เลือกการทดสอบการลู่เข้าอย่างไร: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น พร้อมตัวอย่างทุกขั้น

ผังตัดสินใจ

8 ขั้นพร้อมตัวอย่าง

ขั้น 1 · พจน์เข้าใกล้ศูนย์ไหม

$\sum\dfrac{n}{n+1}$: พจน์ → 1 ≠ 0 จึงลู่ออกทันที ข้อนี้ใช้ได้ทางเดียว ถ้าพจน์ → 0 ให้ไปขั้นถัดไป

ขั้น 2 · เป็นเรขาคณิตหรืออนุกรม p ไหม

$\sum\dfrac{5}{4^n}$ เรขาคณิต $r = \tfrac14$ ลู่เข้า · $\sum\dfrac{1}{\sqrt n}$ อนุกรม p ที่ $p = \tfrac12 \le 1$ ลู่ออก — จำผลได้ ไม่ต้องคำนวณ

ขั้น 3 · แยกเศษส่วนย่อยได้ไหม

$\sum\dfrac{1}{n(n+1)} = \sum\left(\dfrac1n - \dfrac{1}{n+1}\right) = 1$ กล้องส่องทางไกลให้ทั้งคำตอบลู่เข้าและค่าผลบวก

ขั้น 4 · เป็นเศษส่วนของพหุนามหรือรากไหม

$\sum\dfrac{3n+5}{n^3-2}$: ตัวเด่น $\tfrac{3n}{n^3} = \tfrac{3}{n^2}$ เทียบลิมิตกับ $\tfrac{1}{n^2}$ ได้ 3 (บวกและจำกัด) จึงลู่เข้า · สูตรลัด: ลู่เข้า ⇔ ดีกรีล่าง − ดีกรีบน > 1

ขั้น 5 · มีแฟกทอเรียลหรือเลขยกกำลังไหม

$\sum\dfrac{n!}{n^n}$: $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \to \dfrac1e < 1$ ลู่เข้า · ถ้าได้ 1 พอดี ratio test สรุปไม่ได้

ขั้น 6 · ยกกำลัง n ทั้งก้อนไหม

$\sum\left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^n$: $\sqrt[n]{a_n} = \dfrac{n}{2n+1} \to \tfrac12$ ลู่เข้า รากตัดเลขชี้กำลังทิ้งให้ทันที

ขั้น 7 · มี ln หรืออินทิเกรตได้ง่ายไหม

$\sum\dfrac{1}{n\ln n}$: $\int_2^\infty\dfrac{dx}{x\ln x} = [\ln\ln x]_2^\infty = \infty$ ลู่ออก (แม้ตัวเลขจากคอมพิวเตอร์จะดูนิ่ง) · ส่วน $\sum\dfrac{1}{n(\ln n)^2}$ ลู่เข้า

ขั้น 8 · เครื่องหมายสลับไหม

$\sum\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}$: ค่าสัมบูรณ์ $\sum\tfrac{1}{\sqrt n}$ ลู่ออก แต่ $\tfrac{1}{\sqrt n}$ ลดลง → 0 ไลบ์นิซบอกว่าลู่เข้า จึงเป็นลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข

ตารางสรุปสำหรับทบทวนก่อนสอบ

กับดักสามข้อที่ทำให้เสียคะแนน

• $\sum\dfrac{1}{n^{1 + 1/n}}$ ดูเหมือนอนุกรม p ที่ p > 1 แต่เลขชี้กำลังเข้าใกล้ 1 เทียบลิมิตกับ $\tfrac1n$ ได้ 1 จึงลู่ออก
• $\sum\left(1 + \tfrac1n\right)^n$ ไม่ต้องใช้ราก พจน์ → e ≠ 0 จึงลู่ออกด้วยพจน์ที่ n
• $\sum\dfrac{1}{3^n - n}$ เปรียบเทียบตรงกับ $\tfrac{1}{3^n}$ ใช้ไม่ได้เพราะพจน์ใหญ่กว่า ต้องใช้เปรียบเทียบลิมิต

ฝึกให้มองเป็นอัตโนมัติด้วยเกมเลือกการทดสอบ 40 ข้อ ที่ตรวจทั้งการทดสอบและผลสรุป