หน้าแรก บทความ ลำดับและอนุกรม อนุกรมเทย์เลอร์ THภาษาไทย ENEnglish // บทความ · ลำดับและอนุกรม
อนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor Series) คืออะไร ใช้ทำอะไร พร้อมตัวอย่าง
เครื่องคิดเลขไม่รู้จัก sin หรือ eˣ โดยตรง มันรู้แค่บวกและคูณ อนุกรมเทย์เลอร์ (หลายตำราสะกดว่า อนุกรมเทเลอร์ ) คือวิธีเปลี่ยนฟังก์ชันอะไรก็ได้ให้เป็นพหุนามที่คำนวณด้วยการบวกและคูณ และเป็นเหตุผลที่วิศวกรเขียน sin θ ≈ θ \sin\theta \approx \theta sin θ ≈ θ
สรุปใน 30 วินาที
f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ k ! f ( k ) ( a ) ( x − a ) k กระจายรอบ a = 0 a = 0 a = 0
ตัดไว้ n พจน์ได้พหุนามเทย์เลอร์ P n ( x ) P_n(x) P n ( x ) M ∣ x − a ∣ n + 1 ( n + 1 ) ! \dfrac{M|x - a|^{n+1}}{(n+1)!} ( n + 1 )! M ∣ x − a ∣ n + 1
อนุกรมเทย์เลอร์คืออะไร
ถ้าต้องการพหุนามที่ “เหมือน” f ( x ) f(x) f ( x ) a a a a a a c k = f ( k ) ( a ) k ! c_k = \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!} c k = k ! f ( k ) ( a )
f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + f ′ ′ ′ ( a ) 3 ! ( x − a ) 3 + ⋯ f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + 2 ! f ′′ ( a ) ( x − a ) 2 + 3 ! f ′′′ ( a ) ( x − a ) 3 + ⋯ พจน์แรกสองพจน์ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) f(a) + f'(a)(x - a) f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a )
วิธีหาอนุกรมเทย์เลอร์: ตัวอย่าง eˣ
ตัวอย่าง 1 หาอนุกรมแมคลอรินของ e x e^x e x e 0.5 e^{0.5} e 0.5
อนุพันธ์ทุกอันดับของ e x e^x e x e x e^x e x x = 0 x = 0 x = 0 f ( k ) ( 0 ) = 1 f^{(k)}(0) = 1 f ( k ) ( 0 ) = 1
สัมประสิทธิ์ c k = 1 k ! c_k = \dfrac{1}{k!} c k = k ! 1 e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + ⋯ e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \cdots e x = 1 + x + 2 ! x 2 + 3 ! x 3 + 4 ! x 4 + ⋯
e 0.5 ≈ 1 + 0.5 + 0.125 + 0.0208333 + 0.0026042 = 1.6484375 e^{0.5} \approx 1 + 0.5 + 0.125 + 0.0208333 + 0.0026042 = 1.6484375 e 0.5 ≈ 1 + 0.5 + 0.125 + 0.0208333 + 0.0026042 = 1.6484375
ค่าจริง 1.6487213 1.6487213 1.6487213 2.8 × 10 − 4 2.8\times10^{-4} 2.8 × 1 0 − 4 e 0.5 ( 0.5 ) 5 5 ! < 1.65 × 0.03125 120 ≈ 4.3 × 10 − 4 \dfrac{e^{0.5}(0.5)^5}{5!} < \dfrac{1.65\times0.03125}{120} \approx 4.3\times10^{-4} 5 ! e 0.5 ( 0.5 ) 5 < 120 1.65 × 0.03125 ≈ 4.3 × 1 0 − 4
e 0.5 ≈ 1.6484 e^{0.5} \approx 1.6484 e 0.5 ≈ 1.6484 4.3 × 10 − 4 4.3\times10^{-4} 4.3 × 1 0 − 4
ตารางอนุกรมแมคลอรินที่ต้องจำ
ทำแบบเดียวกันกับฟังก์ชันอื่นได้ตารางด้านล่าง ช่องขวาสุดคือช่วงที่อนุกรมลู่เข้าสู่ฟังก์ชัน นอกช่วงนี้ใช้ไม่ได้
ฟังก์ชัน อนุกรมแมคลอริน ใช้ได้เมื่อ
e x e^x e x 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots 1 + x + 2 ! x 2 + 3 ! x 3 + ⋯ ทุก x sin x \sin x sin x x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots x − 3 ! x 3 + 5 ! x 5 − ⋯ ทุก x cos x \cos x cos x 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \cdots 1 − 2 ! x 2 + 4 ! x 4 − ⋯ ทุก x 1 1 − x \dfrac{1}{1 - x} 1 − x 1 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ ∣ x ∣ < 1 |x| < 1 ∣ x ∣ < 1 ln ( 1 + x ) \ln(1 + x) ln ( 1 + x ) x − x 2 2 + x 3 3 − ⋯ x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots x − 2 x 2 + 3 x 3 − ⋯ − 1 < x ≤ 1 -1 < x \le 1 − 1 < x ≤ 1 tan − 1 x \tan^{-1} x tan − 1 x x − x 3 3 + x 5 5 − ⋯ x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \cdots x − 3 x 3 + 5 x 5 − ⋯ ∣ x ∣ ≤ 1 |x| \le 1 ∣ x ∣ ≤ 1 ( 1 + x ) α (1 + x)^{\alpha} ( 1 + x ) α 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots 1 + αx + 2 ! α ( α − 1 ) x 2 + ⋯ ∣ x ∣ < 1 |x| < 1 ∣ x ∣ < 1
จำสามแถวแรกกับอนุกรมเรขาคณิต 1 / ( 1 − x ) 1/(1 - x) 1/ ( 1 − x ) 1 / ( 1 + t ) 1/(1 + t) 1/ ( 1 + t ) ln ( 1 + x ) \ln(1 + x) ln ( 1 + x ) 1 / ( 1 + t 2 ) 1/(1 + t^2) 1/ ( 1 + t 2 ) tan − 1 x \tan^{-1} x tan − 1 x สูตรอนุกรมเรขาคณิต )
ตัวอย่างการประมาณค่า
ตัวอย่าง 2 · การประมาณมุมเล็ก ใช้ sin θ ≈ θ \sin\theta \approx \theta sin θ ≈ θ θ = 5 ∘ \theta = 5^\circ θ = 5 ∘ − θ 3 / 6 -\theta^3/6 − θ 3 /6
แปลงเป็นเรเดียน: θ = 5 π / 180 = 0.0872665 \theta = 5\pi/180 = 0.0872665 θ = 5 π /180 = 0.0872665 sin 5 ∘ = 0.0871557 \sin 5^\circ = 0.0871557 sin 5 ∘ = 0.0871557
sin θ ≈ θ \sin\theta \approx \theta sin θ ≈ θ 0.0001107 0.0001107 0.0001107 0.13 % 0.13\% 0.13%
θ − θ 3 / 6 = 0.0871557 \theta - \theta^3/6 = 0.0871557 θ − θ 3 /6 = 0.0871557 4.2 × 10 − 8 4.2\times10^{-8} 4.2 × 1 0 − 8
มุม 5° ใช้ sin θ ≈ θ \sin\theta \approx \theta sin θ ≈ θ หน้าตรีโกณมิติ )
ตัวอย่าง 3 ประมาณ cos 0.2 \cos 0.2 cos 0.2 1.02 \sqrt{1.02} 1.02
cos x ≈ 1 − x 2 2 + x 4 24 \cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} cos x ≈ 1 − 2 x 2 + 24 x 4 cos 0.2 ≈ 1 − 0.02 + 0.0000667 = 0.9800667 \cos 0.2 \approx 1 - 0.02 + 0.0000667 = 0.9800667 cos 0.2 ≈ 1 − 0.02 + 0.0000667 = 0.9800667
1 + x ≈ 1 + x 2 − x 2 8 \sqrt{1 + x} \approx 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8} 1 + x ≈ 1 + 2 x − 8 x 2 1.02 ≈ 1 + 0.01 − 0.00005 = 1.00995 \sqrt{1.02} \approx 1 + 0.01 - 0.00005 = 1.00995 1.02 ≈ 1 + 0.01 − 0.00005 = 1.00995
cos 0.2 ≈ 0.98007 \cos 0.2 \approx 0.98007 cos 0.2 ≈ 0.98007 1.02 ≈ 1.00995 \sqrt{1.02} \approx 1.00995 1.02 ≈ 1.00995
อนุกรมเทย์เลอร์รอบจุดอื่นที่ไม่ใช่ 0
ถ้า x ที่ต้องการอยู่ไกลจาก 0 อนุกรมแมคลอรินต้องใช้หลายพจน์ ให้เลือกจุดกระจาย a a a ( x − a ) (x - a) ( x − a )
ตัวอย่าง 4 ใช้พหุนามเทย์เลอร์อันดับ 2 ของ x \sqrt{x} x a = 4 a = 4 a = 4 4.1 \sqrt{4.1} 4.1
f ( x ) = x 1 / 2 , f ′ ( x ) = 1 2 x − 1 / 2 , f ′ ′ ( x ) = − 1 4 x − 3 / 2 f(x) = x^{1/2},\ f'(x) = \tfrac12 x^{-1/2},\ f''(x) = -\tfrac14 x^{-3/2} f ( x ) = x 1/2 , f ′ ( x ) = 2 1 x − 1/2 , f ′′ ( x ) = − 4 1 x − 3/2 a = 4 a = 4 a = 4 f = 2 , f ′ = 1 4 , f ′ ′ = − 1 32 f = 2,\ f' = \tfrac14,\ f'' = -\tfrac{1}{32} f = 2 , f ′ = 4 1 , f ′′ = − 32 1
P 2 ( x ) = 2 + x − 4 4 − ( x − 4 ) 2 64 P_2(x) = 2 + \dfrac{x - 4}{4} - \dfrac{(x - 4)^2}{64} P 2 ( x ) = 2 + 4 x − 4 − 64 ( x − 4 ) 2 f ′ ′ ( 4 ) / 2 ! = − 1 / 64 f''(4)/2! = -1/64 f ′′ ( 4 ) /2 ! = − 1/64
P 2 ( 4.1 ) = 2 + 0.025 − 0.00015625 = 2.02484375 P_2(4.1) = 2 + 0.025 - 0.00015625 = 2.02484375 P 2 ( 4.1 ) = 2 + 0.025 − 0.00015625 = 2.02484375 2.02484567 2.02484567 2.02484567 1.92 × 10 − 6 1.92\times10^{-6} 1.92 × 1 0 − 6
ขอบเขตลากรองจ์: f ′ ′ ′ ( x ) = 3 8 x − 5 / 2 ≤ 3 8 ⋅ 1 32 f'''(x) = \tfrac38 x^{-5/2} \le \tfrac38\cdot\tfrac{1}{32} f ′′′ ( x ) = 8 3 x − 5/2 ≤ 8 3 ⋅ 32 1 [ 4 , 4.1 ] [4,\ 4.1] [ 4 , 4.1 ] ∣ R 2 ∣ ≤ 3 / 256 3 ! ( 0.1 ) 3 ≈ 1.95 × 10 − 6 |R_2| \le \dfrac{3/256}{3!}(0.1)^3 \approx 1.95\times10^{-6} ∣ R 2 ∣ ≤ 3 ! 3/256 ( 0.1 ) 3 ≈ 1.95 × 1 0 − 6
4.1 ≈ 2.024844 \sqrt{4.1} \approx 2.024844 4.1 ≈ 2.024844 x − a = 0.1 x - a = 0.1 x − a = 0.1
ต้องใช้กี่พจน์: ตัวอย่างหาค่า e
ตัวอย่าง 5 ต้องใช้อนุกรมของ e x e^x e x e = e 1 e = e^1 e = e 1 5 × 10 − 5 5\times10^{-5} 5 × 1 0 − 5
ขอบเขตลากรองจ์ที่ x = 1 x = 1 x = 1 ∣ R n ∣ ≤ M ( n + 1 ) ! |R_n| \le \dfrac{M}{(n+1)!} ∣ R n ∣ ≤ ( n + 1 )! M M = max e c ≤ e < 3 M = \max e^c \le e < 3 M = max e c ≤ e < 3 [ 0 , 1 ] [0,\ 1] [ 0 , 1 ]
ต้องการ 3 ( n + 1 ) ! < 5 × 10 − 5 \dfrac{3}{(n+1)!} < 5\times10^{-5} ( n + 1 )! 3 < 5 × 1 0 − 5 ( n + 1 ) ! > 60 000 (n+1)! > 60\,000 ( n + 1 )! > 60 000 8 ! = 40 320 8! = 40\,320 8 ! = 40 320 9 ! = 362 880 9! = 362\,880 9 ! = 362 880 n = 8 n = 8 n = 8
∑ k = 0 8 1 k ! = 2.7182788 \sum_{k=0}^{8} \dfrac{1}{k!} = 2.7182788 ∑ k = 0 8 k ! 1 = 2.7182788 2.7182818 2.7182818 2.7182818 3.1 × 10 − 6 3.1\times10^{-6} 3.1 × 1 0 − 6
ใช้ถึงพจน์ x 8 / 8 ! x^8/8! x 8 /8 ! x 7 / 7 ! x^7/7! x 7 /7 ! 2.8 × 10 − 5 2.8\times10^{-5} 2.8 × 1 0 − 5 ค่ารับประกัน จึงมักมากกว่าความคลาดเคลื่อนจริง
สร้างอนุกรมใหม่จากตาราง: หาอินทิกรัลและลิมิต
ไม่ต้องหาอนุพันธ์ใหม่ทุกครั้ง แทนตัวแปร คูณ อินทิเกรต หรือหาอนุพันธ์ของอนุกรมในตารางทีละพจน์ได้เลย (ภายในรัศมีการลู่เข้า) วิธีนี้ทำให้หาค่าอินทิกรัลที่ไม่มีปฏิยานุพันธ์ในรูปฟังก์ชันพื้นฐานได้
ตัวอย่าง 6 · อินทิกรัลที่อินทิเกรตตรงไม่ได้ ประมาณค่า ∫ 0 1 e − x 2 d x \displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx ∫ 0 1 e − x 2 d x
แทน x x x − x 2 -x^2 − x 2 e x e^x e x e − x 2 = 1 − x 2 + x 4 2 ! − x 6 3 ! + x 8 4 ! − ⋯ e^{-x^2} = 1 - x^2 + \dfrac{x^4}{2!} - \dfrac{x^6}{3!} + \dfrac{x^8}{4!} - \cdots e − x 2 = 1 − x 2 + 2 ! x 4 − 3 ! x 6 + 4 ! x 8 − ⋯
อินทิเกรตทีละพจน์จาก 0 ถึง 1: 1 − 1 3 + 1 10 − 1 42 + 1 216 − 1 1320 + ⋯ 1 - \dfrac13 + \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{42} + \dfrac{1}{216} - \dfrac{1}{1320} + \cdots 1 − 3 1 + 10 1 − 42 1 + 216 1 − 1320 1 + ⋯
ห้าพจน์แรก: 1 − 0.333333 + 0.1 − 0.023810 + 0.004630 = 0.747487 1 - 0.333333 + 0.1 - 0.023810 + 0.004630 = 0.747487 1 − 0.333333 + 0.1 − 0.023810 + 0.004630 = 0.747487
เป็นอนุกรมสลับเครื่องหมายที่พจน์ลดลง ความคลาดเคลื่อนจึงไม่เกินพจน์ถัดไป 1 / 1320 ≈ 7.6 × 10 − 4 1/1320 \approx 7.6\times10^{-4} 1/1320 ≈ 7.6 × 1 0 − 4 0.746824 0.746824 0.746824 6.6 × 10 − 4 6.6\times10^{-4} 6.6 × 1 0 − 4
∫ 0 1 e − x 2 d x ≈ 0.7475 \displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}dx \approx 0.7475 ∫ 0 1 e − x 2 d x ≈ 0.7475
ตัวอย่าง 7 · ลิมิตรูปแบบ 0/0 หา lim x → 0 sin x − x x 3 \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x - x}{x^3} x → 0 lim x 3 sin x − x
แทนอนุกรม: sin x − x = − x 3 6 + x 5 120 − ⋯ \sin x - x = -\dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots sin x − x = − 6 x 3 + 120 x 5 − ⋯
หารด้วย x 3 x^3 x 3 − 1 6 + x 2 120 − ⋯ → − 1 6 -\dfrac16 + \dfrac{x^2}{120} - \cdots \to -\dfrac16 − 6 1 + 120 x 2 − ⋯ → − 6 1 x → 0 x \to 0 x → 0
ลิมิตเท่ากับ − 1 6 -\tfrac16 − 6 1 sin x \sin x sin x x x x x 3 / 6 x^3/6 x 3 /6
ใช้ในงานวิศวกรรม
ตัวอย่าง 8 · แบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอด ไดโอดมี i = I S e v / V T i = I_S e^{v/V_T} i = I S e v / V T I D = 1 mA I_D = 1\ \text{mA} I D = 1 mA V T = 26 mV V_T = 26\ \text{mV} V T = 26 mV Δ v = 2 mV \Delta v = 2\ \text{mV} Δ v = 2 mV
เทย์เลอร์อันดับหนึ่งรอบจุดทำงาน: i ≈ I D ( 1 + Δ v V T ) i \approx I_D\left(1 + \dfrac{\Delta v}{V_T}\right) i ≈ I D ( 1 + V T Δ v ) r d = V T / I D = 26 Ω r_d = V_T/I_D = 26\ \Omega r d = V T / I D = 26 Ω
ประมาณ: 1 mA × ( 1 + 2 / 26 ) = 1.0769 mA 1\ \text{mA}\times(1 + 2/26) = 1.0769\ \text{mA} 1 mA × ( 1 + 2/26 ) = 1.0769 mA
ค่าจริง: 1 mA × e 2 / 26 = 1.0800 mA 1\ \text{mA}\times e^{2/26} = 1.0800\ \text{mA} 1 mA × e 2/26 = 1.0800 mA Δ v \Delta v Δ v V T V_T V T
≈ 1.077 mA \approx 1.077\ \text{mA} ≈ 1.077 mA
ลูกตุ้มและระบบควบคุม sin θ ≈ θ \sin\theta \approx \theta sin θ ≈ θ ความไวของปริมาณ ( 1 + x ) n ≈ 1 + n x (1 + x)^n \approx 1 + nx ( 1 + x ) n ≈ 1 + n x V 2 / R V^2/R V 2 / R เฟิร์มแวร์ ไมโครคอนโทรลเลอร์ที่ไม่มีหน่วยคำนวณ sin ใช้พหุนามเทย์เลอร์ไม่กี่พจน์บนช่วงมุมแคบ
คำถามที่พบบ่อย อนุกรมเทเลอร์กับอนุกรมเทย์เลอร์เป็นเรื่องเดียวกันไหม? เป็นเรื่องเดียวกัน คือ Taylor series ที่ตั้งชื่อตาม Brook Taylor ต่างกันแค่การสะกดชื่อเป็นภาษาไทย ตำราและข้อสอบบางแห่งเขียน เทเลอร์ บางแห่งเขียน เทย์เลอร์ สูตรและวิธีใช้เหมือนกันทุกอย่าง
อนุกรมเทย์เลอร์กับอนุกรมแมคลอรินต่างกันอย่างไร? อนุกรมแมคลอรินคืออนุกรมเทย์เลอร์ที่กระจายรอบ a = 0 a = 0 a = 0 a = 0 a = 0 a = 0
ต้องใช้กี่พจน์จึงพอ? ขึ้นกับความแม่นที่ต้องการและระยะ ∣ x − a ∣ |x - a| ∣ x − a ∣ ∣ R n ∣ ≤ M ∣ x − a ∣ n + 1 / ( n + 1 ) ! |R_n| \le M|x - a|^{n+1}/(n+1)! ∣ R n ∣ ≤ M ∣ x − a ∣ n + 1 / ( n + 1 )!
อนุกรมเทย์เลอร์ใช้ได้ทุกค่า x ไหม? ไม่เสมอ ใช้ได้ภายในรัศมีการลู่เข้า R เท่านั้น เช่น e x , sin x , cos x e^x,\ \sin x,\ \cos x e x , sin x , cos x R = ∞ R = \infty R = ∞ ln ( 1 + x ) \ln(1 + x) ln ( 1 + x ) 1 / ( 1 − x ) 1/(1 - x) 1/ ( 1 − x ) R = 1 R = 1 R = 1
วิศวกรใช้อนุกรมเทย์เลอร์ทำอะไร? ใช้ประมาณฟังก์ชันซับซ้อนด้วยพหุนาม เช่น sin θ ≈ θ \sin\theta \approx \theta sin θ ≈ θ