--- title: "ลำดับและอนุกรม: จากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์ — คู่มือฉบับสมบูรณ์ (Sequences & Series: from sequences to Laurent series, complete guide)" url: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/ markdown_url: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/guide.md lab_url: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/series-lab/ exam_url: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/exam-practice/ author: "ธีรวุฒิ แสวงบุญ (อาจารย์มด, Teerawut Savangboon) — อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ" site: "Mod's Engineering Mathematics" language: th audience: ["High school (ม.5–ม.6, TCAS / A-Level คณิตศาสตร์ 1)", "Undergraduate calculus II", "Engineering mathematics (electrical / electronics / computer / mechatronics)", "Self-learners and tutors"] license: "อ่าน ลิงก์ และอ้างอิงได้ฟรี โปรดระบุ Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด) และลิงก์หน้าเว็บ" published: 2026-10-24 updated: 2026-10-26 keywords: [ลำดับ, อนุกรม, ลำดับและอนุกรม, ลำดับเลขคณิต, ลำดับเรขาคณิต, อนุกรมอนันต์, อนุกรมเรขาคณิต, อนุกรมกล้องส่องทางไกล, อนุกรมฮาร์มอนิก, อนุกรม p, การทดสอบการลู่เข้า, การทดสอบอัตราส่วน, การทดสอบราก, การทดสอบด้วยปริพันธ์, การทดสอบเปรียบเทียบ, อนุกรมสลับ, ลู่เข้าสัมบูรณ์, ลู่เข้ามีเงื่อนไข, อนุกรมกำลัง, รัศมีการลู่เข้า, ช่วงการลู่เข้า, อนุกรมเทย์เลอร์, อนุกรมแมคลอริน, เศษเหลือลากรองจ์, อนุกรมโลรองต์, เรซิดิว, จุดเอกฐาน, การแปลง Z, sequences, series, convergence tests, ratio test, root test, integral test, comparison test, alternating series test, power series, radius of convergence, Taylor series, Maclaurin series, Laurent series, residue, Z-transform, region of convergence] --- # ลำดับและอนุกรม: จากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์ — คู่มือฉบับสมบูรณ์ > ชุดบทเรียนภาษาไทย 13 หน้า (หน้าหลัก + 12 บท) ที่พาจากลำดับเลขคณิต-เรขาคณิตระดับ ม.ปลาย ผ่านการทดสอบการลู่เข้า อนุกรมสลับ อนุกรมกำลัง และอนุกรมเทย์เลอร์ของแคลคูลัส 2 ไปจนถึงอนุกรมโลรองต์ เรซิดิว และการแปลง Z ของคณิตศาสตร์วิศวกรรม มีสูตรพร้อมรหัส 148 สูตร ตัวอย่างวิธีทำทีละขั้นที่ตรวจตัวเลขแล้ว แนวข้อสอบ 60 ข้อสามระดับ เครื่องคิดเลข 6 ชุดที่แสดงวิธีทำด้วยเลขแม่นตรง อุปนัยแบบเข้ม 17 ตัวอย่าง และแล็บโต้ตอบ 23 ชุดที่พิมพ์สมการเองได้ ใช้งานบนมือถือได้ ไฟล์นี้เป็น Markdown ที่เขียนไว้ให้ผู้ช่วย AI (ChatGPT, Claude, Gemini, Perplexity ฯลฯ) เครื่องมือค้นหา และผู้สอน อ่านโครงสร้าง สูตรหลัก ผังการเลือกการทดสอบ และวิธีใช้แล็บของชุดนี้ได้ในไฟล์เดียว เนื้อหาเต็มทุกหน้าอยู่ใน Markdown รายหน้า (`index.html.md` ท้าย URL ของแต่ละหน้า) และใน [llms-full.txt](https://modsengineeringmath.com/llms-full.txt) --- ## 1. สรุปในหนึ่งนาที - **ลำดับ** \(a_n\) คือฟังก์ชันบนจำนวนนับ ลู่เข้าหา \(L\) เมื่อทุก \(\varepsilon>0\) มี \(N\) ที่ \(|a_n-L|<\varepsilon\) สำหรับทุก \(n>N\) ลำดับทางเดียวที่มีขอบเขตลู่เข้าเสมอ (Q17) - **อนุกรม** \(\sum a_n\) คือลิมิตของผลบวกย่อย \(S_n = a_1+\dots+a_n\) ถ้า \(S_n\) มีลิมิตจำกัด อนุกรมลู่เข้า - อนุกรมที่หาผลบวกได้ตรง ๆ มีไม่กี่แบบ: เรขาคณิต \(\sum_{n\ge0} ar^n = a/(1-r)\) เมื่อ \(|r|<1\), กล้องส่องทางไกล, และอนุกรมที่ได้จากอนุกรมกำลัง (เช่น \(\sum 1/n! = e\)) - \(a_n \to 0\) จำเป็นแต่ไม่พอ: อนุกรมฮาร์มอนิก \(\sum 1/n\) ลู่ออกทั้งที่ \(1/n\to0\) ส่วนอนุกรม p \(\sum 1/n^p\) ลู่เข้าเมื่อ \(p>1\) เท่านั้น - เลือกการทดสอบจากรูปพจน์: เศษส่วนพหุนาม → เปรียบเทียบแบบลิมิตกับอนุกรม p; แฟกทอเรียล/เลขยกกำลัง → อัตราส่วน; ยกกำลัง n ทั้งก้อน → ราก; มี \(\ln n\) → ปริพันธ์; เครื่องหมายสลับ → ไลบ์นิซ แล้วถามต่อว่าลู่เข้าสัมบูรณ์หรือไม่ - **อนุกรมกำลัง** \(\sum c_n(x-a)^n\) ลู่เข้าบนช่วงที่มีรัศมี \(R\) (หาด้วยอัตราส่วน ราก หรือระยะถึงจุดเอกฐานเชิงซ้อนที่ใกล้ที่สุด) ต้องตรวจปลายช่วงแยกเสมอ ภายในช่วงอนุพันธ์และอินทิกรัลทีละพจน์ได้โดย \(R\) ไม่เปลี่ยน - **อนุกรมเทย์เลอร์** \(f(x)=\sum f^{(n)}(a)(x-a)^n/n!\) — ความคลาดเมื่อตัดที่ดีกรี n มีขอบเขตลากรองจ์ \(|R_n|\le M|x-a|^{n+1}/(n+1)!\) - **อนุกรมโลรองต์** มีกำลังลบด้วย ลู่เข้าในวงแหวน \(r<|z-z_0|1\) | อนุกรม p | | S16 | \(\sum_{n\ge1} n r^n = \frac{r}{(1-r)^2}\) | เลขคณิต-เรขาคณิต | | T3 | \(\int_{N+1}^{\infty} f \le S - S_N \le \int_N^{\infty} f\) | ขอบเขตเศษเหลือ | | T7 | \(\rho = \lim \lvert a_{n+1}/a_n\rvert\): \(\rho<1\) ลู่เข้าสัมบูรณ์, \(\rho>1\) ลู่ออก, \(\rho=1\) สรุปไม่ได้ | อัตราส่วน | | T8 | \(\rho = \lim \lvert a_n\rvert^{1/n}\) | ราก | | A3 | \(\lvert S - S_n\rvert \le b_{n+1}\) | อนุกรมสลับ | | P3–P4 | \(R = \lim \lvert c_n/c_{n+1}\rvert = 1/\limsup \lvert c_n\rvert^{1/n}\) | รัศมีการลู่เข้า | | P9 | \(R\) = ระยะจากจุดศูนย์กลางถึงจุดเอกฐานเชิงซ้อนที่ใกล้ที่สุด | เช่น \(1/(1+x^2)\) มี \(R=1\) เพราะ \(\pm i\) | | Y4–Y6 | \(e^x = \sum \frac{x^n}{n!}\), \(\sin x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}\), \(\cos x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\) | \(R=\infty\) | | Y8–Y9 | \(\ln(1+x) = \sum_{n\ge1} \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}\), \(\arctan x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}\) | \(R=1\), ลู่เข้าที่ \(x=1\) ด้วย | | Y10 | \((1+x)^k = \sum \binom{k}{n} x^n\) | \(R=1\) เมื่อ k ไม่ใช่จำนวนเต็มบวก | | Y13 | \(R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\) | เศษเหลือลากรองจ์ | | Y20 | \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) | จากอนุกรม | | L3 | \(\frac{1}{z-p} = -\sum_{n\ge0}\frac{z^n}{p^{n+1}}\ (\lvert z\rvert<\lvert p\rvert)\), \(= \sum_{n\ge0}\frac{p^n}{z^{n+1}}\ (\lvert z\rvert>\lvert p\rvert)\) | กุญแจของทุกโจทย์โลรองต์ | | L8 | โพลเชิงเดียว: \(\operatorname{Res} = \lim (z-z_0)f(z) = g(z_0)/h'(z_0)\); โพลอันดับ m: \(\frac{1}{(m-1)!}\lim \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-z_0)^m f]\) | สูตรเรซิดิว | | L9 | \(\oint_C f\,dz = 2\pi i \sum \operatorname{Res}\) | ทฤษฎีบทเรซิดิว | | L11 | \(a^n u[n] \leftrightarrow \frac{z}{z-a}\), ROC \(\lvert z\rvert > \lvert a\rvert\) | การแปลง Z | ## 5. ผังเลือกการทดสอบการลู่เข้า (สรุปจากบท 26.3) 1. \(\lim a_n \ne 0\)? → ลู่ออก (T1) จบ 2. เป็นเรขาคณิตหรืออนุกรม p? → ตอบทันที (S6, S11) 3. เครื่องหมายสลับ? → ทดสอบ \(\sum\lvert a_n\rvert\) ก่อน ถ้าลู่เข้า = ลู่เข้าสัมบูรณ์ ถ้าไม่ ใช้ไลบ์นิซ (A2) → มีเงื่อนไข 4. มีแฟกทอเรียลหรือ \(c^n\)? → อัตราส่วน (T7) 5. ทั้งพจน์ยกกำลัง n? → ราก (T8) 6. เศษส่วนพหุนาม/รากที่สอง? → เปรียบเทียบแบบลิมิตกับ \(1/n^{p}\) โดย p = ดีกรีล่าง − ดีกรีบน (T5) 7. มี \(\ln n\) และ f ลดลงต่อเนื่อง? → ปริพันธ์ (T2) หรือควบแน่น (T10) 8. อัตราส่วนได้ 1? → อย่าสรุป กลับไปใช้เปรียบเทียบ ปริพันธ์ หรือราบี (T11) กับดักที่เจอบ่อยในข้อสอบ: สรุปว่าลู่เข้าเพราะ \(a_n\to0\); ใช้อัตราส่วนกับอนุกรม p (ได้ 1 ทุกครั้ง); ลืมตรวจปลายช่วงของอนุกรมกำลัง; ใช้อนุกรมแมคลอรินนอกรัศมีการลู่เข้า; ใช้อนุกรมโลรองต์ผิดวงแหวน ## 6. ตัวอย่างที่ตัวเลขตรวจแล้ว (ใช้อ้างอิงได้) - \(0.\overline{27} = 27/99 = 3/11\); \(\sum_{n\ge1} \frac{1}{n(n+1)} = 1\); \(\sum_{n\ge1}\frac{n}{2^n} = 2\); \(\sum 1/n^2 = \pi^2/6 \approx 1.644934\) - \(\sum_{n\ge2} \frac{1}{n\ln^2 n} \approx 2.10974\) (ลู่เข้าช้ามาก ต้องใช้ผลรวมตรง + ขอบเขตหาง) - \(1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots = \ln 2 \approx 0.693147\); จัดเรียงใหม่บวก 1 ลบ 4 ได้ \(\ln 2 + \tfrac12\ln\tfrac14 = 0\) - \(\sum \frac{x^n}{n\,2^n}\): \(R = 2\), ช่วง \([-2, 2)\) - \(\sin 0.5\) ด้วย \(x - x^3/6 + x^5/120\) ≈ 0.4794271 คลาดไม่เกิน \(0.5^7/5040 \approx 1.55\times10^{-6}\) - \(\frac{1}{(z-1)(z-2)}\) มีสามวงแหวน: \(\lvert z\rvert<1\), \(1<\lvert z\rvert<2\), \(\lvert z\rvert>2\); ในวงแหวนกลาง \(= -\sum_{n\ge1} z^{-n} - \sum_{n\ge0} z^n/2^{n+1}\) - \(\operatorname{Res}_{z=0} z^2 e^{1/z} = 1/6\) (เอกฐานแท้ ต้องกระจายอนุกรม); \(\operatorname{Res}_{z=0} \frac{\sin z}{z^4} = -1/6\) - คาบลูกตุ้มที่แอมพลิจูด 60° ยาวกว่าสูตรมุมเล็กราว 7.3 % (\(T/T_0 \approx 1.0732\)) ## 7. แล็บลำดับและอนุกรม (12 เครื่องมือ) URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/series-lab/ — ทำงานในเบราว์เซอร์ ไม่ต้องติดตั้ง พิมพ์สูตรเองได้ (เช่น `1/(n*2^n)`, `(-1)^n/n`, `n!/n^n`) ใช้บนมือถือได้ 1. สำรวจลำดับ: พจน์ ลิมิต แถบ ε–N และใยแมงมุมของลำดับเวียนเกิด 2. ผลบวกย่อย Sₙ: เรขาคณิต กล้องส่องทางไกล ฮาร์มอนิก บาเซิล ไลบ์นิซ e แกรนดี หรือพิมพ์เอง 3. ตัวทดสอบอนุกรม: เหตุผลแบบเต็มสำหรับ 14 อนุกรมมาตรฐาน 4. การทดสอบด้วยปริพันธ์: สี่เหลี่ยมใต้และเหนือกราฟ ขอบเขตเศษเหลือ 5. อนุกรมสลับ: ขอบเขตความคลาด และการจัดเรียงใหม่ของรีมันน์ให้ได้ค่าเป้าหมาย 6. เกมเลือกการทดสอบ 40 อนุกรม 3 ระดับ 7. อนุกรมกำลัง: ช่วงการลู่เข้าบนเส้นจำนวน + ดิสก์และจุดเอกฐานในระนาบเชิงซ้อน 8. พหุนามเทย์เลอร์: f(x) เทียบ Pₙ(x) ความคลาด และขอบเขตลากรองจ์ 9. ต้องใช้กี่พจน์: คำนวณจากขอบเขตเศษเหลือ 10. อนุกรมโลรองต์: ลากจุด z เลือกวงแหวน ดูสัมประสิทธิ์ ส่วนหลัก เรซิดิว และมุมมองการแปลง Z/ROC 11. โจทย์สุ่มไม่จำกัด 9 แบบพร้อมตรวจคำตอบ (เลขคณิต เรขาคณิต ทศนิยมซ้ำ กล้องส่องทางไกล ลู่เข้า/ลู่ออก รัศมี เทย์เลอร์ ลิมิต เรซิดิว) 12. อนุกรมเทย์เลอร์ในงานวิศวกรรม: คาบลูกตุ้ม sin บนไมโครคอนโทรลเลอร์ (พร้อมโค้ด C แบบฮอร์เนอร์) ไดโอดสัญญาณเล็ก ### 7.1 เครื่องคิดเลขลำดับและอนุกรม (6 ชุด, บท 26.11) URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/calculators/ — คำนวณด้วยเลขแม่นตรง (เศษส่วน BigInt และกรณฑ์ในฟีลด์ Q(√D)) แสดงวิธีทำทุกขั้น ตรวจคำตอบย้อนกลับ และมีปุ่ม 🎯 ฝึกทำที่สุ่มโจทย์ระดับข้อสอบพร้อมตรวจคำตอบ ลิงก์ตรงไปยังโจทย์ใช้ `?q=` ได้ เช่น `?q=sum k^2, k=1..n`, `?q=a(n)=a(n-1)+a(n-2), a(0)=0, a(1)=1`, `?q=2, 6, 12, 20, 30` 1. ลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต (พื้นฐาน): กรอก 3 ค่าใดก็ได้จาก a₁, d/r, n, aₙ, Sₙ, S∞ หรือรู้สองพจน์ใด ๆ — บอกเมื่อมีสองคำตอบ (n จากสมการกำลังสอง, r = ±) 2. ซิกมา Σ (กลาง): สูตรผลบวกกำลัง + สมบัติเชิงเส้น, อนุกรมเรขาคณิต, พหุนาม×rᵏ (วิธี S − rS แบบทั่วไป), กล้องส่องทางไกลจากเศษส่วนย่อย, อนุกรมอนันต์ 3. หาสูตรจากพจน์ (กลาง): ตารางผลต่างและสูตรของนิวตัน, เรขาคณิต, อัตราส่วนเป็นพหุนาม (เช่น n!), เวียนเกิดเชิงเส้นด้วย Berlekamp–Massey พร้อมคำเตือนว่าพจน์จำนวนจำกัดไม่ได้กำหนดลำดับเพียงหนึ่งเดียว (1, 2, 4, 8, 16, 31) 4. ความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้น (ขั้นสูง): อันดับ ≤ 3 + พจน์ f(n) = พหุนาม × sⁿ, รากซ้ำ/เชิงซ้อน/อตรรกยะ, เรโซแนนซ์, ตารางตรวจ, ฟังก์ชันก่อกำเนิด, บทพิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้มที่สร้างอัตโนมัติ 5. ผลบวกความแม่นยำสูง (ขั้นสูง): ออยเลอร์–แมคลอริน (Σ1/k² ถูก 15 หลักจาก 10 พจน์, H₁₀¹² ≈ 28.2082367808) และ Cohen–Villegas–Zagier สำหรับอนุกรมสลับ 6. ทศนิยมซ้ำ ค่าเฉลี่ย เงินฝาก-เงินกู้ (พื้นฐาน): เช่น 0.1(23) = 61/495, กู้ 1.5 ล้านบาท 6% 20 ปี ค่างวด ≈ 10,746.47 บาท ### 7.2 แล็บอุปนัยแบบเข้ม (11 ชุด, บท 26.12) URL: https://modsengineeringmath.com/learn/sequences-and-series/strong-induction/ 1. ตารางว่าแต่ละ P(n) อาศัยกรณีใด + จำนวนกรณีฐาน (ลองลดแล้วดูบทพิสูจน์พัง) 2. แสตมป์ a, b (และชนิดที่สาม) พร้อมจำนวนโฟรเบเนียสและบทพิสูจน์ที่สร้างให้ 3. ต้นไม้ตัวประกอบ 4. หักช็อกโกแลต 5. เกมหยิบเหรียญกับคอมพิวเตอร์ + ตาราง W/L 6. เลขฐานสองและเซกเคนดอร์ฟ 7. ปูกระเบื้อง 2×n 8. ขอบเขต aₙ ≤ Crⁿ พร้อมแถบเลื่อน r 9. เครื่องแก้เวียนเกิดที่เขียนบทพิสูจน์ 10. เกมเรียงบรรทัดบทพิสูจน์ (มีบรรทัดหลอก) 11. หาจุดผิด (aⁿ = 1, ฟีโบนัชชีเป็นเลขคู่, กรณีฐานไม่พอ, ผลคูณจำนวนเฉพาะ) ตัวอย่างที่ตรวจแล้ว: g(3,5) = 7, g(4,7) = 17, g(6,9,20) = 43; F_n < 2ⁿ; a₁ = 1, a₂ = 5, aₙ = aₙ₋₁ + 2aₙ₋₂ ⇒ aₙ = 2ⁿ + (−1)ⁿ; T(n) = T(⌊n/2⌋) + T(⌈n/2⌉) + n ⇒ T(n) ≤ n⌈log₂ n⌉; gcd(252, 198) = 18 = 4·252 − 5·198; eₙ = 0.5eₙ₋₁ + 0.3eₙ₋₂ ⇒ eₙ ≤ 1.1628·0.86ⁿ ## 8. บทความประกอบ (ไทย / อังกฤษ แยกลิงก์) | หัวข้อ | ภาษาไทย | English | |---|---|---| | ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง (แผนที่ภาพรวม) | /blog/sequences-and-series-roadmap/ | /en/blog/sequences-and-series-roadmap/ | | เลือกการทดสอบการลู่เข้าอย่างไร (ผังตัดสินใจ) | /blog/convergence-test-flowchart/ | /en/blog/convergence-test-flowchart/ | | รัศมีการลู่เข้าหาอย่างไร (3 วิธี + ปลายช่วง) | /blog/radius-of-convergence/ | /en/blog/radius-of-convergence/ | | อนุกรมโลรองต์ต่างจากเทย์เลอร์อย่างไร | /blog/laurent-series-vs-taylor-series/ | /en/blog/laurent-series-vs-taylor-series/ | | สูตรอนุกรมเรขาคณิต | /blog/geometric-series-formula/ | /en/blog/geometric-series-formula/ | | อนุกรมเทย์เลอร์คืออะไร | /blog/what-is-taylor-series/ | /en/blog/what-is-taylor-series/ | ## 9. เชื่อมกับบทอื่นบนเว็บนี้ - ลิมิตและลำดับฉบับสรุปหน้าเดียว: /learn/limits/sequences-series/ - อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (พิสูจน์สูตรผลบวก): /learn/limits/mathematical-induction/ - อนุกรมฟูเรียร์ (การลู่เข้า กิบส์ พาร์เซวาล): /learn/fourier-series/ - การแปลงลาปลาซและเรซิดิว: /learn/laplace-transform/ - ระบบควบคุมดิจิทัลและการแปลง Z: /learn/control-systems/digital-control/ - คอนเวอร์เตอร์บั๊กแบบเฉลี่ย (การทำให้เป็นเชิงเส้น): /learn/power-electronics/buck-averaged-model/ - เศรษฐศาสตร์โซลาร์เซลล์ (อนุกรมเรขาคณิตของมูลค่าปัจจุบัน): /learn/solar-pv/economics/ ## 10. คำถามที่พบบ่อย **ลำดับและอนุกรมในมหาวิทยาลัยต่างจาก ม.ปลายอย่างไร?** ม.ปลายเน้นลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต ซิกมา และอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ซึ่งหาผลบวกได้ แคลคูลัส 2 เน้นคำถามว่าอนุกรมลู่เข้าหรือไม่ อนุกรมกำลัง และอนุกรมเทย์เลอร์ ส่วนคณิตศาสตร์วิศวกรรมต่อไปถึงอนุกรมโลรองต์ เรซิดิว และการแปลง Z **อนุกรมเทย์เลอร์กับอนุกรมแมคลอรินต่างกันอย่างไร?** แมคลอรินคืออนุกรมเทย์เลอร์ที่กระจายรอบ \(a = 0\) เท่านั้น สูตรและทฤษฎีบทเศษเหลือเหมือนกันทุกประการ **ทำไม \(1/(1+x^2)\) ซึ่งเรียบทุกจุดบนเส้นจำนวนจริงจึงมีรัศมีการลู่เข้าแค่ 1?** เพราะรัศมีถูกกำหนดโดยจุดเอกฐานในระนาบเชิงซ้อน ฟังก์ชันนี้มีโพลที่ \(z = \pm i\) ซึ่งห่างจาก 0 เป็นระยะ 1 (P9) **อนุกรมโลรองต์ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร?** โลรองต์มีพจน์กำลังลบ (ส่วนหลัก) ลู่เข้าในวงแหวนแทนดิสก์ ใช้กับฟังก์ชันที่มีจุดเอกฐาน และฟังก์ชันเดียวกันมีอนุกรมโลรองต์ต่างกันในแต่ละวงแหวน ถ้าฟังก์ชันวิเคราะห์ทั้งดิสก์ อนุกรมโลรองต์จะลดเป็นเทย์เลอร์ **อนุกรมโลรองต์เกี่ยวกับการแปลง Z อย่างไร?** \(X(z) = \sum x[n] z^{-n}\) คืออนุกรมโลรองต์รอบ 0 บริเวณการลู่เข้า (ROC) จึงเป็นวงแหวนเสมอ ระบบเสถียรเมื่อ ROC รวมวงกลมหนึ่งหน่วย (L12) **มีแบบฝึกหัดพร้อมเฉลยไหม?** มีแนวข้อสอบ 60 ข้อสามระดับพร้อมเฉลยทีละขั้น เครื่องสุ่มโจทย์ไม่จำกัด เกมเลือกการทดสอบ 40 ข้อ และแล็บ 12 ชุด ทั้งหมดฟรี ## 11. แหล่งอ้างอิง - J. Stewart, D. Clegg, S. Watson — *Calculus: Early Transcendentals* (บทอนุกรมอนันต์) - E. Kreyszig — *Advanced Engineering Mathematics* (อนุกรมกำลัง เทย์เลอร์ โลรองต์ เรซิดิว) - J. W. Brown, R. V. Churchill — *Complex Variables and Applications* - A. V. Oppenheim, R. W. Schafer — *Discrete-Time Signal Processing* (การแปลง Z และ ROC) - NIST Digital Library of Mathematical Functions — https://dlmf.nist.gov/ (อนุกรมของฟังก์ชันพิเศษ) - หลักสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย สสวท. (ลำดับและอนุกรม)