พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. บทความ
  3. ลำดับและอนุกรม
  4. อนุกรมเรขาคณิต

// บทความ · ลำดับและอนุกรม

อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series): สูตร ตัวอย่าง และวิธีหาผลบวก

อนุกรมเรขาคณิตคือการบวกตัวเลขที่คูณด้วยค่าเดิมทุกครั้ง เช่น 2+6+18+542 + 6 + 18 + 54 มีสูตรเดียวที่ต้องจำ และมีเงื่อนไขเดียวที่ต้องดูเมื่อบวกไม่สิ้นสุด บทความนี้สรุปสูตร ที่มา และตัวอย่างที่ออกสอบบ่อย

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
สรุปใน 30 วินาที
  • พจน์ทั่วไป: an=a1rn−1a_n = a_1 r^{n-1} โดย rr คืออัตราส่วนร่วม (common ratio) =an+1/an= a_{n+1}/a_n
  • ผลบวก n พจน์: Sn=a11−rn1−rS_n = a_1\dfrac{1 - r^n}{1 - r} เมื่อ r≠1r \ne 1
  • อนุกรมอนันต์: S∞=a11−rS_\infty = \dfrac{a_1}{1 - r} ใช้ได้เฉพาะ ∣r∣<1|r| < 1

อนุกรมเรขาคณิตคืออะไร

ลำดับเรขาคณิต (geometric sequence) คือลำดับที่พจน์ถัดไปได้จากการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยค่าคงที่ rr เช่น 2,6,18,54,…2, 6, 18, 54, \dots มี r=3r = 3 ส่วนอนุกรมเรขาคณิต (geometric series) คือผลบวกของพจน์เหล่านั้น 2+6+18+54+⋯2 + 6 + 18 + 54 + \cdots

วิธีหา rr: เอาพจน์ใดหารด้วยพจน์ก่อนหน้า ถ้าได้ค่าเท่ากันทุกคู่ก็เป็นเรขาคณิต rr เป็นลบได้ (เครื่องหมายสลับ) และเป็นเศษส่วนได้ (ค่าลดลง)

สูตรผลบวก n พจน์ และที่มา

Sn=a1+a1r+a1r2+⋯+a1rn−1=a1 1−rn1−r,r≠1S_n = a_1 + a_1r + a_1r^2 + \cdots + a_1r^{n-1} = a_1\,\frac{1 - r^n}{1 - r},\quad r \ne 1

ที่มาใช้แค่สองบรรทัด: เขียน SnS_n แล้วคูณด้วย rr จะได้พจน์ชุดเดียวกันที่เลื่อนไปหนึ่งตำแหน่ง

Sn=a1+a1r+⋯+a1rn−1rSn=a1+a1r+⋯+a1rn−1+a1rn\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_1r + \cdots + a_1r^{n-1} \\ rS_n &= \phantom{a_1 + {}} a_1r + \cdots + a_1r^{n-1} + a_1r^n \end{aligned}

ลบกัน พจน์กลางหายหมด เหลือ Sn−rSn=a1−a1rnS_n - rS_n = a_1 - a_1r^n จึงได้สูตรข้างบน ถ้า r>1r > 1 จะเขียนเป็น a1rn−1r−1a_1\dfrac{r^n - 1}{r - 1} ก็ได้ (ค่าเท่ากัน แต่ไม่ต้องจัดการเครื่องหมายลบ)

ตัวอย่าง 1

ลำดับเรขาคณิตมี a2=6a_2 = 6 และ a5=162a_5 = 162 หา S6S_6

  1. a5a2=r3=1626=27\dfrac{a_5}{a_2} = r^3 = \dfrac{162}{6} = 27 จึงได้ r=3r = 3 และ a1=a2/r=2a_1 = a_2/r = 2

  2. S6=2⋅36−13−1=2⋅7282=728S_6 = 2\cdot\dfrac{3^6 - 1}{3 - 1} = 2\cdot\dfrac{728}{2} = 728

S6=728S_6 = 728 ตรวจ: 2+6+18+54+162+486=7282 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728 ✓

ตัวอย่าง 2 · หาจำนวนพจน์ก่อน

หาผลบวก 3+6+12+⋯+7683 + 6 + 12 + \cdots + 768

  1. a1=3, r=2a_1 = 3,\ r = 2 พจน์สุดท้าย 3⋅2n−1=768⇒2n−1=256=283\cdot 2^{n-1} = 768 \Rightarrow 2^{n-1} = 256 = 2^8 จึงมี n=9n = 9 พจน์

  2. S9=3⋅29−12−1=3(511)=1533S_9 = 3\cdot\dfrac{2^9 - 1}{2 - 1} = 3(511) = 1533

15331533 · ความผิดพลาดที่พบบ่อยคือนับ n ผิด ต้องหาจาก an=a1rn−1a_n = a_1r^{n-1} ทุกครั้ง

อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ (Infinite Geometric Series)

เมื่อบวกไม่สิ้นสุด ให้ดูว่า rnr^n ในสูตร SnS_n ไปทางไหนเมื่อ n→∞n \to \infty ถ้า ∣r∣<1|r| < 1 แล้ว rn→0r^n \to 0 ผลบวกจึงเข้าใกล้ค่าจำกัด

S∞=a1+a1r+a1r2+⋯=a11−r,∣r∣<1S_\infty = a_1 + a_1r + a_1r^2 + \cdots = \frac{a_1}{1 - r},\qquad |r| < 1
ค่า rพฤติกรรมของอนุกรมอนันต์
∣r∣<1|r| < 1ลู่เข้า (convergent) ผลบวก a1/(1−r)a_1/(1 - r)
r=1r = 1ลู่ออก ผลบวกโตแบบ na1na_1
r=−1r = -1ลู่ออก ผลบวกย่อยแกว่ง a1,0,a1,0,…a_1, 0, a_1, 0, \dots
∣r∣>1|r| > 1ลู่ออก พจน์โตไม่มีขอบเขต
ตัวอย่าง 3 · ทศนิยมซ้ำและ r ติดลบ

(ก) เขียน 0.36‾0.\overline{36} เป็นเศษส่วน (ข) หา 8−4+2−1+⋯8 - 4 + 2 - 1 + \cdots

  1. (ก) 0.3636…=0.36+0.0036+⋯0.3636\ldots = 0.36 + 0.0036 + \cdots มี a1=0.36, r=0.01a_1 = 0.36,\ r = 0.01: 0.361−0.01=3699=411\dfrac{0.36}{1 - 0.01} = \dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11}

  2. (ข) a1=8, r=−12a_1 = 8,\ r = -\tfrac12 และ ∣r∣<1|r| < 1: S∞=81+12=163S_\infty = \dfrac{8}{1 + \frac12} = \dfrac{16}{3}

(ก) 411\tfrac{4}{11} (ข) 163\tfrac{16}{3} · ด้วยเหตุผลเดียวกัน 0.999…=0.91−0.1=10.999\ldots = \tfrac{0.9}{1 - 0.1} = 1 พอดี

ตัวอย่าง 4 · ลูกบอลเด้ง

ปล่อยลูกบอลจากความสูง 10 m ทุกครั้งที่กระทบพื้นเด้งขึ้น 60% ของความสูงเดิม หาระยะทางรวมทั้งหมด

  1. ขาลงครั้งแรก 10 m จากนั้นทุกการเด้งมีขาขึ้นและขาลงเท่ากัน: 6+3.6+2.16+⋯6 + 3.6 + 2.16 + \cdots เป็นอนุกรมเรขาคณิต a1=6, r=0.6a_1 = 6,\ r = 0.6

  2. ระยะรวม =10+2⋅61−0.6=10+30=40 m= 10 + 2\cdot\dfrac{6}{1 - 0.6} = 10 + 30 = 40\ \text{m}

40 m40\ \text{m} · เด้งนับครั้งไม่ถ้วน แต่ระยะทางรวมมีค่าจำกัด

ใช้ในงานวิศวกรรม

  • ตัวกรองดิจิทัล (EMA) y[n]=0.8 y[n−1]+0.2 x[n]y[n] = 0.8\,y[n-1] + 0.2\,x[n] ป้อนขั้นบันได 1 ได้ y[n]=0.2(1+0.8+⋯+0.8n)=1−0.8n+1y[n] = 0.2(1 + 0.8 + \cdots + 0.8^n) = 1 - 0.8^{n+1} ถึง 95% ที่ตัวอย่างที่ 14 และเสถียรเพราะ ∣0.8∣<1|0.8| < 1
  • มูลค่าปัจจุบัน โซลาร์รูฟท็อปประหยัดปีละ 12,000 บาท นาน 20 ปี อัตราคิดลด 5%: PV=12000⋅1−1.05−200.05≈149,547PV = 12000\cdot\dfrac{1 - 1.05^{-20}}{0.05} \approx 149{,}547 บาท
  • อนุกรมกำลัง 11−x=1+x+x2+⋯\dfrac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \cdots (∣x∣<1|x| < 1) เป็นจุดตั้งต้นของอนุกรม ln⁡(1+x)\ln(1 + x) และ arctan⁡x\arctan x ในอนุกรมเทย์เลอร์

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ใช้ a1/(1−r)a_1/(1 - r) ทั้งที่ ∣r∣≥1|r| \ge 1 เช่น 1+2+4+⋯1 + 2 + 4 + \cdots ไม่ได้เท่ากับ 11−2=−1\tfrac{1}{1 - 2} = -1 แต่ลู่ออก
  • ใช้สูตรตอน r=1r = 1 (หารด้วยศูนย์) กรณีนี้ Sn=na1S_n = na_1
  • นับจำนวนพจน์ผิด โดยเฉพาะเมื่อเริ่มที่ r0r^0 หรือเริ่มที่ r1r^1
  • ลืมว่า rr ติดลบได้: ลำดับที่เครื่องหมายสลับก็เป็นเรขาคณิต

เรียนต่อในคลังความรู้

คำถามที่พบบ่อย

อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ลู่เข้าเมื่อไร?

ลู่เข้าเมื่อ ∣r∣<1|r| < 1 เท่านั้น และผลบวกคือ a11−r\dfrac{a_1}{1 - r} ถ้า ∣r∣≥1|r| \ge 1 พจน์ไม่เข้าใกล้ศูนย์ อนุกรมจึงลู่ออก

ถ้า r = 1 ใช้สูตรผลบวกได้ไหม?

ไม่ได้ เพราะส่วน 1−r=01 - r = 0 แต่กรณีนี้ทุกพจน์เท่ากับ a1a_1 ผลบวก n พจน์จึงเท่ากับ na1n a_1 โดยตรง

ลำดับเรขาคณิตกับอนุกรมเรขาคณิตต่างกันอย่างไร?

ลำดับเรขาคณิตคือรายการตัวเลข a1,a1r,a1r2,…a_1, a_1r, a_1r^2, \dots ส่วนอนุกรมเรขาคณิตคือผลบวกของตัวเลขเหล่านั้น a1+a1r+a1r2+⋯a_1 + a_1r + a_1r^2 + \cdots

อนุกรมเรขาคณิตใช้ทำอะไรในงานวิศวกรรม?

ใช้หาผลตอบสนองของตัวกรองดิจิทัล มูลค่าปัจจุบันของโครงการ เช่นโซลาร์รูฟท็อป ระยะทางรวมของการสะท้อน และเป็นจุดเริ่มของอนุกรมกำลัง 11−x=1+x+x2+⋯\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \cdots ที่ใช้สร้างอนุกรมเทย์เลอร์

ลำดับและอนุกรม ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง? แผนที่ภาพรวมจากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์ ภาพรวมทั้งบทลำดับและอนุกรมในหน้าเดียว: แต่ละเรื่องตอบคำถามอะไร สูตรหัวใจ แนวข้อสอบ และต่อกันอย่างไร ตั้งแต่ลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้า… อ่านบทความ → ลำดับและอนุกรม อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) ตัวอย่างพร้อมวิธีทำทีละขั้น รวมอุปนัยแบบเข้ม ตัวอย่างพิสูจน์ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 14 ข้อพร้อมวิธีทำ: เขียนข้อความ P(n) สูตรผลบวก การหารลงตัว อสมการ ลำดับเวียนเกิด และอุปนัยแบบเข้ม (strong… อ่านบทความ → ลำดับและอนุกรม อนุกรมเทย์เลอร์ (อนุกรมเทเลอร์, Taylor Series) คืออะไร ใช้ทำอะไร พร้อมตัวอย่าง อนุกรมเทย์เลอร์ (อนุกรมเทเลอร์) คืออะไร สูตรและตารางอนุกรมแมคลอรินที่ต้องจำ ตัวอย่าง 8 ข้อ: ประมาณค่า กระจายรอบจุดอื่น ใช้กี่พจน์… อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดลำดับและอนุกรม (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด