรงกับทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น lim⁡s→∞sF(s)=lim⁡1(s+1)2=0\lim_{s\to\infty} sF(s)=\lim \dfrac{1}{(s+1)^2}=0 ✓

กรณีที่ 3: โพลเชิงซ้อน (เติมกำลังสอง)

ถ้าส่วนเป็นกำลังสองที่แยกเป็นรากจริงไม่ได้ อย่าแยกเป็นจำนวนเชิงซ้อน ให้เติมกำลังสองให้เป็น (s+a)2+ω2(s+a)^2+\omega^2 แล้วจัดตัวเศษให้อยู่ในรูป (s+a)(s+a) กับค่าคงที่ จะตรงกับคู่ cos และ sin ที่มีตัวคูณ e−ate^{-at}

ตัวอย่าง 3

หา L−1{s+3s2+2s+5}\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{s+3}{s^2+2s+5}\right\}

  1. เติมกำลังสองที่ตัวส่วน: s2+2s+5=(s+1)2+22s^2+2s+5=(s+1)^2+2^2

  2. จัดตัวเศษ: s+3=(s+1)+2s+3=(s+1)+2 แล้วแยก

    F(s)=s+1(s+1)2+22+2(s+1)2+22F(s)=\frac{s+1}{(s+1)^2+2^2}+\frac{2}{(s+1)^2+2^2}

  3. เปิดตาราง ด้วย a=1a=1, ω=2\omega=2

    f(t)=e−tcos⁡2t+e−tsin⁡2t=e−t(cos⁡2t+sin⁡2t)f(t)=e^{-t}\cos 2t + e^{-t}\sin 2t = e^{-t}(\cos 2t+\sin 2t)

โพลอยู่ที่ s=−1±j2s=-1\pm j2 ผลตอบสนองจึงเป็นการแกว่งที่ความถี่ 2 rad/s ซึ่งแอมพลิจูดลดลงด้วย e−te^{-t} และเนื่องจากโพลอยู่ซีกซ้าย ระบบเสถียร

เมื่อตัวเศษดีกรีสูงเกินไป

เศษส่วนย่อยใช้ได้กับเศษส่วนแท้เท่านั้น ถ้าดีกรีตัวเศษ ≥ ตัวส่วน ให้หารยาวก่อน ผลหารที่เป็นค่าคงที่คือแรงกระตุ้น δ(t)\delta(t) ส่วนผลหารที่เป็นพหุนามของ ss คืออนุพันธ์ของแรงกระตุ้น ซึ่งมักบ่งบอกว่าแบบจำลองมีการหาอนุพันธ์อินพุตที่ไม่เป็นจริงในทางกายภาพ ควรตรวจโจทย์อีกครั้ง

เช็กลิสต์ก่อนส่งคำตอบ

  • แทน t=0t=0 เทียบกับทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0+)=lim⁡s→∞sF(s)f(0^+)=\lim_{s\to\infty}sF(s)
  • ถ้าโพลของ sF(s)sF(s) อยู่ซีกซ้ายทั้งหมด (โพลเดี่ยวที่ s=0s=0 ใน F(s)F(s) ใช้ได้) ลองเทียบ f(∞)f(\infty) กับ lim⁡s→0sF(s)\lim_{s\to0}sF(s)
  • รวมเศษส่วนย่อยกลับ ต้องได้ตัวเศษเดิม

เรียนต่อในคลังความรู้

คำถามที่พบบ่อย

ถ้าดีกรีของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วนต้องทำอย่างไร?

ต้องหารยาวก่อนเพื่อให้เหลือเศษส่วนแท้ (ดีกรีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน) เช่น s2+1s(s+1)=1+−s+1s(s+1)\dfrac{s^2+1}{s(s+1)} = 1 + \dfrac{-s+1}{s(s+1)} จำนวน 1 ที่ได้คือแรงกระตุ้น δ(t)\delta(t) ในโดเมนเวลา

วิธี cover-up (ปิดตัวประกอบ) ใช้ได้กับกรณีไหน?

ใช้หาสัมประสิทธิ์ของโพลเดี่ยวได้เร็วที่สุด โดยคูณทั้งสองข้างด้วย (s+p)(s+p) แล้วแทน s=−ps=-p สำหรับโพลซ้ำใช้ได้เฉพาะสัมประสิทธิ์ของเทอมกำลังสูงสุด ส่วนเทอมที่เหลือต้องหาอนุพันธ์หรือเทียบสัมประสิทธิ์

โพลเชิงซ้อนต้องแยกเป็นเศษส่วนย่อยที่มี j เสมอไหม?

ไม่จำเป็น สำหรับสมการกำลังสองที่รากเป็นเชิงซ้อน ให้เติมกำลังสองให้ส่วนอยู่ในรูป (s+a)2+ω2(s+a)^2+\omega^2 แล้วใช้คู่การแปลง e−atcos⁡ωte^{-at}\cos\omega t และ e−atsin⁡ωte^{-at}\sin\omega t ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงตั้งแต่ต้น

Laplace ตารางการแปลงลาปลาซ (Laplace Transform Table) ที่ใช้บ่อย ตารางคู่การแปลงลาปลาซ 15 คู่ที่พบบ่อยที่สุด และตารางคุณสมบัติ (เลื่อนเวลา เลื่อนความถี่ อนุพันธ์ ปริพันธ์ คอนโวลูชัน ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย)… อ่านบทความ → Laplace การแปลงลาปลาซ (Laplace Transform) คืออะไร ใช้ทำอะไร การแปลงลาปลาซเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ให้เป็นสมการพีชคณิต อธิบายนิยาม ขั้นตอน 3 ขั้น ตัวอย่าง y′ + 3y = 6 และวงจร RC ที่คำนวณทีละบรรทัด อ่านบทความ → ลำดับและอนุกรม อนุกรมโลรองต์คืออะไร ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร (อธิบายด้วยภาพ) อนุกรมโลรองต์ (Laurent series) เทียบกับอนุกรมเทย์เลอร์: กำลังลบ ส่วนหลัก วงแหวนการลู่เข้า ทำไมฟังก์ชันเดียวมีหลายอนุกรม ชนิดจุดเอกฐาน เรซิดิว… อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดการแปลงลาปลาซ (3 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด